还剩24页未读，
继续阅读
成套系列资料，整套一键下载
【单元测试】湘教版数学九年级上册--第四章《锐角三角函数》单元测试卷（标准难度）（含解析）
展开
这是一份【单元测试】湘教版数学九年级上册--第四章《锐角三角函数》单元测试卷（标准难度）（含解析），共27页。
湘教版初中数学九年级上册第四章《锐角三角函数》单元测试卷
考试范围：第四章；考试时间：120分钟；总分120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 如图，点A，B，C在正方形网格的格点上，则sin∠BAC=( )
A. 26
B. 2626
C. 2613
D. 1313
2. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CE是斜边AB上的中线，过点E作EF⊥AB交AC于点F.若BC=4，△AEF的面积为5，则sin∠CEF的值为( )
A. 35 B. 55 C. 45 D. 255
3. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB′C′，使点C′落在AB边上，连结BB′，则sin∠BB′C′的值为( )
A. 35
B. 45
C. 55
D. 255
4. 公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是125，小正方形面积是25，则(sinθ−cosθ)2=( )
A. 15 B. 55 C. 355 D. 95
5. 如图，A，B是反比例函数y=kx(k>0,x>0)图象上的两点，过点A，B分别作x轴的平行线交y轴于点C，D，直线AB交y轴正半轴于点E.若点B的横坐标为5，CD=3AC，cos∠BED=35，则k的值为( )
A. 5 B. 4 C. 3 D. 154
6. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上，点C在OB上，OC：BC=1：2，连接AC，过点O作OP//AB交AC的延长线于P.若P(1,1)，则tan∠OAP的值是( )
A. 33 B. 22 C. 13 D. 3
7. 如图把两张宽度均为3的纸条交错叠在一起，相交成角α，则重叠部分的周长为( )
A. 12tanα
B. 12sinα
C. 12sinα
D. 12tanα
8. 如图，在菱形ABCD中，按以下步骤作图：
①分别以点C和点D为圆心，大于12CD的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点；
②作直线MN，且MN恰好经过点A，与CD交于点E，连接BE．
则下列说法错误的是( )
A. ∠ABC=60° B. S△ABE=2S△ADE
C. 若AB=4，则BE=47 D. sin∠CBE=2114
9. 如图，O为坐标原点，四边形OACB是菱形，OB在x轴的正半轴上，sin∠AOB=45，反比例函数y=48x在第一象限内的图象经过点A，与BC交于点F，则△AOF的面积等于( )
A. 60 B. 80 C. 30 D. 40
10. 如图，某数学兴趣小组测量一棵树CD的高度，在点A处测得树顶C的仰角为45°，在点B处测得树顶C的仰角为60°，且A，B，D三点在同一直线上，若AB=16m，则这棵树CD的高度是( )
A. 8(3−3)m B. 8(3+3)m C. 6(3−3)m D. 6(3+3)m
11. 如图为北京冬奥会“雪飞天”滑雪大跳台赛道．若点D与点A的水平距离DE=a米，水平赛道BC=b米，赛道AB，CD的坡角均为θ，则点A的高AE为( )
A. (a−b)tanθ米 B. a−btanθ米 C. (a−b)sinθ米 D. (a−b)cosθ米
12. 如图，一艘船由A港沿北偏东65∘方向航行302km至B港，然后再沿北偏西40∘方向航行至C港，C港在A港北偏东20∘方向，则A，C两港之间的距离为( )
A. (30+303)km
B. (30+103)km
C. (10+303)km
D. 303km
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
13. 已知等腰三角形两边长分别为5和8，则底角的余弦值为 ．
14. 如图，点C在线段AB上，且AC=2BC，分别以AC、BC为边在线段AB的同侧作正方形ACDE、BCFG，连接EC、EG，则tan∠CEG=______．
15. 如图，两张完全相同的矩形纸片ABCD和EFGH，AB=EF=1，BC=FG=4.把纸片ABCD交叉叠放在纸片EFGH上，使重叠部分为平行四边形，且点D与点G重合．当两张纸片交叉所成的角α最小时，sin α=__________．
16. 如图，在一次数学实践活动中，小明同学要测量一座与地面垂直的古塔AB的高度，他从古塔底部点B处前行30m到达斜坡CE的底部点C处，然后沿斜坡CE前行20m到达最佳测量点D处，在点D处测得塔顶A的仰角为30°，已知斜坡的斜面坡度i=1：3，且点A，B，C，D，E在同一平面内，小明同学测得古塔AB的高度是______．
三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. “南天一柱”是张家界“三千奇峰”中的一座，位于世界自然遗产武陵源风景名胜区袁家界景区南端．2010年1月25日，“南天一柱”正式命名为《阿凡达》的“哈利路亚山”.如图，航拍无人机以9m/s的速度在空中向正东方向飞行，拍摄云海中的“南天一柱”美景．在A处测得“南天一柱”底部C的俯角为37°，继续飞行6s到达B处，这时测得“南天一柱”底部C的俯角为45°，已知“南天一柱”的高为150m，问这架航拍无人机继续向正东飞行是否安全？(参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)
18. 沿江大堤经过改造后的某处横断面为如图所示的梯形ABCD，高DH=12米，斜坡CD的坡度i=1：1.此处大堤的正上方有高压电线穿过，PD表示高压线上的点与堤面AD的最近距离(P、D、H在同一直线上)，在点C处测得∠DCP=26°．
(1)求斜坡CD的坡角α；
(2)电力部门要求此处高压线离堤面AD的安全距离不低于18米，请问此次改造是否符合电力部门的安全要求？
(参考数据：sin26°≈0.44，tan26°≈0.49，sin71°≈0.95，tan71°≈2.90)
19. 2020年5月5日，为我国载人空间站工程研制的长征五号运载火箭在海南文昌首飞成功．运較火箭从地面O处发射，当火箭到达点A时，地面D处的雷达站测得AD=4000米，仰角为30°.3秒后，火箭直线上升到达点B处，此时地面C处的雷达站测得B处的仰角为45°.已知C，D两处相距460米，求火箭从A到B处的平均速度(结果精确到1米/秒，参考数据：3≈1.732，2≈1.414)．
20. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在边BC上，DE⊥AB，点E为垂足，AB=7，∠DAB=45°，tanB=34．
(1)求DE的长；
(2)求∠CAD的正弦值．
21. 如图，在四边形ABCD中，∠ACB=∠CAD=90°，点E在BC上，AE//DC，EF⊥AB，垂足为F．
(1)求证：四边形AECD是平行四边形；
(2)若AE平分∠BAC，BE=5，cosB=45，求BF和AD的长．
22. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，AB=5.点P从点A出发，以每秒5个单位
长度的速度沿AC方向运动，过点P作PQ⊥AB于点Q，当点Q和点B重合时，点P停止运动，以AP和AQ为边作▱APHQ.设点P的运动时间为t秒(t>0)
(1)线段PQ的长为______.(用含t的代数式表示)
