中考数学真题：2021襄阳市初中毕业生学业水平考试

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2021年襄阳市初中毕业生学业水平考试
数学试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考试号填写在试题卷和答题卡上，并将考试号条形码粘贴在答题卡上指定位置。
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试题卷上无效。
3．非选择题(主观题)用0.5毫米的黑色签字笔直接答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效。作图一律用2B铅笔或0.5毫米的黑色签字笔。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将其标号在答题卡上涂黑作答．
1. 下列各数中最大的是(　　)
A. －3　　　B. －2　　　C. 0　　　D. 1
2. 下列计算正确的是(　　)
A. a3÷a3＝a B. a3·a3＝a6
C. (a3)3＝a6 D. (ab3)2＝ab6
3. 如图，a∥b, AC⊥b，垂足为C，∠A＝40°， 则∠1等于(　　)

第3题图
A. 40° B. 45° C. 50° D. 60°
4. 若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是(　　)
A. x≥－3 B. x≥3
C. x≤－3 D. x>－3
5. 如图所示的几何体的主视图是(　　)

6. 随着生产技术的进步，某制药厂生产成本逐年下降．两年前生产一吨药的成本是5000元，现在生产一吨药的成本是4050元．设生产成本的年平均下降率为x，下面所列方程正确的是(　　)
A. 5 000(1＋x)2＝4050 B. 4 050(1＋x)2＝5000
C. 5 000(1－x)2＝4050 D. 4 050(1－x)2＝5 000
7. 正多边形的一个外角等于60°， 这个多边形的边数是(　　)
A. 3 B. 6
C. 9 D. 12
8. 不透明袋子中装有除颜色外完全相同的2个红球和1个白球，从袋子中随机摸出2个球，下列事件是必然事件的是(　　)
A. 摸出的2个球中至少有1个红球
B. 摸出的2个球都是白球
C. 摸出的2个球中1个红球、1 个白球
D. 摸出的2个球都是红球

第9题图
9. 我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“ 今有池方一丈，葭(jiā)生其中，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深几何．”(丈、尺是长度单位，1丈＝10尺．)其大意为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度是多少？则水深为(　　)
A. 10尺 B. 11尺
C. 12尺 D. 13尺
10. 一次函数y＝ax＋b的图象如图所示，则二次函数y＝ax2＋bx的图象可能是(　　)

二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分把答案填在答题卡的相应位置上．
11. 据统计，2021年“五·一”劳动节小长假期间，襄阳市约接待游客2 270 000人次．数字2 270 000用科学记数法表示为________．
12. 不等式组的解集是________．
13. 中国象棋文化历史久远．在图中所示的部分棋盘中，“馬” 的位置在“－－－”(图中虚线)的下方，“馬” 移动一次能够到达的所有位置已用“●”标记，则“馬”随机移动一次，到达的位置在“－－－”上方的概率是________．

第13题图 第14题图
14. 从喷水池喷头喷出的水珠，在空中形成一条抛物线，如图所示，在抛物线各个位置上，水珠的竖直高度y(单位：m)与它距离喷头的水平距离x(单位：m)之间满足函数关系式y＝－2x2＋4x＋1，喷出水珠的最大高度是________m.
15. 点O是△ABC的外心，若∠BOC＝110°，则∠BAC为________°.
16. 如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点E在边BC上，点F在CB的延长线上，∠EAF＝45°，AE交BD于点G，tan∠BAE＝，BF＝2, 则FG＝________．

第16题图
三、解答题：本大题共9个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，并且写在答题卡上每题对应的答题区域内．
17. (本小题满分6分)
先化简，再求值：÷(x－), 其中x＝＋1.















18. (本小题满分6分)
如图，建筑物BC上有一旗杆AB，从与BC相距20 m的D处观测旗杆顶部A的仰角为52°，观测旗杆底部B的仰角为45°，求旗杆AB的高度(结果保留小数点后一位．参考数据：sin52°≈0.79，cos52°≈0.62，tan52°≈1.28, ≈1.41)．

