广西壮族自治区河池市八校2021-2022学年高二下学期5月第二次联考数学（理）试卷（含答案）

这是一份广西壮族自治区河池市八校2021-2022学年高二下学期5月第二次联考数学（理）试卷（含答案），共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
广西壮族自治区河池市八校2021-2022学年高二下学期5月第二次联考数学（理）试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题
1、若复数z满足（其中i为虚数单位），则z的虚部是( )
A.2i B.-2i C.2 D.-2
2、用反证法证明命题：“已知a、b是自然数，若，则a、b中至少有一个小于2”，提出的假设应该是( )
A.a、b都小于2 B.a、b中至少有一个大于等于2
C.a、b中至多有一个小于2 D.a、b都大于等于2
3、若函数在区间内满足，且，则函数在内有( )
A. B. C. D.无法确定
4、2022年北京冬奥会结束后，4位德国运动员和5位中国运动员排成一排拍照，则这4位德国运动员排在一起的排法数为( )
A. B. C. D.
5、在的展开式中，的系数为( )
A.-1 B.1 C.-4 D.4
6、下面给出的类比推理中，结论正确的是( )
A.由“”类比推出“”
B.由“”类比推出“”
C.同一平面内，直线a，b，c，若，，则.类比推出：空间中，直线a，b，c，若，，则.
D.由“若三角形的周长为l，面积为S，则其内切圆的半径”类比推出“若三棱锥的表面积为S，体积为V，则内切球的半径”
7、给出如下“三段论”的推理过程：“因为指数函数（，且）是增函数（大前提），而是指数函数（小前提），所以是增函数（结论）.”下列说法正确的是( )
A.大前提错误导致结论错误 B.小前提错误导致结论错误
C.推理形式错误导致结论错误 D.大前提和小前提都错误导致结论错误
8、函数的图象如图1所示，则阴影部分的面积是( )

A. B.2 C. D.
9、函数的图象在点处的切线方程是，则( )
A. B.1 C.2 D.0
10、若函数在定义域内的一个子区间上不是单调函数，则实数k的取值范围是( )
A. B. C. D.
11、已知复数z满足，则的最小值为( )
A.1 B.2 C. D.
12、一般地，对于一元三次函数，若，则为三次函数的对称中心，已知函数图象的对称中心的横坐标为（），且有三个零点，则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、填空题
13、用数学归纳法证明不等式（）时，初始值应等于______.
14、如果，则______.
15、将5名实习老师分配到3个班级任课，每班至少1人、至多2人，则不同的分配方法数是______.（用数学作答）
16、已知是函数的导数，若对任意，都有，且，则不等式的解集为______.
三、解答题
17、（1）已知复数z在复平面内对应的点在第二象限，，且，求z；
（2）已知复数为纯虚数，求实数m的值.
18、用数学归纳法证明：.
19、已知函数，.
（1）若是的极值点，求的极值；
（2）若函数是R上的单调递增函数，求实数a的取值范围.
20、为了迎接到校访问的同学，需要分上午、下午和晚上三个组各安排5名本校学生作为志愿者负责接待，并要求下午组的志愿者不能与上午组、晚上组的重复.某班共有40名学生，其中22名女生和18名男生，现准备从中选择志愿者.
（1）共有多少种选法？（不计算出具体的数字，列出式子即可）
（2）如果下午组中有一名男生请假，需要从班上的非志愿者中选一名男生替代，那么至少有多少种选法？
（3）如果三个组的志愿者都不能重复，且性别不全相同，那么共有多少种选法？（不计算出具体的数字，列出式子即可）
21、设.
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）求的值.
22、已知函数.
（1）若，讨论的单调性；
（2）设函数，P，Q为曲线上任意两个不同的点，设直线PQ的斜率为k，若恒成立，求m的取值范围.
参考答案
1、答案：C
解析：由，得

