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浙教版七年级上册6.9 直线的相交课堂检测
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这是一份浙教版七年级上册6.9 直线的相交课堂检测，共26页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
6.9直线的相交
一、单选题
1．下列命题是真命题的有（ ）个
①对顶角相等；
②一个角的补角大于这个角；
③互为邻补角的两个角的平分线互相垂直；
④若两个实数的和是正数，则这两个实数都是正数．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】
根据对顶角的性质、补角的定义、邻补角的定义与垂直的定义、有理数的加法逐个判断即可．
【详解】
对顶角相等，则命题①是真命题
当这个角是钝角时，它的补角小于这个角，则命题②是假命题
如图，和互为邻补角，是的角平分线
和互为邻补角
是的角平分线
即，则命题③是真命题
若两个实数的和是正数，则这两个实数不一定都是正数
反例：，但实数是负数
则命题④是假命题
综上，真命题的有2个
故选：B．
【点睛】
本题考查了对顶角的性质、补角的定义、邻补角的定义与垂直的定义、有理数的加法，熟记各定义与性质是解题关键．
2．如图，BC⊥AE于点C，CD∥AB，∠B＝55°，则∠1等于（ ）
A．35° B．45° C．55° D．25°
【答案】A
【分析】
根据垂直的定义得到∠∠BCE=90°，根据平行线的性质求出∠BCD=55°，计算即可．
【详解】
解：∵BC⊥AE，
∴∠BCE=90°，
∵CD∥AB，∠B=55°，
∴∠BCD=∠B=55°，
∴∠1=90°-55°=35°，
故选：A．
【点睛】
本题考查的是平行线的性质和垂直的定义，两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．
3．点P为直线外一点：点A、B、C为直线上三点，PA＝4 cm，PB＝5 cm，PC＝2 cm，则点P到直线的距离是 ( )
A．2 cm B．4 cm C．5 cm D．不超过2 cm
【答案】D
【分析】
根据直线外一点P与直线上任意点，所得线段中垂线段最短，因为PA＝4 cm，PB＝5 cm，PC＝2 cm，可得三条线段的最短的线段，点P到直线l的距离应该不超过这条线段的长，据此判断即可．
【详解】
解：连接直线外一点P与直线上任意点，所得线段中垂线段最短；
因为PA＝4 cm，PB＝5 cm，PC＝2 cm，
所以三条线段的最短的是2 cm，
所以点P到直线l的距离不超过2 cm．
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了点到直线的距离的含义以及特征，考查了分析推理能力的应用，解答此题的关键是要明确：连接直线外一点P与直线上任意点，所得线段中垂线段最短．
4．如图，于点，经过点，，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由已知条件和观察图形可知∠COD与∠DOB互余，∠DOB与∠AOE是对顶角，利用这些关系可解此题．
【详解】
∵CO⊥AB，
∴∠COB=90°，
又∵∠COD=50°，
∴∠DOB=90°−50°=40°，
∴∠AOE=∠DOB=40°，
故选B.
【点睛】
此题考查对顶角、邻补角，垂线，解题关键在于掌握∠COD与∠DOB互余.
5．如图，若AB，CD相交于点O，过点O作OE⊥AB，则下列结论不正确的是（ ）
A．∠1与∠2互为余角 B．∠3与∠2互为余角
C．∠2与∠AOE互为补角 D．∠AOC与∠BOD是对顶角
【答案】C
【分析】
根据OE⊥AB可得∠EOB＝90°，再根据对顶角相等可得∠1＝∠3，然后根据余角定义和补角定义进行分析即可．
【详解】
解：A、∠1与∠2互余，说法正确；
B、∠2与∠3互余，说法正确；
C、∠DOE与∠1互补，说法错误，∠DOE与∠2互补；
D、∠AOC与∠BOD是对顶角，说法正确；
故选：C．
【点睛】
本题考查余角、补角、对顶角的定义，熟练掌握基础知识，应用等量代换是关键．
6．如图，直线AB，CD相交于点O，下列条件中：①∠AOD＝90° ；②∠AOD＝∠AOC；③∠AOC+∠BOC＝180°；④∠AOC+∠BOD＝180°，能说明AB⊥CD的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】
根据垂直定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直进行判定即可．
【详解】
解：①∠AOD=90°，可以得出AB⊥CD；
②∵∠AOD＝∠AOC，∠AOC+∠AOD=180°，
∴∠AOD=90°，
∴AB⊥CD：
③∠AOC+∠BOC＝180°，不能得到AB⊥CD；
④∵∠AOC+∠BOD=180°，∠AOC=∠BOD，
∴∠AOC=90°，
∴AB⊥CD；
故能说明AB⊥CD的有①②④共3个．
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了垂直定义，关键是通过条件计算出其中一个角为90°．
7．下列说法不正确的是（ ）
A．对顶角相等 B．两点确定一条直线
C．一个角的补角一定大于这个角 D．垂线段最短
【答案】C
【分析】
根据对顶角的性质，直线的性质，补角的定义，垂线段的性质依次判断即可得到答案．
【详解】
解：A、对顶角相等，故该项不符合题意；
B、两点确定一条直线，故该项不符合题意；
C、一个角的补角一定不大于这个角，故该项符合题意；
D、垂线段最短，故该项不符合题意；
故选：C．
【点睛】
此题考查对顶角的性质，直线的性质，补角的定义，垂线段的性质，正确理解各性质及定义是解题的关键．
8．如图，在三角形中，，，点是线段上任意一点，连接，则线段的长不可能是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【分析】
根据垂线段最短即可判断．
【详解】
∵
∴点A到线段CB最短的最短距离为AC=4
∴AD的长最短为4
故选A．
【点睛】
本题考查了垂线段最短，直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．
二、填空题
9．如图，直线AB与CD相交于点O，EO⊥CD于点O，OF平分∠AOD，且∠BOE＝50°，则∠DOF的度数为__．
【答案】
【分析】
利用垂直定义可得∠COE＝90°，进而可得∠COB的度数，再利用对顶角相等可得∠AOD，再利用角平分线定义可得答案．
【详解】
解：∵EO⊥CD于点O，
∴∠COE＝90°，
∵∠BOE＝50°，
∴∠COB＝90°+50°＝140°，
∴∠AOD＝140°，
∵OF平分∠AOD，
∴∠FOD＝∠AOD＝70°，
故答案为：70°．
【点睛】
此题主要考查了垂直定义，关键是理清图中角之间的和差关系．
10．在直线AB上任取一点O，过点O作射线OC、OD，使∠COD＝90°，当∠AOC＝50°时，∠BOD的度数是____________．
【答案】40°或140°
【分析】
先根据题意可得OC分在AB同侧和异侧两种情況讨论，并画出图，然后根据OC⊥OD与∠AOC＝50°，计算∠BOD的度数.
