还剩14页未读，
继续阅读
成套系列资料，整套一键下载
【单元测试】湘教版数学九年级上册--第四章《锐角三角函数》单元测试卷（较易）（含解析）
展开
这是一份【单元测试】湘教版数学九年级上册--第四章《锐角三角函数》单元测试卷（较易）（含解析），共17页。
湘教版初中数学九年级上册第四章《锐角三角函数》单元测试卷
考试范围：第四章；考试时间：120分钟；总分120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知，在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA=23，BC=4，则AB长为( )
A. 6 B. 455 C. 83 D. 213
2. 如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，sinB=0.5，若AC=6，则BC的长为( )
A. 8 B. 12 C. 63 D. 123
3. 已知Rt△ABC，∠C=90°，若∠A>∠B，则下列选项正确的是．( )
A. sinA
A. 3510 B. 255
C. 32 D. 12
5. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=15，BC=9，则sinB的值为( )
A. 45 B. 35 C. 34 D. 54
6. 在Rt△ABC中，∠C=90∘，已知a和∠A，则下列关系中正确的是( )
A. c=asinA B. c=asinA C. c=acosA D. c=acosA
7. 如图，在矩形ABCD中，AB=m，∠BAC=α，则OC的长为( )
A. mcosα B. m2cosα
C. m2sinα D. msinα
8. 如图所示，在边长相同的小正方形组成的网格中，两条经过格点的线段相交所成的锐角为α，则夹角α的正弦值为( )
A. 12
B. 22
C. 32
D. 1
9. 如图，在Rt▵ABC中，∠C=90∘，AC=4，tanA=12，则BC的长度为．( )
A. 2
B. 8
C. 43
D. 45
10. 如图，一条河的两岸互相平行，为了测量河的宽度PT(PT与河岸PQ垂直)，测量得P，Q两点间距离为m米，∠PQT=α，则河宽PT的长为( )
A. msinα B. mcosα C. mtanα D. mtanα
11. 如图是拦水坝的横断面，斜坡AB的水平宽度为12米，斜面坡度为1︰2，则斜坡AB的长为( )
A. 43米 B. 65米 C. 125米 D. 24米
12. 如图是长春市人民大街下穿隧道工程施工现场的一台起重机的示意图，该起重机的变幅索顶端记为点A，变幅索的底端记为点B，AD垂直地面，垂足为点D，BC⊥AD，垂足为点C.设∠ABC=α，下列关系式正确的是( )
A. sinα=ABBC B. sinα=BCAB C. sinα=ABAC D. sinα=ACAB
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
13. 在Rt△ABC中，∠C=90∘，AB=5，BC=4，则cosA= ．
14. 计算：(−2)2×2−2−|3tan30°−3|+20190=______．
15. 如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，点F、G分别为AB、AD边的中点，连接FG交AE于点H，若FG=12，AD=13，则tan∠AHG的值为______．
16. 如图，小明想要测量学校操场上旗杆AB的高度，他作了如下操作：(1)在点C处放置测角仪，测得旗杆顶的仰角∠ACE=30°；(2)量得测角仪的高度CD=a；(3)量得测角仪到旗杆的水平距离DB=b.利用锐角三角函数解直角三角形的知识，旗杆的高度可表示为______．
三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 在△ABC中，∠C=90∘，AC=2，BC=1，求cosA和cosB的值．
18. 计算：|−3|+π0−2cos30。．
19. (1)计算：(π−2022)0+2cos30°−|2−3|−(12)−2；
(2)解不等式组：x−7<4x+2x+53≥x+32．
20. 计算：(12)−1+(π−3.14)0−2sin30°+25．
21. 如图，已知四边形ABCD为矩形，AB=22，BC=4，点E在BC上，CE=AE，将△ABC沿AC翻折到△AFC，连接EF．
(1)求EF的长；
(2)求sin∠CEF的值．
22. 某市大力建设5G基站．如图，在坡度i=1：2.4的斜坡CB上有一建成的基站塔AB，在坡脚C处测得塔顶A的仰角为45°，沿坡面CB从C处行走13m到达D处，在D处测得塔顶A的仰角为53°.(点A，B，C，D均在同一平面内；参考数据：sin53°≈45，cos53°≈35，tan53°≈43)
(1)求D处的竖直高度；
(2)求基站塔AB的高度．
23. 2022年在北京举办第24届冬季奥运会，很多学校都开展了冰雪项目学习．如图，滑雪轨道由AB，BC两部分组成，AB，BC的长度都为200米，一位同学乘滑雪板沿此轨道由点A滑到点C.若AB与水平面的夹角α为20°，BC与水平面的夹角β为45°，求他下降的高度．(sin20°≈0.34,cos20°≈0.94,tan20°≈0.36,2≈1.41)