(2)当点H落在边BC上时，求t的值．
(3)当▱APHQ与△ABC的重叠部分图形为四边形时，设四边形的面积为S，求S与t之间的函数关系式．
(4)过点C作直线CD⊥AB于点D，当直线CD将▱APHQ分成两部分图形的面积比为1：7时，直接写出t的值．
23. 如图，小明家马路对面的商业楼外墙上有一个大型显示屏AB，小明在自己家楼顶G处测得显示屏顶端A的仰角为45°，后退10米到达F处测得显示屏底端B处的仰角为36°，已知商业楼的底端C与小明家楼底端D之间的距离为50米，求显示屏AB的高度．(结果精确到0.1米，参考数据：sin36°≈0.588，cos53°=0.810，tan36°≈0.727)
24. 天府熊猫塔位于成都市成华区，是中国西部第一高塔，也是四川省成都市的绝对地标性建筑，塔上不仅用以开展高空旅游、旋转餐厅、室内外观光层及会展演艺等，还可以为城市提供景观光彩照明．如图，某兴趣小组想测量天府熊猫塔CD的高度，先在A处仰望塔顶，测得仰角为27°，再往塔的方向前进469米到B处，测得仰角为60°，求天府熊猫塔CD的高度．(结果精确到1米；参考数据：sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51，3≈1.73)
25. 一艘船以40km/s的速度向正东航行，在A处测得灯塔C在北偏东60°方向上继续航行1ℎ.到达B处，这时测得灯塔C在北偏东30°方向上，已知在灯塔C的四周30km内有暗礁，问这船继续向东航行是否安全？
答案和解析
1.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了勾股定理，三角形的面积，锐角三角函数的定义等知识，根据网格构造直角三角形和利用三角形的面积求出BD是解决问题的关键．
作BD⊥AC于D，根据勾股定理求出AB、AC，利用三角形的面积求出BD，最后在直角△ABD中根据三角函数的意义求解．
【解答】
解：如图，作BD⊥AC于D，
由勾股定理得，AB=32+22=13，AC=32+32=32，
∵S△ABC=12AC⋅BD=12×32⋅BD=12×1×3，
∴BD=22，
∴sin∠BAC=BDAB=2213=2626．
故选B．
2.【答案】A
【解析】解：连接BF，
∵CE是斜边AB上的中线，EF⊥AB，
∴EF是AB的垂直平分线，
∴S△AFE=S△BFE=5，
∴S△AFB=10=12AF⋅BC，
∵BC=4，
∴AF=5=BF，
在Rt△BCF中，BC=4，BF=5，
∴CF=52−42=3，
∵CE=AE=BE=12AB，
∴∠A=∠FBA=∠ACE，
又∵∠BCA=90°=∠BEF，
∴∠CBF=90°−∠BFC=90°−2∠A，
∠CEF=90°−∠BEC=90°−2∠A，
∴∠CEF=∠FBC，
∴sin∠CEF=sin∠FBC=CFBF=35，
故选：A．
本题考查垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，掌握直角三角形的边角关系是解决问题的关键．
根据直角三角形的斜边中线等于斜边一半可得CE=AE=BE=12AB，进而得到∠BEC=2∠A=∠BFC，从而有∠CEF=∠CBF，根据三角形的面积公式求出AF，即得BF，在Rt△BCF中，求出CF，证明∠CEF=∠FBC，再根据锐角三角函数的定义求解即可．
3.【答案】C
【解析】解：∵∠C=90°，AC=6，BC=8，
∴AB=AC2+BC2=36+64=10，
∵将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB′C′，
∴AC=AC′=6，BC=B′C′=8，∠C=∠AC′B′=90°，
∴BC′=4，
∴B′B=BC′2+B′C′2=16+64=45，
∴sin∠BB′C′=BC′BB′=445=55，
故选：C．
在Rt△ABC中，利用勾股定理可求AB，由旋转的性质可得AC=AC′=6，BC=B′C′=8，∠C=∠AC′B′=90°，在Rt△BB′C′中，由勾股定理可求BB′的长，即可求解．
本题考查了旋转的性质，勾股定理，锐角三角函数定义等知识，利用勾股定理求出BB′长是解题的关键．
4.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了锐角三角函数的定义，正方形的面积，难度适中．
根据正方形的面积公式可得大正方形的边长为55，小正方形的边长为5，再根据直角三角形的边角关系列式即可求解．
【解答】
解：∵大正方形的面积是125，小正方形面积是25，
∴大正方形的边长为55，小正方形的边长为5，
∴55cosθ−55sinθ=5，
∴cosθ−sinθ=55，
∴(sinθ−cosθ)2=15．
故选：A．
5.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，锐角三角函数的定义，相似三角形的判定与性质，表示出A、B的坐标是解题的关键．
由cos∠BED=EDEB=35，设DE=3a，BE=5a，根据勾股定理求得BD=4a=5，即可求得a=54，得出DE=154，设AC=b，则CD=3b，根据题意得出EC=34b，ED=3b+34b=15b4，从而求得b=1，则AC=1，CD=3，设B点的纵坐标为n，则A(1,3+n)，B(5,n)，根据反比例函数图象上点的坐标特征得出k=1×(3+n)=5n，求得k=154．
【解答】
解：∵BD//x轴，
∴∠EDB=90°，
∵cos∠BED=EDEB=35，
∴设DE=3a，BE=5a，a>0，
∴BD=BE2−DE2=(5a)2−(3a)2=4a，
∵点B的横坐标为5，
∴4a=5，则a=54，
∴DE=154，
设AC=b，则CD=3b，其中b>0，
∵AC//BD，
∴△ECA∽△EDB，
∴ACEC=BDED=4a3a=43，
∴EC=34b，
∴ED=3b+34b=15b4，
∴15b4=154，则b=1，
∴AC=1，CD=3，
设B点的纵坐标为n，
∴OD=n，则OC=3+n，其中n>0，
∴A(1,3+n)，B(5,n)，
∴A，B是反比例函数y=kx(k>0,x>0)图象上的两点，
∴k=1×(3+n)=5n，
解得n=34，k=154．
6.【答案】C
【解析】解：如图，过点P作PQ⊥x轴于点Q，
∵OP//AB，
∴∠CAB=∠CPO，∠ABC=∠COP，
∴△OCP∽△BCA，
∴CP：AC=OC：BC=1：2，
∵∠AOC=∠AQP=90°，
∴CO//PQ，
∴OQ：AO=CP：AC=1：2，
∵P(1,1)，
∴PQ=OQ=1，
∴AO=2，
∴tan∠OAP=PQAQ=12+1=13．
故选：C．
根据OP//AB，证明出△OCP∽△BCA，得到CP：AC=OC：BC=1：2，过点P作PQ⊥x轴于点Q，根据∠AOC=∠AQP=90°，得到CO//PQ，根据平行线分线段成比例定理得到OQ：AO=CP：AC=1：2，根据P(1,1)，得到PQ=OQ=1，得到AO=2，根据正切的定义即可得到tan∠OAP的值．
本题考查了相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义，根据平行线分线段成比例定理得到OQ：AO=CP：AC=1：2是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：由题意可知：重叠部分是菱形，设菱形ABCD，则∠ABE=α，
过A作AE⊥BC于E，则AE=3，
∵∠ABE=α，
∴AB=AEsinα=3sinα，
∴BC=AB=AD=CD=3sinα，
∴重叠部分的周长=4×3sinα=12sinα，
故选：C．
根据题意可知：所得图形是菱形，设菱形ABCD，由已知得∠ABE=α，过A作AE⊥BC于E，由锐角三角函数解直角三角形解答即可．