【详解】
解:当OC、OD在直线AB同侧时，如图
∵∠COD＝90°，∠AOC＝50°
∴∠BOD＝180°-∠COD-∠AOC＝180°-90°-50°＝40°
当OC、OD在直线AB异侧时，如图
∵∠COD＝90°，∠AOC＝50°
∴∠BOD＝180-∠AOD＝180°-（∠DOC-∠AOC)＝180°-(90°-50°)＝140°.
故答案为：40°或140°
【点睛】
解答此类问题时，要注意对不同的情况进行讨论，避免出现漏解.
11．如图，直线AB和CD相交于O点，OM⊥AB，∠BOD：∠COM＝1：3，则∠AOD的度数为_____°．
【答案】157.5
【分析】
先根据∠BOD：∠COM＝1：3，结合垂直的定义，可求出∠DOB，再根据平角关系，即可得出∠AOD的度数．
【详解】
解：∵∠BOD：∠COM＝1：3，OM⊥AB，
∴∠BOM=90°，
∴∠BOD=，
∵∠AOB=180°，
∴∠AOD=∠AOB-∠BOD=157.5°
故答案为：157.5．
【点睛】
本题考查了角的计算，垂线，邻补角，解决本题的关键是利用角之间的和与差进行解答．
12．已知，线段AB垂直于线段CD，垂足为O，OE平分∠AOC，∠BOF＝28°，则∠EOF＝____°．
【答案】107
【分析】
分两种情况：①射线OF在∠BOC内部；②射线OF在∠BOD内部．
【详解】
解：∵AB⊥CD，垂足为O，
∴∠AOC=∠COB=90°，
∵OE平分∠AOC，
∴∠AOE=∠COE=∠AOC=45°．
分两种情况：
①如图1，射线OF在∠BOC内部时，
∵∠AOE=45°，∠BOF=28°，
∴∠EOF=180°-∠AOE-∠BOF=107°；
②如图2，射线OF在∠BOD内部时，
∵∠COE=45°，∠COB=90°，∠BOF=28°，
∴∠EOF=∠COE+∠COB+∠BOF=163°．
故答案为107或163．
【点睛】
本题考查了垂直的定义，角平分线定义以及角的计算，进行分类讨论是解题的关键．
13．如图，，4位同学观察图形后分别说了自己的观点．甲：；乙：；丙：；丁：图中小于平角的角有6个；其中正确的结论有__________个．
【答案】3
【分析】
先根据垂直的定义可得，再逐个判断即可得．
【详解】
，
，
，则甲的结论正确；
，
，则乙的结论正确；
假设，
，
，
又，
，由题中已知条件不能得到，则丙的结论错误；
图中小于平角的角为，共有6个，
则丁的结论正确；
综上，正确的结论有3个，
故答案为：3．
【点睛】
本题考查了垂直的定义、角的和差等知识点，熟练掌握角的运算是解题关键．
14．在同一平面内，直线AB与直线CD相交于点O，，射线，则的度数为________．
【答案】50°或130°
【分析】
先根据垂直的定义求出∠DOE=90°，然后根据对顶角相等求出∠DOB的度数，再根据角的和差求出∠BOE的度数．
【详解】
解：如图1：
∵OE⊥CD，
∴∠DOE=90°，
∵，
∴∠DOB=°，
∴∠BOE=90°-40°=50°，
如图2：
∵OE⊥CD，
∴∠DOE =90°，
∵，
∴∠DOB=°，
∴∠BOE=90°+40°=130°，
故答案为：50°或130°．
【点睛】
本题考查了垂线的定义，对顶角相等，要注意领会由垂直得直角这一要点．
15．如图，直线AB，CD相交于点O，AO平分，且，则的度数是________．
【答案】
【分析】
根据，，求出，利用AO平分，求得，即可得到∠DOB=．
【详解】
∵，，
∴，
∵AO平分，
∴,
∴∠DOB=,
故答案为：．
【点睛】
此题考查求一个角的补角，角平分线的性质，对顶角相等，正确理解补角定义求出是解题的关键．
16．如图，CO⊥AB，垂足为O，∠COE﹣∠BOD=4°，∠AOE+∠COD=116°，则∠AOD=____°．
【答案】150
【分析】
根据垂直可得∠AOC=∠BOC=90°，从而可得∠AOE=90°-∠EOC，∠COD=90°-∠BOD，再代入∠AOE+∠COD=116°可得∠EOC+∠BOD=64°，再和∠COE-∠BOD=4°组成方程组，再解可得∠BOD的度数，进而可得∠AOD的度数．
【详解】
解：∵CO⊥AB，
∴∠AOC=∠BOC=90°，
∴∠AOE=90°-∠EOC，
∠COD=90°-∠BOD，
∵∠AOE+∠COD=116°，
∴90°-∠EOC+90°-∠BOD=116°，
∴∠EOC+∠BOD=64°，
∵∠COE-∠BOD=4°，
∴∠EOC+∠BOD＝64°，∠COE−∠BOD＝4°，
解得：∠COE＝34°，∠BOD＝30°
∴∠AOD=150°，
故答案为：150．
【点睛】
此题主要考查了垂直，以及角的计算，关键是正确理清角之间的关系，得到∠EOC+∠BOD=64°．
三、解答题
17．如图，直线相交于点，求．（结果用表示）
【答案】
【分析】
由对顶角相等，则，然后求出，即可求出．
【详解】
解：根据题意，
∵直线相交于点O，
∴与是对顶角，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
【点睛】
本题考查了对顶角相等，余角的定义，解题的关键是掌握所学的知识，正确的进行角的运算．
18．如图，直线AB，CD，EF相交于点O，且，OG平分，若，求的度数．
【答案】18°
【分析】
首先根据角平分线的性质可得∠EOG=∠BOG，设∠EOG=x°，进而得到∠EOG=∠AOE=x°，再根据平角为180°可得x+x+3x=180，解出x可得∠EOG，进而可得∠DOF的度数．
【详解】
解：∵OG平分∠BOE，
∴∠EOG=∠BOG，
