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2022-2023学年广东省深圳市福田区莲花中学八年级（上）期末数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年广东省深圳市福田区莲花中学八年级（上）期末数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年广东省深圳市福田区莲花中学八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 在实数−227、0、− 3、 9、π+1、327、0.10⋅1⋅中，无理数的个数是( )
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
2. 4的算术平方根是( )
A. ±2 B. −2 C. 2 D. 2
3. 在一次投篮训练中，甲、乙、丙、丁四人各进行10次投篮，每人投篮成绩的平均数都是8，方差分别为S甲2=0.24，S乙2=0.42，S丙2=0.56，S丁2=0.75，成绩最稳定的是( )
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
4. 点M在y轴的左侧，到x轴、y轴的距离分别是3和5，点M坐标为( )
A. (−5,3) B. (−5,−3)
C. (5,3)或(−5,3) D. (−5,3)或(−5,−3)
5. 某商场对上周末某品牌运动服的销售情况进行了统计，如下表所示：经理决定本周进货时多进一些红色的，可用来解释这一现象的统计知识是( )
颜色
黄色
绿色
白色
紫色
红色
数量(件)
120
150
230
75
430
A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 平均数与中位数
6. 如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中AB=18cm，BC=12cm，BF=10cm，点M在棱AB上，且AM=6cm，点N是FG的中点，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为( )
A. 20cm B. 2 106cm C. (12+2 34)cm D. 18cm
7. 点A(−5,y1)和B(−2,y2)都在直线y=−3x+2上，则y1与y2的关系是( )
A. y1≤y2 B. y1=y2 C. y1y2
8. 二元一次方程组2x+y=5k2x−y=7k的解满足方程13x−2y=5，那么k的值为( )
A. 35 B. 53 C. −5 D. 1
9. 甲乙两地相距360千米，一轮船往返于甲、乙两地之间，顺水行船用18小时，逆水行船用24小时，若设船在静水中的速度为x千米/时，水流速度为y千米/时，则下列方程组中正确的是( )
A. 18(x+y)=36024(x−y)=360 B. 18(x+y)=36024(x+y)=360
C. 18(x−y)=36024(x−y)=360 D. 18(x−y)=36024(x+y)=360
10. 给出下列说法：
①直线y=−2x+4与直线y=x+1的交点坐标是(1,2)；
②一次函数y=kx+b，若k>0，b<0，那么它的图象过第一、二、三象限；
③函数y=−6x是一次函数，且y随x增大而减小；
④已知一次函数的图象与直线y=−x+1平行，且过点(8,2)，那么此一次函数的解析式为y=−x+6；
⑤直线y=kx+k−1必经过点(−1,−1)．
其中正确的有( )
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11. 3−164= ______ ．
12. 直线y=kx+b平行于直线y=3x，且过点(1,−2)，则其解析式为 ．
13. 某宾馆在重新装修后，准备在大厅的主楼梯上铺上红色地毯．已知楼梯总高度5米，楼梯长13米，主楼道宽2米；这种红色地毯的售价为每平方米30元，其侧面如图所示，则购买地毯至少需要______元．
14. 如图，在正方形纸片ABCD中，E是CD的中点，将正方形纸片折叠，点B落在线段AE上的点G处，折痕为AF.若DE=1，则BF的长为______．
15. 如图，点A(6,0)，B(0,2)，点P在直线y=−x−1上，且∠ABP=45°，则点P的坐标为______．
三、解答题（本大题共7小题，共55.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. (本小题8.0分)
计算题：
(1) 20+ 5 5−2；
(2)(π−1)0+(−12)−2−|5− 3|−2 3．
17. (本小题8.0分)
解方程组：
(1)x+y=85x+3y=34；
(2)2(x−y)3+1=x+y43(x+y)−2(2x−y)=8．
18. (本小题6.0分)
为强化劳动观念，弘扬劳动精神，某学校要求学生周末时间积极参加家务劳动，承担一定的家庭日常清洁、烹饪、家居美化等劳动，进一步培养生活自理能力和习惯，增强家庭责任意识．该学校为了解八年级同学们周末家务劳动时间的大致情况，随机调查了部分八年级同学，并用得到的数据绘制了两幅统计图，请你根据图中信息，解答下列问题：
(1)将条形统计图补充完整；
(2)扇形图中的“2小时”部分的圆心角是______度；本次抽查的学生劳动时间的众数是______小时，中位数为______小时；
(3)这所学校八年级学生每个周末平均劳动的时间约多少小时？
19. (本小题7.0分)
在如图的直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，△ABC的三个顶点都在格点上(每个小方格的顶点叫格点)，点A的坐标为(−2,3)．
(1)请画出△ABC关于x轴对称的△A′B′C′(不写画法，其中A′，B′，C′分别是A，B，C的对应点)；
(2)直接写出A′，B′，C′三点的坐标：A′(______ )，B′(______ )，C′(______ )；
(3)在y轴上求作一点P，使PA+PB的值最小并写出最小值．
20. (本小题8.0分)
