浙教版七年级上册3.4 实数的运算复习练习题

这是一份浙教版七年级上册3.4 实数的运算复习练习题，共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

3.4实数的运算


一、单选题
1．观察下列式子：①4×12﹣32；②4×22﹣52；③4×32﹣72…根据规律，第2019个式子的值是（　　）
A．8076 B．8077 C．﹣8077 D．﹣8076
【答案】C
【分析】
由①②③三个等式可得，减数是从3开始连续奇数的平方，被减数是从1开始连续自然数的平方的4倍，由此规律得出答案即可
【详解】
∵①4×12﹣32；②4×22﹣52；③4×32﹣72…，
∴第2019个式子的值是：4×20192﹣（2×2019+1）2＝﹣8077，
故选C．
【点睛】
此题考查数字的变化规律，找出数字之间的运算规律，利用规律解决问题．
2．定义一种新运算，a*b=3a－2b．如1*2=3×1－2×2=3－4=－1则（－5）*（－6）得数为（ ）
A．30 B．-27 C．-3 D．3
【答案】C
【分析】
根据*的含义，以及有理数的混合运算的运算方法，即可求出答案．
【详解】
解：∵a*b=3a－2b．
∴；
故选：C．
【点睛】
本题考查了定义新运算，以及有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．
3．观察，，，，，，，，……．归纳计算结果中个位数字的规律，指出的个位数字是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
首先观察可得规律：3n−1的个位数字每4次一循环，又由2018÷4=504……2，即可求得答案．
【详解】
解：观察可得规律：3n−1的个位数字每4次一循环， 
∵2018÷4=504……2， 
∴-1的个位数字是8,
∴的个位数字是9
故选D．
【点睛】
此题考查了有理数的乘方的知识．此题属于规律性题目，难度不大，注意得到规律：3n−1的个位数字每4次一循环是解此题的关键．
4．有一个数值转换器，流程如下：

当输入的值为64时，输出的值是（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【分析】
把64代入转换器，根据要求计算，得到输出的数值即可.
【详解】
∵=8，是有理数，
∴继续转换，
∵=2，是有理数，
∴继续转换，
∵2的算术平方根是，是无理数，
∴输出y=，
故选：C.
【点睛】
本题考查的是算术平方根的概念和性质，一个正数的平方根有两个，正的平方根是这个数的算术平方根；注意有理数和无理数的区别.
5．对于实数x，我们规定[x]表示不大于x的最大整数，如[4]=4，[]=1，[﹣2.5]=﹣3．现对82进行如下操作：，这样对82只需进行3次操作后变为1，类似地，对121只需进行多少次操作后变为1（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】
按照题目给出的信息进行操作计算即可．
【详解】
解：，
∴对121只需进行3次操作后变为1，
故选：C．
【点睛】
本题考查了算术平方根的运算和无理数的估算，解决本题的关键是明确[x]表示不大于x的最大整数．
6．我们知道，一元二次方程x2＝﹣1没有实数根，即不存在一个实数的平方等于﹣1．若我们规定一个新数“i”，使其满足i2＝﹣1（即方程x2＝﹣1有一个根为i）．并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有i1＝i，i2＝﹣1，i3＝i2×i＝（﹣1）×i＝﹣i，i4＝（i2）2＝（﹣1）2＝1，从而对任意正整数n，我们可以得到i4n+1＝i4n×i＝（i4）n×i＝i，i4n+2＝﹣1，i4n+3＝﹣i，i4n＝1．那么i+i2+i3+i4+…+i2012+i2013+…+i2019的值为（　　）
A．0 B．1 C．﹣1 D．i
【答案】C
【分析】
根据已知的式子找出规律，发现4次一循环，一个循环内的和为0，从而得出2019内的循环次数．
【详解】
解：由题意得，i1＝i，i2＝﹣1，i3＝i2•i＝(﹣1)•i＝﹣i，i4＝(i2)2＝(﹣1)2＝1，i5＝i4•i＝i，i6＝i5•i＝﹣1，
故可发现4次一循环，一个循环内的和为0，
∵＝504…3，
∴i+i2+i3+i4+…+i2018+i2019＝i﹣1﹣i＝﹣1．
故选：C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解法中的新定义问题，解题的关键是理解运算法则，通过计算找出规律．
7．将一组数，，3，，，…，，按下面的方法进行排列：
， ， 3， ， ；
， ， ， ， ；
… …
若的位置记为（1，4），的位置记为（2，2），则这组数中最大的有理数的位置记为（ ）
A．（5，2） B．（5，3） C．（6，2） D．（6，5）
【答案】C
【分析】
依据每组数的排列规律，设，这列数中最大的数为，从而得出，根据每行5个数进一步求解即可.
【详解】
设，
∵该列数中，最大的数为，
∴，即，
∵每行5个数，
∴在第六行第二列，
∴该数的位置记为：（6，2）,
故选：C.
【点睛】
本题主要考查了数字的规律探索，正确找出相应规律是解题关键.
8．我们定义新运算如下：当时，；当时，．若，则的值为（ ）
A．-27 B．-47 C．-58 D．-68
【答案】C
【分析】
根据新定义法则判断，，根据新定义内容分别代入计算即可．
【详解】
当时，
∵，
∴ =，
∵，
∴，
则=．
故选：C．
【点睛】
本题考查新定义运算，掌握新定义运算技巧，理解题意为解题关键．