设∠EOG=x°，
∵∠EOG=∠AOE，
∴∠AOE=3x°，
∵x+x+3x=180，
解得：x=36，
∴∠AOE=3×36°=108°，
∴∠AOF=180°-∠AOE=180°-108°=72°，
∵AB⊥CD，
∴∠AOD=90°，
∴∠DOF=∠AOD-∠AOF=90°-72°=18°．
所以∠DOF的度数18°．
【点睛】
此题考查了垂线、角平分线，关键是掌握角平分线可以把角分成相等的两部分．
19．如图1，直线AB上任取一点O，过点O作射线OC（点C在直线AB上方），且∠BOC＝2∠AOC，以O为顶点作∠MON＝90°，点M在射线OB上，点N在直线AB下方，点D是射线ON反向延长线上的一点．
（1）求∠COD的度数；
（2）如图2，将∠MON绕点O逆时针旋转α度（0°＜α＜180°），若三条射线OD、OC、OA，当其中一条射线与另外两条射线所夹角的度数之比为1：2时，求∠BON的度数．
【答案】（1）∠COD=30°；（2）40°或20°或30°
【分析】
（1）由题意易得∠AOC+∠BOC=180°，则有∠BOC=120°，∠AOC=60°，进而问题可求解；
（2）由（1）得：∠COD=30°，∠AOC=60°，然后由题意分①当时，∠COD∶∠AOD=30°∶60°=1∶2，不符合题意，②若射线OD分另外两条射线所夹角度数之比为1∶2时，③若射线OA分另外两条射线所夹角度数之比为1∶2时，进而根据角的和差关系进行分类求解即可．
【详解】
解：（1）∵点O在直线AB上，
∴∠AOC+∠BOC=180°，
∵∠BOC＝2∠AOC，
∴∠BOC=120°，∠AOC=60°，
∵∠MON=90°，点D在射线ON的反向延长线上，
∴∠BOD=90°
∴∠COD=∠BOC-∠BOD=30°；
（2）由（1）得：∠COD=30°，∠AOC=60°，
∴当时，∠COD∶∠AOD=30°∶60°=1∶2，而，
∴OC不能分另外两条射线所夹角度数之比为1∶2，
∴若射线OD分另外两条射线所夹角度数之比为1∶2时，如图所示：
当∠AOD=2∠COD时，则有，
∵∠AOD=∠BON，
∴∠BON=40°；
当∠COD=2∠AOD时，则有，
∴∠BON=∠AOD=20°；
若射线OA分另外两条射线所夹角度数之比为1∶2时，如图所示：
当∠AOD=2∠AOC时，则有，
∴，（不符合题意，舍去），
当∠AOC=2∠AOD时，则有∠AOD=30°，
∴，
∴∠BON=∠AOD=30°；
综上所述：若三条射线OA、OC、OD，当其中一条射线分另外两条射线所夹角度数之比为1∶2时，∠BON的度数为40°或20°或30°．
【点睛】
本题主要考查角的和差关系及对顶角的定义，熟练掌握角的和差关系及对顶角的定义是解题的关键．
20．如图，直线AB、CD交于点O，∠AOM=90°
（1）如图1，若OC平分∠AOM，求∠AOD的度数；
（2）如图2，若∠BOC=4∠NOB，且OM平分∠NOC，求∠MON的度数
【答案】（1）135°；（2）54°
【分析】
（1）根据角平分线的定义求出∠AOC=45°，然后根据邻补角的定义求解即可；
（2）设∠NOB=x°，∠BOC=4x°，根据角平分线的定义表示出∠COM=∠MON=∠CON，再根据∠BOM列出方程求解x，然后求解即可．
【详解】
解（1）∵∠AOM=90°，OC平分∠AOM，
∴∠AOC=∠AOM=×90°=45°，
∵∠AOC+∠AOD=180°，
∴∠AOD=180°-∠AOC=180°-45°=135°，
即∠AOD的度数为135°；
（2）∵∠BOC=4∠NOB
∴设∠NOB=x°，∠BOC=4x°，
∴∠CON=∠COB-∠BON=4x°-x°=3x°，
∵OM平分∠CON，
∴∠COM=∠MON=∠CON=°，
∵∠BOM=x+x=90°，
∴x=36°，
∴∠MON=x°=×36°=54°，
即∠MON的度数为54°．
【点睛】
本题考查了对顶角、邻补角，角平分线的定义，此类题目熟记概念并准确识图是解题的关键，（2）难点在于根据∠BOM列出方程．
21．图1是木工常用的“曲尺”，；现将曲尺顶点O放在直线AB上，曲尺边OM、ON分别在直线AB的左边、右边，过O点在直线AB的左边作射线OC（如图2）．
（1）如图2，当曲尺边OM恰好是的平分线时，那么曲尺边ON所在的直线是否平分，试说明其理由：
（2）如图3．若OC是的平分线，
①_____________（用含的代数式表示）；
②当，求的度数．
【答案】（1）曲尺边ON所在的直线是否平分，理由见详解；（2）；（3）．
【分析】
（1）作辅助线，反向延长射线ON，得射线．通过， ，利用等角的余角相等，进行证明，得到= ，再利用对顶角相等= ，利用等量代换得= ，即可得到答案；
（2）①利用互补得定义得，再利用角平分线得定义得，通过直角的性质得，即可得到答案；
②令，则，再利用直角的性质，则，可得，解出a的值即可得到答案．
【详解】
解：曲尺边ON所在的直线是否平分，理由如下：
反向延长射线ON，得射线
∵OM是∠BOC的平分线
∴∠COM = ∠BOM
又∵
∴，
∴=
∵=
∴= ,
∴曲尺边ON所在的直线是平分．
（2）解：①∵
∴
∵OC是的平分线
∴
又∵
∴
故答案是．
②∵OC是的平分线，
∴
∵
∴
∵
∴
∴
解得：
∴．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质、互余的性质、互补的性质、对顶角的性质，能根据角与角之间的性质，找到它们之间的关系是解答此题的关键．
22．如图，已知直线，相交于点，与互余．
