中考数学真题：2021鄂州初中毕业生学业考试试题

这是一份中考数学真题：2021鄂州初中毕业生学业考试试题，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

鄂州市2021年初中毕业生学业考试数学试题
(满分120分，时间120分钟)
一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共计30分)
1. 实数6的相反数等于(　　)
A. －6　　　B. 6　　　C. ±6　　　D.
2. 下列运算正确的是(　　)
A. a2·a＝a3 B. 5a－4a＝1 C. a6÷a3＝a2 D. (2a)3＝6a3
3. “国士无双”是人民对“杂交水稻之父”袁隆平院士的赞誉．下列四个汉字中是轴对称图形的是(　　)

4. 下列四个几何体中，主视图是三角形的是(　　)

5. 已知锐角∠AOB＝40°，如图，按下列步骤作图：①在OA边取一点D，以O为圆心，OD长为半径画，交OB于点C，连接CD.②以D为圆心，DO长为半径画，交OB于点E，连接DE.则∠CDE的度数为(　　)

第5题图
A. 20° B. 30° C. 40° D. 50°
6. 已知a1为实数，规定运算：a2＝1－，a3＝1－，a4＝1－，a5＝1－，……，an＝1－.按上述方法计算：当a1＝3时，a2021的值等于(　　)
A. － B. C. － D.
7. 数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，直线y＝2x－1与直线y＝kx＋b(k≠0)相交于点P(2，3)．根据图象可知，关于x的不等式2x－1>kx＋b的解集是(　　)

第7题图

A. x<2 B. x<3 C. x>2 D. x>3
8. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1.筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2.已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB长为6米，⊙O半径长为4米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是(　　)

图① 图②
第8题图
A. 1米 B. (4－)米 C. 2米 D. (4＋)米
9. 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的一部分如图所示．已知图象经过点(－1，0)，其对称轴为直线x＝1.下列结论：①abc<0；②4a＋2b＋c<0；③8a＋c<0；④若抛物线经过点(－3，n)，则关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c－n＝0(a≠0)的两根分别为－3，5.上述结论中正确结论的个数为(　　)
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

第9题图 第10题图　　　
10. 如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝3.点P为△ABC内一点，且满足PA2＋PC2＝AC2.当PB的长度最小时，△ACP的面积是(　　)
A. 3 B. 3 C. D.
二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共计18分)
11. 计算：＝________．
12. “最美鄂州，从我做起”．“五四”青年节当天，马桥村青年志愿小组到胡林社区参加美化社区活动.6名志愿者参加劳动的时间(单位：小时)分别为：3，2，2，3，1，2.这组数据的中位数是________．
13. 已知实数a、b满足＋|b＋3|＝0，若关于x的一元二次方程x2－ax＋b＝0的两个实数根分别为x1、x2，则＋＝________．
14. 如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标为(－1，0)，点A的坐标为(－3，3)，将点A绕点C顺时针旋转90°得到点B，则点B的坐标为________．

第14题图 第15题图
　　15. 如图，点A是反比例函数y＝(x>0)的图象上一点，过点A作AC⊥x轴于点C，AC交反比例函数y＝(x>0)的图象于点B，点P是y轴正半轴上一点．若△PAB的面积为2，则k的值为________．
16. 如图，四边形ABDC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥BD于点D.若BD＝2，CD＝4，则线段AB的长为________．

第16题图
三、解答题(本大题共8小题，17～21题每题8分，22～23题每题10分，24题12分，共计72分)
17. (本题满分8分)先化简，再求值：
÷＋，其中x＝2.






