中考数学真题：2020荆门中考真题

这是一份中考数学真题：2020荆门中考真题，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2020年湖北荆门数学真题
(本试卷共6页，24题．全卷满分120分．考试用时120分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1. |－|的平方是(　　)
A. － B. C. －2 D. 2
2. 据央视网消息，全国广大共产党员积极响应党中央号召，踊跃捐款，表达对新冠肺炎疫情防控工作的支持，据统计，截至2020年3月26日，全国已有7901万多名党员自愿捐款，共捐款82.6亿元，82.6亿用科学记数法可表示为(　　)
A. 0.826×1010 B. 8.26×109
C. 8.26×108 D. 82.6×108
3. 如图，菱形ABCD中，E，F分别是AD，BD的中点，若EF＝5，则菱形ABCD的周长为(　　)

第3题图
A. 20
B. 30
C. 40
D. 50
4. 下列等式中成立的是(　　)
A. (－3x2y)3＝－9x6y3
B. x2＝()2－()2
C. ÷(＋)＝2＋
D. ＝－
5. 如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为(　　)
A. 1 B. 2 C. D. 4

第5题图 第6题图
6. △ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，BC＝2，D为BC的中点，AE＝AB，则△EBD的面积为(　　)
A. B. C. D.
7. 如图，⊙O中，OC⊥AB，∠APC＝28°，则∠BOC的度数为(　　)
A. 14° B. 28° C. 42° D. 56°

第7题图 第9题图
8. 为了了解学生线上学习情况，老师抽查某组10名学生的单元测试成绩如下：78，86，60，108，112，116，90，120，54，116.这组数据的平均数和中位数分别为(　　)
A. 95，99 B. 94，99 C. 94，90 D. 95，108
9. 在平面直角坐标系xOy中，Rt△AOB的直角顶点B在y轴上，点A的坐标为(1，)，将Rt△AOB沿直线y＝－x翻折，得到Rt△A′OB′，过A′作A′C垂直于OA′交y轴于点C，则点C的坐标为(　　)
A. (0，－2) B. (0，－3)
C. (0，－4) D. (0，－4)
10. 若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a>0)经过第四象限的点(1，－1)，则关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的根的情况是(　　)
A. 有两个大于1的不相等实数根
B. 有两个小于1的不相等实数根
C. 有一个大于1另一个小于1的实数根
D. 没有实数根
11. 已知关于x的分式方程＝＋2的解满足－4 A. 正数 B. 负数
C. 零 D. 无法确定
12. 在平面直角坐标系中，长为2的线段CD(点D在点C右侧)在x轴上移动，A(0，2)，B(0，4)，

第12题图
连接AC、BD，则AC＋BD的最小值为(　　)
A. 2
B. 2
C. 6
D. 3
二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分．)
13. 计算：－tan45°＋(－2020)0－()－1＝________．
14. 已知关于x的一元二次方程x2－4mx＋3m2＝0(m>0)的一个根比另一个根大2，则m的值为________．
15. 如图所示的扇形AOB中，OA＝OB＝2，∠AOB＝90°，C为上一点，∠AOC＝30°，连接BC，过C作OA的垂线交AO于点D，则图中阴影部分的面积为________．

第15题图 第16题图
16. 如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴上，B(－2，1)，将△OAB绕点O顺时针旋转，点B落在y轴上的点D处，得到△OED，OE交BC于点G，若反比例函数y＝(x<0)的图象经过点G，则k的值为________．
17. 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于点A、B，顶点为C，对称轴为直线x＝1，给出下列结论：①abc<0；②若点C的坐标为(1，2)，则△ABC的面积可以等于2；③M(x1，y1)，N(x2，y2)是抛物线上两点(x12，则y1
第17题图
三、解答题(本大题共7小题，共69分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)
18. (本题满分8分)先化简，再求值：
(2x＋y)2＋(x＋2y)2－x(x＋y)－2(x＋2y)(2x＋y)，其中x＝＋1，y＝－1.