（1）若，求的度数；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）58°；（2）120°
【分析】
（1）先根据对顶角的性质证得，根据与互余计算即可得到答案；
（2）根据，，求得，得到，由即可求出结果．
【详解】
解（1）因为与是对顶角，
所以，
因为与互余，
所以，
所以
；
（2）因为，
所以，
因为，
所以，
，
又，
，
所以
．
【点睛】
此题考查几何图形中角度计算，余角的定义及求一个角的余角，邻补角的定义及求一个角的邻补角的度数，对顶角的性质，掌握图形中各角度的位置关系是解题的关键．
23．如图是小亮跳远时沙坑的示意图，其中l是起跳线，应当怎样测量小亮的跳远成绩，为什么?
【答案】脚印与起跳板间连线要与起跳板垂直，理由是垂线段最短．
【分析】
根据垂线段的性质：垂线段最短进行解答即可．
【详解】
首先，取脚印离起跳板最近点进行测量．测量时，脚印与起跳板间连线要与起跳板垂直，理由是垂线段最短
【点睛】
此题主要考查了垂线段的性质，熟练掌握垂线段最短是解题关键．
24．如图，已知直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB，点O为垂足，OF平分∠AOC，∠COE＝58°，求∠DOF的度数．
【答案】∠DOF＝106°．
【分析】
根据OE⊥AB，∠COE＝58°，可求得∠BOC，∠AOC，由OF平分∠AOC，求得∠AOF，进而求∠DOF的度数．
【详解】
解：∵OE⊥AB，
∴∠AOE＝∠BOE＝90°，
∵∠COE＝58°，
∴∠BOC＝32°，∠AOC＝∠AOE+∠COE＝148°，
∵OF平分∠AOC，
∴∠AOF＝∠AOC＝74°．
∠BOC＝∠AOD，
∴∠DOF＝∠AOD+∠AOF＝32°+74°＝106°．
【点睛】
本题考查了垂直的定义，求一个角的余角，角平分线的定义，对顶角相等，是解题的关键．
25．如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE．
（1）若∠AOC＝76°，求∠BOF的度数；
（2）若∠BOF＝36°，求∠AOC的度数；
（3）请探究∠AOC与∠BOF的数量关系．
【答案】（1）33°；（2）72°；（3）
【分析】
（1）根据对顶角相等求得的度数，然后根据角的平分线的定义求得的度数，则即可求得，再根据角平分线的定义求得，最后根据求解．
（2）利用角平分线定义得出，，进而表示出各角求出答案．
（3）由（1）知，计算即可求解．
【详解】
解：（1），
又平分，
．
，
平分，
，
．
（2）平分，平分，
，，
设，则，
故，，
则，
解得：，
故．
（3）由（1）知
，
即．
【点睛】
本题考查了角平分线的定义，以及对顶角的性质，理解角平分线的定义是关键．
26．如图，是平面内三点．
（1）按要求作图：请先用铅笔作图，确认无误后，再用黑色水笔描深．
①作射线，过点作直线，使两点在直线两旁；
②过点作直线的垂线段，垂足为；
③点为直线上任意一点，点为射线上任意一点，连结线段．
（2）在（1）所作图形中，若点到直线的距离为2，点到射线的距离为5，点、之间的距离为8，点之间的距离为6，则的最小值为__________，依据是___________．
【答案】（1）①见解析；②见解析；③见解析；（2）5，垂线段最短
【分析】
（1）①作射线BC，过点B作直线l，使A、C两点在直线l两旁即可；
②过点A作AE⊥直线，垂足为E，则线段AE为所求；
③点P为直线l上任意一点，点Q为直线BC上任意一点，连接线段AP、PQ即可：
（2）根据垂线段最短，即可求出AP+PQ的最小值．
【详解】
解：如图所示，
（1）①射线BC，直线l即为所求；
②过点A作AE⊥直线，垂足为E，则线段AE为所求；
③点P、Q、线段AP、PQ即为所求；
（2）根据作图可知：
过点A作AQ⊥BC，垂足为Q，与直线相交与点P，
∴AP+PQ的最小值即为点A到直线BC的距离为：AQ=5．
依据为：垂线段最短．
故答案为：5，垂线段最短．
【点睛】
本题考查了点到直线的距离，直线，射线，线段的定义，正确的作出图形是解题的关键．
6.9直线的相交
一、单选题
1．下列命题是真命题的有（ ）个
①对顶角相等；
②一个角的补角大于这个角；
③互为邻补角的两个角的平分线互相垂直；
④若两个实数的和是正数，则这两个实数都是正数．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】
根据对顶角的性质、补角的定义、邻补角的定义与垂直的定义、有理数的加法逐个判断即可．
【详解】
对顶角相等，则命题①是真命题
当这个角是钝角时，它的补角小于这个角，则命题②是假命题
如图，和互为邻补角，是的角平分线
和互为邻补角
是的角平分线
即，则命题③是真命题
若两个实数的和是正数，则这两个实数不一定都是正数
反例：，但实数是负数
则命题④是假命题
综上，真命题的有2个
故选：B．
【点睛】
本题考查了对顶角的性质、补角的定义、邻补角的定义与垂直的定义、有理数的加法，熟记各定义与性质是解题关键．
2．如图，BC⊥AE于点C，CD∥AB，∠B＝55°，则∠1等于（ ）
A．35° B．45° C．55° D．25°
【答案】A
【分析】
根据垂直的定义得到∠∠BCE=90°，根据平行线的性质求出∠BCD=55°，计算即可．
【详解】
解：∵BC⊥AE，
∴∠BCE=90°，
∵CD∥AB，∠B=55°，
∴∠BCD=∠B=55°，
∴∠1=90°-55°=35°，
故选：A．
【点睛】