24. 某小区准备购入一架滑梯供小区儿童使用，物业选定了左图的滑梯，但受小区儿童区域场地的限制，需知晓滑梯的水平长度．滑梯的截面如右图所示，已知梯子AE长度为3m，坡度为57°，顶台DE//AB，且长度为1m，滑坡BD的坡度i=1：3.2，滑梯的缓冲长度BC为1.5m，求滑梯的水平长度AC.(结果精确到0.1m.参考数据：sin57°≈0.84，cos57°≈0.55，tan57°≈1.54)
25. 在四边形ABCD中，∠DAB和∠ABC的平分线AE、BE交于CD边上的点E.且AE⊥BE，AD=DE．
(1)求证：四边形ABCD是平行四边形；
(2)连BD，当四边形ABCD是矩形时，求tan∠ABD的值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：如图所示：∵sinA=23，BC=4，
∴sinA=BCAB=23=4AB，
解得：AB=6．
故选：A．
直接利用已知画出直角三角形，再利用锐角三角函数关系得出答案．
此题主要考查了锐角三角函数定义，正确画出直角三角形是解题关键．
2.【答案】C
【解析】解：在Rt△ACB中，
∵sinB=ACAB=6AB=0.5，
∴AB=12，
∴BC=AB2−AC2
=144−36
=63．
故选：C．
根据题意，先求出AB，再利用勾股定理求出BC．
本题考查了锐角三角函数，涉及勾股定理，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查锐角三角函数的增减性，属于基础题，比较简单．
【解答】
解：Rt△ABC，∠C=90°，
故∠A、∠B是锐角，∠A>∠B，
∴a>b，
∵sinA=ac，sinB=bc，cosA=bc，cosB=ac，tanA=ab，tanB=ba
故sinA>sinB，cosAtanB，
故选B．
4.【答案】B
【解析】解：作AE⊥BC，
∵BE=4，AE=2，
∴AB=25，
∴cos∠ABC=BEAB=425=255，
故选：B．
根据锐角三角函数的定义直接得出cos∠ABC等于BEAB，再求出即可．
此题主要考查了锐角三角函数的定义以及勾股定理，根据题意得出cos∠ABC=BEAB是解决问题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：由勾股定理得，
AC=AB2−BC2=12，
∴sinB=ACAB=1215=45，
故选：A．
由勾股定理求出AC，再根据锐角三角函数的定义进行计算即可．
本题考查锐角三角函数，掌握锐角三角函数的意义和勾股定理是解决问题的关键．
6.【答案】B
【解析】略
7.【答案】B
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，OC=12AC，
∴cosα=ABAC= mAC，
∴AC= mcosα，
∴OC=12AC= m2cosα，
故选：B．
根据矩形的性质和三角函数的定义即可得到结论．
本题考查了矩形的性质，解直角三角形，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：如图，设AB与CD交于点E，过点C作CF//AB，连接DF，
∵CF//AB，
∴∠C=∠AEC=α，
设小正方形的边长为1，
根据勾股定理可得CD2=12+32=10，
DF2=12+22=5，
CF2=12+22=5，
∴CD2=CF2+DF2，DF=CF，
∴△CDF为等腰直角三角形，
∴∠C=45°，
∴sinC=22，
∴夹角α的正弦值为22．
故选：B．
如图，设AB与CD交于点E，过点C作CF//AB，连接DF，可得∠C=∠AEC=α，设小正方形的边长为1，然后根据勾股定理及逆定理可得△CDF为等腰直角三角形，从而得到∠C=45°，即可求解．
本题主要考查了勾股定理及其逆定理，锐角三角函数，根据题意作适当辅助线构造出直角三角形是解题关键．
9.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了锐角三角函数和解直角三角形，熟练掌握正切的定义是解决本题的关键．
【解答】
在Rt△ABC中，∠C=90∘，AC=4，
tanA=12=BCAC=BC4，
所以BC=2，
故选A．
10.【答案】C
【解析】解：由题意得：
PT⊥PQ，
∴∠APQ=90°，
在Rt△APQ中，PQ=m米，∠PQT=α，
∴PT=PQ⋅tanα=mtanα(米)，
∴河宽PT的长度是mtanα米，
故选：C．
根据垂直定义可得PT⊥PQ，然后在Rt△PQT中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
11.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据坡角构造直角三角形，利用三角函数的知识求解．
根据斜面坡度为1︰2，AE=12m，得出BE=6m，利用勾股定理即可得出结果．
【解答】
解：过点B作BE垂直于AD，
∵斜面坡度为1︰2，AE=12m，
∴BE=6m，
则AB=AE2+BE=122+62=65(m)．
故选B．
12.【答案】D
【解析】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=α，由锐角三角函数的定义可知，
sinα=sin∠ABC=ACAB，
故选：D．
根据直角三角形的边角关系进行判断即可．
本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确判断的前提．
13.【答案】35
【解析】略
14.【答案】−12