本题主要考查了菱形的性质，把实际问题转化成数学问题，利用所学的知识进行计算是解此题的关键．
8.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了作图−基本作图：熟练掌握基本作图(作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线).也考查了菱形的性质和解直角三角形．
利用基本作图得到AE垂直平分CD，再根据菱形的性质得到AD=CD=2DE，AB//DE，利用三角函数求出∠D=60°，则可对A选项进行判断；利用三角形面积公式可对B选项进行判断；当AB=4，则DE=2，先计算出AE=23，再利用勾股定理计算出BE=27，则可对C选项进行判断；作EH⊥BC交BC的延长线于H，如图，设AB=4a，则CE=2a，BC=4a，BE=27a，先计算出CH=a，EH=3a，则可根据正弦的定义对D选项进行判断．
【解答】
解：由作法得AE垂直平分CD，即CE=DE，AE⊥CD，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AD=CD=2DE，AB//DE，
在Rt△ADE中，cosD=DEAD=12，
∴∠D=60°，
∴∠ABC=60°，所以A选项的结论正确；
∵S△ABE=12AB⋅AE，S△ADE=12DE⋅AE，
而AB=2DE，
∴S△ABE=2S△ADE，所以B选项的结论正确；
若AB=4，则DE=2，
∴AE=23，
在Rt△ABE中，BE=42+(23)2=27，所以C选项的结论错误；
作EH⊥BC交BC的延长线于H，如图，
设AB=4a，则CE=2a，BC=4a，BE=27a，
在△CHE中，∠ECH=∠D=60°，
∴CH=a，EH=3a，
∴sin∠CBE=EHBE=3a27a=2114，所以D选项的结论正确．
故选：C．
9.【答案】D
【解析】解：过点A作AM⊥x轴于点M，如图所示．
设OA=a，
在Rt△OAM中，∠AMO=90°，OA=a，sin∠AOB=45，
∴AM=OA⋅sin∠AOB=45a，OM=OA2−AM2=35a，
∴点A的坐标为(35a,45a)．
∵点A在反比例函数y=48x的图象上，
∴35a×45a=1225a2=48，
解得：a=10，或a=−10(舍去)．
∴AM=8，OM=6，OB=OA=10．
∵四边形OACB是菱形，点F在边BC上，
∴S△AOF=12S菱形OBCA=12OB⋅AM=40．
故选：D．
本题考查了菱形的性质、解直角三角形以及反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是找出S△AOF=12S菱形OBCA．
过点A作AM⊥x轴于点M，设OA=a，通过解直角三角形找出点A的坐标，结合反比例函数图象上点的坐标特征即可求出a的值，再根据四边形OACB是菱形、点F在边BC上，即可得出S△AOF=12S菱形OBCA，结合菱形的面积公式即可得出结论．
10.【答案】A
【解析】解：设AD=x米，
∵AB=16米，
∴BD=AB−AD=(16−x)米，
在Rt△ADC中，∠A=45°，
∴CD=AD⋅tan45°=x(米)，
在Rt△CDB中，∠B=60°，
∴tan60°=CDBD=x16−x=3，
∴x=24−83，
经检验：x=24−83是原方程的根，
∴CD=(24−83)米，
∴这棵树CD的高度是(24−83)米，
故选：A．
设AD=x米，则BD=(16−x)米，在Rt△ADC中，利用锐角三角函数的定义求出CD的长，然后在Rt△CDB中，利用锐角三角函数列出关于x的方程，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
11.【答案】A
【解析】解：延长AB交DE于点F，
∵赛道AB，CD的坡角均为θ，
∴∠AFE=θ，
∵BC//DF，DC//BF，
∴四边形CDFB是平行四边形，
∴BC=DF，
∴EF=DF=a−b，
∴tanθ=AEEF=AEa−b，
∴AE=(a−b)⋅tanθ(米)．
故选：A．
延长AB交DE于点F，利用平行四边形的判定与性质得出DF的长，再利用锐角三角函数关系得出答案．
此题主要考查了解直角三角形的应用以及平行四边形的判定与性质，正确得出FE的长是解题关键．
12.【答案】B
【解析】略
13.【答案】45或516
【解析】略
14.【答案】12
【解析】解：连接CG，
在正方形ACDE、BCFG中，
∠ECA=∠GCB=45°，
∴∠ECG=90°，
设AC=2，BC=1，
∴CE=22，CG=2，
∴tan∠GEC=CGEC=12，
故答案为：12．
根据正方形的性质以及锐角三角函数的定义即可求出答案．
本题考查正方形，解题的关键是熟练运用正方形的性质以及锐角三角函数的定义，本题属于基础题型．
15.【答案】817
【解析】
【分析】
本题考查了矩形的性质，菱形的判定，勾股定理，全等三角形的判定和性质以及解直角三角形等知识；求MD的长是本题的关键．
由“ASA”可证△CDM≌△HDN，可证MD=DN，即可证四边形DNKM是菱形，当点B与点E重合时，两张纸片交叉所成的角α最小，由勾股定理求出MD的长，即可得出答案．
【解答】
解：如图，∵四边形ABCD和四边形EFGH是矩形，
∴∠ADC=∠HDF=90°，CD=AB=1，
∴∠CDM=∠NDH，且CD=DH，∠H=∠C=90°，
∴△CDM≌△HDN(ASA)，
∴MD=ND，且四边形DNKM是平行四边形，
∴四边形DNKM是菱形，
∴KM=MD，
∵sinα=sin∠DMC=CDMD，
∴当点B与点E重合时，两张纸片交叉所成的角a最小，
设MD=KM=a，则CM=4−a，
∵MD2=CD2+MC2，
∴a2=12+(4−a)2，
∴a=178，
∴sinα=sin∠DMC=CDMD=1178=817，
16.【答案】(20+103)m
【解析】解：过D作DF⊥BC于F，DH⊥AB于H，
∴DH=BF，BH=DF，
∵斜坡的斜面坡度i=1：3，
∴DFCF=1：3，
设DF=xm，CF=3x m，
∴CD=DF2+CF2=2x=20(m)，
∴x=10，
∴BH=DF=10m，CF=103m，
∴DH=BF=(103+30)m，
∵∠ADH=30°，
∴AH=33DH=33×(103+30)=(10+103)m，
∴AB=AH+BH=(20+103)m，
答：古塔AB的高度是(20+103)m，
故答案为：(20+103)m．
过D作DF⊥BC于F，DH⊥AB于H，于是得到DH=BF，BH=DF，设DF=xm，CF=3x m，解直角三角形即可得到结论．
本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，解直角三角形的应用−坡角坡度问题，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
17.【答案】解：设无人机距地面xm，直线AB与南天一柱相交于点D，
由题意得∠CAD=37°，∠CBD=45°．
在Rt△ACD中，
∵tan∠CAD=CDAD=xAD=0.75，
∴AD=43x．
在Rt△BCD中，
∵tan∠CBD=CDBD=xBD=1，
∴BD=x．
∵AD−BD=AB，
∴43x−x=9×6，
∴x=162，
∵162>150，
∴这架航拍无人机继续向正东飞行安全．
【解析】设无人机距地面xm，直线AB与南天一柱相交于点D，根据AD−BD=AB列方程求出x的值，与南天一柱的高度比较即可．
本题考查解直角三角形的应用−仰角俯角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会用构建方程的思想思考问题．
18.【答案】解：(1)∵斜坡CD的坡度i=1：1，
∴tanα=DH：CH=1：1=1，
∴α=45°．
答：斜坡CD的坡角α为45°；
(2)由(1)可知：