本题考查的是平行线的性质和垂直的定义，两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．
3．点P为直线外一点：点A、B、C为直线上三点，PA＝4 cm，PB＝5 cm，PC＝2 cm，则点P到直线的距离是 ( )
A．2 cm B．4 cm C．5 cm D．不超过2 cm
【答案】D
【分析】
根据直线外一点P与直线上任意点，所得线段中垂线段最短，因为PA＝4 cm，PB＝5 cm，PC＝2 cm，可得三条线段的最短的线段，点P到直线l的距离应该不超过这条线段的长，据此判断即可．
【详解】
解：连接直线外一点P与直线上任意点，所得线段中垂线段最短；
因为PA＝4 cm，PB＝5 cm，PC＝2 cm，
所以三条线段的最短的是2 cm，
所以点P到直线l的距离不超过2 cm．
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了点到直线的距离的含义以及特征，考查了分析推理能力的应用，解答此题的关键是要明确：连接直线外一点P与直线上任意点，所得线段中垂线段最短．
4．如图，于点，经过点，，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由已知条件和观察图形可知∠COD与∠DOB互余，∠DOB与∠AOE是对顶角，利用这些关系可解此题．
【详解】
∵CO⊥AB，
∴∠COB=90°，
又∵∠COD=50°，
∴∠DOB=90°−50°=40°，
∴∠AOE=∠DOB=40°，
故选B.
【点睛】
此题考查对顶角、邻补角，垂线，解题关键在于掌握∠COD与∠DOB互余.
5．如图，若AB，CD相交于点O，过点O作OE⊥AB，则下列结论不正确的是（ ）
A．∠1与∠2互为余角 B．∠3与∠2互为余角
C．∠2与∠AOE互为补角 D．∠AOC与∠BOD是对顶角
【答案】C
【分析】
根据OE⊥AB可得∠EOB＝90°，再根据对顶角相等可得∠1＝∠3，然后根据余角定义和补角定义进行分析即可．
【详解】
解：A、∠1与∠2互余，说法正确；
B、∠2与∠3互余，说法正确；
C、∠DOE与∠1互补，说法错误，∠DOE与∠2互补；
D、∠AOC与∠BOD是对顶角，说法正确；
故选：C．
【点睛】
本题考查余角、补角、对顶角的定义，熟练掌握基础知识，应用等量代换是关键．
6．如图，直线AB，CD相交于点O，下列条件中：①∠AOD＝90° ；②∠AOD＝∠AOC；③∠AOC+∠BOC＝180°；④∠AOC+∠BOD＝180°，能说明AB⊥CD的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】
根据垂直定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直进行判定即可．
【详解】
解：①∠AOD=90°，可以得出AB⊥CD；
②∵∠AOD＝∠AOC，∠AOC+∠AOD=180°，
∴∠AOD=90°，
∴AB⊥CD：
③∠AOC+∠BOC＝180°，不能得到AB⊥CD；
④∵∠AOC+∠BOD=180°，∠AOC=∠BOD，
∴∠AOC=90°，
∴AB⊥CD；
故能说明AB⊥CD的有①②④共3个．
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了垂直定义，关键是通过条件计算出其中一个角为90°．
7．下列说法不正确的是（ ）
A．对顶角相等 B．两点确定一条直线
C．一个角的补角一定大于这个角 D．垂线段最短
【答案】C
【分析】
根据对顶角的性质，直线的性质，补角的定义，垂线段的性质依次判断即可得到答案．
【详解】
解：A、对顶角相等，故该项不符合题意；
B、两点确定一条直线，故该项不符合题意；
C、一个角的补角一定不大于这个角，故该项符合题意；
D、垂线段最短，故该项不符合题意；
故选：C．
【点睛】
此题考查对顶角的性质，直线的性质，补角的定义，垂线段的性质，正确理解各性质及定义是解题的关键．
8．如图，在三角形中，，，点是线段上任意一点，连接，则线段的长不可能是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【分析】
根据垂线段最短即可判断．
【详解】
∵
∴点A到线段CB最短的最短距离为AC=4
∴AD的长最短为4
故选A．
【点睛】
本题考查了垂线段最短，直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．
二、填空题
9．如图，直线AB与CD相交于点O，EO⊥CD于点O，OF平分∠AOD，且∠BOE＝50°，则∠DOF的度数为__．
【答案】
【分析】
利用垂直定义可得∠COE＝90°，进而可得∠COB的度数，再利用对顶角相等可得∠AOD，再利用角平分线定义可得答案．
【详解】
解：∵EO⊥CD于点O，
∴∠COE＝90°，
∵∠BOE＝50°，
∴∠COB＝90°+50°＝140°，
∴∠AOD＝140°，
∵OF平分∠AOD，
∴∠FOD＝∠AOD＝70°，
故答案为：70°．
【点睛】
此题主要考查了垂直定义，关键是理清图中角之间的和差关系．
10．在直线AB上任取一点O，过点O作射线OC、OD，使∠COD＝90°，当∠AOC＝50°时，∠BOD的度数是____________．
【答案】40°或140°
【分析】
先根据题意可得OC分在AB同侧和异侧两种情況讨论，并画出图，然后根据OC⊥OD与∠AOC＝50°，计算∠BOD的度数.