19. (本题满分9分)如图，△ABC中，AB＝AC，∠B的平分线交AC于D，AE∥BC交BD的延长线于点E，AF⊥AB交BE于点F.
(1)若∠BAC＝40°，求∠AFE的度数；
(2)若AD＝DC＝2，求AF的长．

第19题图

20. (本题满分10分)下图是某商场第二季度某品牌运动服装的S号，M号，L号，XL号，XXL号销售情况的扇形统计图和条形统计图．
根据图中信息解答下列问题：
(1)求XL号，XXL号运动服装销量的百分比；
(2)补全条形统计图；
(3)按照M号，XL号运动服装的销量比，从M号、XL号运动服装中分别取出x件、y件，若再取2件XL号运动服装，将它们放在一起，现从这(x＋y＋2)件运动服装中，随机取出1件，取得M号运动服装的概率为，求x，y的值．

第20题图













21. (本题满分10分)如图，海岛B在海岛A的北偏东30°方向，且与海岛A相距20海里，一艘渔船从海岛B出发，以5海里/时的速度沿北偏东75°方向航行，同时一艘快艇从海岛A出发，向正东方向航行.2小时后，快艇到达C处，此时渔船恰好到达快艇正北方向的E处．
(1)求∠ABE的度数；
(2)求快艇的速度及C，E之间的距离．
(参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，≈1.73)

第21题图



22. (本题满分10分)如图，AC为⊙O的直径，AP为⊙O的切线，M是AP上一点，过点M的直线与⊙O交于点B，D两点，与AC交于点E，连接AB，AD，AB＝BE.
(1)求证：AB＝BM；
(2)若AB＝3，AD＝，求⊙O的半径．

第22题图










23. (本题满分10分)2020年是决战决胜扶贫攻坚和全面建成小康社会的收官之年，荆门市政府加大各部门和单位对口扶贫力度．某单位的帮扶对象种植的农产品在某月(按30天计)的第x天(x为正整数)的销售价格p(元/千克)关于x的函数关系式为p＝，销售量y(千克)与x之间的关系如图所示．
(1)求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；
(2)当月第几天，该农产品的销售额最大，最大销售额是多少？(销售额＝销售量×销售价格)

第23题图






24. (本题满分12分)如图，抛物线L：y＝x2－x－3与x轴正半轴交于点A，与y轴交于点B.
(1)求直线AB的解析式及抛物线顶点坐标；
(2)如图①，点P为第四象限且在对称轴右侧抛物线上一动点，过点P作PC⊥x轴，垂足为C，PC交AB于点D，求PD＋BD的最大值，并求出此时点P的坐标；
(3)如图②，将抛物线L：y＝x2－x－3向右平移得到抛物线L′，直线AB与抛物线L′交于M，N两点，若点A是线段MN的中点，求抛物线L′的解析式．

第24题图


2020年湖北省荆门市中考数学试卷
参考答案与试题解析
1．D【解析】 |﹣|的平方是2．
2．B【解析】 82.6亿＝8 260 000 000＝8.26×109．
3．C【解析】 ∵E，F分别是AD，BD的中点，
∴EF是△ABD的中位线，
∴EF＝AB＝5，
∴AB＝10，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝10，
∴菱形ABCD的周长＝4AB＝40．
4．D【解析】 A、原式＝﹣27x6y3，所以A选项错误；
B、（）2﹣（）2＝（+）•（﹣）＝x•1＝x，所以B选项错误；
C、原式＝÷（+）＝÷＝×＝＝6﹣2，所以C选项错误；
D、﹣＝＝，所以D选项正确．
5．B【解析】 （1+1）×1÷2×2＝2×1÷2×2＝2．故该几何体的体积为2．
6．B【解析】如解图， 连接AD，作EF⊥BC于F，
∵AB＝AC，∠BAC＝120°，D为BC的中点，
∴AD⊥BC，AD平分∠BAC，∠B＝∠C＝30°
在Rt△ABD中，BD＝BC＝，∠B＝30°，
∴AB＝＝＝2，
∴AD＝＝1，
∵AE＝AB，
∴＝，
∵EF⊥BC，AD⊥BC，
∴EF∥AD，
∴△BEF∽△BAD，
∴＝，
∴
∴EF＝，
∴S△BDE＝＝＝．