CH=DH=12，α=45°．
∴∠PCH=∠PCD+α=26°+45°=71°，
在Rt△PCH中，∵tan∠PCH=PHCH=PD+1212≈2.90，
∴PD≈22.8(米)．
22.8>18，
答：此次改造符合电力部门的安全要求．
【解析】(1)根据斜坡CD的坡度i=1：1，可得tanα=DH：CH=1：1=1，进而可得α的度数；
(2)由(1)可得，CH=DH=12，α=45°.所以∠PCH=71°，再根据锐角三角函数可得PD的值，与18进行比较即可得到此次改造是否符合电力部门的安全要求．
本题考查了解直角三角形的应用−坡度坡角问题，解决本题的关键是掌握坡度坡角定义．
19.【答案】解：设火箭从A到B处的平均速度为x米/秒，根据题意可知：
AB=3x，
在Rt△ADO中，∠ADO=30°，AD=4000，
∴AO=2000米，
∴DO=20003米，
∵CD=460米，
∴OC=OD−CD=20003−460(米)，
在Rt△BOC中，∠BCO=45°，
∴BO=OC，
∵OB=OA+AB=2000+3x，
∴2000+3x=20003−460，
解得x≈335．
答：火箭从A到B处的平均速度为335米/秒．
【解析】设火箭从A到B处的平均速度为x米/秒，根据题意可得AB=3x，在Rt△ADO中，∠ADO=30°，AD=4000，可得AO=2000，DO=20003，在Rt△BOC中，∠BCO=45°，可得BO=OC，即可得2000+3x=20003−460，进而解得x的值．
本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角定义．
20.【答案】解：(1)∵DE⊥AB，
∴∠DEA=90°，
又∵∠DAB=45°，
∴DE=AE，
在Rt△DEB中，∠DEB=90°，tanB=34，
∴DEBE=34，
设DE=3x，那么AE=3x，BE=4x，
∵AB=7，
∴3x+4x=7，
解得：x=1，
∴DE=3；
(2)在Rt△ADE中，由勾股定理，得AD=AE2+DE2=32，同理得BD=5，
在Rt△ABC中，由tanB=34，可得cosB=45，
∴BC=285，
∴CD=35，
∴sin∠CAD=CDAD=3532=210，即∠CAD的正弦值为210．
【解析】此题考查了解直角三角形，涉及的知识有：锐角三角函数定义，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
(1)由题意得到三角形ADE为等腰直角三角形，在直角三角形DEB中，利用锐角三角函数定义求出DE与BE之比，设出DE与BE，由AB=7求出各自的值，确定出DE即可；
(2)在直角三角形中，利用勾股定理求出AD与BD的长，根据tanB的值求出cosB的值，确定出BC的长，由BC−BD求出CD的长，利用锐角三角函数定义求出所求即可．
21.【答案】(1)证明：∵∠ACB=∠CAD=90°，
∴AD//CE，
∵AE//DC，
∴四边形AECD是平行四边形；
(2)解：∵EF⊥AB，
∴∠BFE=90°，
∵cosB=45=BFBE，BE=5，
∴BF=45BE=45×5=4，
∴EF=BE2−BF2=52−42=3，
∵AE平分∠BAC，EF⊥AB，∠ACE=90°，
∴EC=EF=3，
由(1)得：四边形AECD是平行四边形，
∴AD=EC=3．
【解析】本题考查了平行四边形的判定与性质、锐角三角函数定义、角平分线的性质以及勾股定理等知识；熟练掌握锐角三角函数定义，证明四边形AECD为平行四边形是解题的关键．
(1)证AD//CE，再由AE//DC，即可得出结论；
(2)先由锐角三角函数定义求出BF=4，再由勾股定理求出EF=3，然后由角平分线的性质得EC=EF=3，最后由平行四边形的性质求解即可．
22.【答案】(1)4t；
(2)如图2中，当点H落在BC上时．
∵QH//AC，
∴QHAC=BQBA，
∴4t3=5−3t5，
∴t=1529．
(3)①如图3中，当0
②如图4中，当35≤t≤53时，重叠部分是四边形ACMQ，
S=QM+AC2⋅CM=35(5−3t)+32⋅[4−45(5−3t)]=−5425t2+365t.
(4)①如图5中，∵S△HEF：S五边形EQAPF=1：7，CD//PQ，
∴EF是△HPQ的中位线．
∵cos∠A=ADAC=ACAB=35，
∴AD=95，
∵QH//AC，
∴∠DQE=∠A，
∴cos∠DQE=cos∠A=35，
∴DQQE=35，
∴95−3t2t=35，
∴t=37．
②如图6中，当S△ADC：S五边形CDQHP=1：7时，CD是△APQ的中位线．
∴AQ=2AD，
∴3t=2×95，
∴t=65．
综上所述，满足条件的t的值为37或65s.
【解析】解：(1)如图1中，
在Rt△ACB中，∵AC=3，AB=5，∠C=90°，
∴BC=52−32=4，
∵AP=5t，sinA=BCAB=PQPA，
∴45=PQ5t，
∴PQ=4t，AQ=AP2−PQ2=3t．
故答案为4t．
(2)见答案；
(3)见答案；
(4)见答案；
(1)利用勾股定理求出BC，再根据sinA=BCAB=PQPA，构建方程即可解决问题；
(2)如图2中，因为QH//AC，可得QHAC=BQBA，由此构建方程即可解决问题；
(3)飞两种情形分别求解：①如图3中，当0
本题考查几何变换综合题、平行四边形的性质、锐角三角函数、平行线分线段成比例定理、三角形的中位线定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的射线思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
23.【答案】解：延长FG交AC于H，则HG=CD=50米，∠AGH=45°，∠BFH=36°，
∵FG=10，
∴FH=60米，
在Rt△AGH中，
A=HG=50米，
在Rt△BFH中，BH=FH⋅tan36°=60×0.727=43.62(米)，
∴AB=AH=BH=50−43.62≈6.4(米)，
答：显示屏AB的高度约为6.4米．
【解析】延长FG交AC于H，则HG=CD=50米，∠AGH=45°，∠BFH=36°，解直角三角形即可得到结论．
本题考查的是解直角三角形的应用−仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
24.【答案】解：设BD=x米，
∵AB=469米，
∴AD=AB+BD=(469+x)米，
在Rt△BCD中，∠CBD=60°，
∴CD=BD⋅tan60°=3x(米)，
在Rt△ACD中，∠A=27°，
∴tan27°=CDAD=3xx+469≈0.51，
∴x≈196.1，
经检验：x=196.1是原方程的根，
∴CD=3x≈339(米)，
∴天府熊猫塔CD的高约为339米．
【解析】设BD=x米，则AD=(469+x)米，先在Rt△BCD中，利用锐角三角函数的定义求出CD的长，再在Rt△ACD中，利用锐角三角函数的定义列出关于x的方程，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
25.【答案】解：过点C作CD⊥AB，垂足为D.如图所示：
根据题意可知∠BAC=90°−60°=30°，∠DBC=90°−30°=60°，
∵∠DBC=∠ACB+∠BAC，
∴∠BAC=30°=∠ACB，
∴BC=AB=40×1=40(km)，
在Rt△BCD中，∠CDB=90°，∠DBC=60°，sin∠DBC=CDBC，
∴CD=40×sin60°=40×32=203(km)>30km，
∴这艘船继续向东航行安全．
【解析】过C作CD⊥AB于点D，根据方向角的定义及余角的性质求出∠BCA=30°，∠ACD=60°，证∠ACB=30°=∠BAC，根据等角对等边得出BC=AB=40海里，然后解Rt△BCD，求出CD即可．