有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度DE=0.5m，将它往前推送2m(水平距离BC=2m)时，秋千的踏板离地的垂直高度BF=1.5m，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索AD的长度．
21. (本小题9.0分)
城关中学九(6)班的毕业复习资料复印业务原来由宏图复印社承接，其收费y1(元)与复印页数x(页)的关系如下表：
x(页)
100
200
400
1000
…
y1(元)
15
30
60
150
…
(1)y1与x的函数关系是否满足一次函数关系？
(2)现在另一家复印社明晰复印社表示：若学校先按每月付给200元的承包费，则可按每页0.10元收费，请写出明晰复印社每月收费y2(元)与复印页数x(页)的函数表达式；
(3)你若是班级的学习委员，在复印资料时，选择哪家复印社比较优惠，说明理由．
22. (本小题9.0分)
如图，在平面直角坐标系中，直线AB：y=kx+1(k≠0)交y轴于点A，交x轴于点B(3,0)，点P是直线AB上方第一象限内的动点．
(1)求直线AB的表达式和点A的坐标；
(2)点P是直线x=2上一动点，当△ABP的面积与△ABO的面积相等时，求点P的坐标；
(3)当△ABP为等腰直角三角形时，请直接写出点P的坐标．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：−227是分数，属于有理数；
0， 9=3，327=3，是整数，属于有理数；
0.10⋅1⋅是循环小数，属于有理数；
无理数有：− 3，π+1共2个．
故选：A．
无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．
此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
2.【答案】C
【解析】解：4的算术平方根是： 4=2，
故选：C．
根据算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根，记为 a，求出4的算术平方根即可．
本题考查了算术平方根的性质和应用，熟练掌握算术平方根的含义是解题的关键．
3.【答案】A
【解析】
【分析】
本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的意义：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
先比较平均数，再根据方差的意义求解可得．
【解答】
解：∵S甲2=0.24，S乙2=0.42，S丙2=0.56，S丁2=0.75，，
∴S甲2
故选：A．
4.【答案】D
【解析】解：∵点M在y轴的左侧，到y轴的距离是5，
∴点M的横坐标是−5，
∵点M到x轴的距离是3，
∴点M的纵坐标是3或−3，
∴点M的坐标是(−5,3)或(−5,−3)．
故选D．
根据到y轴的距离求出点M的横坐标，根据到x轴的距离求出点M的纵坐标，然后解答即可．
本题考查了点的坐标，根据点到x轴的距离等于纵坐标的长度，到y轴的距离等于横坐标的长度求出点M的横坐标与纵坐标是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：由于销售最多的颜色为红色，且远远多于其他颜色，所以选择多进红色运动服的主要根据众数．
故选：C．
商场经理最值得关注的应该是爱买哪种颜色运动服的人数最多，即众数．
此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数的意义．反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用．
6.【答案】A
【解析】解：如图1，
∵AB=18cm，BC=GF=12cm，BF=10cm，
∴BM=18−6=12，BN=10+6=16，
∴MN= 122+162=20；
如图2，
∵AB=18cm，BC=GF=12cm，BF=10cm，
∴PM=18−6+6=18，NP=10，
∴MN= 182+102= 424=2 106．
∵20<2 106，
∴蚂蚁沿长方体表面爬到米粒处的最短距离为20．
故选：A．
利用平面展开图有两种情况，画出图形利用勾股定理求出MN的长即可．
此题主要考查了平面展开图的最短路径问题和勾股定理的应用，利用展开图有两种情况分析得出是解题关键．
7.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征．一次函数图象上的点满足该函数的解析式．
根据一次函数图象上点的坐标特征，将点A(−5,y1)和B(−2,y2)分别代入直线方程y=−3x+2，分别求得y1与y2的值，然后进行比较．
【解答】
解：根据题意，得
y1=−3×(−5)+2=17，即y1=17，
y2=−3×(−2)+2=8；
∵8<17，
∴y1>y2．
故选D．
8.【答案】B
【解析】
【分析】
将k看做已知数表示出x与y，代入已知方程即可求出k的值．
此题考查了二元一次方程组的解，以及二元一次方程的解，熟练掌握方程组的解法与方程的解是解本题的关键．
【解答】
解：2x+y=5k①2x−y=7k②,
①+②得：4x=12k，即x=3k，
①−②得：2y=−2k，即y=−k，
将x=3k，y=−k代入13x−2y=5得：k+2k=5，
解得：k=53．
故选B．
9.【答案】A
【解析】
【分析】
考查用二元一次方程组解决行程问题；得到顺水路程及逆水路程的等量关系是解决本题的关键，用到的知识点为：顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度−水流速度．两个等量关系为：顺水时间×顺水速度=360；逆水时间×逆水速度=360，把相关数值代入即可求解．
【解答】
解：根据题意可得，顺水速度=x+y，逆水速度=x−y，
∴根据所走的路程可列方程组为18(x+y)=36024(x−y)=360，
故选A．
10.【答案】B
【解析】解：联立y=−2x+4y=x+1，
解得x=1y=2，
∴直线y=−2x+4与直线y=x+1的交点坐标是(1,2)，
故①正确；
∵一次函数y=kx+b，若k>0，b<0，
∴它的图象过第一、三、四象限，