第18题图




19. (本小题满分6分)
为庆祝中国共产党建党100周年，某校举行了“红色华诞，党旗飘扬”党史知识竞赛．为了解竞赛成绩，抽样调查了七、八年级部分学生的分数，过程如下：
(1)收集数据　从该校七、 八年级学生中各随机抽取20名学生的分数，其中八年级的分数如下：
81　83　84　85　86　87　87　88　89　90
92　92　93　95　95　95　99　99　100　100
(2)整理、描述数据　按如下分段整理描述样本数据：
分数x人数年级
80≤
x<85
85≤
x<90
90≤
x<95
95≤
x≤100
七年级
4
6
2
8
八年级
3
a
4
7
(3)分析数据　两组样本数据的平均数、 中位数、众数、方差如下表所示：
年级
平均数
中位数
众数
方差
七年级
91
89
97
40.9
八年级
91
b
c
33.2
根据以上提供的信息，解答下列问题：
①填空： a＝________，b＝________，c＝________；
②样本数据中，七年级甲同学和八年级乙同学的分数都为90分，________同学的分数在本年级抽取的分数中从高到低排序更靠前(填“甲”或“乙”)；
③从样本数据分析来看，分数较整齐的是________年级(填“七”或“八”) ；
④如果七年级共有400人参赛，则该年级约有________人的分数不低于95分．
20. (本小题满分6分)
如图，BD为▱ABCD的对角线．
(1)作对角线BD的垂直平分线，分别交AD, BC, BD于点E，F，O(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)；
(2)连接BE, DF.求证：四边形BEDF为菱形．

第20题图












21. (本小题满分7分)
小欣在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数y＝的图象与性质．其研究过程如下：
(1)绘制函数图象
①列表：下表是x与y的几组对应值，其中m＝___________；
x
…
－4
－3
－2
－
－
y
…
－
－
－1
－2
－3
x
－
－
0
1
2
…
y
3
2
m


…
②描点：根据表中的数值描点(x, y), 请补充描出点(0，m)；
③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请把图象补充完整．

第21题图
(2)探究函数性质
判断下列说法是否正确(正确的填“√”，错误的填“”)．
①函数值y随x的增大而减小；________
②函数图象关于原点对称；________
③函数图象与直线x＝－1没有交点．________
22. (本小题满分8分)
如图，直线AB经过⊙O上的点C，直线BO与⊙O交于点F和点D, OA与⊙O交于点E，与DC交于点G，OA＝OB, CA＝CB.
(1)求证： AB是⊙O的切线；
(2)若FC∥OA, CD＝6，求图中阴影部分面积．

第22题图



23. (本小题满分10分)
为了切实保护汉江生态环境，襄阳市政府对汉江襄阳段实施全面禁渔．禁渔后，某水库自然生态养殖的鱼在市场上热销，经销商老李每天从该水库购进草鱼和鲢鱼进行销售，两种鱼的进价和售价如下表所示：
品种
进价(元/斤)
售价(元/斤)
鲢鱼
a
5
草鱼
b

销量不超过
200斤的部分
销量超过
200斤的部分

8
7

已知老李购进10斤鲢鱼和20斤草鱼需要155元，购进20斤鲢鱼和10斤草鱼需要130元．
(1)求a, b的值；
(2)老李每天购进两种鱼共300斤，并在当天都销售完，其中销售鲢鱼不少于80斤且不超过120斤，设每天销售鲢鱼x斤(销售过程中损耗不计)．
①分别求出每天销售鲢鱼获利y1(元)，销售草鱼获利y2(元)与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
②端午节这天，老李让利销售，将鲢鱼售价每斤降低m元，草鱼售价全部定为7元/斤，为了保证当天销售这两种鱼总获利W(元)的最小值不少于320元，求m的最大值．








24. (本小题满分11分)
在△ABC中，∠ACB＝90°，＝m，D是边BC上一点，将△ABD沿AD折叠得到△AED，连接BE.
(1)特例发现　如图1, 当m＝1, AE落在直线AC上时，
①求证：∠DAC＝∠EBC；②填空：的值为________；
(2)类比探究　如图2, 当m≠1, AE与边BC相交时， 在AD上取一点G，使∠ACG＝∠BCE, CG交AE于点H.探究的值(用含m的式子表示)，并写出探究过程；
(3)拓展运用　在(2)的条件下，当m＝，D是BC的中点时，若EB·EH＝6，求CG的长．




25. (本小题满分12分)
如图，直线y＝x＋1与x, y轴分别交于点B, A，顶点为P的抛物线y＝ax2－2ax＋c过点A.
(1)求出点A, B的坐标及c的值；
(2)若函数y＝ax2－2ax＋c在3≤x≤4时有最大值为a＋2，求a的值；
(3)连接AP，过点A作AP的垂线交x轴于点M.设△BMP的面积为S.
①直接写出S关于a的函数关系式及a的取值范围；
②结合S与a的函数图象，直接写出S>时a的取值范围．



