中考数学真题：2020山西省初中毕业生升学文化课考试

这是一份中考数学真题：2020山西省初中毕业生升学文化课考试，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2020山西省初中毕业生升学文化课考试
第Ⅰ卷　选择题(共30分)
一、选择题(本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑)
1. 计算(－6)÷(－)的结果是(　　)
A. －18 B. 2 C. 18 D. －2
2. 自新冠肺炎疫情发生以来，全国人民共同抗疫，各地积极普及科学防控知识．下面是科学防控知识的图片，图片上有图案和文字说明，其中的图案是轴对称图形的是(　　)

3. 下列运算正确的是(　　)
A. 3a＋2a＝5a2 B. －8a2÷4a＝2a
C. (－2a2)3＝－8a6 D. 4a3·3a2＝126
4. 下列几何体都是由4个大小相同的小正方体组成的，其中主视图与左视图相同的几何体是(　　)

5. 泰勒斯是古希腊时期的思想家，科学家，哲学家，他最早提出了命题的证明．泰勒斯曾通过测量同一时刻标杆的影长，标杆的高度，金字塔的影长，推算出金字塔的高度，这种测量原理，就是我们所学的(　　)

第5题图
A. 图形的平移 B. 图形的旋转
C. 图形的轴对称 D. 图形的相似
6. 不等式组的解集是(　　)
A. x＞5 B. 3＜x＜5
C. x＜5 D. x＞－5
7. 已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)都在反比例函数y＝(k<0)的图象上，且x1 A. y2＞y1＞y3 B. y3＞y2＞y1
C. y1＞y2＞y3 D. y3＞y1＞y2
8. 中国美食讲究色香味美，优雅的摆盘也会让美食锦上添花．图①中的摆盘，其形状是扇形的一部分，图②是其几何示意图(阴影部分为摆盘)，通过测量得到AC＝BD＝12 cm，C，D两点之间的距离为4 cm，圆心角为60°，则图中摆盘的面积是(　　)

第8题图
A. 80 πcm2 B. 40 πcm2
C. 24 πcm2 D. 12 πcm2
9．竖直上抛物体离地面的高度h(m)与运动时间t(s)之间的关系可以近似地用公式h＝－5t2＋v0t＋h0表示，其中h0(m)是物体抛出时离地面的高度，v0(m/s)是物体抛出时的速度，某人将一个小球从距地面1.5 m的高处以20 m/s的速度竖直向上抛出，小球达到的离地面的最大高度为(　　)
A. 23.5 m B. 22.5 m
C. 21.5 m D. 20.5 m
10. 如图是一张矩形纸板，顺次连接各边中点得到菱形，再顺次连接菱形各边中点得到一个小矩形，将一个飞镖随机投掷到大矩形纸板上，则飞镖落在阴影区域的概率是(　　)

第10题图
A. B. C. D.
第Ⅱ卷　非选择题(共90分)
二、填空题(本大题共5小题，每个小题3分，共15分)
11. 计算：(＋)2－＝________．
12. 如图是一组有规律的图案，它们是由边长相等的正三角形组合而成，第1个图案有4个三角形，第2个图案有7个三角形，第3个图案有10个三角形…按此规律摆下去，第n个图案有________个三角形(用含n的代数式表示)．