故②错误；
∵函数y=−6x是一次函数，且y随x增大而减小，
故③正确；
∵一次函数的图象与直线y=−x+1平行，
∴可设一次函数的解析式为y=−x+b，
∵一次函数经过点(8,2)，
∴2=−8+b，
∴b=10，
∴一次函数解析式为y=−x+10，
故④错误；
∵直线的解析式为y=kx+k−1，即y=k(x+1)−1，
∴直线y=kx+k−1必经过点(−1,−1)，
故⑤正确；
∴正确的有①③⑤，
故选：B．
根据一次函数的图象与性质以及一次函数解析式即可进行判断．
本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键．
11.【答案】−14
【解析】解：3−164=3(−14)3=−14，
故答案为：−14．
根据立方根的定义即可求解．
本题主要考查了立方根，掌握立方根的定义是解题的关键．
12.【答案】y=3x−5
【解析】
【分析】
本题考查了两直线相交或平行问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解；若两条直线是平行的关系，那么它们的自变量系数相同，即k值相同．先利用两直线平行问题得到k=3，然后把(1,−2)代入y=3x+b求出b即可．
【解答】
解：∵直线y=kx+b平行于直线y=3x，
∴k=3，
∴直线y=kx+b的解析式为y=3x+b，
把点(1,−2)代入得，−2=3+b，
解得，b=−5，
∴该直线的解析式是y=3x−5
故答案为y=3x−5．
13.【答案】1020
【解析】解：如图，利用平移线段，把楼梯的横竖向上向左平移，构成一个矩形，长宽分别为 13 2−5 2=12米、
∴地毯的长度为12+5=17米，地毯的面积为17×2=34平方米，
∴购买这种地毯至少需要30×34=1020元．
故答案为：1020．
根据题意，结合图形，先把楼梯的横竖向上向左平移，构成一个矩形，再求得其面积，则购买地毯的钱数可求．
本题考查了勾股定理的运用，解决此题的关键是要注意利用平移的知识，把要求的所有线段平移到一条直线上进行计算．
14.【答案】 5−1
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=BC=CD，∠B=∠C=∠D=90°，
∵E是CD的中点，
∴CD=AD=2DE=2，
设BF=x，
∵将正方形纸片折叠，点B落在线段AE上的点G处，
∴FG=BF=x，∠AGF=∠B=90°，AG=AB，
∴CF=2−x．
在Rt△ADE中，利用勾股定理可得AE= 5，
根据折叠的性质可知AG=AB=2，
∴GE= 5−2．
连接EF，
在Rt△GEF中，利用勾股定理可得EF2=( 5−2)2+x2，
在Rt△FCE中，利用勾股定理可得EF2=(2−x)2+12，
所以( 5−2)2+x2=(2−x)2+12，
解得x= 5−1，
∴BF= 5−1，
故答案为： 5−1．
设BF=x，则FG=x，CF=2−x，在Rt△GEF中，利用勾股定理可得EF2=( 5−2)2+x2，在Rt△FCE中，利用勾股定理可得EF2=(2−x)2+12，从而得到关于x的方程，求解x即可．
本题主要考查了折叠的性质、勾股定理．折叠问题主要是抓住折叠的不变量，在直角三角形中利用勾股定理求解是解题的关键．
15.【答案】(3,−4)
【解析】解：将线段BA绕点A逆时针旋转90°得到AD，过点D作DE⊥x轴于点E，
∵∠BAO+∠OAD=∠EDA+∠OAD=90°，
∴∠BAO=ADE，
∵∠BOA=∠AED，AB=DA，
∴△BAO≌△ADE(AAS)，
∴AE=BO=2，AO=ED=6，
∴点D的坐标为(4,−6)，
设直线BD解析式为y=mx+n，
把点B(0,2)，D(4,−6)代入，
4m+n=−6n=2，
解得：m=−2n=2，
∴直线BD的解析式为y=−2x+2，
由y=−2x+2y=−x−1
解得：x=3y=−4
∴P点坐标为(3,−4)，
故答案为：(3,−4)．
将线段BA绕点A逆时针旋转90°得到线段AD，求出D的坐标，求出直线BD的解析式，直线BD与直线y=−x−1的交点即为点P.利用方程组确定交点P坐标即可．
本题考查一次函数图象上的点的特征，等腰直角三角形的性质，待定系数法等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题．
16.【答案】解：(1) 20+ 5 5−2
=2 5+ 5 5−2
=3−2
=1；
(2)(π−1)0+(−12)−2−|5− 3|−2 3
=1+4−(5− 3)−2 3
=1+4−5+ 3−2 3
=− 3．
【解析】(1)先化简二次根式，合并，再算除法，最后计算减法；
(2)先算零指数幂，负整数指数幂，化简绝对值，再合并计算．
本题考查了二次根式的混合运算，实数的混合运算，零指数幂，负整数指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．
17.【答案】解：(1)x+y=8①5x+3y=34②，
②−①×3得：2x=10，
解得：x=5，
代入①中，解得：y=3．
原方程组的解为x=5y=3；
(2)2(x−y)3+1=x+y43(x+y)−2(2x−y)=8，整理得：5x−11y=−12①−x+5y=8②，
①+②×5得：14y=28，
解得：y=2，
代入①中，解得：x=2．
原方程组的解为x=2y=2．
【解析】(1)利用加减消元法求解；
(2)方程组整理后，利用加减消元法求解．
本题考查了解二元一次方程组，解题的关键是掌握加减消元法和代入消元法，利用消元思想转化为一元一次方程．
18.【答案】144 2 1.5
【解析】解：(1)本次调查的学生有：30÷30%=100(人)，
劳动2小时的有：100−12−30−18=40(人)，
补全的条形统计图如下图所示；
(2)扇形统计图中“2小时”部分圆心角的度数为：360°×40100=144°，
本次抽查的学生劳动时间的众数是2小时，中位数为1.5小时；
故答案为：144；2；1.5；
(3)由统计图可知，
平均数是：0.5×12+1.5×30+2×40+2.5×18100=1.76(小时)，
即所有被调查的同学劳动时间的平均数是1.76小时．
(1)根据劳动1.5小时的人数和所占的百分比，可以计算出本次调查的人数，然后即可计算出劳动2小时的人数，然后即可将条形统计图补充完整；