【解析】解：原式=2×14−|3×33−3|+1
=12−|1−3|+1
=12−2+1
=−12，
故答案为：−12．
利用二次根式的性质，负整数指数幂的意义，特殊角的三角函数值，绝对值的意义，和零指数幂的意义化简运算即可．
本题主要考查了实数的运算，二次根式的性质，负整数指数幂的意义，特殊角的三角函数值，绝对值的意义，和零指数幂的意义，正确利用上述法则与性质进行运算是解题的关键．
15.【答案】125
【解析】解：如图，连接BD交AE于N，连接AC，交BD于点O，
∵点F、G分别为AB、AD边的中点，
∴BD=2FG=24，BD//FG，
∴∠AGH=∠ADN，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO=CO，BO=DO=12，
∴AO=AD2−DO2=169−144=5，
∵∠ADN+∠DAO=90°，∠AGH+∠AHG=90°，
∴∠ADN=∠AHG，
∴tan∠AHG=tan∠DAO=DOAO=125，
故答案为：125．
由三角形中位线定理可得BD=2FG=24，BD//FG，∠AGH=∠ADN，由菱形的性质和勾股定理可求AO=5，即可求解．
本题考查了菱形的性质，三角形中位线定理，勾股定理，锐角三角函数等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
16.【答案】a+33b
【解析】解：延长CE交AB于点F，
则CD=BF=a，DB=CF=b，∠CFA=90°，
在Rt△ACF中，∠ACF=30°，
∴AF=CF⋅tan30°=33b，
∴AB=AF+BF=a+33b，
∴旗杆的高度可表示为：a+33b，
故答案为：a+33b.
延长CE交AB于点F，则CD=BF=a，DB=CF=b，∠CFA=90°，然后在Rt△ACF中，利用锐角三角函数的定义求出AF的长，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
17.【答案】解：∵∠C=90∘，AC=2，BC=1，
∴AB=AC2+BC2=22+12= 5．
∴cosA=ACAB=25=255，
cosB=BCAB=15=55．
【解析】见答案
18.【答案】解：原式=3+1−2×32
=3+1−3
=1．
【解析】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
直接利用绝对值的性质以及零指数幂的性质和特殊角的三角函数值分别化简得出答案．
19.【答案】解：(1)(π−2022)0+2cos30°−|2−3|−(12)−2
=1−2×32−(2−3)−4
=1−3−2+3−4
=−5；
(2)x−7<4x+2①x+53≥x+32②，
解不等式①得：x>−3，
解不等式②得：x≤1，
∴原不等式组的解集为：−3
(2)按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了解一元一次不等式组，实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
20.【答案】解：原式=2+1−2×12+5
=2+1−1+5
=7．
【解析】直接利用特殊角的三角函数值以及零指数幂的性质、二次根式的性质、负整数指数幂的性质分别化简得出答案．
此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
21.【答案】解：(1)∵CE=AE，
∴∠ECA=∠EAC，
根据翻折可得：∠ECA=∠FCA，∠BAC=∠CAF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴DA//CB，
∴∠ECA=∠CAD，
∴∠EAC=∠CAD，
∴∠DAF=∠BAE，
∵∠BAD=90°，
∴∠EAF=90°，
设CE=AE=x，则BE=4−x，
在△BAE中，根据勾股定理可得：
BA2+BE2=AE2，
即：(22)2+(4−x)2= x2，
解得：x=3，
在Rt△EAF中，EF=AF2+AE2=17．
(2)过点F作FG⊥BC交BC于点G，
设CG=x，则GB=3−x，
∵FC=4，FE=17，
∴FG2=FC2−CG2=FE2−EG2，
即：16−x2=17−(3−x)2，
解得：x=43，
∴FG=FC2−CG2=823，
∴sin∠CEF=FGEF=83451．
【解析】(1)根据翻折变换的特点和勾股定理结合方程思想解答即可；
(2)根据锐角三角函数的定义，利用勾股定理解答即可．
本题主要考查了矩形的性质，翻折变换，勾股定理，锐角三角函数，熟练掌握这些性质特点是解答本题的关键．
22.【答案】解：(1)延长AB与水平线交于点F，过点D作DM⊥CF于点M，DE⊥AF于点E，
∵斜坡BC的坡度为i=1：2.4，
∴DMCM=12.4=512，
设DM=5x m，则CM=12x m，
在Rt△CDM中，CD=13m，
由勾股定理得，(5x)2+(12x)2=132，
解得x=1，
∴DM=5m，CM=12m，
∴D处的竖直高度为5m．
(2)∵斜坡BC的坡度为i=1：2.4，
∴设BN=5a m，则DN=12a m，
∵∠ACF=45°，
∴AF=CF=(12+12a)m，
∴AN=AF−NF=12+12a−5=(7+12a)m，
在Rt△ADN中，tan∠ADN=tan53°=7+12a12a≈43，
解得a=74，
∴AN=28m，BN=354m，
∴AB=AN−BN=774m.