第12题图
13. 某校为了选拔一名百米赛跑运动员参加市中学生运动会，组织了6次预选赛，其中甲，乙两名运动员较为突出，他们在6次预选赛中的成绩(单位：秒)如下表所示：
甲
12.0
12.0
12.2
11.8
12.1
11.9
乙
12.3
12.1
11.8
12.0
11.7
12.1
由于甲，乙两名运动员的成绩的平均数相同，学校决定依据他们成绩的稳定性进行选拔，那么被选中的运动员是____________．
14. 如图是一张长12 cm，宽10 cm的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，剩余部分(阴影部分)可制成底面积是24 cm2的有盖的长方体铁盒，则剪去的正方形的边长为____cm.
　　　
第14题图　　　　　　　第15题图
15. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，CD⊥AB，垂足为D，E为BC的中点，AE与CD交于点F，则DF的长为________．
三、解答题(本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
16. (本题共2个小题，第(1)小题4分，第(2)小题6分，共10分)
(1)计算： (－4)2×(－)3－(－4＋1)．
(2)下面是小彬同学分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务．
　－
＝－第一步
＝－第二步
＝－第三步
＝第四步
＝第五步
＝－第六步
任务一：填空：①以上化简步骤中，第____步是进行分式的通分，通分的依据是________，或填为：__________________②第____步开始出现错误，这一步错误的原因是__________________________；
任务二：请直接写出该分式化简后的正确结果；
任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就分式化简时还需要注意的事项给其他同学提一条建议．

第17题图
17. (本题6分)2020年5月份，省城太原开展了“活力太原·乐购晋阳”消费暖心活动，本次活动中的家电消费券单笔交易满600元立减128元(每次只能使用一张)，某品牌电饭煲按进价提高50%后标价，若按标价的八折销售，某顾客购买该电饭煲时，使用一张家电消费劵后，又付现金568元，求该电饭煲的进价．
18. (本题7分)如图，四边形OABC是平行四边形，以点O为圆心，OC为半径的⊙O与AB相切于点B，与AO相交于点D，AO 的延长线交⊙O于点E，连接EB交OC于点F，求∠C和∠E的度数．

第18题图
19. (本题9分) 2020 年国家提出并部署了“新基建”项目，主要包含“特高压，城际高速铁路和城市轨道交通，5G基站建设，工业互联网，大数据中心，人工智能，新能源汽车充电桩”等．《2020新基建中高端人才市场就业吸引力报告》重点刻画了“新基建”中五大细分领域(5G基站建设，工业互联网，大数据中心，人工智能，新能源汽车充电桩)总体的人才与就业机会．下图是其中的一个统计图．

(第19题图)
请根据图中信息，解答下列问题：(1)填空：图中2020年“新基建”七大领域预计投资规模的中位数是________亿元；
(2)甲，乙两位待业人员，仅根据上面统计图中的数据，从五大细分领域中分别选择了“5G基站建设”和“人工智能”作为自己的就业方向，请简要说明他们选择就业方向的理由各是什么；
(3)小勇对“新基建”很感兴趣，他收集到了五大细分领域的图标，依次制成编号为W，G，D，R，X的五张卡片(除编号和内容外，其余完全相同)，将这五张卡片背面朝上，洗匀放好，从中随机抽取一张(不放回)，再从中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片恰好是编号为W(5G基站建设)和R(人工智能)的概率．

20. (本题8分)阅读与思考
下面是小宇同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务．
×年×月×日　星期日
没有直角尺也能作出直角

今天，我在书店一本书上看到下面材料：木工师傅有一块如图①所示的四边形木板，他已经在木板上画出一条裁割线AB，现根据木板的情况，要过AB上的一点C，作出AB的垂线，用锯子进行裁割，然而手头没有直角尺，怎么办呢？

第20题图①　　第20题图②
办法一：如图①，可利用一把有刻度的直尺在AB上量出CD＝30 cm，然后分别以D，C为圆心，以50 cm与40cm为半径画圆弧，两弧相交于点E，作直线CE，则∠DCE必为90 °.
办法二：如图②，可以取一根笔直的木棒，用铅笔在木棒上点出M，N两点，然后把木棒斜放在木板上，使点M与点C重合，用铅笔在木板上将点N对应的位置标记为点Q，保持点N不动，
将木棒绕点N旋转，使点M落在AB上，在木板上将点M对应的位置标记为点R，然后将RQ延长，在延长线上截取线段QS＝MN，得到点S，作直线SC，则∠RCS＝90°.
我有如下思考：以上两种办法依据的是什么数学原理呢？我还有什么办法不用直角尺也能作出垂线呢？
……
任务：
(1)填空：“办法一”依据的一个数学定理是______________________；
(2) 根据“办法二”的操作过程，证明∠RCS＝90°；
(3)①尺规作图，请在图③的木板上，过点C作出AB的垂线(在木板上保留作图痕迹，不写作法)；