(2)根据条形统计图中的数据，可以计算出扇形统计图中“2小时”部分圆心角的度数；再根据众数，中位数的定义填空即可．
(3)根据条形统计图中的数据，可以得到所有被调查的同学劳动时间的平均数．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．从两个统计图中获取数量和数量之间的关系是解决问题的关键，样本估计总体是统计中常用的方法．
19.【答案】−2，−3 −3，−1 1，2
【解析】解：(1)如图所示：△A′B′C′即为所求；
(2)如图所示：A′(−2,−3)，B′(−3,−1)，C′(1,2)；
故答案为：−2，−3，−3，−1，1，2；
(3)如图所示：P点即为所求，
找到A点关于y轴对称点A″，连接A″B，交y轴于点P，
此时PA+PB的值最小，且为 52+22= 29．
(1)根据关于x轴对称点的性质得出对应点位置，进而得出答案；
(2)利用所画图形写出各点坐标即可；
(3)利用轴对称求出最短路径，再利用勾股定理计算即可．
此题主要考查了轴对称变换以及利用轴对称求最短路径，勾股定理，根据题意得出对应点坐标是解题关键．
20.【答案】解：在Rt△ACB中，
AC2+BC2=AB2，
设秋千的绳索长为x m，则AC=(x−1)m，
故x2=22+(x−1)2，
解得：x=2.5，
答：绳索AD的长度是2.5m．
【解析】设秋千的绳索长为xm，根据题意可得AC=AD−DE=AD−(BF−DE)=x−(1.5−0.5)=(x−1)m，利用勾股定理可得x2=22+(x−1)2，再解方程即可得出答案．
此题主要考查了勾股定理的应用，关键是正确理解题意，表示出AC、AB的长，掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．
21.【答案】解：(1)设y1=kx+b，
把(100,15)和(200,30)分别代入，
得：100k+b=15200k+b=30，
解得：k=0.15b=0．
∴函数的表达式可能为y1=0.15x；
把(400,60)和(1000,150)分别代入，可得等式成立．
∴y1与x的函数关系满足一次函数关系．
(2)由题意得，y2=0.1x+200．
(3)由y=0.15x,y=0.1x+200,
解得：x=4000y=600．
即当复印4000页是，两家收费均为600元；
∴此时选择两家都可以．
由0.15x>0.1x+200，
解得：x>4000；
∴当复印量大于4000页时，宏图复印社的收费大于明晰复印社，
此时应选择明晰复印社．
同理，当复印量小于4000页时，选择宏图复印社．
综上所述，当复印量等于4000时，选择两家均可；
当复印量大于4000页时，选择明晰复印社．
当复印量小于4000页时，选择宏图复印社．
【解析】(1)设y1=kx+b，由题意找出满足两个量的函数关系式，即可得解．
(2)由题中三个量的关系即可得出函数表达式．
(3)由前两题的函数表达式，找出中间量，由此再得出一元一次不等式，即可得解．
本题主要考查一元一次不等式和一次函数的应用，理解题中各个量的关系是解题的关键．
22.【答案】解：(1)因为直线AB：y=kx+1(k≠0)交y轴于点A，交x轴于点B(3,0)，
所以0=3k+1，
解得k=−13，
所以直线AB的解析式是y=−13x+1．
当x=0时，y=1，
所以点A坐标为(0,1)；
(2)如图1，过点A作AM⊥PD，垂足为M，则有AM=2，
设P(2,n)，
因为x=2时，y=−13x+1=13，
所以D点的坐标为(2,13)，
因为P在点D的上方，
所以PD=n−13，
S△APD=12AM⋅PD=12×2×(n−13)=n−13，
由点B(3,0)，可知点B到直线x=2的距离为1，即△BDP的边PD上的高为1，
所以S△BPD=12×1×(n−13)=12(n−13)，
所以S△PAB=S△APD+S△BPD=32n−12；
因为△ABP的面积与△ABO的面积相等，
即32n−12=12×1×3，
解得n=43，
所以P点坐标为(2,43)；
(3)点P的坐标为(2,2)或(1,4)或(4,3)．
【解析】
【解答】
(1)见答案；
(2)见答案；
(3)分三种情况讨论：
①当P为直角顶点时，过P作PN⊥y轴于N，过B作BM⊥PN于M，如图2：
因为△ABP为等腰直角三角形，
所以AP=BP，∠NPA=90°−∠BPM=∠PBM，
在△APN和△PBM中
∠ANP=∠PMB∠NPA=∠MBPAP=PB,
所以△APN≌△PBM(AAS)，
所以BM=PN，PM=AN，
因为∠NOB=∠ONM=∠M=90°，
所以四边形OBMN是矩形，
所以MN=OB=3，BM=ON=AN+1=PN①，
所以PN+PM=PN+AN=3②，
由①②解得PN=2，AN=1，
所以ON=OA+AN=2，
所以P点的坐标为(2,2)；
②当A为直角顶点时，过P作PK⊥y轴于K，如图3：
因为△ABP为等腰直角三角形，
所以AP=AB，∠KAP=90°−∠OAB=∠ABO，
而∠PKA=∠AOB=90°，
在△APK和△BAO中
∠KAP=∠OBA∠PKA=∠AOBAP=BA
所以△APK≌△BAO(AAS)，
所以AK=OB=3，PK=OA=1，
所以OK=OA+AK=4，
所以P点的坐标为(1,4)，
③当B为直角顶点时，过P作PR⊥x轴于R，如图4：
同理可证△AOB≌△BRP(AAS)，
所以BR=OA=1，PR=OB=3，
所以P(4,3)，
综上所述，点P坐标为：(2,2)或(1,4)或(4,3)．
【分析】
本题考查一次函数综合应用，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形，利用全等三角形对应边相等解决问题．
(1)把B的坐标代入直线AB的解析式，即可求得k的值，然后在解析式中，令x=0，求得y的值，即可求得A的坐标；
(2)过点A作AM⊥PD，垂足为M，求得AM的长，即可求得△BPD和△PAD的面积，二者的和即可表示S△PAB，再根据△ABP的面积与△ABO的面积相等列方程即可得答案；
(3)分三种情况：当P为直角顶点时，过P作PN⊥y轴于N，过B作BM⊥PN于M，由△APN≌△PBM(AAS)，可得AN+1=PN①，PN+AN=3②，即得P(2,2)；当A为直角顶点时，过P作PK⊥y轴于K，由△APK≌△BAO，可得P(1,4)，当B为直角顶点时，过P作PR⊥x轴于R，同理可得P(4,3)．