∴基站塔AB的高度约为774m.
【解析】(1)延长AB与水平线交于点F，过点D作DM⊥CF于点M，DE⊥AF于点E，由题意得DMCM=12.4=512，设DM=5x m，则CM=12xm，在Rt△CDM中，CD=13m，由勾股定理得(5x)2+(12x)2=132，解得x=1，即可得出答案．
(2)设BN=5a m，则DN=12am，则AF=CF=(12+12a)m，AN=AF−NF=(7+12a)m，在Rt△ADN中，tan∠ADN=tan53°=7+12a12a≈43，解得a=74，则AN=28m，BN=354m，由AB=AN−BN可得出答案．
本题考查解直角三角形的应用−仰角俯角问题、坡度坡角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
23.【答案】解：如图，过点A作AE⊥BD于点E，过点B作BG⊥CF于点G，
在Rt△ABE中，∵sinα=AEAB，
∴AE=AB⋅sin20°≈68(米)．
在Rt△BCG中，∵sinβ=BGBC，
∴BG=BC⋅sin45°≈141(米)，
则AE+BG=209(米)，
答：他下降的高度约为209米．
【解析】直接构建直角三角形，利用锐角三角函数关系分别得出AE，BG的长，进而得出答案．
此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握锐角三角函数关系是解题关键．
24.【答案】解：作ME⊥AC于M，DN⊥AC于N，则四边形MNDE为矩形，
则MN=DE=1，EM=DN，
在Rt△AEM中，∠EAM=57°，AE=3，
∴EM=AE×sin57°≈3×0.84=2.52(m)，
AM=AE×cos57°≈3×0.55=1.65(m)，
在Rt△DNB中，i=1：3.2，即DNBN=13.2，
∴BN=2.52×3.2=8.064(m)，
又∵BC=1.5m，
∴AC=AM+MN+NB+BC=1.65+1+8.064+1.5=12.214≈12.2(m)，
答：AC的长度约为12.2m．
【解析】直接利用坡角的定义结合锐角三角函数关系得出BN，AM，EM的长，进而得出答案．
此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握锐角三角函数关系是解题关键．
25.【答案】(1)证明：∵AE平分∠DAB，
∴∠DAE=∠EAB，
∵DA=DE，
∴∠DAE=∠DEA，
∴∠DEA=∠EAB，
∴DC//AB，
∵AE⊥BE，
∴∠EAB+∠EBA=90°，
∵AE平分∠DAB，BE平分∠CBA，
∴∠DAE+∠CBE=90°，
∴∠DAB+∠CBA=180°，
∴DA//CB，
又∵DC//AB，
∴四边形ABCD是平行四边形；
(2)解：∵四边形ABCD是矩形，AD=DE，
∴∠DAE=∠DEA=45°，
∴△DAE为等腰直角三角形，
∵∠DAB=90°，
∴∠EAB=∠EBA=45°，
∵∠CBA=90°，
∴∠EBC=45°，
∴△EBC为等腰直角三角形，
∴△DAE≌△CEB(SAS)，
设DA=DE=CE=CB=a，
∴AB=2a，
在Rt△DAB中，tan∠ABD=a2a=12．
故答案为：12．
【解析】(1)根据平行四边形的判定定理解答即可；
(2)根据全等三角形的判定和锐角三角函数解答即可．
本题主要考查了平行四边形的判定定理和锐角三角函数，熟练掌握相关性质定理是解题的关键．
湘教版初中数学九年级上册第四章《锐角三角函数》单元测试卷
考试范围：第四章；考试时间：120分钟；总分120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知，在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA=23，BC=4，则AB长为( )
A. 6 B. 455 C. 83 D. 213
2. 如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，sinB=0.5，若AC=6，则BC的长为( )
A. 8 B. 12 C. 63 D. 123
3. 已知Rt△ABC，∠C=90°，若∠A>∠B，则下列选项正确的是．( )
A. sinA
A. 3510 B. 255
C. 32 D. 12
5. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=15，BC=9，则sinB的值为( )
A. 45 B. 35 C. 34 D. 54
6. 在Rt△ABC中，∠C=90∘，已知a和∠A，则下列关系中正确的是( )
A. c=asinA B. c=asinA C. c=acosA D. c=acosA
7. 如图，在矩形ABCD中，AB=m，∠BAC=α，则OC的长为( )
A. mcosα B. m2cosα
C. m2sinα D. msinα