二、填空题
9．已知整数、、、、……满足下列条件：，，，，……，(为正整数)依此类推，则的值为________．
【答案】-1010
【分析】
根据题意计算出、、、、、，发现规律即可求解．
【详解】
∵，
∴=；
；
=；
；
；

根据规律可知=-1010
故答案为：-1010．
【点睛】
此题主要考查实数变化的规律探究，解题的关键是根据题意写出前几个数，发现规律求解．
10．对于两个非0实数x，y，定义一种新的运算：，若，则值是______
【答案】-1
【分析】
根据新定义的运算法则即可求出答案．
【详解】
解：∵1∗(−1)=2，∴，即a−b=2，
∴．
故答案为−1．
【点睛】
本题考查代数式运算，解题的关键是熟练运用整体的思想．　
11．对于能使式子有意义的有理数a，b，定义新运算：a△b＝ ．如果，则x△(y△z)= ____________．
【答案】－
【分析】
先根据分别求出x、y、z的值，再代入求解即可.
【详解】
∵，
∴，
∴，
∵，
∴,
故答案为：.
【点睛】
本题考查有理数的混合运算，此题是定义新运算题型．求出x、y、z的值，并能理解△的运算方法是解题的关键．
12．对于任意非零的有理数，定义新运算法则如下：，则_________．
【答案】
【分析】
利用题中的新定义计算，即可得到结果．
【详解】
解：根据题中的新定义得：，则




故答案为：．
【点睛】
此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
13．计算：_____．
【答案】0
【详解】
【分析】原式利用负整数指数幂法则，立方根定义计算即可求出值．
【解答】解：原式，
故答案为：0
【点评】此题考查了实数的运算，以及负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
14．若表示大于x的最小整数，如，，则下列结论中正确的有______（填写所有正确结论的序号）．
①；②；③；④；⑤存在有理数x使成立．
【答案】①④⑤
【分析】
根据题意表示大于x的最小整数，结合各项进行判断即可得出答案．
【详解】
解：①，根据表示大于x的最小整数，故正确；
②，应该等于，故错误；
③，当x=0.5时，，故错误；
④，根据定义可知，但不会超过x+1，所以成立，故正确；
⑤当x=0.8时，，故正确．
故答案为：①④⑤．
【点睛】
本题主要考查了对题意的理解，准确的理解题意是解决本题的关键．
15．我们定义，例如：，若字母x满足，则x的取值范围是__．
【答案】
【分析】
首先把所求的式子转化成一般的不等式的形式，然后解不等式组即可．
【详解】
解：根据题意得：-1<3x-2x-2<3，
解得：1 故答案为：1 【点睛】
本题考查了解一元一次不等式组，根据定义=ad-bc得出-1＜3x-2x-2＜3是关键．
16．将1，，，按如图方式排列，若规定（m，n）表示第m排从左向右第n个数，则（6，3）与（2000，4）表示的两数之积是_______．

【答案】2．
【分析】
首先计算出前5排和前1999排共有多少个数，然后除以4，根据得到的余数确定（6，3）与（2000，4），即可得到结果．
【详解】
前5排共有1+2+3+4+5=15个数，15÷4=3……3，
∴第6排的第1个数为，
∴第6排的第3个数为，
前1999排共有1+2+3+4+……+1999==1999000，1999000÷4=499750，
∴第2000排的第1个数为1，
∴第2000排的第4个数为，
∴==2．
故答案为：2．
【点睛】
本题考查了算术平方根与规律型：数字的变化类，根据规律判断出是第几个数是解本题的关键．