2022-2023学年广东省深圳市福田区莲花中学八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 在实数−227、0、− 3、 9、π+1、327、0.10⋅1⋅中，无理数的个数是( )
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
2. 4的算术平方根是( )
A. ±2 B. −2 C. 2 D. 2
3. 在一次投篮训练中，甲、乙、丙、丁四人各进行10次投篮，每人投篮成绩的平均数都是8，方差分别为S甲2=0.24，S乙2=0.42，S丙2=0.56，S丁2=0.75，成绩最稳定的是( )
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
4. 点M在y轴的左侧，到x轴、y轴的距离分别是3和5，点M坐标为( )
A. (−5,3) B. (−5,−3)
C. (5,3)或(−5,3) D. (−5,3)或(−5,−3)
5. 某商场对上周末某品牌运动服的销售情况进行了统计，如下表所示：经理决定本周进货时多进一些红色的，可用来解释这一现象的统计知识是( )
颜色
黄色
绿色
白色
紫色
红色
数量(件)
120
150
230
75
430
A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 平均数与中位数
6. 如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中AB=18cm，BC=12cm，BF=10cm，点M在棱AB上，且AM=6cm，点N是FG的中点，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为( )
A. 20cm B. 2 106cm C. (12+2 34)cm D. 18cm
7. 点A(−5,y1)和B(−2,y2)都在直线y=−3x+2上，则y1与y2的关系是( )
A. y1≤y2 B. y1=y2 C. y1
8. 二元一次方程组2x+y=5k2x−y=7k的解满足方程13x−2y=5，那么k的值为( )
A. 35 B. 53 C. −5 D. 1
9. 甲乙两地相距360千米，一轮船往返于甲、乙两地之间，顺水行船用18小时，逆水行船用24小时，若设船在静水中的速度为x千米/时，水流速度为y千米/时，则下列方程组中正确的是( )
A. 18(x+y)=36024(x−y)=360 B. 18(x+y)=36024(x+y)=360
C. 18(x−y)=36024(x−y)=360 D. 18(x−y)=36024(x+y)=360
10. 给出下列说法：
①直线y=−2x+4与直线y=x+1的交点坐标是(1,2)；
②一次函数y=kx+b，若k>0，b<0，那么它的图象过第一、二、三象限；
③函数y=−6x是一次函数，且y随x增大而减小；
④已知一次函数的图象与直线y=−x+1平行，且过点(8,2)，那么此一次函数的解析式为y=−x+6；
⑤直线y=kx+k−1必经过点(−1,−1)．
其中正确的有( )
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11. 3−164= ______ ．
12. 直线y=kx+b平行于直线y=3x，且过点(1,−2)，则其解析式为 ．
13. 某宾馆在重新装修后，准备在大厅的主楼梯上铺上红色地毯．已知楼梯总高度5米，楼梯长13米，主楼道宽2米；这种红色地毯的售价为每平方米30元，其侧面如图所示，则购买地毯至少需要______元．
14. 如图，在正方形纸片ABCD中，E是CD的中点，将正方形纸片折叠，点B落在线段AE上的点G处，折痕为AF.若DE=1，则BF的长为______．
15. 如图，点A(6,0)，B(0,2)，点P在直线y=−x−1上，且∠ABP=45°，则点P的坐标为______．
三、解答题（本大题共7小题，共55.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. (本小题8.0分)
计算题：
(1) 20+ 5 5−2；
(2)(π−1)0+(−12)−2−|5− 3|−2 3．
17. (本小题8.0分)
解方程组：
(1)x+y=85x+3y=34；
(2)2(x−y)3+1=x+y43(x+y)−2(2x−y)=8．
18. (本小题6.0分)
为强化劳动观念，弘扬劳动精神，某学校要求学生周末时间积极参加家务劳动，承担一定的家庭日常清洁、烹饪、家居美化等劳动，进一步培养生活自理能力和习惯，增强家庭责任意识．该学校为了解八年级同学们周末家务劳动时间的大致情况，随机调查了部分八年级同学，并用得到的数据绘制了两幅统计图，请你根据图中信息，解答下列问题：
(1)将条形统计图补充完整；
(2)扇形图中的“2小时”部分的圆心角是______度；本次抽查的学生劳动时间的众数是______小时，中位数为______小时；
(3)这所学校八年级学生每个周末平均劳动的时间约多少小时？
19. (本小题7.0分)
在如图的直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，△ABC的三个顶点都在格点上(每个小方格的顶点叫格点)，点A的坐标为(−2,3)．
(1)请画出△ABC关于x轴对称的△A′B′C′(不写画法，其中A′，B′，C′分别是A，B，C的对应点)；
(2)直接写出A′，B′，C′三点的坐标：A′(______ )，B′(______ )，C′(______ )；
(3)在y轴上求作一点P，使PA+PB的值最小并写出最小值．
20. (本小题8.0分)
有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度DE=0.5m，将它往前推送2m(水平距离BC=2m)时，秋千的踏板离地的垂直高度BF=1.5m，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索AD的长度．
