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【期中模拟】湘教版数学九年级上册--期中测试卷（标准难度）（含答案）
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这是一份【期中模拟】湘教版数学九年级上册--期中测试卷（标准难度）（含答案），共19页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
湘教版初中数学九年级上册期中测试卷
考试范围：第一.二.三章；考试时间：120分钟；总分120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 若点A(3,4)是反比例函数y=kx(k≠0)的图象上的一点，则下列说法正确的是( )
A. 图象位于第二、四象限 B. 当x<0时，y随x的增大而减小
C. 点(2,−6)在函数图象上 D. 当y≤4时，x≥3
2. 如图所示，在直角平面坐标系xOy中，点A、B、C为反比例函数y=kx(k>0)上不同的三点，连接OA、OB、OC，过点A作AD⊥y轴于点D，过点B、C分别作BE，CF垂直x轴于点E、F，OC与BE相交于点M，记△AOD、△BOM、四边形CMEF的面积分别为S1、S2、S3，则( )
A. S1=S2+S3 B. S2=S3 C. S3>S2>S1 D. S1S2
A. 4
B. 5
C. 6
D. 8
4. 研究发现，近视镜的度数y(度)与镜片焦距x(米)成反比例函数关系，小明佩戴的400度近视镜片的焦距为0.25米，经过一段时间的矫正治疗加之注意用眼健康，现在镜片焦距为0.4米，则小明的近视镜度数可以调整为( )
A. 300度 B. 500度 C. 250度 D. 200度
5. 公元9世纪，阿拉伯数学家花拉子米在其著作《代数学》中提到构造图形来寻找某个一元二次方程的解的方法：先构造边长为x正方形ABCD，再分别以BC，CD为边作另一边长为5的长方形，最后得到四边形AIFH是面积为64的正方形，如图所示，花拉子米寻找的是下列哪个一元二次方程的解．( )
A. x2+10x=25 B. x2+10x=64 C. x2+10x=39 D. x2+10x=99
6. 已知a、b、m、n为互不相等的实数，且(a+m)(a+n)=2，(b+m)(b+n)=2，则ab−mn的值为( )
A. 4 B. 1 C. −2 D. −1
7. 已知x1，x2是方程2x2+5x−2=0的两个实数根，则x12+x22的值是( )
A. −34 B. 1 C. 134 D. 9
8. 如图，在▱ABCD中，E为AB延长线上一点，F为AD上一点，∠DEF=∠C.若DE=4，AF=73，则BC的长是( )
A. 163 B. 92 C. 6 D. 214
9. 如图，AG：GD=4：1，BD：DC=2：3，则AE：EC的值是( )
A. 3：2 B. 4：3 C. 6：5 D. 8：5
10. 图1是装了液体的高脚杯示意图(数据如图)，用去一部分液体后如图2所示，此时液面AB=( )
A. 1cm B. 2cm C. 3cm D. 4cm
11. 如图所示，在□ABCD中，AC，BD相交于点O，E是OA的中点，连接BE并延长交AD于点F，已知S△AEF=4，则下列结论：①AFFD=12；②S△BCE=36；③S△ABE=12；④△AEF∽△ACD.其中一定正确的是( )
A. ①②③④ B. ①④ C. ②③④ D. ①②③
12. 如图，在△ABC中，如果DE与BC不平行，那么下列条件中，不能判断△ADE∽△ACB的是( )
A. ∠ADE=∠C
B. ∠AED=∠B
C. ADAB=DEBC
D. ADAC=AEAB
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
13. 直线y=k1x与双曲线y=k2x相交于点P，Q，若点P的坐标为(−1,2)，则点Q的坐标为 ．
14. 关于x的一元二次方程xm+2+2x−n=0有两个相等的实数根，则(13)m+(12)n的值为______．
15. 规定：a⊗b=(a+b)b，如：2⊗3=(2+3)×3=15，若2⊗x=3，则x= ．
16. 如图，在△ABC中，AB=9，AC=6，D为AB边上一点，且△ABC∽△ACD，则AD=______．
三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题8.0分)
如图，某反比例函数图象的一支经过点A(2,3)和点B(点B在点A的右侧)，作BC⊥y轴，垂足为C，连接AB，AC．
(1)求该反比例函数的表达式;
(2)若△ABC的面积为6，求直线AB的表达式．
18. (本小题8.0分)
如图，一次函数y=k1x+3的图象与坐标轴相交于点A(−2,0)和点B，与反比例函数y=k2x(x>0)相交于点C(2,m)．
(1)求出一次函数与反比例函数的解析式；
(2)若点P是反比例函数图象上的一点，连接CP并延长，交x轴正半轴于点D，若PD：CP=1：2时，求△COP的面积．
19. (本小题8.0分)
已知关于x的方程x2+2(m−2)x+m2+4= 0有两个实数根，且这两根的平方和比两根的积大21，求m的值．
20. (本小题8.0分)
已知关于x的方程x2−4mx+4m2−9=0．
(1)求证：该方程总有两个不相等的实数根;
(2)若该方程有一个根为−1，求m的值．
21. (本小题8.0分)
关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0．
(1)当b=a+2时，利用根的判别式判断方程根的情况；
(2)若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a，b的值，并求此时方程的根．
22. (本小题8.0分)
已知关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0．
(1)当b=a+2时，利用根的判别式判断方程根的情况;
(2)若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a，b的值，并求此时方程的根．
23. (本小题8.0分)