18. (本题满分8分)为了引导青少年学党史、颂党恩、跟党走，某中学举行了“献礼建党百年”党史知识竞赛活动．胡老师从全校学生的答卷中随机地抽取了部分学生的答卷进行了统计分析(卷面满分100分，且得分x均为不小于60的整数)，并将竞赛成绩划分为四个等级：基本合格(60≤x<70)、合格(70≤x<80)、良好(80≤x<90)、优秀(90≤x≤100)，制作了如下统计图(部分信息未给出)：

第18题图

根据图中提供的信息解决下列问题：
(1)(3分)胡老师共抽取了________名学生的成绩进行统计分析，扇形统计图中“基本合格”等级对应的扇形圆心角度数为________，请补全条形统计图；
(2)(5分)现从“优秀”等级的甲、乙、丙、丁四名学生中任选两人参加全市党史知识竞赛活动，请用画树形图的方法求甲学生被选到的概率．







19. (本题满分8分)如图，在▱ABCD中，点E、F分别在边AD、BC上，且∠ABE＝∠CDF.
(1)(4分)探究四边形BEDF的形状，并说明理由；
(2)(4分)连接AC，分别交BE、DF于点G、H，连接BD交AC于点O.若＝，AE＝4，求BC的长．

第19题图














20. (本题满分8分)在全民健身运动中，骑行运动颇受市民青睐，一市民骑自行车由A地出发，途经B地去往C地，如图．当他由A地出发时，发现他的北偏东45°方向有一信号发射塔P.他由A地沿正东方向骑行4 km到达B地，此时发现信号塔P在他的北偏东15°方向，然后他由B地沿北偏东75°方向骑行12 km到达C地．
(1)(4分)求A地与信号发射塔P之间的距离；
(2)(4分)求C地与信号发射塔P之间的距离．(计算结果保留根号)

第20题图









21. (本题满分8分)为了实施乡村振兴战略，帮助农民增加收入，市政府大力扶持农户发展种植业，每亩土地每年发放种植补贴120元．张远村老张计划明年承租部分土地种植某种经济作物．考虑各种因素，预计明年每亩土地种植该作物的成本y(元)与种植面积x(亩)之间满足一次函数关系，且当x＝160时，y＝840；当x＝190时，y＝960.
(1)(3分)求y与x之间的函数关系式(不求自变量的取值范围)；
(2)(5分)受区域位置的限制，老张承租土地的面积不得超过240亩．若老张明年销售该作物每亩的销售额能达到2160元，当种植面积为多少时，老张明年种植该作物的总利润最大？最大利润是多少？(每亩种植利润＝每亩销售额－每亩种植成本＋每亩种植补贴)









22. (本题满分10分)如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，O为BC边上一点，以O为圆心，OB长为半径的⊙O与AC边相切于点D，交BC于点E.
(1)(4分)求证：AB＝AD；
(2)(6分)连接DE，若tan∠EDC＝，DE＝2，求线段EC的长．

第22题图


















23. (本题满分10分)数学课外活动小组的同学在学习了完全平方公式之后，针对两个正数之和与这两个正数之积的算术平方根的两倍之间的关系进行了探究，请阅读以下探究过程并解决问题．
猜想发现
由5＋5＝2＝10；＋＝2＝；0.4＋0.4＝2＝0.8；＋5＞2＝2；0.2＋3.2＞2＝1.6；＋＞2＝
猜想：如果a>0，b>0，那么存在a＋b≥2(当且仅当a＝b时等号成立)．
猜想证明
∵(－)2≥0
∴①当且仅当－＝0，即a＝b时，a－2＋b＝0，∴a＋b＝2；
②当－≠0，即a≠b时，a－2＋b>0，∴a＋b>2.
综合上述可得：若a>0，b>0，则a＋b≥2成立(当且仅当a＝b时等号成立)．
猜想运用(3分)
对于函数y＝x＋(x＞0)，当x取何值时，函数y的值最小？最小值是多少？
变式探究(3分)
对于函数y＝＋x(x>3)，当x取何值时，函数y的值最小？最小值是多少？
拓展应用(4分)
疫情期间，为了解决疑似人员的临时隔离问题，高速公路检测站入口处，检测人员利用检测站的一面墙(墙的长度不限)，用63米长的钢丝网围成了9间相同的长方形隔离房，如图．设每间隔离房的面积为S(米2)．问：每间隔离房的长、宽各为多少时，可使每间隔离房的面积S最大？最大面积是多少？