第6题解图
7．D【解析】 ∵在⊙O中，OC⊥AB，∴＝，∵∠APC＝28°，∴∠BOC＝2∠APC＝56°．
8．B【解析】 这组数据的平均数＝（78+86+60+108+112+116+90+120+54+116）＝94，
把这组数据按照从小到大的顺序排列为：54，60，78，86，90，108，112，116，116，120，
∴这组数据的中位数＝＝99．
9．C【解析】 ∵点A的坐标为（1，），
∴AB＝1，OB＝，
∴OA＝＝＝2，
∵将Rt△AOB沿直线y＝﹣x翻折，得到Rt△A'OB'，
∴OB'＝OB＝，A′B′＝AB＝1，OA′＝OA＝2，
∴A'（﹣，﹣1），
∵过A'作A'C垂直于OA'交y轴于点C，
∴∠A′OC+∠A′CO＝90°，
∵∠A′OB′+∠A′OC＝90°，
∴∠A′CO＝∠A′OB′，
∵∠A′B′O＝∠OA′C＝90°，
∴△A′OB′∽△OCA′，
∴＝，即，
∴OC＝4，
∴C（0，﹣4），
故选：C．
10．C【解析】 由抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过第四象限的点（1，﹣1），
画出函数的图象如解图：

第10题解图
由图象可知：关于x的方程ax2+bx+c＝0的根的情况是有一个大于1另一个小于1的实数根．
11．A【解析】 ＝+2，
（2x+3）（x+3）＝k+2（x﹣2）（x+3），
解得x＝﹣3，
∵﹣4＜x＜﹣1且（x﹣2）（x+3）≠0且k为整数，
∴﹣4＜﹣3＜﹣1，
解得﹣7＜k＜14且k≠0，
∴解k＝﹣6、﹣5、﹣4、﹣3、﹣2、﹣1、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13，
∴符合条件的所有k值的乘积为正数．
12．B【解析】 设C（m，0），
∵CD＝2，
∴D（m+2，0），
∵A（0，2），B（0，4），
∴AC+BD＝+，
∴要求AC+BD的最小值，相当于在x轴上找一点P（m，0），使得点P到M（0，2）和N（﹣2，4）的距离和最小，
如解图①，作点M关于x轴的对称点Q，连接NQ交x轴于P′，连接MP′，此时P′M+P′N的值最小，

第12题解图①
∵N（﹣2，4），Q（0，﹣2）
PM+PN的最小值＝P′N+P′Q＝NQ＝＝2，
∴AC+BD的最小值为2．
解法二：如解图②，将线段DB向左平移到CE的位置，作点A关于原点的对称点A′，连接CA′，EA′．