【详解】
解:当OC、OD在直线AB同侧时，如图
∵∠COD＝90°，∠AOC＝50°
∴∠BOD＝180°-∠COD-∠AOC＝180°-90°-50°＝40°
当OC、OD在直线AB异侧时，如图
∵∠COD＝90°，∠AOC＝50°
∴∠BOD＝180-∠AOD＝180°-（∠DOC-∠AOC)＝180°-(90°-50°)＝140°.
故答案为：40°或140°
【点睛】
解答此类问题时，要注意对不同的情况进行讨论，避免出现漏解.
11．如图，直线AB和CD相交于O点，OM⊥AB，∠BOD：∠COM＝1：3，则∠AOD的度数为_____°．
【答案】157.5
【分析】
先根据∠BOD：∠COM＝1：3，结合垂直的定义，可求出∠DOB，再根据平角关系，即可得出∠AOD的度数．
【详解】
解：∵∠BOD：∠COM＝1：3，OM⊥AB，
∴∠BOM=90°，
∴∠BOD=，
∵∠AOB=180°，
∴∠AOD=∠AOB-∠BOD=157.5°
故答案为：157.5．
【点睛】
本题考查了角的计算，垂线，邻补角，解决本题的关键是利用角之间的和与差进行解答．
12．已知，线段AB垂直于线段CD，垂足为O，OE平分∠AOC，∠BOF＝28°，则∠EOF＝____°．
【答案】107
【分析】
分两种情况：①射线OF在∠BOC内部；②射线OF在∠BOD内部．
【详解】
解：∵AB⊥CD，垂足为O，
∴∠AOC=∠COB=90°，
∵OE平分∠AOC，
∴∠AOE=∠COE=∠AOC=45°．
分两种情况：
①如图1，射线OF在∠BOC内部时，
∵∠AOE=45°，∠BOF=28°，
∴∠EOF=180°-∠AOE-∠BOF=107°；
②如图2，射线OF在∠BOD内部时，
∵∠COE=45°，∠COB=90°，∠BOF=28°，
∴∠EOF=∠COE+∠COB+∠BOF=163°．
故答案为107或163．
【点睛】
本题考查了垂直的定义，角平分线定义以及角的计算，进行分类讨论是解题的关键．
13．如图，，4位同学观察图形后分别说了自己的观点．甲：；乙：；丙：；丁：图中小于平角的角有6个；其中正确的结论有__________个．
【答案】3
【分析】
先根据垂直的定义可得，再逐个判断即可得．
【详解】
，
，
，则甲的结论正确；
，
，则乙的结论正确；
假设，
，
，
又，
，由题中已知条件不能得到，则丙的结论错误；
图中小于平角的角为，共有6个，
则丁的结论正确；
综上，正确的结论有3个，
故答案为：3．
【点睛】
本题考查了垂直的定义、角的和差等知识点，熟练掌握角的运算是解题关键．
14．在同一平面内，直线AB与直线CD相交于点O，，射线，则的度数为________．
【答案】50°或130°
【分析】
先根据垂直的定义求出∠DOE=90°，然后根据对顶角相等求出∠DOB的度数，再根据角的和差求出∠BOE的度数．
【详解】
解：如图1：
∵OE⊥CD，
∴∠DOE=90°，
∵，
∴∠DOB=°，
∴∠BOE=90°-40°=50°，
如图2：
∵OE⊥CD，
∴∠DOE =90°，
∵，
∴∠DOB=°，
∴∠BOE=90°+40°=130°，
故答案为：50°或130°．
【点睛】
本题考查了垂线的定义，对顶角相等，要注意领会由垂直得直角这一要点．
15．如图，直线AB，CD相交于点O，AO平分，且，则的度数是________．
【答案】
【分析】
根据，，求出，利用AO平分，求得，即可得到∠DOB=．
【详解】
∵，，
∴，
∵AO平分，
∴,
∴∠DOB=,
故答案为：．
【点睛】
此题考查求一个角的补角，角平分线的性质，对顶角相等，正确理解补角定义求出是解题的关键．
16．如图，CO⊥AB，垂足为O，∠COE﹣∠BOD=4°，∠AOE+∠COD=116°，则∠AOD=____°．
【答案】150
【分析】
根据垂直可得∠AOC=∠BOC=90°，从而可得∠AOE=90°-∠EOC，∠COD=90°-∠BOD，再代入∠AOE+∠COD=116°可得∠EOC+∠BOD=64°，再和∠COE-∠BOD=4°组成方程组，再解可得∠BOD的度数，进而可得∠AOD的度数．
【详解】
解：∵CO⊥AB，
∴∠AOC=∠BOC=90°，
∴∠AOE=90°-∠EOC，
∠COD=90°-∠BOD，
∵∠AOE+∠COD=116°，
∴90°-∠EOC+90°-∠BOD=116°，
∴∠EOC+∠BOD=64°，
∵∠COE-∠BOD=4°，
∴∠EOC+∠BOD＝64°，∠COE−∠BOD＝4°，
解得：∠COE＝34°，∠BOD＝30°
∴∠AOD=150°，
故答案为：150．
【点睛】
此题主要考查了垂直，以及角的计算，关键是正确理清角之间的关系，得到∠EOC+∠BOD=64°．
三、解答题
17．如图，直线相交于点，求．（结果用表示）
【答案】
【分析】
由对顶角相等，则，然后求出，即可求出．
【详解】
解：根据题意，
∵直线相交于点O，
∴与是对顶角，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
【点睛】
本题考查了对顶角相等，余角的定义，解题的关键是掌握所学的知识，正确的进行角的运算．