本题考查了解直角三角形的应用以及等腰三角形的判定；熟练掌握等腰三角形的判定和锐角三角函数定义是解题的关键．
湘教版初中数学九年级上册第四章《锐角三角函数》单元测试卷
考试范围：第四章；考试时间：120分钟；总分120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 如图，点A，B，C在正方形网格的格点上，则sin∠BAC=( )
A. 26
B. 2626
C. 2613
D. 1313
2. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CE是斜边AB上的中线，过点E作EF⊥AB交AC于点F.若BC=4，△AEF的面积为5，则sin∠CEF的值为( )
A. 35 B. 55 C. 45 D. 255
3. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB′C′，使点C′落在AB边上，连结BB′，则sin∠BB′C′的值为( )
A. 35
B. 45
C. 55
D. 255
4. 公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是125，小正方形面积是25，则(sinθ−cosθ)2=( )
A. 15 B. 55 C. 355 D. 95
5. 如图，A，B是反比例函数y=kx(k>0,x>0)图象上的两点，过点A，B分别作x轴的平行线交y轴于点C，D，直线AB交y轴正半轴于点E.若点B的横坐标为5，CD=3AC，cos∠BED=35，则k的值为( )
A. 5 B. 4 C. 3 D. 154
6. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上，点C在OB上，OC：BC=1：2，连接AC，过点O作OP//AB交AC的延长线于P.若P(1,1)，则tan∠OAP的值是( )
A. 33 B. 22 C. 13 D. 3
7. 如图把两张宽度均为3的纸条交错叠在一起，相交成角α，则重叠部分的周长为( )
A. 12tanα
B. 12sinα
C. 12sinα
D. 12tanα
8. 如图，在菱形ABCD中，按以下步骤作图：
①分别以点C和点D为圆心，大于12CD的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点；
②作直线MN，且MN恰好经过点A，与CD交于点E，连接BE．
则下列说法错误的是( )
A. ∠ABC=60° B. S△ABE=2S△ADE
C. 若AB=4，则BE=47 D. sin∠CBE=2114
9. 如图，O为坐标原点，四边形OACB是菱形，OB在x轴的正半轴上，sin∠AOB=45，反比例函数y=48x在第一象限内的图象经过点A，与BC交于点F，则△AOF的面积等于( )
A. 60 B. 80 C. 30 D. 40
10. 如图，某数学兴趣小组测量一棵树CD的高度，在点A处测得树顶C的仰角为45°，在点B处测得树顶C的仰角为60°，且A，B，D三点在同一直线上，若AB=16m，则这棵树CD的高度是( )
A. 8(3−3)m B. 8(3+3)m C. 6(3−3)m D. 6(3+3)m
11. 如图为北京冬奥会“雪飞天”滑雪大跳台赛道．若点D与点A的水平距离DE=a米，水平赛道BC=b米，赛道AB，CD的坡角均为θ，则点A的高AE为( )
A. (a−b)tanθ米 B. a−btanθ米 C. (a−b)sinθ米 D. (a−b)cosθ米
12. 如图，一艘船由A港沿北偏东65∘方向航行302km至B港，然后再沿北偏西40∘方向航行至C港，C港在A港北偏东20∘方向，则A，C两港之间的距离为( )
A. (30+303)km
B. (30+103)km
C. (10+303)km
D. 303km
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
13. 已知等腰三角形两边长分别为5和8，则底角的余弦值为 ．
14. 如图，点C在线段AB上，且AC=2BC，分别以AC、BC为边在线段AB的同侧作正方形ACDE、BCFG，连接EC、EG，则tan∠CEG=______．
15. 如图，两张完全相同的矩形纸片ABCD和EFGH，AB=EF=1，BC=FG=4.把纸片ABCD交叉叠放在纸片EFGH上，使重叠部分为平行四边形，且点D与点G重合．当两张纸片交叉所成的角α最小时，sin α=__________．
16. 如图，在一次数学实践活动中，小明同学要测量一座与地面垂直的古塔AB的高度，他从古塔底部点B处前行30m到达斜坡CE的底部点C处，然后沿斜坡CE前行20m到达最佳测量点D处，在点D处测得塔顶A的仰角为30°，已知斜坡的斜面坡度i=1：3，且点A，B，C，D，E在同一平面内，小明同学测得古塔AB的高度是______．
三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. “南天一柱”是张家界“三千奇峰”中的一座，位于世界自然遗产武陵源风景名胜区袁家界景区南端．2010年1月25日，“南天一柱”正式命名为《阿凡达》的“哈利路亚山”.如图，航拍无人机以9m/s的速度在空中向正东方向飞行，拍摄云海中的“南天一柱”美景．在A处测得“南天一柱”底部C的俯角为37°，继续飞行6s到达B处，这时测得“南天一柱”底部C的俯角为45°，已知“南天一柱”的高为150m，问这架航拍无人机继续向正东飞行是否安全？(参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)
18. 沿江大堤经过改造后的某处横断面为如图所示的梯形ABCD，高DH=12米，斜坡CD的坡度i=1：1.此处大堤的正上方有高压电线穿过，PD表示高压线上的点与堤面AD的最近距离(P、D、H在同一直线上)，在点C处测得∠DCP=26°．
(1)求斜坡CD的坡角α；
(2)电力部门要求此处高压线离堤面AD的安全距离不低于18米，请问此次改造是否符合电力部门的安全要求？
(参考数据：sin26°≈0.44，tan26°≈0.49，sin71°≈0.95，tan71°≈2.90)
19. 2020年5月5日，为我国载人空间站工程研制的长征五号运载火箭在海南文昌首飞成功．运較火箭从地面O处发射，当火箭到达点A时，地面D处的雷达站测得AD=4000米，仰角为30°.3秒后，火箭直线上升到达点B处，此时地面C处的雷达站测得B处的仰角为45°.已知C，D两处相距460米，求火箭从A到B处的平均速度(结果精确到1米/秒，参考数据：3≈1.732，2≈1.414)．
20. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在边BC上，DE⊥AB，点E为垂足，AB=7，∠DAB=45°，tanB=34．
(1)求DE的长；
(2)求∠CAD的正弦值．
21. 如图，在四边形ABCD中，∠ACB=∠CAD=90°，点E在BC上，AE//DC，EF⊥AB，垂足为F．
(1)求证：四边形AECD是平行四边形；
(2)若AE平分∠BAC，BE=5，cosB=45，求BF和AD的长．
22. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，AB=5.点P从点A出发，以每秒5个单位
长度的速度沿AC方向运动，过点P作PQ⊥AB于点Q，当点Q和点B重合时，点P停止运动，以AP和AQ为边作▱APHQ.设点P的运动时间为t秒(t>0)
(1)线段PQ的长为______.(用含t的代数式表示)
(2)当点H落在边BC上时，求t的值．
(3)当▱APHQ与△ABC的重叠部分图形为四边形时，设四边形的面积为S，求S与t之间的函数关系式．