2021年襄阳市初中毕业生学业水平考试
数学试题
一、选择题
1. D　【解析】由于－3<－2<0<1，则最大的数是1.
2. B　【解析】A. a3÷a3＝1，故该选项错误，B. a3·a3＝a6，故该选项正确，C. (a3)3＝a9，故该选项错误，D. (ab3)2＝a2b6，故该选项错误．
3. C　【解析】∵AC⊥b，∴∠ACB＝90°，∵∠A＝40°，∴∠ABC＝90°－∠A＝50°，∵a∥b∴∠1＝∠ABC＝50°.
4. A　【解析】∵二次根式在实数范围内有意义，∴x＋3≥0，即：x≥－3.
5. B　【解析】的主视图为：.
6. C　【解析】设这种药品的成本的年平均下降率为x，根据题意得：5000(1－x)2＝4050.
7. B　【解析】边数＝360°÷60°＝6.
8. A　【解析】袋子里装有2个红球和1个白球，随机摸出2个球，根据抽屉原理可知，随机摸出2个球，至少有1个红球．
9. C　【解析】设水池里的水深为x尺，由题意得：x2＋52＝(x＋1)2，解得：x＝12.
10. D　【解析】观察一次函数图像可知a<0，b＞0，∴二次函数y＝ax2＋bx开口向下，对称轴x＝－＞0.
二、填空题
11. 2.27×106　【解析】2270000＝2.27×106
12. 1－x得：x>，∴不等式组的解集是 13. 　【解析】“馬”移动一次可能到达的位置共有8种，到达“－－－”上方的有2种，故则“馬”随机移动一次，到达的位置在“－－－”上方的概率是＝.
14. 3　【解析】∵y＝－2x2＋4x＋1＝－2(x－1)2＋3，∴当x＝1时，y最大值＝3，
15. 55°或125°　【解析】分两种情况：(1)点A与点O在BC边同侧时，如解图，

第15题解图
∵∠BOC＝110°，∴∠BAC＝110°×＝55°；(2)点A与点O在BC边两侧时，如解图，∵∠BOC＝110°，即所对的圆心角为110° ，∴所对的圆心角为：360°－110°＝250° ，∴∠BAC＝×250°＝125° .
16. 2【解析】如解图，在CD上取点H，使DH＝BF＝2，连接EH、AH，

第16题解图
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADH＝∠ABC＝∠ABF＝90°，AD＝AB，∠BAC＝∠DAC＝45°，
∴△ADH≌△ABF(SAS)，
∴∠DAH＝∠BAF，AH＝AF，
∵∠EAF＝45°，即∠BAF＋∠EAB＝45°，
∴∠DAH＋∠EAB＝45°，则∠EAH＝45°，
∴∠EAF＝∠EAH＝45°，
∴△EAF≌△EAH (SAS)，
∴EF＝EH，
∵tan∠BAE＝＝，
设BE＝a，则AB＝2a，EC＝a，CH＝2a－2，EF＝EH＝a＋2，
在Rt△CEH中，EC2＋CH2＝EH2，即a2＋(2a－2)2＝(a＋2)2，
解得：a＝3，
则AB＝AD＝6，BE＝EC＝3，
在Rt△ABE中，AB2＋BE2＝AE2，
∴AE＝3，
同理AF＝2，
AO＝ABsin45°＝3，
∵BE∥AD，
∴＝＝，
∴AG＝2，
∴＝＝，＝＝，
∴＝，
∵∠EAF＝∠BAC＝45°，
∴∠BAF＝∠OAG，
∴△BAF∽△OAG，
∴AG∶AF＝AO∶AB＝1∶，
∵∠GAF＝∠OAB＝45°，
∴△GAF是等腰直角三角形，
∴FG＝ AG＝2.
二、解答题
17. 解：原式＝÷(－)，
＝÷，
＝·，
＝.
当x＝＋1时，原式＝＝＝1＋.
18. 解：在Rt△BCD中，∵tan∠BDC＝，
∴BC＝CD·tan∠BDC＝20×tan45°＝20 m，
在Rt△ACD中，∵tan∠ADC＝，
∴AC＝CD·tan∠ADC＝20×tan52°≈20×1.28＝25.6 m.
∴AB＝AC－BC＝5.6 m.
答：旗杆AB的高度约为5.6 m.
19. 解：①、整理八年级20名学生的分数，分数在85≤x＜90中的有：85、86、87、87、88、89，故a＝6；
将20名学生成绩从低到高排列，第10名和第11名的成绩为90、92，
中位数为(90＋92)÷2＝91；
20名学生成绩中出现次数最多的为95，故众数为95.
②、七年级学生分数的中位数为89，七年级甲同学的成绩在中位数之前，名次靠前；
八年级的学生分数的中位数为91，八年级乙同学的成绩在中位数以后，名次靠后，
故甲同学的分数在本年级抽取的分数中从高到低排序更靠前；
③、八年级学生分数的方差小于七年级学生分数的方差，故八年级的分数较整齐；
④、抽取的七年级20名同学中分数不低于95分的人有8人，所占比为8÷20＝，故400名七年级学生分数不低于95分的学生约有：400×＝160人．
20. 解：(1)直线EF即为所求(作图如图所示)；