8. 如图所示，在边长相同的小正方形组成的网格中，两条经过格点的线段相交所成的锐角为α，则夹角α的正弦值为( )
A. 12
B. 22
C. 32
D. 1
9. 如图，在Rt▵ABC中，∠C=90∘，AC=4，tanA=12，则BC的长度为．( )
A. 2
B. 8
C. 43
D. 45
10. 如图，一条河的两岸互相平行，为了测量河的宽度PT(PT与河岸PQ垂直)，测量得P，Q两点间距离为m米，∠PQT=α，则河宽PT的长为( )
A. msinα B. mcosα C. mtanα D. mtanα
11. 如图是拦水坝的横断面，斜坡AB的水平宽度为12米，斜面坡度为1︰2，则斜坡AB的长为( )
A. 43米 B. 65米 C. 125米 D. 24米
12. 如图是长春市人民大街下穿隧道工程施工现场的一台起重机的示意图，该起重机的变幅索顶端记为点A，变幅索的底端记为点B，AD垂直地面，垂足为点D，BC⊥AD，垂足为点C.设∠ABC=α，下列关系式正确的是( )
A. sinα=ABBC B. sinα=BCAB C. sinα=ABAC D. sinα=ACAB
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
13. 在Rt△ABC中，∠C=90∘，AB=5，BC=4，则cosA= ．
14. 计算：(−2)2×2−2−|3tan30°−3|+20190=______．
15. 如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，点F、G分别为AB、AD边的中点，连接FG交AE于点H，若FG=12，AD=13，则tan∠AHG的值为______．
16. 如图，小明想要测量学校操场上旗杆AB的高度，他作了如下操作：(1)在点C处放置测角仪，测得旗杆顶的仰角∠ACE=30°；(2)量得测角仪的高度CD=a；(3)量得测角仪到旗杆的水平距离DB=b.利用锐角三角函数解直角三角形的知识，旗杆的高度可表示为______．
三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 在△ABC中，∠C=90∘，AC=2，BC=1，求cosA和cosB的值．
18. 计算：|−3|+π0−2cos30。．
19. (1)计算：(π−2022)0+2cos30°−|2−3|−(12)−2；
(2)解不等式组：x−7<4x+2x+53≥x+32．
20. 计算：(12)−1+(π−3.14)0−2sin30°+25．
21. 如图，已知四边形ABCD为矩形，AB=22，BC=4，点E在BC上，CE=AE，将△ABC沿AC翻折到△AFC，连接EF．
(1)求EF的长；
(2)求sin∠CEF的值．
22. 某市大力建设5G基站．如图，在坡度i=1：2.4的斜坡CB上有一建成的基站塔AB，在坡脚C处测得塔顶A的仰角为45°，沿坡面CB从C处行走13m到达D处，在D处测得塔顶A的仰角为53°.(点A，B，C，D均在同一平面内；参考数据：sin53°≈45，cos53°≈35，tan53°≈43)
(1)求D处的竖直高度；
(2)求基站塔AB的高度．
23. 2022年在北京举办第24届冬季奥运会，很多学校都开展了冰雪项目学习．如图，滑雪轨道由AB，BC两部分组成，AB，BC的长度都为200米，一位同学乘滑雪板沿此轨道由点A滑到点C.若AB与水平面的夹角α为20°，BC与水平面的夹角β为45°，求他下降的高度．(sin20°≈0.34,cos20°≈0.94,tan20°≈0.36,2≈1.41)
24. 某小区准备购入一架滑梯供小区儿童使用，物业选定了左图的滑梯，但受小区儿童区域场地的限制，需知晓滑梯的水平长度．滑梯的截面如右图所示，已知梯子AE长度为3m，坡度为57°，顶台DE//AB，且长度为1m，滑坡BD的坡度i=1：3.2，滑梯的缓冲长度BC为1.5m，求滑梯的水平长度AC.(结果精确到0.1m.参考数据：sin57°≈0.84，cos57°≈0.55，tan57°≈1.54)
25. 在四边形ABCD中，∠DAB和∠ABC的平分线AE、BE交于CD边上的点E.且AE⊥BE，AD=DE．
(1)求证：四边形ABCD是平行四边形；
(2)连BD，当四边形ABCD是矩形时，求tan∠ABD的值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：如图所示：∵sinA=23，BC=4，
∴sinA=BCAB=23=4AB，
解得：AB=6．
故选：A．
直接利用已知画出直角三角形，再利用锐角三角函数关系得出答案．
此题主要考查了锐角三角函数定义，正确画出直角三角形是解题关键．
2.【答案】C
【解析】解：在Rt△ACB中，
∵sinB=ACAB=6AB=0.5，
∴AB=12，
∴BC=AB2−AC2
=144−36
=63．
故选：C．