如图，△ABC中，D.E分别是AB、AC上的点，且BD=2AD，CE=2AE．
(1)求证：△ADE∽△ABC；
(2)若DF=2，求FC的长度．
24. (本小题8.0分)
以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格，图中的点A、B、C、D均在格点上．
(1)在图①中，PC：PB=______．
(2)利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法．
①如图②，在AB上找一点P，使AP=3．
②如图③，在BD上找一点P，使△APB∽△CPD．
25. (本小题8.0分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC三个顶点坐标分别为A(−2,4)，B(−2,1)，C(−5,2)．
(1)请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
(2)将△A1B1C1的三个顶点的横坐标与纵坐标同时乘以−2，得到对应的点A2，B2，C2，请画出△A2B2C2；
(3)△A2B2C2是△A1B1C1的位似图形吗？如果是，请写出位似中心的坐标；
(4)设△A1B1C1的面积为S1，△A2B2C2的面积为S2，求△A1B1C1与△A2B2C2的面积比，即S1：S2．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：∵点A(3,4)是反比例函数y=kx(k≠0)的图象上的一点，
∴k=xy=3×4=12，
∴此反比例函数的表达式为y=12x．
A.因为k=12>0，所以此函数的图象位于第一、三象限，故本选项说法错误;
B.因为k=12>0，所以在每一象限内，y随x的增大而减小，故本选项说法正确;
C.因为2 ×(−6)=−12≠12，所以点(2,−6)不在此函数的图象上，故本选项说法错误;
D.当y≤4时，y=12x≤4，解得x<0或x≥3，故本选项说法错误；
故选 B．
2.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了反比例函数系数k的几何意义，正确的识别图形是解题的关键．
根据反比例函数系数k的几何意义得到S2=S3，S2
解：∵点A、B、C为反比例函数y=kx(k>0)上不同的三点，
AD⊥y轴，BE，CF垂直x轴于点E、F，
∴S1=12k，S△BOE=S△COF=12k，
∵S△BOE−S△OME=S△COF−S△OME，
∴S2=S3，S3
而C，D选项显然错误，
故选：B．
3.【答案】B
【解析】略
4.【答案】C
【解析】解：设函数的解析式为y=kx(x>0)，
∵400度近视眼镜镜片的焦距为0.25米，
∴k=400×0.25=100，
∴解析式为y=100x，
∴当y=0.4时，x=1000.4=250(度)，
答：小明的近视镜度数可以调整为250度，
故选：C．
设函数的解析式为y=kx(x>0)，由x=400时，y=0.25可求k，进而可求函数关系式，然后把y=0.4代入解析式即可求得答案．
本题考查了反比例函数的应用，正确地求出反比例函数的解析式是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了一元二次方程的应用，能根据题意得出方程是解此题的关键．
根据正方形的面积得出方程，再整理即可．
【解答】
解：∵四边形AIFH是面积为64的正方形，
∴(x+5)2=64，
整理得：x2+10x=39，
故选：C．
6.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2=−ba，x1x2=ca.先把已知条件变形得到a2+(m+n)a+mn−2=0，b2+(m+n)b+mn−2=0，则可把a、b看作方程x2+(m+n)x+mn−2=0的两实数根，利用根与系数的关系得到ab=mn−2，从而得到ab−mn的值．
【解答】
解：∵(a+m)(a+n)=2，(b+m)(b+n)=2，
∴a2+(m+n)a+mn−2=0，b2+(m+n)b+mn−2=0，
而a、b、m、n为互不相等的实数，
∴a、b看作方程x2+(m+n)x+mn−2=0的两实数根，
∴ab=mn−2，
∴ab−mn=−2．
故选：C．
7.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于−ba、两根之积等于ca是解题的关键．
根据根与系数的关系可得出x1+x2=−52、x1x2=−1，将其代入x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2中即可求出结论．
【解答】
解：∵x1，x2是方程2x2+5x−2=0的两个实数根，
∴x1+x2=−52，x1x2=−1，
∴x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2=(−52)2−2×(−1)=134．
故选：C．
8.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了平行四边形的性质及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．
由平行四边形的性质得出AD=BC，∠A=∠C，结合已知得出△DFE∽△DEA，利用相似三角形的性质结合题意求出AD的长度，即可得出BC的长度．
【解答】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，∠A=∠C，
∵∠DEF=∠C，
∴∠DEF=∠A，
∵∠EDF=∠ADE，
∴△DFE∽△DEA，
∴DEDF=ADDE，
∵DE=4，AF=73，
∴DF=AD−AF=AD−73，
∴4AD−73=AD4，
∴42=(AD−73)⋅AD，
∴AD=163或AD=−3(舍去)，
∴BC的长是163，
故选：A．
9.【答案】D
【解析】解：过点D作DF//CA交BE于F，如图，
∵DF//CE，
∴DFCE=BDBC，
而BD：DC=2：3，
∴DFCE=25，则CE=52DF，
∵DF//AE，
∴DFAE=DGAG，
∵AG：GD=4：1，