三、解答题
17．若是不等于1的实数，我们把称为的差倒数，如2的差倒数是， 的差倒数为，现已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，，依此类推．
（1）分别求出，，的值；
（2）计算的值；
（3）计算的值．
【答案】（1）；（2）-1；（3）
【分析】
（1）根据阅读理解差倒数的含义，利用公式直接计算可以得到答案；
（2）利用第（1）的结果进行计算即可得到答案；
（3）利用第（1）的结果发现这一列数是循环的，且是3个数循环，所以每这样的3个数的积相等，只要分析好2019个数中有几组这样的3个数就可得到答案．
【详解】
解：（1）根据题意，得：，，；
（2）由（1）得；
（3）由（1）知，该数列循环周期为3，而且每一个循环内的三个数的乘积
∵，
则

．
【点睛】
本题主要考查了新定义下的运算，以及数字类规律，解题的关键在于能够准确读懂题意．
18．计算题：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）．
【答案】（1）-37；（2）-9；（3）-5；（4）；（5）3；（6）
【分析】
（1）先将同号相加，再进行异号相加即可；
（2）先确定积的符号，将带分数化为假分数再求积即可；
（3）先算乘方，绝对值，算括号内的，再算乘法，最后加减法即可，
（4）根据含乘方运算法则，先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算小括号内的，再算中括号内的，先乘方与小括号内的，再算乘法与小括号内的，再计算小括号内的，最后算乘法即可；
（5）先将带分数化为假分数，再开平方与立方，再计算加减即可；
（6）先计算乘法，平方根，再计算加减即可．
【详解】
解：（1）原式


；
（2）原式
；
（3）原式


；
（4）原式


；
（5）原式


；
（6）原式
．
【点睛】
本题考查加法运算，乘法运算，含乘方的混合运算，算术平方根与立方根运算，掌握含乘方混合运算法则，实数运算法则是解题关键．
19．计算：．
【答案】
【分析】
分别计算乘方、零指数幂、立方根和化简绝对值，再计算乘法、最后计算加法和减法．
【详解】
解：原式=
=
=．
【点睛】
本题考查实数的混合运算．主要考查乘方、零指数幂、立方根和化简绝对值，能分别正确计算是解题关键．
20．对于任意一个四位数m，若千位上的数字与个位上的数字之和是百位上的数字与十位上的数字之和的2倍，则称这个四位数m为“共生数”例如：，因为，所以3507是“共生数”：，因为，所以4135不是“共生数”；
（1）判断5313，6437是否为“共生数”？并说明理由；
（2）对于“共生数”n，当十位上的数字是千位上的数字的2倍，百位上的数字与个位上的数字之和能被9整除时，记．求满足各数位上的数字之和是偶数的所有n．
【答案】（1）是“共生数”， 不是“共生数”． （2）或
【分析】
（1）根据“共生数”的定义逐一判断两个数即可得到答案；
（2）设“共生数”的千位上的数字为 则十位上的数字为 设百位上的数字为 个位上的数字为 可得：＜ 且为整数，再由“共生数”的定义可得：而由题意可得：或 再结合方程的正整数解分类讨论可得答案．
【详解】
解：（1）
是“共生数”，

不是“共生数”．
（2）设“共生数”的千位上的数字为 则十位上的数字为 设百位上的数字为 个位上的数字为
＜ 且为整数，
所以：
由“共生数”的定义可得：



百位上的数字与个位上的数字之和能被9整除，
或或
当 则 则 不合题意，舍去，
当时，则

当时，
此时： ，而不为偶数，舍去，
当时，
此时： ，而为偶数，
当时，
此时： ，而为偶数，
当时，则
而则不合题意，舍去，
综上：满足各数位上的数字之和是偶数的或
【点睛】
本题考查的是新定义情境下的实数的运算，二元一次方程的正整数解，分类讨论的数学思想的运用，准确理解题意列出准确的代数式与方程是解题的关键．
21．计算：
（1）
（2）
【答案】（1）；（2）6
【分析】
（1）先根据乘方的法则，绝对值的性质，立方根的定义逐个计算，再进行实数加减计算；
（2）先根据乘方的运算法则，算术平方根的定义，负1的奇数次幂法则计算，再计算加减.
【详解】
（1）解：原式=，
；
（2）解：原式，
=6.
【点睛】
本题主要考查乘方的法则，绝对值的性质，开平方，开立方运算，解决本题的关键是要熟练掌握实数相关运算法则.
22．计算：﹣＋|﹣2|＋．
【答案】1
【分析】
利用算术平方根，立方根的概念和绝对值的意义进行化简，然后再计算．
【详解】
解：原式＝2﹣3＋2﹣＋
＝1．
【点睛】
本题考查实数的混合运算，掌握算术平方根和立方根的概念，理解绝对值的意义是解题关键．
23．计算：．
【答案】0
【分析】
直接利用立方根的性质和算术平方根性质、实数的运算法则分别化简，再利用有理数的加减运算法则计算得出答案．
【详解】
原式
＝