根据题意，先求出AB，再利用勾股定理求出BC．
本题考查了锐角三角函数，涉及勾股定理，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查锐角三角函数的增减性，属于基础题，比较简单．
【解答】
解：Rt△ABC，∠C=90°，
故∠A、∠B是锐角，∠A>∠B，
∴a>b，
∵sinA=ac，sinB=bc，cosA=bc，cosB=ac，tanA=ab，tanB=ba
故sinA>sinB，cosA
故选B．
4.【答案】B
【解析】解：作AE⊥BC，
∵BE=4，AE=2，
∴AB=25，
∴cos∠ABC=BEAB=425=255，
故选：B．
根据锐角三角函数的定义直接得出cos∠ABC等于BEAB，再求出即可．
此题主要考查了锐角三角函数的定义以及勾股定理，根据题意得出cos∠ABC=BEAB是解决问题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：由勾股定理得，
AC=AB2−BC2=12，
∴sinB=ACAB=1215=45，
故选：A．
由勾股定理求出AC，再根据锐角三角函数的定义进行计算即可．
本题考查锐角三角函数，掌握锐角三角函数的意义和勾股定理是解决问题的关键．
6.【答案】B
【解析】略
7.【答案】B
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，OC=12AC，
∴cosα=ABAC= mAC，
∴AC= mcosα，
∴OC=12AC= m2cosα，
故选：B．
根据矩形的性质和三角函数的定义即可得到结论．
本题考查了矩形的性质，解直角三角形，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：如图，设AB与CD交于点E，过点C作CF//AB，连接DF，
∵CF//AB，
∴∠C=∠AEC=α，
设小正方形的边长为1，
根据勾股定理可得CD2=12+32=10，
DF2=12+22=5，
CF2=12+22=5，
∴CD2=CF2+DF2，DF=CF，
∴△CDF为等腰直角三角形，
∴∠C=45°，
∴sinC=22，
∴夹角α的正弦值为22．
故选：B．
如图，设AB与CD交于点E，过点C作CF//AB，连接DF，可得∠C=∠AEC=α，设小正方形的边长为1，然后根据勾股定理及逆定理可得△CDF为等腰直角三角形，从而得到∠C=45°，即可求解．
本题主要考查了勾股定理及其逆定理，锐角三角函数，根据题意作适当辅助线构造出直角三角形是解题关键．
9.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了锐角三角函数和解直角三角形，熟练掌握正切的定义是解决本题的关键．
【解答】
在Rt△ABC中，∠C=90∘，AC=4，
tanA=12=BCAC=BC4，
所以BC=2，
故选A．
10.【答案】C
【解析】解：由题意得：
PT⊥PQ，
∴∠APQ=90°，
在Rt△APQ中，PQ=m米，∠PQT=α，
∴PT=PQ⋅tanα=mtanα(米)，
∴河宽PT的长度是mtanα米，
故选：C．
根据垂直定义可得PT⊥PQ，然后在Rt△PQT中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
11.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据坡角构造直角三角形，利用三角函数的知识求解．
根据斜面坡度为1︰2，AE=12m，得出BE=6m，利用勾股定理即可得出结果．
【解答】
解：过点B作BE垂直于AD，
∵斜面坡度为1︰2，AE=12m，
∴BE=6m，
则AB=AE2+BE=122+62=65(m)．
故选B．
12.【答案】D
【解析】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=α，由锐角三角函数的定义可知，
sinα=sin∠ABC=ACAB，
故选：D．
根据直角三角形的边角关系进行判断即可．
本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确判断的前提．
13.【答案】35
【解析】略
14.【答案】−12
【解析】解：原式=2×14−|3×33−3|+1
=12−|1−3|+1
=12−2+1
=−12，
故答案为：−12．
利用二次根式的性质，负整数指数幂的意义，特殊角的三角函数值，绝对值的意义，和零指数幂的意义化简运算即可．
本题主要考查了实数的运算，二次根式的性质，负整数指数幂的意义，特殊角的三角函数值，绝对值的意义，和零指数幂的意义，正确利用上述法则与性质进行运算是解题的关键．
15.【答案】125
【解析】解：如图，连接BD交AE于N，连接AC，交BD于点O，
∵点F、G分别为AB、AD边的中点，