(4)过点C作直线CD⊥AB于点D，当直线CD将▱APHQ分成两部分图形的面积比为1：7时，直接写出t的值．
23. 如图，小明家马路对面的商业楼外墙上有一个大型显示屏AB，小明在自己家楼顶G处测得显示屏顶端A的仰角为45°，后退10米到达F处测得显示屏底端B处的仰角为36°，已知商业楼的底端C与小明家楼底端D之间的距离为50米，求显示屏AB的高度．(结果精确到0.1米，参考数据：sin36°≈0.588，cos53°=0.810，tan36°≈0.727)
24. 天府熊猫塔位于成都市成华区，是中国西部第一高塔，也是四川省成都市的绝对地标性建筑，塔上不仅用以开展高空旅游、旋转餐厅、室内外观光层及会展演艺等，还可以为城市提供景观光彩照明．如图，某兴趣小组想测量天府熊猫塔CD的高度，先在A处仰望塔顶，测得仰角为27°，再往塔的方向前进469米到B处，测得仰角为60°，求天府熊猫塔CD的高度．(结果精确到1米；参考数据：sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51，3≈1.73)
25. 一艘船以40km/s的速度向正东航行，在A处测得灯塔C在北偏东60°方向上继续航行1ℎ.到达B处，这时测得灯塔C在北偏东30°方向上，已知在灯塔C的四周30km内有暗礁，问这船继续向东航行是否安全？
答案和解析
1.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了勾股定理，三角形的面积，锐角三角函数的定义等知识，根据网格构造直角三角形和利用三角形的面积求出BD是解决问题的关键．
作BD⊥AC于D，根据勾股定理求出AB、AC，利用三角形的面积求出BD，最后在直角△ABD中根据三角函数的意义求解．
【解答】
解：如图，作BD⊥AC于D，
由勾股定理得，AB=32+22=13，AC=32+32=32，
∵S△ABC=12AC⋅BD=12×32⋅BD=12×1×3，
∴BD=22，
∴sin∠BAC=BDAB=2213=2626．
故选B．
2.【答案】A
【解析】解：连接BF，
∵CE是斜边AB上的中线，EF⊥AB，
∴EF是AB的垂直平分线，
∴S△AFE=S△BFE=5，
∴S△AFB=10=12AF⋅BC，
∵BC=4，
∴AF=5=BF，
在Rt△BCF中，BC=4，BF=5，
∴CF=52−42=3，
∵CE=AE=BE=12AB，
∴∠A=∠FBA=∠ACE，
又∵∠BCA=90°=∠BEF，
∴∠CBF=90°−∠BFC=90°−2∠A，
∠CEF=90°−∠BEC=90°−2∠A，
∴∠CEF=∠FBC，
∴sin∠CEF=sin∠FBC=CFBF=35，
故选：A．
本题考查垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，掌握直角三角形的边角关系是解决问题的关键．
根据直角三角形的斜边中线等于斜边一半可得CE=AE=BE=12AB，进而得到∠BEC=2∠A=∠BFC，从而有∠CEF=∠CBF，根据三角形的面积公式求出AF，即得BF，在Rt△BCF中，求出CF，证明∠CEF=∠FBC，再根据锐角三角函数的定义求解即可．
3.【答案】C
【解析】解：∵∠C=90°，AC=6，BC=8，
∴AB=AC2+BC2=36+64=10，
∵将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB′C′，
∴AC=AC′=6，BC=B′C′=8，∠C=∠AC′B′=90°，
∴BC′=4，
∴B′B=BC′2+B′C′2=16+64=45，
∴sin∠BB′C′=BC′BB′=445=55，
故选：C．
在Rt△ABC中，利用勾股定理可求AB，由旋转的性质可得AC=AC′=6，BC=B′C′=8，∠C=∠AC′B′=90°，在Rt△BB′C′中，由勾股定理可求BB′的长，即可求解．
本题考查了旋转的性质，勾股定理，锐角三角函数定义等知识，利用勾股定理求出BB′长是解题的关键．
4.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了锐角三角函数的定义，正方形的面积，难度适中．
根据正方形的面积公式可得大正方形的边长为55，小正方形的边长为5，再根据直角三角形的边角关系列式即可求解．
【解答】
解：∵大正方形的面积是125，小正方形面积是25，
∴大正方形的边长为55，小正方形的边长为5，
∴55cosθ−55sinθ=5，
∴cosθ−sinθ=55，
∴(sinθ−cosθ)2=15．
故选：A．
5.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，锐角三角函数的定义，相似三角形的判定与性质，表示出A、B的坐标是解题的关键．
由cos∠BED=EDEB=35，设DE=3a，BE=5a，根据勾股定理求得BD=4a=5，即可求得a=54，得出DE=154，设AC=b，则CD=3b，根据题意得出EC=34b，ED=3b+34b=15b4，从而求得b=1，则AC=1，CD=3，设B点的纵坐标为n，则A(1,3+n)，B(5,n)，根据反比例函数图象上点的坐标特征得出k=1×(3+n)=5n，求得k=154．
【解答】
解：∵BD//x轴，
∴∠EDB=90°，
∵cos∠BED=EDEB=35，
∴设DE=3a，BE=5a，a>0，
∴BD=BE2−DE2=(5a)2−(3a)2=4a，
∵点B的横坐标为5，
∴4a=5，则a=54，
∴DE=154，
设AC=b，则CD=3b，其中b>0，
∵AC//BD，
∴△ECA∽△EDB，
∴ACEC=BDED=4a3a=43，
∴EC=34b，
∴ED=3b+34b=15b4，
∴15b4=154，则b=1，
∴AC=1，CD=3，
设B点的纵坐标为n，
∴OD=n，则OC=3+n，其中n>0，
∴A(1,3+n)，B(5,n)，
∴A，B是反比例函数y=kx(k>0,x>0)图象上的两点，
∴k=1×(3+n)=5n，
解得n=34，k=154．
6.【答案】C
【解析】解：如图，过点P作PQ⊥x轴于点Q，
∵OP//AB，
∴∠CAB=∠CPO，∠ABC=∠COP，
∴△OCP∽△BCA，
∴CP：AC=OC：BC=1：2，
∵∠AOC=∠AQP=90°，
∴CO//PQ，
∴OQ：AO=CP：AC=1：2，
∵P(1,1)，
∴PQ=OQ=1，
∴AO=2，
∴tan∠OAP=PQAQ=12+1=13．
故选：C．
根据OP//AB，证明出△OCP∽△BCA，得到CP：AC=OC：BC=1：2，过点P作PQ⊥x轴于点Q，根据∠AOC=∠AQP=90°，得到CO//PQ，根据平行线分线段成比例定理得到OQ：AO=CP：AC=1：2，根据P(1,1)，得到PQ=OQ=1，得到AO=2，根据正切的定义即可得到tan∠OAP的值．
本题考查了相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义，根据平行线分线段成比例定理得到OQ：AO=CP：AC=1：2是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：由题意可知：重叠部分是菱形，设菱形ABCD，则∠ABE=α，
过A作AE⊥BC于E，则AE=3，
∵∠ABE=α，
∴AB=AEsinα=3sinα，
∴BC=AB=AD=CD=3sinα，
∴重叠部分的周长=4×3sinα=12sinα，
故选：C．
根据题意可知：所得图形是菱形，设菱形ABCD，由已知得∠ABE=α，过A作AE⊥BC于E，由锐角三角函数解直角三角形解答即可．
本题主要考查了菱形的性质，把实际问题转化成数学问题，利用所学的知识进行计算是解此题的关键．