18．如图，直线AB，CD，EF相交于点O，且，OG平分，若，求的度数．
【答案】18°
【分析】
首先根据角平分线的性质可得∠EOG=∠BOG，设∠EOG=x°，进而得到∠EOG=∠AOE=x°，再根据平角为180°可得x+x+3x=180，解出x可得∠EOG，进而可得∠DOF的度数．
【详解】
解：∵OG平分∠BOE，
∴∠EOG=∠BOG，
设∠EOG=x°，
∵∠EOG=∠AOE，
∴∠AOE=3x°，
∵x+x+3x=180，
解得：x=36，
∴∠AOE=3×36°=108°，
∴∠AOF=180°-∠AOE=180°-108°=72°，
∵AB⊥CD，
∴∠AOD=90°，
∴∠DOF=∠AOD-∠AOF=90°-72°=18°．
所以∠DOF的度数18°．
【点睛】
此题考查了垂线、角平分线，关键是掌握角平分线可以把角分成相等的两部分．
19．如图1，直线AB上任取一点O，过点O作射线OC（点C在直线AB上方），且∠BOC＝2∠AOC，以O为顶点作∠MON＝90°，点M在射线OB上，点N在直线AB下方，点D是射线ON反向延长线上的一点．
（1）求∠COD的度数；
（2）如图2，将∠MON绕点O逆时针旋转α度（0°＜α＜180°），若三条射线OD、OC、OA，当其中一条射线与另外两条射线所夹角的度数之比为1：2时，求∠BON的度数．
【答案】（1）∠COD=30°；（2）40°或20°或30°
【分析】
（1）由题意易得∠AOC+∠BOC=180°，则有∠BOC=120°，∠AOC=60°，进而问题可求解；
（2）由（1）得：∠COD=30°，∠AOC=60°，然后由题意分①当时，∠COD∶∠AOD=30°∶60°=1∶2，不符合题意，②若射线OD分另外两条射线所夹角度数之比为1∶2时，③若射线OA分另外两条射线所夹角度数之比为1∶2时，进而根据角的和差关系进行分类求解即可．
【详解】
解：（1）∵点O在直线AB上，
∴∠AOC+∠BOC=180°，
∵∠BOC＝2∠AOC，
∴∠BOC=120°，∠AOC=60°，
∵∠MON=90°，点D在射线ON的反向延长线上，
∴∠BOD=90°
∴∠COD=∠BOC-∠BOD=30°；
（2）由（1）得：∠COD=30°，∠AOC=60°，
∴当时，∠COD∶∠AOD=30°∶60°=1∶2，而，
∴OC不能分另外两条射线所夹角度数之比为1∶2，
∴若射线OD分另外两条射线所夹角度数之比为1∶2时，如图所示：
当∠AOD=2∠COD时，则有，
∵∠AOD=∠BON，
∴∠BON=40°；
当∠COD=2∠AOD时，则有，
∴∠BON=∠AOD=20°；
若射线OA分另外两条射线所夹角度数之比为1∶2时，如图所示：
当∠AOD=2∠AOC时，则有，
∴，（不符合题意，舍去），
当∠AOC=2∠AOD时，则有∠AOD=30°，
∴，
∴∠BON=∠AOD=30°；
综上所述：若三条射线OA、OC、OD，当其中一条射线分另外两条射线所夹角度数之比为1∶2时，∠BON的度数为40°或20°或30°．
【点睛】
本题主要考查角的和差关系及对顶角的定义，熟练掌握角的和差关系及对顶角的定义是解题的关键．
20．如图，直线AB、CD交于点O，∠AOM=90°
（1）如图1，若OC平分∠AOM，求∠AOD的度数；
（2）如图2，若∠BOC=4∠NOB，且OM平分∠NOC，求∠MON的度数
【答案】（1）135°；（2）54°
【分析】
（1）根据角平分线的定义求出∠AOC=45°，然后根据邻补角的定义求解即可；
（2）设∠NOB=x°，∠BOC=4x°，根据角平分线的定义表示出∠COM=∠MON=∠CON，再根据∠BOM列出方程求解x，然后求解即可．
【详解】
解（1）∵∠AOM=90°，OC平分∠AOM，
∴∠AOC=∠AOM=×90°=45°，
∵∠AOC+∠AOD=180°，
∴∠AOD=180°-∠AOC=180°-45°=135°，
即∠AOD的度数为135°；
（2）∵∠BOC=4∠NOB
∴设∠NOB=x°，∠BOC=4x°，
∴∠CON=∠COB-∠BON=4x°-x°=3x°，
∵OM平分∠CON，
∴∠COM=∠MON=∠CON=°，
∵∠BOM=x+x=90°，
∴x=36°，
∴∠MON=x°=×36°=54°，
即∠MON的度数为54°．
【点睛】
本题考查了对顶角、邻补角，角平分线的定义，此类题目熟记概念并准确识图是解题的关键，（2）难点在于根据∠BOM列出方程．
21．图1是木工常用的“曲尺”，；现将曲尺顶点O放在直线AB上，曲尺边OM、ON分别在直线AB的左边、右边，过O点在直线AB的左边作射线OC（如图2）．
（1）如图2，当曲尺边OM恰好是的平分线时，那么曲尺边ON所在的直线是否平分，试说明其理由：
（2）如图3．若OC是的平分线，
①_____________（用含的代数式表示）；
②当，求的度数．
【答案】（1）曲尺边ON所在的直线是否平分，理由见详解；（2）；（3）．
【分析】
（1）作辅助线，反向延长射线ON，得射线．通过， ，利用等角的余角相等，进行证明，得到= ，再利用对顶角相等= ，利用等量代换得= ，即可得到答案；