＝0．
【点睛】
本题考查了平方根和立方根的定义、有理数的加减运算，关键是两种方根的定义及性质，并能熟练地进行运算．
24．计算：
【答案】
【分析】
利用实数的运算法则、去绝对值符号直接计算即可．
【详解】
解：


【点睛】
本题考查了实数的混合运算、去绝对值符号，解题的关键是掌握相关的运算法则．
25．（阅读材料）：如图1，有公共端点的3条射线组成的角的个数为（个）；有公共端点的4条射线组成的角的个数为（个）；有公共端点的5条射线组成的角的个数为（个）．
（探索归纳）：根据图中给出的规律，解决下列问题：
（1）有公共端点的6条射线组成的角个数为__________；
（2）小明同学想求有公共端点的50条射线组成的角的个数，可是在计算时遇到了困难，小强同学给出了解决方法：令①，同时②，则①＋②，得，于是．
请用小强的方法解答，求有公共端点的n条射线组成的角的个数（用含n的代数式表示）；
（拓展应用）：生活中有很多和以上问题类似，某校七年级（2）班举行羽毛球单打比赛，有10名同学参加初赛，初赛规定采用单循环赛（每两名同学赛一场），则这次初赛共要进行多少场？

【答案】探索规律：（1）15个；（2）；拓展应用：45
【分析】
探索归纳：（1）根据题目所给的规律进行求解即可；
（2）由题意可得有公共端点的n条射线组成的角的个数为，令①，同时②，①+②得：，由此即可求解；
拓展应用：根据题意可知，可以把这10名同学看成是10个有公共点的射线，每两名同学赛一场，即可看成两条射线组成一个角，由此求解即可．
【详解】
解：（1）∵有公共端点的3条射线组成的角的个数为1+2=3（个）；有公共端点的4条射线组成的角的个数为1+2+3=6（个）；有公共端点的5条射线组成的角的个数为1+2+3+4=10（个），
∴有公共端点的6条射线组成的角的个数为1+2+3+4+5=15（个），
故答案为：15个；
（2）由题意可得有公共端点的n条射线组成的角的个数为，
令①，同时②，
∴①+②得：，
∴；
拓展应用：根据题意可知，可以把这10名同学看成是10个有公共点的射线，每两名同学赛一场，即可看成两条射线组成一个角，
∴10名同学初赛，每两名同学初赛一场的场数为场，
答：这次初赛共要进行45场．
【点睛】
本题主要考查了数字类的规律，解题的关键在于能够准确观察出所包含的规律．
26．如果2b＝n，那么称b为n的布谷数，记为b＝g（n），如g（8）＝g（23）＝3．
（1）根据布谷数的定义填空：g（2）＝ ，g（32）＝ ．
（2）布谷数有如下运算性质：若m，n为正数，则g（mn）＝g（m）+g（n），g（）＝g（m）﹣g（n）．根据运算性质填空：若g（7）＝2.807．则g（14）＝ ，g（）＝ ．
（3）下表中与数x对应的布谷数g（x）有且仅有两个是错误的，请指出错误的布谷数，要求说明你这样找的理由，并求出正确的答案（用含a，b的代数式表示）．
x


3
6
9
27
g（x）
1﹣4a+2b
1﹣2a+b
2a﹣b
3a﹣2b
4a﹣2b
6a﹣3b

【答案】（1）1，5；（2）3.807，0.807；（3）g（）和g（6）错误，见解析，g（）＝2a﹣b﹣4，g（6）＝1+2a﹣b
【详解】
【分析】（1）根据新定义得出答案即可；
（2）根据新定义得出答案即可；
（3）根据题意得出错误选项，进而得出正确答案．
（1）g（2）＝g（21）＝1，g（32）＝g（25）＝5，
故答案为：1；5；
（2）∵g（7）＝2.807，g（2）＝1，
∴g（14）＝g（7）+g（2）＝3.807，g（）＝g（7）﹣g（4），
∵g（4）＝g（22）＝2，
∴g（）＝2.807﹣2＝0.807，
故答案为：3.807；0.807；
（3）g（）＝g（3）﹣4，
g（）＝1﹣g（3），
g（6）＝g（2）+g（3）＝1+g（3），
g（9）＝2g（3），
g（27）＝3g（3），
从表中数据得到g（3）＝2a﹣b，
∴g（）和g（6）错误，
∴g（）＝2a﹣b﹣4，g（6）＝1+2a﹣b．