∴DFAE=14，则AE=4DF，
∴AEEC=4DF52DF=85．
故选：D．
过点D作DF//CA交BE于F，如图，利用平行线分线段成比例定理，得到DFCE=BDBC=25，DFAE=DGAG=14，则CE=52DF，AE=4DF，然后计算AEEC的值．
本题考查了平行线分线段成比例．
10.【答案】C
【解析】解：如图：过O作OM⊥CD，垂足为M，过O作ON⊥AB，垂足为N，
∵CD//AB，
∴△CDO∽ABO，即相似比为CDAB，
∴CDAB=OMON，
∵OM=15−7=8，ON=11−7=4，
∴CDAB=OMON=6AB=84，
∴AB=3，
故选：C．
高脚杯前后的两个三角形相似．根据相似三角形的判定和性质即可得出结果．
本题考查相似三角形的应用，解本题的关键熟练掌握相似三角形的判定与性质．
11.【答案】D
【解析】解：∵在▱ABCD中，AO=12AC，
又∵点E是OA的中点，
∴AE=13CE，
∵AD//BC，
∴△AFE∽△CBE，
∴AFBC=AECE=13，
∵AD=BC，
∴AF=13AD，
∴AFFD=12；故①正确；
∵S△AEF=4，S△AEFS△BCE=(AFBC)2=19，
∴S△BCE=36；故②正确；
∵EFBE=AECE=13，
∴S△AEFS△ABE=13，
∴S△ABE=12，故③正确；
∵BF不平行于CD，
∴△AEF与△ADC只有一个角相等，
∴△AEF与△ACD不一定相似，故④错误，
故选：D．
根据相似三角形的判定和性质和平行四边形的性质，解答即可
本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
12.【答案】C
【解析】
【分析】
根据相似三角形的判定方法：(1)三组对应边的比相等的两个三角形相似；(2)两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；(3)有两组角对应相等的两个三角形相似，结合选项进行判断即可．
此题考查了相似三角形的判定，属于基础题，关键是掌握相似三角形的几种判定定理．
【解答】
解：A、∠ADE=∠C，∠A=∠A，则可判断△ADE∽△ACB，故本选项错误；
B、∠B=∠AED，∠A=∠A，则可判断△ADE∽△ACB，故本选项错误；
C、ADAB=DEBC，该比例不是使△ADE∽△ACB的对应边所成的比例，故本选项正确；
D、ADAC=AEAB，∠A=∠A，则可判断△ADE∽△ACB，故本选项错误．
故选：C．
13.【答案】(1,−2)
【解析】略
14.【答案】3
【解析】解：∵xm+2+2x−n=0是关于x的一元二次方程，
∴m+2=2，
∴m=0，
∵x2+2x−n=0有两个相等的实数根，
∴Δ=0即22−4×1×(−n)=0，
∴n=−1，
∴(13)m+(12)n=(13)0+(12)−1=1+2=3，
故答案为：3．
由xm+2+2x−n=0是关于x的一元二次方程，可得m=0，根据x2+2x−n=0有两个相等的实数根，可得n=−1，即可得(13)m+(12)n=3．
本题考查一元二次方程的概念及根的判别式，解题的关键是求出m、n的值．
15.【答案】1或−3
【解析】解：依题意得(2+x)x=3，
整理，得x2+2x=3，
因此x2+2x+1=3+1，即(x+1)2=4，
直接开平方，得x+1=±2，
解得x=1或x=−3．
16.【答案】4
【解析】
【分析】
本题考查了相似三角形的性质，正确掌握相关性质是解题关键．
根据相似三角形的对应边成比例解答即可．
【解答】
解：∵△ABC∽△ACD，
∴ABAC=ACAD，
∵AB=9，AC=6，
∴96=6AD，
解得：AD=4．
故答案为4．
17.【答案】解：(1)设反比例函数的表达式为y=kx．
由题意得k=xy=2×3=6，∴反比例函数的表达式为y=6x．
(2)设点B坐标为(a,b)，过点A作AD⊥BC于点D，则D(2,b)．
∵反比例函数y=6x的图象经过点B(a,b)，∴b=6a．∴AD=3−6a．
∴S△ABC=12BC⋅AD=12a(3−6a)=6.解得a=6．
∴b=6a=1．∴B(6,1)．
设直线AB的表达式为y=mx+n，将A(2,3)，B(6,1)的坐标代入，
得2m+n=3,6m+n=1,解得m=−12,n=4.
∴直线AB的表达式为y=−12x+4．
【解析】见答案
18.【答案】解：(1)∵一次函数y=k1x+3的图象与坐标轴相交于点A(−2,0)，
∴−2k1+3=0，解得k1=32，
∴一次函数为：y=32x+3，
∵一次函数y=32x+3的图象经过点C(2,m)．
∴m=32×2+3=6，
∴C点坐标为(2,6)，
∵反比例函数y=k2x(x>0)经过点C，
∴k2=2×6=12，
∴反比例函数为：y=12x；
(2)作CE⊥OD于E，PF⊥OD于F，
∴CE//PF，
∴△PFD∽△CED，
∴PFCE=PDCD，
∵PD：CP=1：2，C点坐标为(2,6)，
∴PD：CD=1：3，CE=6，
∴PF6=13，
∴PF=2，
∴P点的纵坐标为2，
把y=2代入y2=12x求得x=6，
∴P(6,2)，
设直线CD的解析式为y=ax+b，
把C(2,6)，P(6,2)代入得2a+b=66a+b=2，解得a=−1b=8，
∴直线CD的解析式为y=−x+8，
令y=0，则x=8，
∴D(8,0)，
∴OD=14，
∴S△COP=S△COD−S△POD=12×8×6−12×8×2=16．
【解析】(1)用待定系数法即可求解；
(2)证明△PFD∽△CED，则PFCE=PDCD，而PD：CP=1：2，C点坐标为(2,6)，利用S△COP=S△COD−S△POD，即可求解．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点，当有两个函数的时候，着重使用一次函数，体现了方程思想，综合性较强．
19.【答案】解：设方程x2+2(m−2)x+m2+4=0的两个实数根为x1，x2，
则有x1+x2=2(2−m)， x1x2=m2+4．
∵这两根的平方和比两根的积大21，
∴x12+x22−x1x2=21，即(x1+x2)2− 3x1x2=21，
∴4(m−2)2−3(m2+4)=21，
解得m=17，或m=−1，
由题意知Δ=4(m−2)2− 4(m2+4)≥0，
解得m≤0，
故m=17应舍去.