的虚部是2.
故选:C.
2、答案：D
解析：应先假设命题的否定成立，而命题:“已知a、b是自然数，若，则a、b中至少有一个小于2”的否定是:“a、b都大于等于2”，故选:D.
3、答案：C
解析：因为函数在区间内满足，所以函数在区间上单调递增，又，所以时，，即.故选:C
4、答案：D
解析：将4位德国运动员看作一个整体，共有种排法;再与5位中国运动员进行排序，共有种排法;
满足题意的排法数为.
故选:D.
5、答案：B
解析：由的展开式的通项公式为
令，
解得，
即的系数为，
故选:B.
6、答案：D
解析：A:因为没有意义，所以该推理不正确;
B:因为，所以该推理不正确;
C:当，时，也可以成立，所以该推理不正确;
D:设三棱雉四个面的面积分别为，，，，则有，
所以，因此有，所以该推理正确，故应选D.
7、答案：A
解析：是增函数这个大前提是错误的，故A正确;BCD均错误.故选：A.
8、答案：B
解析：根据曲边图形的面积与定积分之间的关系即可求解.
所求面积为.故选:B.
9、答案：C
解析：由点在切线上，可得

由函数的图象在点处的切线
方程是，
可得，则
故
故选:C
10、答案：D
解析：由题意得，函数定义域为
，令，解得在定义域内，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
函数在区间内不单调，所以，
解得，又因为，得，
综上，
11、答案：B
解析：设复数z在复平面内对应的点为Z，复数z满足，
由复数的几何意义可知，点Z到点和的距离相等，
在复平面内点Z的轨迹为x轴，
表示点Z到点(-1，-2)的距离，
的最小值为x轴上的动点Z到定点距离的最小值，的最小值为2.故选:B.
12、答案：A
解析：由函数求导得:，则，
由解得，则有，，
当或时，，当时，，
则在上单调递增，在上单调递减，
因此，当时，取得极大值，当时，取得极小值，
因函数有三个零点，即函数的图象与x轴有三个公共点，由三次函数图象与性质知，

于是得，解得，
综上得:，
实数a的取值范围是.
故选:A.
13、答案：6
解析：由题意，当时，;当时，;当时，;当时，;当5时，;当时，，所以用数学归纳法证明不等式时，初始值应等于6.
14、答案：-129
解析：令，得，令，得，
所以，
15、答案：90
解析：把5名实习老师按2:2:1分成3组，再分到3个班，则不同的分配方法数是.
16、答案：
解析：，
，
，
令，则
，
，即，
，
，
不等式即为，解得.
17、答案：（1）
（2）-2
解析：（1）设（a，），由题意得，
解得，，
复数z在复平面内对应的点在第二象限，，.
（2）
由题意得，解得
18、答案：证明见解析
解析：①当时，左边，右边，等式成立.
②假设当（）时，等式成立，
即，
那么当时，
故当时，等式也成立.
综上可知等式对任意正整数n都成立.
19、答案：（1）见解析
（2）
解析：（1），，，
，
解得，解得，
所以在区间，上递增；在区间上递减.
所以的极大值为，极小值为.
（2）依题意在R上恒成立，
所以，，
解得，所以a的取值范围是.
20、答案：（1）
（2）3
（3）
解析：（1）因为要求下午组的志愿者不能与上午组、晚上组的重复，
所以先从40名学生中选5名安排在下午，再从35名学生中选5名安排在上午，
因为上午和晚上可重复，则从35名学生中选5名安排在晚上，
所以共有种选法；
（2）当志愿者全部是男生时，非志愿者中的男生人数最少，剩有3名，
则从班上的非志愿者中选一名男生替代，至少有种选法。
（3）因为三个组的志愿者都不能重复，
所以共有种选法，
其中不含男生有种选法，
不含女生有种选法，
所以三个组的志愿者都不能重复，且性别不全相同，共有种选法.
21、答案：（1）-960
（2）
（3）
解析：（1），
展开式通项公式为，
令得：，故；
（2），
令得：①，
令得：②，
①－②得：，所以
（3）由（2）得：①，②，
①＋②得：，
由于，故，，…，，，，，…，
所以

22、答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）函数的定义域为，
.
令，得或.
①当，即时，
在和上，，故在和上单调递增；
在上，，故在上单调递减；
②当，即时，
在和上，，故在和上单调递增；
在上，，故在上单调递减；
③当，即时，
，在上单调递增，
综上，当时，在和上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
当时，在和单调递增，在上单调递减；
（2）令，则，
设，，，，则.
不妨设，则由恒成立，
可得恒成立.
令，则在上单调递增，
所以在上恒成立，即恒成立.
则恒成立，即恒成立.
又，所以恒成立，则恒成立，
因为，所以，
解得，即m的取值范围为.