∴BD=2FG=24，BD//FG，
∴∠AGH=∠ADN，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO=CO，BO=DO=12，
∴AO=AD2−DO2=169−144=5，
∵∠ADN+∠DAO=90°，∠AGH+∠AHG=90°，
∴∠ADN=∠AHG，
∴tan∠AHG=tan∠DAO=DOAO=125，
故答案为：125．
由三角形中位线定理可得BD=2FG=24，BD//FG，∠AGH=∠ADN，由菱形的性质和勾股定理可求AO=5，即可求解．
本题考查了菱形的性质，三角形中位线定理，勾股定理，锐角三角函数等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
16.【答案】a+33b
【解析】解：延长CE交AB于点F，
则CD=BF=a，DB=CF=b，∠CFA=90°，
在Rt△ACF中，∠ACF=30°，
∴AF=CF⋅tan30°=33b，
∴AB=AF+BF=a+33b，
∴旗杆的高度可表示为：a+33b，
故答案为：a+33b.
延长CE交AB于点F，则CD=BF=a，DB=CF=b，∠CFA=90°，然后在Rt△ACF中，利用锐角三角函数的定义求出AF的长，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
17.【答案】解：∵∠C=90∘，AC=2，BC=1，
∴AB=AC2+BC2=22+12= 5．
∴cosA=ACAB=25=255，
cosB=BCAB=15=55．
【解析】见答案
18.【答案】解：原式=3+1−2×32
=3+1−3
=1．
【解析】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
直接利用绝对值的性质以及零指数幂的性质和特殊角的三角函数值分别化简得出答案．
19.【答案】解：(1)(π−2022)0+2cos30°−|2−3|−(12)−2
=1−2×32−(2−3)−4
=1−3−2+3−4
=−5；
(2)x−7<4x+2①x+53≥x+32②，
解不等式①得：x>−3，
解不等式②得：x≤1，
∴原不等式组的解集为：−3
(2)按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了解一元一次不等式组，实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
20.【答案】解：原式=2+1−2×12+5
=2+1−1+5
=7．
【解析】直接利用特殊角的三角函数值以及零指数幂的性质、二次根式的性质、负整数指数幂的性质分别化简得出答案．
此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
21.【答案】解：(1)∵CE=AE，
∴∠ECA=∠EAC，
根据翻折可得：∠ECA=∠FCA，∠BAC=∠CAF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴DA//CB，
∴∠ECA=∠CAD，
∴∠EAC=∠CAD，
∴∠DAF=∠BAE，
∵∠BAD=90°，
∴∠EAF=90°，
设CE=AE=x，则BE=4−x，
在△BAE中，根据勾股定理可得：
BA2+BE2=AE2，
即：(22)2+(4−x)2= x2，
解得：x=3，
在Rt△EAF中，EF=AF2+AE2=17．
(2)过点F作FG⊥BC交BC于点G，
设CG=x，则GB=3−x，
∵FC=4，FE=17，
∴FG2=FC2−CG2=FE2−EG2，
即：16−x2=17−(3−x)2，
解得：x=43，
∴FG=FC2−CG2=823，
∴sin∠CEF=FGEF=83451．
【解析】(1)根据翻折变换的特点和勾股定理结合方程思想解答即可；
(2)根据锐角三角函数的定义，利用勾股定理解答即可．
本题主要考查了矩形的性质，翻折变换，勾股定理，锐角三角函数，熟练掌握这些性质特点是解答本题的关键．
22.【答案】解：(1)延长AB与水平线交于点F，过点D作DM⊥CF于点M，DE⊥AF于点E，
∵斜坡BC的坡度为i=1：2.4，
∴DMCM=12.4=512，
设DM=5x m，则CM=12x m，
在Rt△CDM中，CD=13m，
由勾股定理得，(5x)2+(12x)2=132，
解得x=1，
∴DM=5m，CM=12m，
∴D处的竖直高度为5m．
(2)∵斜坡BC的坡度为i=1：2.4，
∴设BN=5a m，则DN=12a m，
∵∠ACF=45°，
∴AF=CF=(12+12a)m，
∴AN=AF−NF=12+12a−5=(7+12a)m，
在Rt△ADN中，tan∠ADN=tan53°=7+12a12a≈43，
解得a=74，
∴AN=28m，BN=354m，
∴AB=AN−BN=774m.