∴m=−1．
【解析】本题考查的是一元二次方程的根与系数的关系，根的判别式以及一元二次方程的解法.先设方程x2+2(m−2)x+m2+4=0的两个实数根为x1，x2，根据根与系数的关系得到x1+x2=2(2−m)， x1x2=m2+4，再根据这两根的平方和比两根的积大21得到关于m的方程，求出m的值，再根据根的判别式得到能使方程有解得m的值即可．
20.【答案】解：(1)证明：Δ=(−4m)2−4×1×(4m2−9)=36>0，
∴方程总有两个不相等的实数根．
(2)把x=−1代入原方程，得4m2+4m−8=0，
即m2+m−2=0，
∵a=1，b=1，c=−2，
Δ=12+8=9>0，
∴m=−1±32
解得m1=1，m2=−2．
【解析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根的判别式．
(1)计算Δ，可得判别式的值为36，由此可得结论；
(2)将一个根据x=−1代入可得关于m的一元二次方程，然后再用求根公式解答即可．
21.【答案】解：(1)a≠0，
△=b2−4a=(a+2)2−4a=a2+4a+4−4a=a2+4，
∵a2>0，
∴△>0，
∴方程有两个不相等的实数根；
(2)∵方程有两个相等的实数根，
∴△=b2−4a=0，
若b=2，a=1，则方程变形为x2+2x+1=0，解得x1=x2=−1．
(本题答案不唯一)
【解析】(1)计算判别式的值得到△=a2+4，则可判断△>0，然后根据判别式的意义判断方程根的情况；
(2)利用方程有两个相等的实数根得到△=b2−4a=0，设b=2，a=1，方程变形为x2+2x+1=0，然后解方程即可(本题答案不唯一)．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2−4ac有如下关系：当△>0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△<0时，方程无实数根．
22.【答案】解：(1)∵a≠0，b=a+2，c=1，
∴Δ=b2−4a=(a+2)2−4a=a2+4a+4−4a=a2+4，
∵a2>0，
∴Δ>0，
∴方程有两个不相等的实数根；
(2)∵方程有两个相等的实数根，
∴Δ=b2−4a=0，
若b=2，a=1，则方程变形为x2+2x+1=0，
解得x1=x2=−1(a,b取值不唯一)．
【解析】本题主要考查了根的判别式，解答本题的关键是掌握利用根的判别式判定一元二次方程的根的情况的思路与方法．
(1)求出根的判别式的值，根据根的判别式的值的情况即可判断方程根的情况；
(2)根据方程有两个相等的实数根，得出Δ=b2−4a=0，不妨令b=2，a=1，得到方程x2+2x+1=0，解这个方程，即可求解．
23.【答案】(1)证明：∵BD=2AD，CE=2AE，
∴ADAB=AEAC=13，
又∵∠DAE=∠BAC，
∴△ADE∽△ABC；
(2)解：∵△ADE∽△ABC，
∴DEBC=ADAB=13，∠ADE=∠ABC，
∴DE//BC，
∴△DEF∽△CBF，
∴DFCF=DECB，即2CF=13，
∴FC=6．
【解析】本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行线的判定．
(1)由BD=2AD，CE=2AE可得出ADAB=AEAC，结合∠DAE=∠BAC可证出△ADE∽△ABC；
(2)由△ADE∽△ABC，利用相似三角形的性质可得出DEBC=13及∠ADE=∠ABC，利用“同位角相等，两直线平行”可得出DE//BC，进而可得出△DEF∽△CBF，再利用相似三角形的性质可求出FC的长．
24.【答案】解：(1)1：3．
(2)
①如图2所示，点P即为所要找的点；
②如图3所示，作点A的对称点A′，
连接A′C，交BD于点P，
点P即为所要找的点，
∵AB//CD，
∴△APB∽△CPD．
【解析】
【分析】
本题考查了作图−相似变换，解决本题的关键是掌握相似三角形的判定方法．
(1)根据两条直线平行，对应线段成比例即可得结论；
(2)①根据勾股定理得AB的长为5，再根据相似三角形的判定方法即可找到点P；
②作点A的对称点A′，连接A′C与BD的交点即为要找的点P，使△APB∽△CPD．
【解答】
解：(1)图1中，
∵AB//CD，
∴PCPB=CDAB=13，
故答案为1：3．
(2)见答案．
25.【答案】解：(1)如图所示：△A1B1C1，即为所求；
(2)如图所示：△A2B2C2，即为所求；
(3)∵将△A1B1C1的三个顶点的横坐标与纵坐标同时乘以−2，得到△A2B2C2，
∴△A1B1C1∽△A2B2C2，
∴△A2B2C2是△A1B1C1的位似图形，位似中心的坐标为(0,0)；
(4)将△A1B1C1的三个顶点的横坐标与纵坐标同时乘以−2，得到△A2B2C2，
∴相似比为：1：2，
则S△A1B1C1：S△A2B2C2=1：4．
即S1：S2=1：4．
【解析】(1)直接利用关于x轴对称点的性质得出对应点位置进而得出答案；
(2)直接利用将△A1B1C1的三个顶点的横坐标与纵坐标同时乘以−2，得出各对应点，进而得出答案；
(3)根据位似图形的定义即可得到结论；
(4)利用位似图形的性质得出答案．
此题主要考查了轴对称变换和位似变换以及位似图形的性质，正确得出对应点位置是解题关键．
湘教版初中数学九年级上册期中测试卷
考试范围：第一.二.三章；考试时间：120分钟；总分120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 若点A(3,4)是反比例函数y=kx(k≠0)的图象上的一点，则下列说法正确的是( )
A. 图象位于第二、四象限 B. 当x<0时，y随x的增大而减小
C. 点(2,−6)在函数图象上 D. 当y≤4时，x≥3