(第20题图③)
②说明你的作法所依据的数学定理或基本事实(写出一个即可)．

21. (本题10分)图①是某车站的一组智能通道闸机，当行人通过时智能闸机会自动识别行人身份，识别成功后，两侧的圆弧翼闸会收回到两侧闸机箱内，这时行人即可通过．图②是两圆弧翼展开时的截面图，扇形ABC和DEF是闸机的“圆弧翼”，两圆弧翼成轴对称，BC和EF均垂直于地面，扇形的圆心角∠ABC＝∠DEF＝28°，半径BA＝ED＝60 cm，点A与点D在同一水平线上，且它们之间的距离为10 cm.

(第21题图)
(1) 求闸机通道的宽度，即BC与EF之间的距离(参考数据： sin 28°≈0.47，cos 28°≈0.88, tan 28°≈0.53)；
(2)经实践调查，一个智能闸机的平均检票速度是一个人工检票口平均检票速度的2倍，180人的团队通过一个智能闸机口比通过一个人工检票口可节约3分钟，求一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数．
22. (本题12分)综合与实践
问题情境：
如图①，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB＝90°，将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBE′(点A的对应点为点C)，延长AE交CE′于点F，连接DE.

(第22题图)
猜想证明：
(1)试判断四边形BE′FE的形状，并说明理由；
(2)如图②，若DA＝DE，请猜想线段CF与FE′的数量关系并加以证明；
解决问题：
(3)如图①，若AB＝15，CF＝3，请直接写出DE的长．

23. (本题13分)综合与探究
如图，抛物线y＝x2－x－3与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C.直线l与抛物线交于A，D两点，与y轴交于点E，点D的坐标为(4，－3)．

(第23题图)
(1)请直接写出A，B两点的坐标及直线l的函数表达式；
(2)若点P是抛物线上的点，点P的横坐标为m (m≥0)，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，PM与直线l交于点N，当点N是线段PM的三等分点时，求点P的坐标；
(3)若点Q是y轴上的点，且∠ADQ＝45°，求点Q的坐标．
2020年山西省初中毕业学业考试
1. C　【解析】原式＝6×3＝18，故选C.
2. D　【解析】逐项分析如下：
选项
逐项分析
正误
A
不是轴对称图形

B
不是轴对称图形

C
不是轴对称图形

D
是轴对称图形
√
3. C　【解析】逐项分析如下：
选项
逐项分析
正误
A
原式＝(3＋2)a＝5a≠5a2

B
原式＝－2a2－1＝－2a≠2a

C
原式＝－8a2×3＝－8a6
√
D
原式＝12a3＋2＝12a5≠12a6

4. B　【解析】A.主视图是，左视图是，两视图不相同，选项错误；B.主视图是，左视图是，两视图相同，选项正确；C.主视图是，左视图是，两视图不相同，选项错误；D.主视图是，左视图是，两视图不相同，选项错误．
5. D　【解析】金字塔高度的测量原理是图形的相似，故选D.
6. A　【解析】解2x－6＞0，得x>3，解4－x＜－1，得x>5，∴不等式组的解集为x>5.
7. A　【解析】∵k<0，∴反比例函数的图象位于第二、四象限内．∵x1
第8题解图
8. B　【解析】如解图，连接CD，∵OA＝OB，AC＝BD，∴OC＝OD.∵∠COD＝60°，∴OC＝OD＝CD＝4.∵AC＝BD＝12 cm，∴OA＝OB＝16 cm，∴S阴影＝S扇形AOB－S扇形COD＝－＝40π(cm2)．
9. C　【解析】根据题意得h＝－5t2＋20t＋1.5＝－5(t－2)2＋21.5，∵－5<0，∴当t＝2 s时，h取最大值为21.5 m.