第12题解图②
则E（﹣2，4），A′（0，﹣2），AC+BD＝CA′+CE≤EA′，
EA′＝＝2，
∴AC+BD的最小值为2．
13．【解析】 原式＝2﹣1+1
＝．
14．1【解析】 设方程的两根分别为t，t+2，
根据题意得t+t+2＝4m，t（t+2）＝3m2，
把t＝2m﹣1代入t（t+2）＝3m2得（2m﹣1）（2m+1）＝3m2，
整理得m2﹣1＝0，解得m＝1或m＝﹣1（舍去），
所以m的值为1．
法二：∵x2﹣4mx+3m2＝（x﹣m）（x﹣3m），
∴关于x的一元二次方程x2﹣4mx+3m2＝0（m＞0）的两根分别为x1＝m，x2＝3m，且x2＞x1，
∴x2﹣x1＝2m＝2，
∴m＝1．
15．π﹣【解析】 ∵∠AOB＝90°，∠AOC＝30°，
∴∠BOC＝60°，
∵扇形AOB中，OA＝OB＝2，
∴OB＝OC＝2，
∴△BOC是等边三角形，
∵过C作OA的垂线交AO于点D，
∴∠ODC＝90°，
∵∠AOC＝30°，
∴OD＝OC＝，CD＝OC＝1，
∴图中阴影部分的面积═S扇形BOC﹣S△OBC+S△COD
＝﹣+
＝π﹣．
16．﹣【解析】 ∵B（﹣2，1），
∴AB＝1，OA＝2，
∵△OAB绕点O顺时针旋转，点B落在y轴上的点D处，得到△OED，
∴DE＝AB＝1，OE＝OA＝2，∠OED＝∠OAB＝90°，
∵∠COG＝∠EOD，∠OCG＝∠OED，
∴△OCG∽△OED，
∴＝，即＝，解得CG＝，
∴G（﹣，1），
把G（﹣，1）代入y＝得k＝﹣×1＝﹣．
17．①④【解析】 ①抛物线的对称轴在y轴右侧，则ab＜0，而c＞0，故abc＜0，正确，符合题意；
②△ABC的面积＝AB•yC＝AB×2＝2，解得：AB＝2，则点A（0，0），即c＝0与图象不符，故②错误，不符合题意；
③函数的对称轴为x＝1，若x1+x2＞2，则（x1+x2）＞1，则点N离函数对称轴远，故y1＞y2，故③错误，不符合题意；
④抛物线经过点（3，﹣1），则y′＝ax2+bx+c+1过点（3，0），
根据函数的对称轴该抛物线也过点（﹣1，0），故方程ax2+bx+c+1＝0的两根为﹣1，3，故④正确，符合题意．
18．解：原式＝[（2x+y）﹣（x+2y）]2﹣x2﹣xy
＝（x﹣y）2﹣x2﹣xy
＝x2﹣2xy+y2﹣x2﹣xy
＝y2﹣3xy，
当x＝+1，y＝﹣1时，
原式＝（﹣1）2﹣3（+1）（﹣1）
＝3﹣2﹣3
＝﹣2．
19．解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝40°，
∴∠ABC＝（180°﹣40°）＝×140°＝70°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC＝∠ABC＝×70°＝35°，
∵AF⊥AB，
∴∠BAF＝90°，
∴∠AFE＝∠ABD+∠BAF＝35°+90°＝125°；
（2）∵AE∥BC，
∴∠E＝∠DBC，
在△ADE和△CDB中，
，
∴△ADE≌△CDB（AAS），
∴AE＝BC，
∵∠E＝∠DBC，∠ABD＝∠DBC，
∴∠E＝∠ABD，
∴AB＝AE，
∴AB＝BC，
∵AB＝AC，
∴AB＝AC＝BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
∴∠ABF＝30°，
∵AD＝DC＝2，
∴AB＝AC＝4，
在Rt△ABF中，AF＝AB•tan∠ABF＝4×tan30°＝4×＝．
20．解：（1）60÷30%＝200（件），
×100%＝10%，
1﹣25%﹣30%﹣20%﹣10%＝15%．
答：XL号，XXL号运动服装销量的百分比分别为15%，10%；
（2）S号服装销量：200×25%＝50（件），
L号服装销量：200×20%＝40（件），
XL号服装销量：200×15%＝30（件），
条形统计图补充如解图；