8.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了作图−基本作图：熟练掌握基本作图(作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线).也考查了菱形的性质和解直角三角形．
利用基本作图得到AE垂直平分CD，再根据菱形的性质得到AD=CD=2DE，AB//DE，利用三角函数求出∠D=60°，则可对A选项进行判断；利用三角形面积公式可对B选项进行判断；当AB=4，则DE=2，先计算出AE=23，再利用勾股定理计算出BE=27，则可对C选项进行判断；作EH⊥BC交BC的延长线于H，如图，设AB=4a，则CE=2a，BC=4a，BE=27a，先计算出CH=a，EH=3a，则可根据正弦的定义对D选项进行判断．
【解答】
解：由作法得AE垂直平分CD，即CE=DE，AE⊥CD，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AD=CD=2DE，AB//DE，
在Rt△ADE中，cosD=DEAD=12，
∴∠D=60°，
∴∠ABC=60°，所以A选项的结论正确；
∵S△ABE=12AB⋅AE，S△ADE=12DE⋅AE，
而AB=2DE，
∴S△ABE=2S△ADE，所以B选项的结论正确；
若AB=4，则DE=2，
∴AE=23，
在Rt△ABE中，BE=42+(23)2=27，所以C选项的结论错误；
作EH⊥BC交BC的延长线于H，如图，
设AB=4a，则CE=2a，BC=4a，BE=27a，
在△CHE中，∠ECH=∠D=60°，
∴CH=a，EH=3a，
∴sin∠CBE=EHBE=3a27a=2114，所以D选项的结论正确．
故选：C．
9.【答案】D
【解析】解：过点A作AM⊥x轴于点M，如图所示．
设OA=a，
在Rt△OAM中，∠AMO=90°，OA=a，sin∠AOB=45，
∴AM=OA⋅sin∠AOB=45a，OM=OA2−AM2=35a，
∴点A的坐标为(35a,45a)．
∵点A在反比例函数y=48x的图象上，
∴35a×45a=1225a2=48，
解得：a=10，或a=−10(舍去)．
∴AM=8，OM=6，OB=OA=10．
∵四边形OACB是菱形，点F在边BC上，
∴S△AOF=12S菱形OBCA=12OB⋅AM=40．
故选：D．
本题考查了菱形的性质、解直角三角形以及反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是找出S△AOF=12S菱形OBCA．
过点A作AM⊥x轴于点M，设OA=a，通过解直角三角形找出点A的坐标，结合反比例函数图象上点的坐标特征即可求出a的值，再根据四边形OACB是菱形、点F在边BC上，即可得出S△AOF=12S菱形OBCA，结合菱形的面积公式即可得出结论．
10.【答案】A
【解析】解：设AD=x米，
∵AB=16米，
∴BD=AB−AD=(16−x)米，
在Rt△ADC中，∠A=45°，
∴CD=AD⋅tan45°=x(米)，
在Rt△CDB中，∠B=60°，
∴tan60°=CDBD=x16−x=3，
∴x=24−83，
经检验：x=24−83是原方程的根，
∴CD=(24−83)米，
∴这棵树CD的高度是(24−83)米，
故选：A．
设AD=x米，则BD=(16−x)米，在Rt△ADC中，利用锐角三角函数的定义求出CD的长，然后在Rt△CDB中，利用锐角三角函数列出关于x的方程，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
11.【答案】A
【解析】解：延长AB交DE于点F，
∵赛道AB，CD的坡角均为θ，
∴∠AFE=θ，
∵BC//DF，DC//BF，
∴四边形CDFB是平行四边形，
∴BC=DF，
∴EF=DF=a−b，
∴tanθ=AEEF=AEa−b，
∴AE=(a−b)⋅tanθ(米)．
故选：A．
延长AB交DE于点F，利用平行四边形的判定与性质得出DF的长，再利用锐角三角函数关系得出答案．
此题主要考查了解直角三角形的应用以及平行四边形的判定与性质，正确得出FE的长是解题关键．
12.【答案】B
【解析】略
13.【答案】45或516
【解析】略
14.【答案】12
【解析】解：连接CG，
在正方形ACDE、BCFG中，
∠ECA=∠GCB=45°，
∴∠ECG=90°，
设AC=2，BC=1，
∴CE=22，CG=2，
∴tan∠GEC=CGEC=12，
故答案为：12．
根据正方形的性质以及锐角三角函数的定义即可求出答案．
本题考查正方形，解题的关键是熟练运用正方形的性质以及锐角三角函数的定义，本题属于基础题型．
15.【答案】817
【解析】
【分析】
本题考查了矩形的性质，菱形的判定，勾股定理，全等三角形的判定和性质以及解直角三角形等知识；求MD的长是本题的关键．
由“ASA”可证△CDM≌△HDN，可证MD=DN，即可证四边形DNKM是菱形，当点B与点E重合时，两张纸片交叉所成的角α最小，由勾股定理求出MD的长，即可得出答案．
【解答】
解：如图，∵四边形ABCD和四边形EFGH是矩形，
∴∠ADC=∠HDF=90°，CD=AB=1，
∴∠CDM=∠NDH，且CD=DH，∠H=∠C=90°，
∴△CDM≌△HDN(ASA)，
∴MD=ND，且四边形DNKM是平行四边形，
∴四边形DNKM是菱形，
∴KM=MD，
∵sinα=sin∠DMC=CDMD，
∴当点B与点E重合时，两张纸片交叉所成的角a最小，
设MD=KM=a，则CM=4−a，
∵MD2=CD2+MC2，
∴a2=12+(4−a)2，
∴a=178，
∴sinα=sin∠DMC=CDMD=1178=817，
16.【答案】(20+103)m
【解析】解：过D作DF⊥BC于F，DH⊥AB于H，
∴DH=BF，BH=DF，
∵斜坡的斜面坡度i=1：3，
∴DFCF=1：3，
设DF=xm，CF=3x m，
∴CD=DF2+CF2=2x=20(m)，
∴x=10，
∴BH=DF=10m，CF=103m，
∴DH=BF=(103+30)m，
∵∠ADH=30°，
∴AH=33DH=33×(103+30)=(10+103)m，
∴AB=AH+BH=(20+103)m，
答：古塔AB的高度是(20+103)m，
故答案为：(20+103)m．
过D作DF⊥BC于F，DH⊥AB于H，于是得到DH=BF，BH=DF，设DF=xm，CF=3x m，解直角三角形即可得到结论．
本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，解直角三角形的应用−坡角坡度问题，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
17.【答案】解：设无人机距地面xm，直线AB与南天一柱相交于点D，
由题意得∠CAD=37°，∠CBD=45°．
在Rt△ACD中，
∵tan∠CAD=CDAD=xAD=0.75，
∴AD=43x．
在Rt△BCD中，
∵tan∠CBD=CDBD=xBD=1，
∴BD=x．
∵AD−BD=AB，
∴43x−x=9×6，
∴x=162，
∵162>150，
∴这架航拍无人机继续向正东飞行安全．
【解析】设无人机距地面xm，直线AB与南天一柱相交于点D，根据AD−BD=AB列方程求出x的值，与南天一柱的高度比较即可．
本题考查解直角三角形的应用−仰角俯角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会用构建方程的思想思考问题．
18.【答案】解：(1)∵斜坡CD的坡度i=1：1，
∴tanα=DH：CH=1：1=1，
∴α=45°．
答：斜坡CD的坡角α为45°；
(2)由(1)可知：
CH=DH=12，α=45°．
∴∠PCH=∠PCD+α=26°+45°=71°，
在Rt△PCH中，∵tan∠PCH=PHCH=PD+1212≈2.90，