2. 如图所示，在直角平面坐标系xOy中，点A、B、C为反比例函数y=kx(k>0)上不同的三点，连接OA、OB、OC，过点A作AD⊥y轴于点D，过点B、C分别作BE，CF垂直x轴于点E、F，OC与BE相交于点M，记△AOD、△BOM、四边形CMEF的面积分别为S1、S2、S3，则( )
A. S1=S2+S3 B. S2=S3 C. S3>S2>S1 D. S1S2
A. 4
B. 5
C. 6
D. 8
4. 研究发现，近视镜的度数y(度)与镜片焦距x(米)成反比例函数关系，小明佩戴的400度近视镜片的焦距为0.25米，经过一段时间的矫正治疗加之注意用眼健康，现在镜片焦距为0.4米，则小明的近视镜度数可以调整为( )
A. 300度 B. 500度 C. 250度 D. 200度
5. 公元9世纪，阿拉伯数学家花拉子米在其著作《代数学》中提到构造图形来寻找某个一元二次方程的解的方法：先构造边长为x正方形ABCD，再分别以BC，CD为边作另一边长为5的长方形，最后得到四边形AIFH是面积为64的正方形，如图所示，花拉子米寻找的是下列哪个一元二次方程的解．( )
A. x2+10x=25 B. x2+10x=64 C. x2+10x=39 D. x2+10x=99
6. 已知a、b、m、n为互不相等的实数，且(a+m)(a+n)=2，(b+m)(b+n)=2，则ab−mn的值为( )
A. 4 B. 1 C. −2 D. −1
7. 已知x1，x2是方程2x2+5x−2=0的两个实数根，则x12+x22的值是( )
A. −34 B. 1 C. 134 D. 9
8. 如图，在▱ABCD中，E为AB延长线上一点，F为AD上一点，∠DEF=∠C.若DE=4，AF=73，则BC的长是( )
A. 163 B. 92 C. 6 D. 214
9. 如图，AG：GD=4：1，BD：DC=2：3，则AE：EC的值是( )
A. 3：2 B. 4：3 C. 6：5 D. 8：5
10. 图1是装了液体的高脚杯示意图(数据如图)，用去一部分液体后如图2所示，此时液面AB=( )
A. 1cm B. 2cm C. 3cm D. 4cm
11. 如图所示，在□ABCD中，AC，BD相交于点O，E是OA的中点，连接BE并延长交AD于点F，已知S△AEF=4，则下列结论：①AFFD=12；②S△BCE=36；③S△ABE=12；④△AEF∽△ACD.其中一定正确的是( )
A. ①②③④ B. ①④ C. ②③④ D. ①②③
12. 如图，在△ABC中，如果DE与BC不平行，那么下列条件中，不能判断△ADE∽△ACB的是( )
A. ∠ADE=∠C
B. ∠AED=∠B
C. ADAB=DEBC
D. ADAC=AEAB
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
13. 直线y=k1x与双曲线y=k2x相交于点P，Q，若点P的坐标为(−1,2)，则点Q的坐标为 ．
14. 关于x的一元二次方程xm+2+2x−n=0有两个相等的实数根，则(13)m+(12)n的值为______．
15. 规定：a⊗b=(a+b)b，如：2⊗3=(2+3)×3=15，若2⊗x=3，则x= ．
16. 如图，在△ABC中，AB=9，AC=6，D为AB边上一点，且△ABC∽△ACD，则AD=______．
三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题8.0分)
如图，某反比例函数图象的一支经过点A(2,3)和点B(点B在点A的右侧)，作BC⊥y轴，垂足为C，连接AB，AC．
(1)求该反比例函数的表达式;
(2)若△ABC的面积为6，求直线AB的表达式．
18. (本小题8.0分)
如图，一次函数y=k1x+3的图象与坐标轴相交于点A(−2,0)和点B，与反比例函数y=k2x(x>0)相交于点C(2,m)．
(1)求出一次函数与反比例函数的解析式；
(2)若点P是反比例函数图象上的一点，连接CP并延长，交x轴正半轴于点D，若PD：CP=1：2时，求△COP的面积．
19. (本小题8.0分)
已知关于x的方程x2+2(m−2)x+m2+4= 0有两个实数根，且这两根的平方和比两根的积大21，求m的值．
20. (本小题8.0分)
已知关于x的方程x2−4mx+4m2−9=0．
(1)求证：该方程总有两个不相等的实数根;
(2)若该方程有一个根为−1，求m的值．
21. (本小题8.0分)
关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0．
(1)当b=a+2时，利用根的判别式判断方程根的情况；
(2)若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a，b的值，并求此时方程的根．
22. (本小题8.0分)
已知关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0．
(1)当b=a+2时，利用根的判别式判断方程根的情况;
(2)若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a，b的值，并求此时方程的根．
23. (本小题8.0分)
如图，△ABC中，D.E分别是AB、AC上的点，且BD=2AD，CE=2AE．
(1)求证：△ADE∽△ABC；
(2)若DF=2，求FC的长度．
24. (本小题8.0分)
以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格，图中的点A、B、C、D均在格点上．
(1)在图①中，PC：PB=______．
(2)利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法．
①如图②，在AB上找一点P，使AP=3．
②如图③，在BD上找一点P，使△APB∽△CPD．