第10题解图
10. B　【解析】如解图，连接HF，EG，则HF＝AB，EG＝BC.∴S菱形EFGH＝HF·EG＝AB·BC＝S矩形ABCD.∵QM＝HF，MN＝EG，∴S矩形MNPQ＝QM·MN＝HF·EG＝AB·BC＝S矩形ABCD.∴S阴影＝S菱形EFGH－S矩形MNPQ＝S矩形ABCD.∴飞镖落在阴影区域的概率＝＝.
11. 5　【解析】原式＝3＋2＋2－2＝5.
12. (3n＋1)　【解析】根据题意得，第1个图案的三角形个数：4＝3×1＋1；第2个图案的三角形个数：7＝3×2＋1；第3个图案的三角形个数：10＝3×3＋1；…；由上述规律可知，第n个图案的三角形个数：3n＋1.
13. 甲　【解析】根据题意得，甲的极差为12.2－11.8＝0.4，乙的极差为12.3－11.7＝0.6，∵甲与乙的平均数相同，甲的极差小于乙的极差，所以甲的成绩较稳定，故选甲．
14. 2　【解析】设剪去的正方形的边长为x cm，则制作的长方体铁盒的底面边长分别为(10－2x)cm和cm，根据题意列出方程为·(10－2x)＝24，解得x＝2或x＝9，当x＝9时，10－2x<0，不合题意，舍去，∴x＝2.

第15题解图
15. 　【解析】如解图，过点E作EG⊥BD于点G，AB＝＝＝5，由三角形的面积公式得，CD＝＝，∴AD＝＝.∴BD＝AB－AD＝.∵E是BC的中点，EG∥CD，∴BG＝DG＝，EG＝CD＝.∵DC∥GE，∴△ADF∽△AGE.∴＝，即＝，∴DF＝.
16. (1)解：原式＝16×(－)－(－3)(3分)
＝－2＋3＝1；(4分)
(2)解：任务一：①三，分式的基本性质，分式的分子与分母都乘(或除以)同一个不为零的整式，分式的值不变；②五，括号前是“－”号，去掉括号后，括号里的第二项没有变号；(2分)
任务二：－；(9分)
任务三：答案不唯一，如：最后结果应化为最简分式或整式；约分、通分时，应根据分式的基本性质进行变形；分式化简不能与解分式方程混淆等．(10分)
17. 解：设该电饭煲的进价为x元．(1分)
根据题意，得(1＋50%)x·80%－128＝568.(4分)
解得x＝580.(5分)
答：该电饭煲的进价为580元．(6分)
18. 解：如解图，连接OB.(1分)
∵AB与⊙O相切于点B，∴OB⊥AB，∴∠OBA＝90°.(2分)
∵四边形OABC是平行四边形，∴AB∥OC.
∴∠BOC＝∠OBA＝90°.(3分)
∵OB＝OC，∴∠C＝∠OBC＝(180°－∠BOC)＝×(180°－90°)＝45°.(4分)
∵四边形OABC是平行四边形，∴∠A＝∠C＝45°.(5分)
∴∠AOB＝180°－∠A－∠OBA＝180°－45°－90°＝45°.(6分)
∴∠E＝∠AOB＝×45°＝22.5°.(7分)

第18题解图
19. 解：(1)300；
(2)甲更关注在线职位增长率，在“新基建”五大细分领域中，2020年一季度“5G基站建设”在线职位与2019年同期相比增长率最高；(3分)
乙更关注预计投资规模，在“新基建”五大细分领域中，“人工智能”在2020年预计投资规模最大；(4分)
(3)列表如下：(6分)
　　　第二张
第一张　　　
W
G
D
R
X
W

(W，G)
(W，D)
(W，R)
(W，X)
G
(G，W)