第20题解图
（3）由题意，得，
解得．
21．解：（1）如解图，过点B作BD⊥AC于点D，作BF⊥CE于点F，

第21题解图
由题意得，∠NAB＝30°，∠GBE＝75°，
∵AN∥BD，
∴∠ABD＝∠NAB＝30°，
而∠DBE＝180°﹣∠GBE＝180°﹣75°＝105°，
∴∠ABE＝∠ABD+∠DBE＝30°+105°＝135°；
（2）BE＝5×2＝10（海里），
在Rt△BEF中，∠EBF＝90°﹣75°＝15°，
∴EF＝BE×sin15°≈10×0.26＝2.6（海里），
BF＝BE×cos15°≈10×0.97＝9.7（海里），
在Rt△ABD中，AB＝20，∠ABD＝30°，
∴AD＝AB×sin30°＝20×＝10（海里），
BD＝AB×cos30°＝20×＝10≈10×1.73＝17.3（海里），
∵BD⊥AC，BF⊥CE，CE⊥AC，
∴∠BDC＝∠DCF＝∠BFC＝90°，
∴四边形BDCF为矩形，
∴DC＝BF＝9.7，FC＝BD＝17.3（海里），
∴AC＝AD+DC＝10+9.7＝19.7（海里），
CE＝EF+CF＝2.6+17.3＝19.9（海里），
设快艇的速度为v海里/小时，则v＝＝9.85（海里/小时）．
答：快艇的速度为9.85海里/小时，C，E之间的距离约为19.9海里．
22．解：（1）∵AP为⊙O的切线，AC为⊙O的直径，
∴AP⊥AC，
∴∠CAB+∠PAB＝90°，
∴∠AMD+∠AEB＝90°，
∵AB＝BE，
∴∠AEB＝∠CAB，
∴∠AMD＝∠PAB，
∴AB＝BM．
（2）如解图，连接BC，
∵AC为直径，
∴∠ABC＝90°，
∴∠C+∠CAB＝90°，
∵∠CAB+∠PAB＝90°
∴∠C＝∠PAB，
∵∠AMD＝∠MAB，∠C＝∠D，
∴∠AMD＝∠D＝∠C，
∴AM＝AD＝，
∵AB＝3，AB＝BM＝BE，
∴EM＝6，
∴由勾股定理可知：AE＝＝，
∵∠AMD＝∠C，∠EAM＝∠ABC＝90°，
∴△MAE∽△CBA，
∴＝，
∴，
∴CA＝5，
∴⊙O的半径为2.5．

第22题解图
23．解：（1）当0＜x≤20时，设y与x的函数关系式为y＝ax+b，
，
解得，
即当0＜x≤20时，y与x的函数关系式为y＝﹣2x+80，
当20＜x≤30时，设y与x的函数关系式为y＝mx+n，
，
解得，
即当20＜x≤30时，y与x的函数关系式为y＝4x﹣40，
由上可得，y与x的函数关系式为y＝；
（2）设当月第x天的销售额为w元，
当0＜x≤20时，w＝（x+4）×（﹣2x+80）＝（x﹣15）2+500，
∴当x＝15时，w取得最大值，此时w＝500，
当20＜x≤30时，w＝（x+12）×（4x﹣40）＝（x﹣35）2+500，
∴当x＝30时，w取得最大值，此时w＝480，
由上可得，当x＝15时，w取得最大值，此时w＝500，
答：当月第15天，该农产品的销售额最大，最大销售额是500元．
24．解：（1）∵抛物线L：y＝x2﹣x﹣3与x轴正半轴交于点A，与y轴交于点B，
∴点A（4，0），点B（0，﹣3），
设直线AB解析式为：y＝kx﹣3，
∴0＝4k﹣3，
∴k＝，
∴直线AB解析式为：y＝x﹣3，
∵y＝x2﹣x﹣3＝（x﹣）2﹣，
∴抛物线顶点坐标为（，﹣）；
（2）∵点A（4，0），点B（0，﹣3），
∴OA＝4，OB＝3，
∴AB＝＝＝5，
设点P（x，x2﹣x﹣3）（＜x＜4），则点D（x，x﹣3），
∴BD＝＝x，
PD＝（x﹣3）﹣（x2﹣x﹣3）＝﹣x2+2x，
∴PD+BD＝﹣x2+2x+x＝﹣（x﹣）2+，
∵＜x＜4，﹣＜0，
∴当x＝时，PD+BD有最大值为，
此时，点P（，﹣）；
（3）设平移后的抛物线L'解析式为y＝（x﹣m）2﹣，
联立方程组可得：，
∴x2﹣2（m+）x+m2﹣＝0，
设点M（x1，y1），点N（x2，y2），
∵直线AB与抛物线L'交于M，N两点，
∴x1，x2是方程x2﹣2（m+）x+m2﹣＝0的两根，
∴x1+x2＝2（m+），
∵点A是MN的中点，
∴x1+x2＝8，
∴2（m+）＝8，
∴m＝，
∴平移后的抛物线L'解析式为y＝（x﹣）2﹣＝x2﹣x+．