25. (本小题8.0分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC三个顶点坐标分别为A(−2,4)，B(−2,1)，C(−5,2)．
(1)请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
(2)将△A1B1C1的三个顶点的横坐标与纵坐标同时乘以−2，得到对应的点A2，B2，C2，请画出△A2B2C2；
(3)△A2B2C2是△A1B1C1的位似图形吗？如果是，请写出位似中心的坐标；
(4)设△A1B1C1的面积为S1，△A2B2C2的面积为S2，求△A1B1C1与△A2B2C2的面积比，即S1：S2．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：∵点A(3,4)是反比例函数y=kx(k≠0)的图象上的一点，
∴k=xy=3×4=12，
∴此反比例函数的表达式为y=12x．
A.因为k=12>0，所以此函数的图象位于第一、三象限，故本选项说法错误;
B.因为k=12>0，所以在每一象限内，y随x的增大而减小，故本选项说法正确;
C.因为2 ×(−6)=−12≠12，所以点(2,−6)不在此函数的图象上，故本选项说法错误;
D.当y≤4时，y=12x≤4，解得x<0或x≥3，故本选项说法错误；
故选 B．
2.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了反比例函数系数k的几何意义，正确的识别图形是解题的关键．
根据反比例函数系数k的几何意义得到S2=S3，S2
解：∵点A、B、C为反比例函数y=kx(k>0)上不同的三点，
AD⊥y轴，BE，CF垂直x轴于点E、F，
∴S1=12k，S△BOE=S△COF=12k，
∵S△BOE−S△OME=S△COF−S△OME，
∴S2=S3，S3
而C，D选项显然错误，
故选：B．
3.【答案】B
【解析】略
4.【答案】C
【解析】解：设函数的解析式为y=kx(x>0)，
∵400度近视眼镜镜片的焦距为0.25米，
∴k=400×0.25=100，
∴解析式为y=100x，
∴当y=0.4时，x=1000.4=250(度)，
答：小明的近视镜度数可以调整为250度，
故选：C．
设函数的解析式为y=kx(x>0)，由x=400时，y=0.25可求k，进而可求函数关系式，然后把y=0.4代入解析式即可求得答案．
本题考查了反比例函数的应用，正确地求出反比例函数的解析式是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了一元二次方程的应用，能根据题意得出方程是解此题的关键．
根据正方形的面积得出方程，再整理即可．
【解答】
解：∵四边形AIFH是面积为64的正方形，
∴(x+5)2=64，
整理得：x2+10x=39，
故选：C．
6.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2=−ba，x1x2=ca.先把已知条件变形得到a2+(m+n)a+mn−2=0，b2+(m+n)b+mn−2=0，则可把a、b看作方程x2+(m+n)x+mn−2=0的两实数根，利用根与系数的关系得到ab=mn−2，从而得到ab−mn的值．
【解答】
解：∵(a+m)(a+n)=2，(b+m)(b+n)=2，
∴a2+(m+n)a+mn−2=0，b2+(m+n)b+mn−2=0，
而a、b、m、n为互不相等的实数，
∴a、b看作方程x2+(m+n)x+mn−2=0的两实数根，
∴ab=mn−2，
∴ab−mn=−2．
故选：C．
7.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于−ba、两根之积等于ca是解题的关键．
根据根与系数的关系可得出x1+x2=−52、x1x2=−1，将其代入x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2中即可求出结论．
【解答】
解：∵x1，x2是方程2x2+5x−2=0的两个实数根，
∴x1+x2=−52，x1x2=−1，
∴x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2=(−52)2−2×(−1)=134．
故选：C．
8.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了平行四边形的性质及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．
由平行四边形的性质得出AD=BC，∠A=∠C，结合已知得出△DFE∽△DEA，利用相似三角形的性质结合题意求出AD的长度，即可得出BC的长度．
【解答】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，∠A=∠C，
∵∠DEF=∠C，
∴∠DEF=∠A，
∵∠EDF=∠ADE，
∴△DFE∽△DEA，
∴DEDF=ADDE，
∵DE=4，AF=73，
∴DF=AD−AF=AD−73，
∴4AD−73=AD4，
∴42=(AD−73)⋅AD，
∴AD=163或AD=−3(舍去)，
∴BC的长是163，
故选：A．
9.【答案】D
【解析】解：过点D作DF//CA交BE于F，如图，
∵DF//CE，
∴DFCE=BDBC，
而BD：DC=2：3，
∴DFCE=25，则CE=52DF，
∵DF//AE，
∴DFAE=DGAG，
∵AG：GD=4：1，
∴DFAE=14，则AE=4DF，
∴AEEC=4DF52DF=85．
故选：D．
过点D作DF//CA交BE于F，如图，利用平行线分线段成比例定理，得到DFCE=BDBC=25，DFAE=DGAG=14，则CE=52DF，AE=4DF，然后计算AEEC的值．
本题考查了平行线分线段成比例．
10.【答案】C