第23题图










24. (本题满分12分)如图，直线y＝－x＋6与x轴交于点B，与y轴交于点A，点P为线段AB的中点，点Q是线段OA上一动点(不与点O、A重合)．
(1)(3分)请直接写出点A、点B、点P的坐标；
(2)(3分)连接PQ，在第一象限内将△OPQ沿PQ翻折得到△EPQ，点O的对应点为点E.若∠OQE＝90°，求线段AQ的长；
(3)在(2)的条件下，设抛物线y＝ax2－2a2x＋a3＋a＋1(a≠0)的顶点为点C.
①(3分)若点C在△PQE内部(不包括边)，求a的取值范围；
②(3分)在平面直角坐标系内是否存在点C，使|CQ－CE|最大？若存在，请直接写出点C的坐标；若不存在，请说明理由．



鄂州市2021年初中毕业生学业考试数学试题解析
1. A【解析】由相反数的定义可得6的相反数是-6．故选A．
2. A【解析】A.，选项正确，符合题意；B.，选项错误，不符合题意；C.，选项错误，不符合题意；D.，选项错误，不符合题意.故选A．
3. B【解析】A选项中的汉字不是轴对称图形，不符合题意；B选项中的汉字是轴对称图形，符合题意；C选项中的汉字不是轴对称图形，不符合题意；D选项中的汉字不是轴对称图形，不符合题意.故选B．
4. C【解析】根据几何体三视图中主视图的定义；正方体的主视图是矩形，不符合题意；圆柱体的主视图是矩形，不符合题意；圆锥的主视图是三角形，符合题意；球的主视图是圆，不符合题意.故选C．
5. B【解析】∵以为圆心，长为半径画，交于点，∴OD=OC，∴∠ODC=∠OCD，∵∠AOB=40°，∴∠ODC=∠OCD=，∵以为圆心，长为半径画，交于点，∴DO=DE，∴∠DOE=∠DEO=40°，∵∠OCD为△DCE的外角，∴∠OCD=∠DEC+∠CDE，∴70°=40°+∠CDE，∴∠CDE=30°.故选B．
6. D【解析】当时，计算出，会发现是以：，循环出现的规律，，.故选D．
7. C【解析】由题意可知，当时，直线的图像位于直线图像的上方，即关于的不等式的解集为．故选C．
8. B【解析】根据题意和圆的性质知，点C为的中点，如解图，连接OC交AB于点D，则OC⊥AB，AD=BD=AB=3，在Rt△OAD中，OA=4，AD=3，∴OD===，∴CD=OC﹣OD=4-，即点到弦所在直线的距离是（4-）米.故选B．

第8题解图
9. C【解析】①由图象可知，a＜0，b＞0，c＞0，∴abc＜0，故①正确；②∵对称轴为直线x= =1，且图象与x轴交于点（﹣1，0），∴图象与x轴的另一个交点坐标为（3，0），b=﹣2a，∴根据图象，当x=2时，y=4a+2b+c＞0，故②错误；③根据图象，当x=﹣2时，y=4a﹣2b+c=4a+4a+c=8a+c＜0，故③正确；④∵抛物线经过点，∴根据抛物线的对称性，抛物线也经过点，∴抛物线与直线y=n的交点坐标为（﹣3，n）和（5，n），∴一元二次方程的两根分别为，5，故④正确，综上，上述结论中正确结论有①③④.故选C．
10. D【解析】，，如解图，取中点O，并以O为圆心，长为半径画圆，由题意知：当B、P、O三点共线时，BP最短，∴AO=PO=CO，，，，点P是BO的中点，在RT△BCO中，，是等边三角形，，在RT△APC中，，．

第10题解图
11. 3【解析】，
12. 2【解析】将所给6个数据从小到大排列：1，2，2，2，3，3，则中位数为=2．
13.【解析】∵实数、满足，a﹣2=0，b+3=0，解得：a=2，b=﹣3，∴， ∵一元二次方程的两个实数根分别为、，∴+=2，=﹣3，∴=．
14. 【解析】如解图，点绕点顺时针旋转得到点，过点A作x轴垂线，垂足为D，过点B作x轴垂线，垂足为E，