（2）①利用互补得定义得，再利用角平分线得定义得，通过直角的性质得，即可得到答案；
②令，则，再利用直角的性质，则，可得，解出a的值即可得到答案．
【详解】
解：曲尺边ON所在的直线是否平分，理由如下：
反向延长射线ON，得射线
∵OM是∠BOC的平分线
∴∠COM = ∠BOM
又∵
∴，
∴=
∵=
∴= ,
∴曲尺边ON所在的直线是平分．
（2）解：①∵
∴
∵OC是的平分线
∴
又∵
∴
故答案是．
②∵OC是的平分线，
∴
∵
∴
∵
∴
∴
解得：
∴．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质、互余的性质、互补的性质、对顶角的性质，能根据角与角之间的性质，找到它们之间的关系是解答此题的关键．
22．如图，已知直线，相交于点，与互余．
（1）若，求的度数；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）58°；（2）120°
【分析】
（1）先根据对顶角的性质证得，根据与互余计算即可得到答案；
（2）根据，，求得，得到，由即可求出结果．
【详解】
解（1）因为与是对顶角，
所以，
因为与互余，
所以，
所以
；
（2）因为，
所以，
因为，
所以，
，
又，
，
所以
．
【点睛】
此题考查几何图形中角度计算，余角的定义及求一个角的余角，邻补角的定义及求一个角的邻补角的度数，对顶角的性质，掌握图形中各角度的位置关系是解题的关键．
23．如图是小亮跳远时沙坑的示意图，其中l是起跳线，应当怎样测量小亮的跳远成绩，为什么?
【答案】脚印与起跳板间连线要与起跳板垂直，理由是垂线段最短．
【分析】
根据垂线段的性质：垂线段最短进行解答即可．
【详解】
首先，取脚印离起跳板最近点进行测量．测量时，脚印与起跳板间连线要与起跳板垂直，理由是垂线段最短
【点睛】
此题主要考查了垂线段的性质，熟练掌握垂线段最短是解题关键．
24．如图，已知直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB，点O为垂足，OF平分∠AOC，∠COE＝58°，求∠DOF的度数．
【答案】∠DOF＝106°．
【分析】
根据OE⊥AB，∠COE＝58°，可求得∠BOC，∠AOC，由OF平分∠AOC，求得∠AOF，进而求∠DOF的度数．
【详解】
解：∵OE⊥AB，
∴∠AOE＝∠BOE＝90°，
∵∠COE＝58°，
∴∠BOC＝32°，∠AOC＝∠AOE+∠COE＝148°，
∵OF平分∠AOC，
∴∠AOF＝∠AOC＝74°．
∠BOC＝∠AOD，
∴∠DOF＝∠AOD+∠AOF＝32°+74°＝106°．
【点睛】
本题考查了垂直的定义，求一个角的余角，角平分线的定义，对顶角相等，是解题的关键．
25．如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE．
（1）若∠AOC＝76°，求∠BOF的度数；
（2）若∠BOF＝36°，求∠AOC的度数；
（3）请探究∠AOC与∠BOF的数量关系．
【答案】（1）33°；（2）72°；（3）
【分析】
（1）根据对顶角相等求得的度数，然后根据角的平分线的定义求得的度数，则即可求得，再根据角平分线的定义求得，最后根据求解．
（2）利用角平分线定义得出，，进而表示出各角求出答案．
（3）由（1）知，计算即可求解．
【详解】
解：（1），
又平分，
．
，
平分，
，
．
（2）平分，平分，
，，
设，则，
故，，
则，
解得：，
故．
（3）由（1）知
，
即．
【点睛】
本题考查了角平分线的定义，以及对顶角的性质，理解角平分线的定义是关键．
26．如图，是平面内三点．
（1）按要求作图：请先用铅笔作图，确认无误后，再用黑色水笔描深．
①作射线，过点作直线，使两点在直线两旁；
②过点作直线的垂线段，垂足为；
③点为直线上任意一点，点为射线上任意一点，连结线段．
（2）在（1）所作图形中，若点到直线的距离为2，点到射线的距离为5，点、之间的距离为8，点之间的距离为6，则的最小值为__________，依据是___________．
【答案】（1）①见解析；②见解析；③见解析；（2）5，垂线段最短
【分析】
（1）①作射线BC，过点B作直线l，使A、C两点在直线l两旁即可；
②过点A作AE⊥直线，垂足为E，则线段AE为所求；
③点P为直线l上任意一点，点Q为直线BC上任意一点，连接线段AP、PQ即可：
（2）根据垂线段最短，即可求出AP+PQ的最小值．
【详解】
解：如图所示，
（1）①射线BC，直线l即为所求；
②过点A作AE⊥直线，垂足为E，则线段AE为所求；
③点P、Q、线段AP、PQ即为所求；
（2）根据作图可知：
过点A作AQ⊥BC，垂足为Q，与直线相交与点P，
∴AP+PQ的最小值即为点A到直线BC的距离为：AQ=5．
依据为：垂线段最短．
故答案为：5，垂线段最短．
【点睛】
本题考查了点到直线的距离，直线，射线，线段的定义，正确的作出图形是解题的关键．
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