第20题解图


(2)证明：∵EF垂直平分BD.
∴DO＝BO，BE＝DE，BF＝DF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC.
∴∠DEO＝∠BFO，∠EDO＝∠FBO.
∴△DEO≌△BFO.
∴DE＝BF
∴BE＝DE＝DF＝BF.
∴四边形BEDF是菱形．
21. 解：(1)①将x＝0代入解析式中解得m＝1；
②(点如解图所示)；
③(图象如解图所示)．

第21题解图
(2)①x的取值范围是x≠－1，当x＞－1时，y随着x的增大而减小；当x＜－1时，y随着x的增大而减小，故填×；
②图象关于点(－1，0)对称，故填×；
③x的取值范围为x≠－1，所以函数图象与直线x＝－1没有交点，故填√.
22. (1)证明：如解图，连接OC.

第22题解图
∵OA＝OB，CA＝CB.
∴OC⊥AB.
∵OC是⊙O的半径，
∴AB是⊙O切线．
(2)解：∵DF是⊙O的直径，
∴∠DCF＝90°，
∵FC∥OA，
∴∠DGO＝∠DCF＝90°，
∴DG＝CD＝3，
∵OD＝OC，
∴∠DOG＝∠COG，
∵OA＝OB，AC＝CB，
∴∠AOC＝∠BOC，
∴∠DOE＝∠AOC＝∠BOC＝60°，
在Rt△ODG中，OD＝＝2，
∴OG＝OD·cos∠DOG＝，
∴S阴影＝S扇形DOE－S△DOG＝－××3＝2π－.
23. 解：(1)根据题意得：，解得，
(2)①y1＝(5－3.5)x＝1.5x(80≤x≤120)．
当300－x≤200时，即：100≤x≤120，y2＝(8－6)(300－x)＝－2x＋600；
当300－x>200时，即：80≤x<100，y2＝(8－6)×200＋(7－6)(300－x－200)＝－x＋500.
∴y2＝，
②由题意得W＝(5－m－3.5)x＋(7－6)(300－x)＝(0.5－m)x＋300，其中80≤x≤120.
∵当0.5－m≤0时，W＝(0.5－m)x＋300≤300.不合题意．
∴0.5－m>0.
∴W随x的增大而增大．
∴当x＝80时，W的值最小，
由题意得(0.5－m)×80＋300≥320.
解得：m≤0.25.
∴m的最大值为0.25.
24. 解：(1)①证明：如解图①，延长AD交BE于点F.


第21题解图①
由折叠得∠AFB＝90°＝∠ACB.
∴∠DAC＋∠ADC＝∠BDF＋∠EBC＝90°.
∵∠ADC＝∠BDF，
∴∠DAC＝∠EBC.
②当m＝1，即＝1时，
可知AC＝BC，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE(AAS)，
∴CD＝CE，
∴＝1.
故答案为：1；
(2)解：＝m.
理由：如解图②，延长AD交BE于点F，