(G，D)
(G，R)
(G，X)
D
(D，W)
(D，G)

(D，R)
(D，X)
R
(R，W)
(R，G)
(R，D)

(R，X)
X
(X，W)
(X，G)
(X，D)
(X，R)

或画树状图如下：

第19题解图
由列表(或画树状图)可知一共有20种等可能结果，其中抽到“W”和“R”的结果有2种．(8分)
所以，P(抽到“W”和“R”)＝＝.(9分)
20. (1)解：勾股定理的逆定理(或如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形)；(2分)
(2)证明：由作图方法可知：QR＝QC，QS＝QC，
∴∠QCR＝∠QRC，∠QCS＝∠QSC.(4分)
又∵∠SRC＋∠RCS＋∠RSC＝180°，
∴∠QCR＋∠QCS＋∠QRC＋∠QSC＝180°.(5分)
∴2(∠QCR＋∠QCS)＝180°.
∴∠QCR＋∠QCS＝90°.即∠RCS＝90°.(6分)
(3)解：①如解图，直线CP即为所求．(7分)

第20题解图
②答案不唯一，如：三边分别相等的两个三角形全等(或SSS)；等腰三角形顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线重合(或等腰三角形“三线合一”)；到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，等．(8分)
21. 解：(1)如解图，连接AD，并向两方延长，分别交BC，EF于点M，N.(1分)
由点A与点D在同一水平线上，BC，EF均垂直于地面可知，MN⊥BC，MN⊥EF，∴MN的长度就是BC与EF之间的距离．同时，由两圆弧翼成轴对称可得AM＝DN.(2分)

第21题解图
在Rt△ABM中，∠AMB＝90°，∠ABM＝28°，AB＝60 cm，
∵sin∠ABM＝，
∴AM＝AB·sin∠ABM.(3分)
∴AM＝60×sin 28°≈60×0.47＝28.2 cm.(4分)
∴MN＝AM＋DN＋AD＝2AM＋AD＝28.2×2＋10＝66.4 cm.
∴BC与EF之间的距离为66.4 cm.(5分)
(2)解法一：设一个人工检票口平均每分钟检票通过的人数为x人．(6分)
根据题意，得－3＝，(7分)
解得x＝30.(8分)
经检验x＝30是原分式方程的解．(9分)
当x＝30时，2x＝60.
答：一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数为60人．(10分)
解法二：设一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数为x人．(6分)
根据题意，得＋3＝.(8分)
解得x＝60.(9分)
经检验x＝60是原分式方程的解．
答：一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数为60人．(10分)
22. 解：(1)四边形BE′FE是正方形．(1分)
理由：由旋转可知：∠E′＝∠AEB＝90°，(2分)
∠EBE′＝90°.(3分)
又∵∠AEB＋∠FEB＝180°，∠AEB＝90°，
∴∠FEB＝90°.
∴四边形BE′FE是矩形．(4分)
由旋转可知，BE′＝BE.
∴四边形BE′FE是正方形．(5分)
(2)CF＝FE′.

第22题解图①
证明：如解图①，过点D作DH⊥AE，垂足为点H，(6分)
则∠DHA＝90°，∠1＋∠3＝90°，
∵DA＝DE，
∴AH＝AE.(7分)
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝DA，∠DAB＝90°.
∴∠1＋∠2＝90°.∴∠2＝∠3.
∵∠AEB＝∠DHA＝90°，
∴△AEB≌△DHA.(8分)
∴AH＝BE.
由(1)知四边形BE′FE是正方形，
∴BE＝E′F.∴AH＝E′F.(9分)
由旋转可得CE′＝AE，
∴FE′＝CE′.∴CF＝FE′；(10分)
(3)3.(12分)
【解法提示】如解图②，过点A作DH⊥AE于点H，设正方形BEFE′的边长为x，则AE＝CE′＝x＋3，BE＝x，由勾股定理得，AE2＋BE2＝AB2，∴(x＋3)2＋x2＝152，解得x＝9(负值已舍)，∴BE＝9，AE＝12.∵∠DAH＋∠BAE＝∠DAE＋∠ADH＝90°，∴∠ADH＝∠BAE，又∵AD＝BA，∠AHD＝∠AEB＝90°，∴△ADH≌△BAE(AAS)，∴AH＝BE＝9，DH＝AE＝12，∴EH＝AE－AH＝12－9＝3，∴DE＝＝＝＝3.