∴基站塔AB的高度约为774m.
【解析】(1)延长AB与水平线交于点F，过点D作DM⊥CF于点M，DE⊥AF于点E，由题意得DMCM=12.4=512，设DM=5x m，则CM=12xm，在Rt△CDM中，CD=13m，由勾股定理得(5x)2+(12x)2=132，解得x=1，即可得出答案．
(2)设BN=5a m，则DN=12am，则AF=CF=(12+12a)m，AN=AF−NF=(7+12a)m，在Rt△ADN中，tan∠ADN=tan53°=7+12a12a≈43，解得a=74，则AN=28m，BN=354m，由AB=AN−BN可得出答案．
本题考查解直角三角形的应用−仰角俯角问题、坡度坡角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
23.【答案】解：如图，过点A作AE⊥BD于点E，过点B作BG⊥CF于点G，
在Rt△ABE中，∵sinα=AEAB，
∴AE=AB⋅sin20°≈68(米)．
在Rt△BCG中，∵sinβ=BGBC，
∴BG=BC⋅sin45°≈141(米)，
则AE+BG=209(米)，
答：他下降的高度约为209米．
【解析】直接构建直角三角形，利用锐角三角函数关系分别得出AE，BG的长，进而得出答案．
此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握锐角三角函数关系是解题关键．
24.【答案】解：作ME⊥AC于M，DN⊥AC于N，则四边形MNDE为矩形，
则MN=DE=1，EM=DN，
在Rt△AEM中，∠EAM=57°，AE=3，
∴EM=AE×sin57°≈3×0.84=2.52(m)，
AM=AE×cos57°≈3×0.55=1.65(m)，
在Rt△DNB中，i=1：3.2，即DNBN=13.2，
∴BN=2.52×3.2=8.064(m)，
又∵BC=1.5m，
∴AC=AM+MN+NB+BC=1.65+1+8.064+1.5=12.214≈12.2(m)，
答：AC的长度约为12.2m．
【解析】直接利用坡角的定义结合锐角三角函数关系得出BN，AM，EM的长，进而得出答案．
此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握锐角三角函数关系是解题关键．
25.【答案】(1)证明：∵AE平分∠DAB，
∴∠DAE=∠EAB，
∵DA=DE，
∴∠DAE=∠DEA，
∴∠DEA=∠EAB，
∴DC//AB，
∵AE⊥BE，
∴∠EAB+∠EBA=90°，
∵AE平分∠DAB，BE平分∠CBA，
∴∠DAE+∠CBE=90°，
∴∠DAB+∠CBA=180°，
∴DA//CB，
又∵DC//AB，
∴四边形ABCD是平行四边形；
(2)解：∵四边形ABCD是矩形，AD=DE，
∴∠DAE=∠DEA=45°，
∴△DAE为等腰直角三角形，
∵∠DAB=90°，
∴∠EAB=∠EBA=45°，
∵∠CBA=90°，
∴∠EBC=45°，
∴△EBC为等腰直角三角形，
∴△DAE≌△CEB(SAS)，
设DA=DE=CE=CB=a，
∴AB=2a，
在Rt△DAB中，tan∠ABD=a2a=12．
故答案为：12．
【解析】(1)根据平行四边形的判定定理解答即可；
(2)根据全等三角形的判定和锐角三角函数解答即可．
本题主要考查了平行四边形的判定定理和锐角三角函数，熟练掌握相关性质定理是解题的关键．
相关资料
更多