第14题解图
∵点的坐标为，点的坐标为，∴CD=2，AD=3，根据旋转的性质，AC=BC，∵，∴，∵，∴，∴，∴AD=CE=3，CD=BE=2，∴OE=2，BE=2，
∴点的坐标为．
15. 8【解析】如解图，过点A、B分别作y轴垂线，垂足为D、E，

第15题解图
则三角形APB的面积等于四边形ABED面积的一半，根据反比例函数系数k与几何面积的关系可列方程：，解得：．
16. 【解析】如解图，设交于点F，过C作，，，在以为直径的圆上，，，，，，，，，，，，，，，在RT△CEF和RT△BDF中，，，=，，，.

第16题解图
17. 解：原式
，
当时，原式．
18. 解：（1）40，36°，补全条形统计图如解图①所示；
19.
第18题解图①
【解法提示】本次抽取的学生有：20÷50%=40（人），
扇形统计图中“基本合格”等级对应的扇形圆心角度数为360°× =36°，
测试成绩为“合格”的学生有：40-4-20-4=12（人）.
（2）画树状图如解图②：

第18题解图②
共有12种等可能的结果数，其中甲学生被选到的结果数有6种，
∴．
19. 解：（1）四边形为平行四边形．

第19题解图
理由如下：
∵四边形为平行四边形
∴
∵
∴
∵四边形为平行四边形
∴
∴
∴
∵
∴四边形为平行四边形
（2）设，∵
∴，
∵四边形为平行四边形
∴，，
∵
，
∴
∴
∵
∴．
20. 解：（1）依题意知：，，
如解图，过点作于点，

第20题解图
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
（2）∵，，
∴，
过点作于，
∵，，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴.
21. 解：（1）设与之间的函数关系式，依题意得：
，
解得：，
∴与之间的函数关系式为．
（2）设老张明年种植该作物的总利润为元，依题意得：


．
∵，
∴当时，随的增大而增大．
由题意知：，
∴当时，最大，最大值为268800元．
即种植面积为240亩时总利润最大，最大利润268800元．
22. （1）证明：∵，
∴，
又∵经过半径的外端点，
∴切于点，
与边相切于点，
∴．
（2）解：如解图，连接，∵为的直径，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
即，
∵，
∴，，
又∵，，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴（舍去），．
即线段的长为．

第22题解图

23. 解：（1）∵，
∴，
∴，
∴当时，，
此时，
只取，
即时，函数的最小值为2．
（2）∵，
∴，，
∴，
∴当时，，
此时，
∴，（舍去），
即时，函数的最小值为5.
（3）设每间隔离房与墙平行的边为米，与墙垂直的边为米，依题意得：
，
即，
∵，，
∴，
即，
整理得：，
即，
∴当时，
此时，，
即每间隔离房长为米，宽为米时，的最大值为．
24. 解：（1）令x=0代入，y=6，
令y=0代入，x=4，
∴，，
∵点为线段的中点，
∴；
（2）如解图①，如解图①，过点作于，

第24题解图①
∵，
∴，
∴，
∵点，
∴，，
∴，
∵点，
∴，
∴，
即的长为1；
（3）①，

第24题解图②
∴其顶点的坐标为，
∴点是直线上一点，
∵，，
∴当时，，
又∵点在直线上，
∴当点在内部（不含边）时，的取值范围是；
②存在,点C的坐标为.
【解法提示】如解图③，作点Q关于直线的对称点，连接E交直线于点C，则CQ=C，此时==E，最大．

第24题解图③
∵，，P是Q的中点，
∴(4，1)，
∵QE⊥OQ，QE=OQ=5，
∴E(5，5)，
设E的解析式为：y=kx+b，则，解得：，
∴E的解析式为：y=4x-15，
联立，解得：，
∴点C坐标为．