【解析】解：如图：过O作OM⊥CD，垂足为M，过O作ON⊥AB，垂足为N，
∵CD//AB，
∴△CDO∽ABO，即相似比为CDAB，
∴CDAB=OMON，
∵OM=15−7=8，ON=11−7=4，
∴CDAB=OMON=6AB=84，
∴AB=3，
故选：C．
高脚杯前后的两个三角形相似．根据相似三角形的判定和性质即可得出结果．
本题考查相似三角形的应用，解本题的关键熟练掌握相似三角形的判定与性质．
11.【答案】D
【解析】解：∵在▱ABCD中，AO=12AC，
又∵点E是OA的中点，
∴AE=13CE，
∵AD//BC，
∴△AFE∽△CBE，
∴AFBC=AECE=13，
∵AD=BC，
∴AF=13AD，
∴AFFD=12；故①正确；
∵S△AEF=4，S△AEFS△BCE=(AFBC)2=19，
∴S△BCE=36；故②正确；
∵EFBE=AECE=13，
∴S△AEFS△ABE=13，
∴S△ABE=12，故③正确；
∵BF不平行于CD，
∴△AEF与△ADC只有一个角相等，
∴△AEF与△ACD不一定相似，故④错误，
故选：D．
根据相似三角形的判定和性质和平行四边形的性质，解答即可
本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
12.【答案】C
【解析】
【分析】
根据相似三角形的判定方法：(1)三组对应边的比相等的两个三角形相似；(2)两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；(3)有两组角对应相等的两个三角形相似，结合选项进行判断即可．
此题考查了相似三角形的判定，属于基础题，关键是掌握相似三角形的几种判定定理．
【解答】
解：A、∠ADE=∠C，∠A=∠A，则可判断△ADE∽△ACB，故本选项错误；
B、∠B=∠AED，∠A=∠A，则可判断△ADE∽△ACB，故本选项错误；
C、ADAB=DEBC，该比例不是使△ADE∽△ACB的对应边所成的比例，故本选项正确；
D、ADAC=AEAB，∠A=∠A，则可判断△ADE∽△ACB，故本选项错误．
故选：C．
13.【答案】(1,−2)
【解析】略
14.【答案】3
【解析】解：∵xm+2+2x−n=0是关于x的一元二次方程，
∴m+2=2，
∴m=0，
∵x2+2x−n=0有两个相等的实数根，
∴Δ=0即22−4×1×(−n)=0，
∴n=−1，
∴(13)m+(12)n=(13)0+(12)−1=1+2=3，
故答案为：3．
由xm+2+2x−n=0是关于x的一元二次方程，可得m=0，根据x2+2x−n=0有两个相等的实数根，可得n=−1，即可得(13)m+(12)n=3．
本题考查一元二次方程的概念及根的判别式，解题的关键是求出m、n的值．
15.【答案】1或−3
【解析】解：依题意得(2+x)x=3，
整理，得x2+2x=3，
因此x2+2x+1=3+1，即(x+1)2=4，
直接开平方，得x+1=±2，
解得x=1或x=−3．
16.【答案】4
【解析】
【分析】
本题考查了相似三角形的性质，正确掌握相关性质是解题关键．
根据相似三角形的对应边成比例解答即可．
【解答】
解：∵△ABC∽△ACD，
∴ABAC=ACAD，
∵AB=9，AC=6，
∴96=6AD，
解得：AD=4．
故答案为4．
17.【答案】解：(1)设反比例函数的表达式为y=kx．
由题意得k=xy=2×3=6，∴反比例函数的表达式为y=6x．
(2)设点B坐标为(a,b)，过点A作AD⊥BC于点D，则D(2,b)．
∵反比例函数y=6x的图象经过点B(a,b)，∴b=6a．∴AD=3−6a．
∴S△ABC=12BC⋅AD=12a(3−6a)=6.解得a=6．
∴b=6a=1．∴B(6,1)．
设直线AB的表达式为y=mx+n，将A(2,3)，B(6,1)的坐标代入，
得2m+n=3,6m+n=1,解得m=−12,n=4.
∴直线AB的表达式为y=−12x+4．
【解析】见答案
18.【答案】解：(1)∵一次函数y=k1x+3的图象与坐标轴相交于点A(−2,0)，
∴−2k1+3=0，解得k1=32，
∴一次函数为：y=32x+3，
∵一次函数y=32x+3的图象经过点C(2,m)．
∴m=32×2+3=6，
∴C点坐标为(2,6)，
∵反比例函数y=k2x(x>0)经过点C，
∴k2=2×6=12，
∴反比例函数为：y=12x；
(2)作CE⊥OD于E，PF⊥OD于F，
∴CE//PF，
∴△PFD∽△CED，
∴PFCE=PDCD，
∵PD：CP=1：2，C点坐标为(2,6)，
∴PD：CD=1：3，CE=6，
∴PF6=13，
∴PF=2，
∴P点的纵坐标为2，
把y=2代入y2=12x求得x=6，
∴P(6,2)，
设直线CD的解析式为y=ax+b，
把C(2,6)，P(6,2)代入得2a+b=66a+b=2，解得a=−1b=8，
∴直线CD的解析式为y=−x+8，
令y=0，则x=8，
∴D(8,0)，
∴OD=14，
∴S△COP=S△COD−S△POD=12×8×6−12×8×2=16．
【解析】(1)用待定系数法即可求解；
(2)证明△PFD∽△CED，则PFCE=PDCD，而PD：CP=1：2，C点坐标为(2,6)，利用S△COP=S△COD−S△POD，即可求解．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点，当有两个函数的时候，着重使用一次函数，体现了方程思想，综合性较强．
19.【答案】解：设方程x2+2(m−2)x+m2+4=0的两个实数根为x1，x2，
则有x1+x2=2(2−m)， x1x2=m2+4．
∵这两根的平方和比两根的积大21，
∴x12+x22−x1x2=21，即(x1+x2)2− 3x1x2=21，
∴4(m−2)2−3(m2+4)=21，
解得m=17，或m=−1，
由题意知Δ=4(m−2)2− 4(m2+4)≥0，
解得m≤0，
故m=17应舍去.