第21题解图②
由折叠得∠AFB＝90°＝∠ACB.
∴∠ADC＋∠DAC＝∠BDF＋∠CBE＝90°，
∵∠ADC＝∠BDF，
∴∠DAC＝∠CBE，
∵∠ACG＝∠BCE，
∴△ACG∽△BCE，
∴＝＝m.
(3)解：由折叠得∠AFB＝90°，BF＝FE，
∵D是BC的中点，
∴DF∥CE，
∴∠BEC＝∠BFD＝90°，∠AGC＝∠ECG，∠GAH＝∠CEA，
由(2)知△ACG∽△BCE，
∴∠AGC＝∠BEC＝90°，
＝＝＝m＝，
∵D是BC的中点，∴BC＝2CD,
∴＝，
∴＝tan∠GAC＝＝，
设CG＝x，则AG＝x，CE＝x，BE＝2x，
∴AG＝CE，
∵∠GAH＝∠HEC，∠AHG＝∠CHE,
∴△AGH≌△ECH，
∴AH＝EH，GH＝CH，
∴GH＝x，
在Rt△AGH中，由勾股定理得AH＝＝x＝EH，
∵EB·EH＝6，
∴2x·x＝6，
解得x＝±(负值舍去)，
∴CG＝.
25. 解：（1）∵直线y＝x+1与x，y轴分别交于点B，A，
∴点A（0，1），点B（﹣2，0），
∵抛物线y＝ax2﹣2ax+c过点A，
∴c＝1；
（2）∵y＝ax2﹣2ax+1＝a（x﹣1）2+1﹣a，
∴对称轴为直线x＝1，
当a＞0，3≤x≤4时，y随x的增大而增大，
∴当x＝4时，y有最大值，
∴9a+1﹣a＝a+2，
解得：a＝；
当a＜0，3≤x≤4时，y随x的增大而减小，
∴当x＝3时，y有最大值，
∴4a+1﹣a＝a+2，
解得：a＝（不合题意舍去），
综上所述：a＝；
（3）①当a＜0时，则1﹣a＞1，
如解图①，过点P作PN⊥y轴于N，

第25题解图①
∵y＝ax2﹣2ax+1＝a（x﹣1）2+1﹣a，
∴点P坐标为（1，1﹣a），
∴PN＝AO＝1，AN＝1﹣a﹣1＝﹣a，
∵AM⊥AP，PN⊥y轴，
∴∠PNA＝∠PAM＝90°＝∠AOM，
∴∠PAN+∠OAM＝90°，∠OAM+∠AMO＝90°，
∴∠PAN＝∠AMO，
∴△AOM≌△PNA（AAS），
∴OM＝AN＝﹣a，
∴BM＝2﹣a，
∴S＝×（2﹣a）（1﹣a）＝a2﹣a+1；
当a＞0，1﹣a＞0时，即0＜a＜1，
如解图②，过点P作PN⊥y轴于N，

第25题解图②
∴PN＝1＝OA，AN＝1﹣（1﹣a）＝a，
同理可得△AOM≌△PNA，
∴OM＝AN＝a，
∴BM＝2﹣a，
∴S＝×（2﹣a）（1﹣a）＝a2﹣a+1；
当a＞0，﹣1＜1﹣a＜0时，即1＜a＜2，
如解图③，过点P作PN⊥y轴于N，

第25题解图③
∴PN＝1＝OA，ON＝a﹣1，AN＝1+a﹣1＝a，
同理可得△AOM≌△PNA，
∴OM＝AN＝a，
∴BM＝2﹣a，
∴S＝×（2﹣a）（a﹣1）＝﹣a2+a﹣1；
当a＝2时，点B与点M重合，不合题意，
当a＞0，1﹣a＜﹣1时，即a＞2，
如解图④，过点P作PN⊥y轴于N，
∴PN＝1＝OA，ON＝a﹣1，AN＝1+a﹣1＝a，
同理可得△AOM≌△PNA，
∴OM＝AN＝a，
∴BM＝a﹣2，
∴S＝×（a﹣2）（a﹣1）＝a2﹣a+1；
综上所述：S＝．

第25题解图④
②当1＜a＜2时，S＝﹣a2+a﹣1＝﹣（a﹣）2+≤，
∴当1＜a＜2时，不存在a的值使S＞；
当a＜1且a≠0时，S＝a2﹣a+1＞，
∴（a﹣）（a﹣）＞0，
∴a＜或a＞（不合题意舍去）；
当a＞2时，S＝a2﹣a+1＞，
∴（a﹣）（a﹣）＞0，
∴a＜（不合题意舍去）或a＞，
综上所述：a＜且a≠0或a＞．