21. (本小题9.0分)
城关中学九(6)班的毕业复习资料复印业务原来由宏图复印社承接，其收费y1(元)与复印页数x(页)的关系如下表：
x(页)
100
200
400
1000
…
y1(元)
15
30
60
150
…
(1)y1与x的函数关系是否满足一次函数关系？
(2)现在另一家复印社明晰复印社表示：若学校先按每月付给200元的承包费，则可按每页0.10元收费，请写出明晰复印社每月收费y2(元)与复印页数x(页)的函数表达式；
(3)你若是班级的学习委员，在复印资料时，选择哪家复印社比较优惠，说明理由．
22. (本小题9.0分)
如图，在平面直角坐标系中，直线AB：y=kx+1(k≠0)交y轴于点A，交x轴于点B(3,0)，点P是直线AB上方第一象限内的动点．
(1)求直线AB的表达式和点A的坐标；
(2)点P是直线x=2上一动点，当△ABP的面积与△ABO的面积相等时，求点P的坐标；
(3)当△ABP为等腰直角三角形时，请直接写出点P的坐标．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：−227是分数，属于有理数；
0， 9=3，327=3，是整数，属于有理数；
0.10⋅1⋅是循环小数，属于有理数；
无理数有：− 3，π+1共2个．
故选：A．
无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．
此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
2.【答案】C
【解析】解：4的算术平方根是： 4=2，
故选：C．
根据算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根，记为 a，求出4的算术平方根即可．
本题考查了算术平方根的性质和应用，熟练掌握算术平方根的含义是解题的关键．
3.【答案】A
【解析】
【分析】
本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的意义：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
先比较平均数，再根据方差的意义求解可得．
【解答】
解：∵S甲2=0.24，S乙2=0.42，S丙2=0.56，S丁2=0.75，，
∴S甲2
故选：A．
4.【答案】D
【解析】解：∵点M在y轴的左侧，到y轴的距离是5，
∴点M的横坐标是−5，
∵点M到x轴的距离是3，
∴点M的纵坐标是3或−3，
∴点M的坐标是(−5,3)或(−5,−3)．
故选D．
根据到y轴的距离求出点M的横坐标，根据到x轴的距离求出点M的纵坐标，然后解答即可．
本题考查了点的坐标，根据点到x轴的距离等于纵坐标的长度，到y轴的距离等于横坐标的长度求出点M的横坐标与纵坐标是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：由于销售最多的颜色为红色，且远远多于其他颜色，所以选择多进红色运动服的主要根据众数．
故选：C．
商场经理最值得关注的应该是爱买哪种颜色运动服的人数最多，即众数．
此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数的意义．反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用．
6.【答案】A
【解析】解：如图1，
∵AB=18cm，BC=GF=12cm，BF=10cm，
∴BM=18−6=12，BN=10+6=16，
∴MN= 122+162=20；
如图2，
∵AB=18cm，BC=GF=12cm，BF=10cm，
∴PM=18−6+6=18，NP=10，
∴MN= 182+102= 424=2 106．
∵20<2 106，
∴蚂蚁沿长方体表面爬到米粒处的最短距离为20．
故选：A．
利用平面展开图有两种情况，画出图形利用勾股定理求出MN的长即可．
此题主要考查了平面展开图的最短路径问题和勾股定理的应用，利用展开图有两种情况分析得出是解题关键．
7.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征．一次函数图象上的点满足该函数的解析式．
根据一次函数图象上点的坐标特征，将点A(−5,y1)和B(−2,y2)分别代入直线方程y=−3x+2，分别求得y1与y2的值，然后进行比较．
【解答】
解：根据题意，得
y1=−3×(−5)+2=17，即y1=17，
y2=−3×(−2)+2=8；
∵8<17，
∴y1>y2．
故选D．
8.【答案】B
【解析】
【分析】
将k看做已知数表示出x与y，代入已知方程即可求出k的值．
此题考查了二元一次方程组的解，以及二元一次方程的解，熟练掌握方程组的解法与方程的解是解本题的关键．
【解答】
解：2x+y=5k①2x−y=7k②,
①+②得：4x=12k，即x=3k，
①−②得：2y=−2k，即y=−k，
将x=3k，y=−k代入13x−2y=5得：k+2k=5，
解得：k=53．
故选B．
9.【答案】A
【解析】
【分析】
考查用二元一次方程组解决行程问题；得到顺水路程及逆水路程的等量关系是解决本题的关键，用到的知识点为：顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度−水流速度．两个等量关系为：顺水时间×顺水速度=360；逆水时间×逆水速度=360，把相关数值代入即可求解．
【解答】
解：根据题意可得，顺水速度=x+y，逆水速度=x−y，
∴根据所走的路程可列方程组为18(x+y)=36024(x−y)=360，
故选A．
10.【答案】B
【解析】解：联立y=−2x+4y=x+1，
解得x=1y=2，
∴直线y=−2x+4与直线y=x+1的交点坐标是(1,2)，
故①正确；
∵一次函数y=kx+b，若k>0，b<0，
∴它的图象过第一、三、四象限，
故②错误；
∵函数y=−6x是一次函数，且y随x增大而减小，
故③正确；
∵一次函数的图象与直线y=−x+1平行，
∴可设一次函数的解析式为y=−x+b，
∵一次函数经过点(8,2)，
∴2=−8+b，
∴b=10，
∴一次函数解析式为y=−x+10，