∴m=−1．
【解析】本题考查的是一元二次方程的根与系数的关系，根的判别式以及一元二次方程的解法.先设方程x2+2(m−2)x+m2+4=0的两个实数根为x1，x2，根据根与系数的关系得到x1+x2=2(2−m)， x1x2=m2+4，再根据这两根的平方和比两根的积大21得到关于m的方程，求出m的值，再根据根的判别式得到能使方程有解得m的值即可．
20.【答案】解：(1)证明：Δ=(−4m)2−4×1×(4m2−9)=36>0，
∴方程总有两个不相等的实数根．
(2)把x=−1代入原方程，得4m2+4m−8=0，
即m2+m−2=0，
∵a=1，b=1，c=−2，
Δ=12+8=9>0，
∴m=−1±32
解得m1=1，m2=−2．
【解析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根的判别式．
(1)计算Δ，可得判别式的值为36，由此可得结论；
(2)将一个根据x=−1代入可得关于m的一元二次方程，然后再用求根公式解答即可．
21.【答案】解：(1)a≠0，
△=b2−4a=(a+2)2−4a=a2+4a+4−4a=a2+4，
∵a2>0，
∴△>0，
∴方程有两个不相等的实数根；
(2)∵方程有两个相等的实数根，
∴△=b2−4a=0，
若b=2，a=1，则方程变形为x2+2x+1=0，解得x1=x2=−1．
(本题答案不唯一)
【解析】(1)计算判别式的值得到△=a2+4，则可判断△>0，然后根据判别式的意义判断方程根的情况；
(2)利用方程有两个相等的实数根得到△=b2−4a=0，设b=2，a=1，方程变形为x2+2x+1=0，然后解方程即可(本题答案不唯一)．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2−4ac有如下关系：当△>0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△<0时，方程无实数根．
22.【答案】解：(1)∵a≠0，b=a+2，c=1，
∴Δ=b2−4a=(a+2)2−4a=a2+4a+4−4a=a2+4，
∵a2>0，
∴Δ>0，
∴方程有两个不相等的实数根；
(2)∵方程有两个相等的实数根，
∴Δ=b2−4a=0，
若b=2，a=1，则方程变形为x2+2x+1=0，
解得x1=x2=−1(a,b取值不唯一)．
【解析】本题主要考查了根的判别式，解答本题的关键是掌握利用根的判别式判定一元二次方程的根的情况的思路与方法．
(1)求出根的判别式的值，根据根的判别式的值的情况即可判断方程根的情况；
(2)根据方程有两个相等的实数根，得出Δ=b2−4a=0，不妨令b=2，a=1，得到方程x2+2x+1=0，解这个方程，即可求解．
23.【答案】(1)证明：∵BD=2AD，CE=2AE，
∴ADAB=AEAC=13，
又∵∠DAE=∠BAC，
∴△ADE∽△ABC；
(2)解：∵△ADE∽△ABC，
∴DEBC=ADAB=13，∠ADE=∠ABC，
∴DE//BC，
∴△DEF∽△CBF，
∴DFCF=DECB，即2CF=13，
∴FC=6．
【解析】本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行线的判定．
(1)由BD=2AD，CE=2AE可得出ADAB=AEAC，结合∠DAE=∠BAC可证出△ADE∽△ABC；
(2)由△ADE∽△ABC，利用相似三角形的性质可得出DEBC=13及∠ADE=∠ABC，利用“同位角相等，两直线平行”可得出DE//BC，进而可得出△DEF∽△CBF，再利用相似三角形的性质可求出FC的长．
24.【答案】解：(1)1：3．
(2)
①如图2所示，点P即为所要找的点；
②如图3所示，作点A的对称点A′，
连接A′C，交BD于点P，
点P即为所要找的点，
∵AB//CD，
∴△APB∽△CPD．
【解析】
【分析】
本题考查了作图−相似变换，解决本题的关键是掌握相似三角形的判定方法．
(1)根据两条直线平行，对应线段成比例即可得结论；
(2)①根据勾股定理得AB的长为5，再根据相似三角形的判定方法即可找到点P；
②作点A的对称点A′，连接A′C与BD的交点即为要找的点P，使△APB∽△CPD．
【解答】
解：(1)图1中，
∵AB//CD，
∴PCPB=CDAB=13，
故答案为1：3．
(2)见答案．
25.【答案】解：(1)如图所示：△A1B1C1，即为所求；
(2)如图所示：△A2B2C2，即为所求；
(3)∵将△A1B1C1的三个顶点的横坐标与纵坐标同时乘以−2，得到△A2B2C2，
∴△A1B1C1∽△A2B2C2，
∴△A2B2C2是△A1B1C1的位似图形，位似中心的坐标为(0,0)；
(4)将△A1B1C1的三个顶点的横坐标与纵坐标同时乘以−2，得到△A2B2C2，
∴相似比为：1：2，
则S△A1B1C1：S△A2B2C2=1：4．
即S1：S2=1：4．
【解析】(1)直接利用关于x轴对称点的性质得出对应点位置进而得出答案；
(2)直接利用将△A1B1C1的三个顶点的横坐标与纵坐标同时乘以−2，得出各对应点，进而得出答案；
(3)根据位似图形的定义即可得到结论；
(4)利用位似图形的性质得出答案．
此题主要考查了轴对称变换和位似变换以及位似图形的性质，正确得出对应点位置是解题关键．
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