∴PD≈22.8(米)．
22.8>18，
答：此次改造符合电力部门的安全要求．
【解析】(1)根据斜坡CD的坡度i=1：1，可得tanα=DH：CH=1：1=1，进而可得α的度数；
(2)由(1)可得，CH=DH=12，α=45°.所以∠PCH=71°，再根据锐角三角函数可得PD的值，与18进行比较即可得到此次改造是否符合电力部门的安全要求．
本题考查了解直角三角形的应用−坡度坡角问题，解决本题的关键是掌握坡度坡角定义．
19.【答案】解：设火箭从A到B处的平均速度为x米/秒，根据题意可知：
AB=3x，
在Rt△ADO中，∠ADO=30°，AD=4000，
∴AO=2000米，
∴DO=20003米，
∵CD=460米，
∴OC=OD−CD=20003−460(米)，
在Rt△BOC中，∠BCO=45°，
∴BO=OC，
∵OB=OA+AB=2000+3x，
∴2000+3x=20003−460，
解得x≈335．
答：火箭从A到B处的平均速度为335米/秒．
【解析】设火箭从A到B处的平均速度为x米/秒，根据题意可得AB=3x，在Rt△ADO中，∠ADO=30°，AD=4000，可得AO=2000，DO=20003，在Rt△BOC中，∠BCO=45°，可得BO=OC，即可得2000+3x=20003−460，进而解得x的值．
本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角定义．
20.【答案】解：(1)∵DE⊥AB，
∴∠DEA=90°，
又∵∠DAB=45°，
∴DE=AE，
在Rt△DEB中，∠DEB=90°，tanB=34，
∴DEBE=34，
设DE=3x，那么AE=3x，BE=4x，
∵AB=7，
∴3x+4x=7，
解得：x=1，
∴DE=3；
(2)在Rt△ADE中，由勾股定理，得AD=AE2+DE2=32，同理得BD=5，
在Rt△ABC中，由tanB=34，可得cosB=45，
∴BC=285，
∴CD=35，
∴sin∠CAD=CDAD=3532=210，即∠CAD的正弦值为210．
【解析】此题考查了解直角三角形，涉及的知识有：锐角三角函数定义，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
(1)由题意得到三角形ADE为等腰直角三角形，在直角三角形DEB中，利用锐角三角函数定义求出DE与BE之比，设出DE与BE，由AB=7求出各自的值，确定出DE即可；
(2)在直角三角形中，利用勾股定理求出AD与BD的长，根据tanB的值求出cosB的值，确定出BC的长，由BC−BD求出CD的长，利用锐角三角函数定义求出所求即可．
21.【答案】(1)证明：∵∠ACB=∠CAD=90°，
∴AD//CE，
∵AE//DC，
∴四边形AECD是平行四边形；
(2)解：∵EF⊥AB，
∴∠BFE=90°，
∵cosB=45=BFBE，BE=5，
∴BF=45BE=45×5=4，
∴EF=BE2−BF2=52−42=3，
∵AE平分∠BAC，EF⊥AB，∠ACE=90°，
∴EC=EF=3，
由(1)得：四边形AECD是平行四边形，
∴AD=EC=3．
【解析】本题考查了平行四边形的判定与性质、锐角三角函数定义、角平分线的性质以及勾股定理等知识；熟练掌握锐角三角函数定义，证明四边形AECD为平行四边形是解题的关键．
(1)证AD//CE，再由AE//DC，即可得出结论；
(2)先由锐角三角函数定义求出BF=4，再由勾股定理求出EF=3，然后由角平分线的性质得EC=EF=3，最后由平行四边形的性质求解即可．
22.【答案】(1)4t；
(2)如图2中，当点H落在BC上时．
∵QH//AC，
∴QHAC=BQBA，
∴4t3=5−3t5，
∴t=1529．
(3)①如图3中，当0
②如图4中，当35≤t≤53时，重叠部分是四边形ACMQ，
S=QM+AC2⋅CM=35(5−3t)+32⋅[4−45(5−3t)]=−5425t2+365t.
(4)①如图5中，∵S△HEF：S五边形EQAPF=1：7，CD//PQ，
∴EF是△HPQ的中位线．
∵cos∠A=ADAC=ACAB=35，
∴AD=95，
∵QH//AC，
∴∠DQE=∠A，
∴cos∠DQE=cos∠A=35，
∴DQQE=35，
∴95−3t2t=35，
∴t=37．
②如图6中，当S△ADC：S五边形CDQHP=1：7时，CD是△APQ的中位线．
∴AQ=2AD，
∴3t=2×95，
∴t=65．
综上所述，满足条件的t的值为37或65s.
【解析】解：(1)如图1中，
在Rt△ACB中，∵AC=3，AB=5，∠C=90°，
∴BC=52−32=4，
∵AP=5t，sinA=BCAB=PQPA，
∴45=PQ5t，
∴PQ=4t，AQ=AP2−PQ2=3t．
故答案为4t．
(2)见答案；
(3)见答案；
(4)见答案；
(1)利用勾股定理求出BC，再根据sinA=BCAB=PQPA，构建方程即可解决问题；
(2)如图2中，因为QH//AC，可得QHAC=BQBA，由此构建方程即可解决问题；
(3)飞两种情形分别求解：①如图3中，当0
本题考查几何变换综合题、平行四边形的性质、锐角三角函数、平行线分线段成比例定理、三角形的中位线定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的射线思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
23.【答案】解：延长FG交AC于H，则HG=CD=50米，∠AGH=45°，∠BFH=36°，
∵FG=10，
∴FH=60米，
在Rt△AGH中，
A=HG=50米，
在Rt△BFH中，BH=FH⋅tan36°=60×0.727=43.62(米)，
∴AB=AH=BH=50−43.62≈6.4(米)，
答：显示屏AB的高度约为6.4米．
【解析】延长FG交AC于H，则HG=CD=50米，∠AGH=45°，∠BFH=36°，解直角三角形即可得到结论．
本题考查的是解直角三角形的应用−仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
24.【答案】解：设BD=x米，
∵AB=469米，
∴AD=AB+BD=(469+x)米，
在Rt△BCD中，∠CBD=60°，
∴CD=BD⋅tan60°=3x(米)，
在Rt△ACD中，∠A=27°，
∴tan27°=CDAD=3xx+469≈0.51，
∴x≈196.1，
经检验：x=196.1是原方程的根，
∴CD=3x≈339(米)，
∴天府熊猫塔CD的高约为339米．
【解析】设BD=x米，则AD=(469+x)米，先在Rt△BCD中，利用锐角三角函数的定义求出CD的长，再在Rt△ACD中，利用锐角三角函数的定义列出关于x的方程，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
25.【答案】解：过点C作CD⊥AB，垂足为D.如图所示：
根据题意可知∠BAC=90°−60°=30°，∠DBC=90°−30°=60°，
∵∠DBC=∠ACB+∠BAC，
∴∠BAC=30°=∠ACB，
∴BC=AB=40×1=40(km)，
在Rt△BCD中，∠CDB=90°，∠DBC=60°，sin∠DBC=CDBC，
∴CD=40×sin60°=40×32=203(km)>30km，
∴这艘船继续向东航行安全．
【解析】过C作CD⊥AB于点D，根据方向角的定义及余角的性质求出∠BCA=30°，∠ACD=60°，证∠ACB=30°=∠BAC，根据等角对等边得出BC=AB=40海里，然后解Rt△BCD，求出CD即可．
本题考查了解直角三角形的应用以及等腰三角形的判定；熟练掌握等腰三角形的判定和锐角三角函数定义是解题的关键．
相关资料
更多