故④错误；
∵直线的解析式为y=kx+k−1，即y=k(x+1)−1，
∴直线y=kx+k−1必经过点(−1,−1)，
故⑤正确；
∴正确的有①③⑤，
故选：B．
根据一次函数的图象与性质以及一次函数解析式即可进行判断．
本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键．
11.【答案】−14
【解析】解：3−164=3(−14)3=−14，
故答案为：−14．
根据立方根的定义即可求解．
本题主要考查了立方根，掌握立方根的定义是解题的关键．
12.【答案】y=3x−5
【解析】
【分析】
本题考查了两直线相交或平行问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解；若两条直线是平行的关系，那么它们的自变量系数相同，即k值相同．先利用两直线平行问题得到k=3，然后把(1,−2)代入y=3x+b求出b即可．
【解答】
解：∵直线y=kx+b平行于直线y=3x，
∴k=3，
∴直线y=kx+b的解析式为y=3x+b，
把点(1,−2)代入得，−2=3+b，
解得，b=−5，
∴该直线的解析式是y=3x−5
故答案为y=3x−5．
13.【答案】1020
【解析】解：如图，利用平移线段，把楼梯的横竖向上向左平移，构成一个矩形，长宽分别为 13 2−5 2=12米、
∴地毯的长度为12+5=17米，地毯的面积为17×2=34平方米，
∴购买这种地毯至少需要30×34=1020元．
故答案为：1020．
根据题意，结合图形，先把楼梯的横竖向上向左平移，构成一个矩形，再求得其面积，则购买地毯的钱数可求．
本题考查了勾股定理的运用，解决此题的关键是要注意利用平移的知识，把要求的所有线段平移到一条直线上进行计算．
14.【答案】 5−1
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=BC=CD，∠B=∠C=∠D=90°，
∵E是CD的中点，
∴CD=AD=2DE=2，
设BF=x，
∵将正方形纸片折叠，点B落在线段AE上的点G处，
∴FG=BF=x，∠AGF=∠B=90°，AG=AB，
∴CF=2−x．
在Rt△ADE中，利用勾股定理可得AE= 5，
根据折叠的性质可知AG=AB=2，
∴GE= 5−2．
连接EF，
在Rt△GEF中，利用勾股定理可得EF2=( 5−2)2+x2，
在Rt△FCE中，利用勾股定理可得EF2=(2−x)2+12，
所以( 5−2)2+x2=(2−x)2+12，
解得x= 5−1，
∴BF= 5−1，
故答案为： 5−1．
设BF=x，则FG=x，CF=2−x，在Rt△GEF中，利用勾股定理可得EF2=( 5−2)2+x2，在Rt△FCE中，利用勾股定理可得EF2=(2−x)2+12，从而得到关于x的方程，求解x即可．
本题主要考查了折叠的性质、勾股定理．折叠问题主要是抓住折叠的不变量，在直角三角形中利用勾股定理求解是解题的关键．
15.【答案】(3,−4)
【解析】解：将线段BA绕点A逆时针旋转90°得到AD，过点D作DE⊥x轴于点E，
∵∠BAO+∠OAD=∠EDA+∠OAD=90°，
∴∠BAO=ADE，
∵∠BOA=∠AED，AB=DA，
∴△BAO≌△ADE(AAS)，
∴AE=BO=2，AO=ED=6，
∴点D的坐标为(4,−6)，
设直线BD解析式为y=mx+n，
把点B(0,2)，D(4,−6)代入，
4m+n=−6n=2，
解得：m=−2n=2，
∴直线BD的解析式为y=−2x+2，
由y=−2x+2y=−x−1
解得：x=3y=−4
∴P点坐标为(3,−4)，
故答案为：(3,−4)．
将线段BA绕点A逆时针旋转90°得到线段AD，求出D的坐标，求出直线BD的解析式，直线BD与直线y=−x−1的交点即为点P.利用方程组确定交点P坐标即可．
本题考查一次函数图象上的点的特征，等腰直角三角形的性质，待定系数法等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题．
16.【答案】解：(1) 20+ 5 5−2
=2 5+ 5 5−2
=3−2
=1；
(2)(π−1)0+(−12)−2−|5− 3|−2 3
=1+4−(5− 3)−2 3
=1+4−5+ 3−2 3
=− 3．
【解析】(1)先化简二次根式，合并，再算除法，最后计算减法；
(2)先算零指数幂，负整数指数幂，化简绝对值，再合并计算．
本题考查了二次根式的混合运算，实数的混合运算，零指数幂，负整数指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．
17.【答案】解：(1)x+y=8①5x+3y=34②，
②−①×3得：2x=10，
解得：x=5，
代入①中，解得：y=3．
原方程组的解为x=5y=3；
(2)2(x−y)3+1=x+y43(x+y)−2(2x−y)=8，整理得：5x−11y=−12①−x+5y=8②，
①+②×5得：14y=28，
解得：y=2，
代入①中，解得：x=2．
原方程组的解为x=2y=2．
【解析】(1)利用加减消元法求解；
(2)方程组整理后，利用加减消元法求解．
本题考查了解二元一次方程组，解题的关键是掌握加减消元法和代入消元法，利用消元思想转化为一元一次方程．
18.【答案】144 2 1.5
【解析】解：(1)本次调查的学生有：30÷30%=100(人)，
劳动2小时的有：100−12−30−18=40(人)，
补全的条形统计图如下图所示；
(2)扇形统计图中“2小时”部分圆心角的度数为：360°×40100=144°，
本次抽查的学生劳动时间的众数是2小时，中位数为1.5小时；
故答案为：144；2；1.5；
(3)由统计图可知，
平均数是：0.5×12+1.5×30+2×40+2.5×18100=1.76(小时)，
即所有被调查的同学劳动时间的平均数是1.76小时．
(1)根据劳动1.5小时的人数和所占的百分比，可以计算出本次调查的人数，然后即可计算出劳动2小时的人数，然后即可将条形统计图补充完整；
(2)根据条形统计图中的数据，可以计算出扇形统计图中“2小时”部分圆心角的度数；再根据众数，中位数的定义填空即可．