第22题解图②
23. 解：(1)A(－2，0)，B(6，0)，直线l的函数表达式为y＝－x－1；(3分)
【解法提示】当y＝0时，代入y＝x2－x－3，得x2－x－3＝0，解得x1＝－2，x2＝6.∵点A在点B的左侧，∴点A的坐标为(－2，0)，点B的坐标为(6，0)．设直线l的表达式为y＝kx＋b，∵直线l与抛物线交于A，D两点，点D的坐标为(4，－3)，点A的坐标为(－2，0)，∴将D(4，－3)，A(－2，0)代入，得解得∴直线l的表达式为y＝－x－1.
(2)如解图①，根据题意可知，点P与点N的坐标分别为
P(m，m2－m－3)，N(m，－m－1)．
PM＝|m2－m－3|＝－m2＋m＋3，MN＝|－m－1|＝m＋1，
NP＝(－m－1)－(m2－m－3)＝－m2＋m＋2.

第23题解图①
分两种情况：
①当PM＝3MN时，得－m2＋m＋3＝3(m＋1)．(4分)
解得m1＝0，m2＝－2(舍去)．
当m＝0时，m2－m－3＝－3.
∴点P的坐标为(0，－3)．(5分)
②当PM＝3NP时，得－m2＋m＋3＝3(－m2＋m＋2)．(6分)
解得m1＝3，m2＝－2(舍去)．
当m＝3时，m2－m－3＝－.
∴点P的坐标为(3，－)．
∴当点N是线段PM的三等分点时，点P的坐标为(0，－3)或(3，－)；(7分)
(3)∵直线y＝－x－1与y轴交于点E，
∴点E坐标为(0，－1)．
分两种情况：①如解图②，当点Q在y轴正半轴上时，记为点Q1，

第23题解图②
过点Q1作Q1H⊥直线l，垂足为点H.则∠Q1HE＝∠AOE＝90°，
∵∠Q1EH＝∠AEO，∴△Q1HE∽△AOE.
∴＝，即＝.∴Q1H＝2HE.(8分)
又∵∠Q1DH＝45°，∠Q1HD＝90°，
∴∠HQ1D＝∠Q1DH＝45°.
∴DH＝Q1H＝2HE.∴HE＝ED.(9分)
连接CD，
∵点C的坐标为(0，－3)，点D的坐标为(4，－3)，
∴CD⊥y轴．
∴ED＝＝＝2.
∴HE＝2，Q1H＝4.
∴Q1E＝＝＝10.
∴OQ1＝Q1E－OE＝10－1＝9.
∴点Q1的坐标为(0，9)．(10分)
②如解图②，当点Q在y轴负半轴上时，记为点Q2，过点Q2作Q2G⊥直线l，垂足为G.
则∠Q2GE＝∠AOE＝90°，
∵∠Q2EG＝∠AEO，∴△Q2GE∽△AOE.
∴＝.即＝.∴Q2G＝2EG.(11分)
又∵∠Q2DG＝45°，∠Q2GD＝90°，
∴∠DQ2G＝∠Q2DG＝45°.
∴DG＝Q2G＝2EG.∴ED＝EG＋DG＝3EG.(12分)
由①可知，ED＝2.∴3EG＝2，∴EG＝，
∴Q2G＝.
∴EQ2＝＝＝.
∴OQ2＝OE＋EQ2＝1＋＝.
∴点Q2的坐标为(0，－)．
∴点Q的坐标为(0，9)或(0，－)．(13分)