(3)根据条形统计图中的数据，可以得到所有被调查的同学劳动时间的平均数．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．从两个统计图中获取数量和数量之间的关系是解决问题的关键，样本估计总体是统计中常用的方法．
19.【答案】−2，−3 −3，−1 1，2
【解析】解：(1)如图所示：△A′B′C′即为所求；
(2)如图所示：A′(−2,−3)，B′(−3,−1)，C′(1,2)；
故答案为：−2，−3，−3，−1，1，2；
(3)如图所示：P点即为所求，
找到A点关于y轴对称点A″，连接A″B，交y轴于点P，
此时PA+PB的值最小，且为 52+22= 29．
(1)根据关于x轴对称点的性质得出对应点位置，进而得出答案；
(2)利用所画图形写出各点坐标即可；
(3)利用轴对称求出最短路径，再利用勾股定理计算即可．
此题主要考查了轴对称变换以及利用轴对称求最短路径，勾股定理，根据题意得出对应点坐标是解题关键．
20.【答案】解：在Rt△ACB中，
AC2+BC2=AB2，
设秋千的绳索长为x m，则AC=(x−1)m，
故x2=22+(x−1)2，
解得：x=2.5，
答：绳索AD的长度是2.5m．
【解析】设秋千的绳索长为xm，根据题意可得AC=AD−DE=AD−(BF−DE)=x−(1.5−0.5)=(x−1)m，利用勾股定理可得x2=22+(x−1)2，再解方程即可得出答案．
此题主要考查了勾股定理的应用，关键是正确理解题意，表示出AC、AB的长，掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．
21.【答案】解：(1)设y1=kx+b，
把(100,15)和(200,30)分别代入，
得：100k+b=15200k+b=30，
解得：k=0.15b=0．
∴函数的表达式可能为y1=0.15x；
把(400,60)和(1000,150)分别代入，可得等式成立．
∴y1与x的函数关系满足一次函数关系．
(2)由题意得，y2=0.1x+200．
(3)由y=0.15x,y=0.1x+200,
解得：x=4000y=600．
即当复印4000页是，两家收费均为600元；
∴此时选择两家都可以．
由0.15x>0.1x+200，
解得：x>4000；
∴当复印量大于4000页时，宏图复印社的收费大于明晰复印社，
此时应选择明晰复印社．
同理，当复印量小于4000页时，选择宏图复印社．
综上所述，当复印量等于4000时，选择两家均可；
当复印量大于4000页时，选择明晰复印社．
当复印量小于4000页时，选择宏图复印社．
【解析】(1)设y1=kx+b，由题意找出满足两个量的函数关系式，即可得解．
(2)由题中三个量的关系即可得出函数表达式．
(3)由前两题的函数表达式，找出中间量，由此再得出一元一次不等式，即可得解．
本题主要考查一元一次不等式和一次函数的应用，理解题中各个量的关系是解题的关键．
22.【答案】解：(1)因为直线AB：y=kx+1(k≠0)交y轴于点A，交x轴于点B(3,0)，
所以0=3k+1，
解得k=−13，
所以直线AB的解析式是y=−13x+1．
当x=0时，y=1，
所以点A坐标为(0,1)；
(2)如图1，过点A作AM⊥PD，垂足为M，则有AM=2，
设P(2,n)，
因为x=2时，y=−13x+1=13，
所以D点的坐标为(2,13)，
因为P在点D的上方，
所以PD=n−13，
S△APD=12AM⋅PD=12×2×(n−13)=n−13，
由点B(3,0)，可知点B到直线x=2的距离为1，即△BDP的边PD上的高为1，
所以S△BPD=12×1×(n−13)=12(n−13)，
所以S△PAB=S△APD+S△BPD=32n−12；
因为△ABP的面积与△ABO的面积相等，
即32n−12=12×1×3，
解得n=43，
所以P点坐标为(2,43)；
(3)点P的坐标为(2,2)或(1,4)或(4,3)．
【解析】
【解答】
(1)见答案；
(2)见答案；
(3)分三种情况讨论：
①当P为直角顶点时，过P作PN⊥y轴于N，过B作BM⊥PN于M，如图2：
因为△ABP为等腰直角三角形，
所以AP=BP，∠NPA=90°−∠BPM=∠PBM，
在△APN和△PBM中
∠ANP=∠PMB∠NPA=∠MBPAP=PB,
所以△APN≌△PBM(AAS)，
所以BM=PN，PM=AN，
因为∠NOB=∠ONM=∠M=90°，
所以四边形OBMN是矩形，
所以MN=OB=3，BM=ON=AN+1=PN①，
所以PN+PM=PN+AN=3②，
由①②解得PN=2，AN=1，
所以ON=OA+AN=2，
所以P点的坐标为(2,2)；
②当A为直角顶点时，过P作PK⊥y轴于K，如图3：
因为△ABP为等腰直角三角形，
所以AP=AB，∠KAP=90°−∠OAB=∠ABO，
而∠PKA=∠AOB=90°，
在△APK和△BAO中
∠KAP=∠OBA∠PKA=∠AOBAP=BA
所以△APK≌△BAO(AAS)，
所以AK=OB=3，PK=OA=1，
所以OK=OA+AK=4，
所以P点的坐标为(1,4)，
③当B为直角顶点时，过P作PR⊥x轴于R，如图4：
同理可证△AOB≌△BRP(AAS)，
所以BR=OA=1，PR=OB=3，
所以P(4,3)，
综上所述，点P坐标为：(2,2)或(1,4)或(4,3)．
【分析】
本题考查一次函数综合应用，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形，利用全等三角形对应边相等解决问题．
(1)把B的坐标代入直线AB的解析式，即可求得k的值，然后在解析式中，令x=0，求得y的值，即可求得A的坐标；
(2)过点A作AM⊥PD，垂足为M，求得AM的长，即可求得△BPD和△PAD的面积，二者的和即可表示S△PAB，再根据△ABP的面积与△ABO的面积相等列方程即可得答案；
(3)分三种情况：当P为直角顶点时，过P作PN⊥y轴于N，过B作BM⊥PN于M，由△APN≌△PBM(AAS)，可得AN+1=PN①，PN+AN=3②，即得P(2,2)；当A为直角顶点时，过P作PK⊥y轴于K，由△APK≌△BAO，可得P(1,4)，当B为直角顶点时，过P作PR⊥x轴于R，同理可得P(4,3)．
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