培优专题02 与三角形有关的线段和角的问题-2023-2024学年八年级数学上册精选专题培优讲与练（人教版）

这是一份培优专题02 与三角形有关的线段和角的问题-2023-2024学年八年级数学上册精选专题培优讲与练（人教版），文件包含培优专题02与三角形有关的线段和角的问题-原卷版docx、培优专题02与三角形有关的线段和角的问题-解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共25页， 欢迎下载使用。

培优专题02 与三角形有关的线段和角的问题

1．（2022·全国·八年级专题练习）如图，在中，，，为中线．则与的周长之差为（       ）

A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】利用三角形中线的定义、三角形的周长公式进行计算即可得出结果．
【详解】在中，为中线,
．
，，
．
故选：B．
【点睛】本题考查三角形的中线的理解与运用能力．三角形中，连接一个顶点和它所对边的中点的线段叫做三角形的中线．明确三角形的中线的定义，运用两个三角形的周长的差等于两边的差是解本题的关键．
2．（2022·全国·八年级专题练习）如图，的面积是2，AD是的中线，，，则的面积为（     ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据中线的性质即可求出S△ACD，然后根据等高时，面积之比等于底之比，即可依此求出S△CDF，S△CDE．
【详解】解：∵△ABC的面积是2，AD是△ABC的中线，
∴S△ACD＝S△ABC＝1，
∵AF＝AD，
∴DF＝AD，
∴S△CDF＝S△ACD＝×1＝，
∵CE＝EF，
∴CE＝CF
∴S△CDE＝S△CDF＝×＝，
故选：A．
【点睛】此题考查的是三角形的面积关系，掌握中线的性质和等高时，面积之比等于底之比是解决此题的关键．
3．（2022·四川成都·七年级期中）如图，中，，为中点，延长交于，为上一点，且于，下列判断，其中正确的个数是（   ）

①是中边上的中线；
②既是中的角平分线，也是中的角平分线；
③既是中边上的高线，也是中边上的高线．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据三角形的高，中线，角平分线的定义可知．
【详解】解：①G为中点，所以是边上的中线，故正确；
②因为，所以是中的角平分线，是中的角平分线，故错误；
③因为于，所以既是中边上的高线，也是中边上的高线，故正确．
故选：C．
【点睛】熟记三角形的高，中线，角平分线是解决此类问题的关键．
4．（2018·江苏省江阴市第一中学七年级期中）如图，在长方形网格中，每个小长方形的长为2，宽为1，A、B两点在网格格点上，若点C也在网格格点上，以A、B、C为顶点的三角形面积为1，则满足条件的点C个数是（          ）

A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【分析】据三角形ABC的面积为1，可知三角形的底边长为2，高为1，或者底边为1，高为2，可通过在正方形网格中画图得出结果．
【详解】解：C点所有的情况如图所示：

由图可得共有6个，
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的面积的求法，此类题应选取分类的标准，才能做到不遗不漏，难度适中．
5．（2022·江苏·七年级专题练习）如图， D、E 分别在DABC 的边 BC、AC 上，，，CD = 1   ，CE = 1 ，AC ， AD 与 BE交于点O ，已知DABC 的面积为 12，则DABO 的面积为（）

A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【分析】连接OC，根据，，可得S△ACD＝S△BCE＝S△ABC＝4，，再证明S△AOE＝S△BOD，根据AE：EC＝2：1＝BD：DC，得到S△OEC＝S△ODC，从而S△BCE=4，，故S△ODC＝1，从而根据S△ABO＝S△ABC−S△ADC−S△BOD可求答案．
【详解】解：连接OC，

∵，，
∴S△ACD＝S△BCE＝S△ABC＝×12＝4，
又∵S△ACD−S四边形ODCE＝S△BCE−S四边形ODCE，即S△AOE＝S△BOD，
又∵AE：EC＝2：1＝BD：DC，
S△OEC＝S△AOE，S△ODC＝S△BOD，
∴S△OEC＝S△ODC，
∴S△BCE＝S△BOD＋S△ODC＋S△OEC＝4S△ODC＝4，
故S△ODC＝1，
∴S△AOE＝S△BOD＝2，
∴S△ABO＝S△ABC−S△ADC−S△BOD＝12−4−2＝6．
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形面积的计算，掌握同高不同底的两个三角形之间的面积之比即为它们的底之比是关键．
6．（2019·天津市静海区第二中学八年级期中）如图，在△ABC 中，∠B=70°,   ∠C=40°，AD 是 BC 边上的高，AE 是∠BAC 的平分线，则∠DAE 的度数是（       ）

A．15° B．16° C．70° D．18°
【答案】A
【分析】根据三角形内角和定理求得∠BAC的度数，则∠EAC即可求解，然后在△ACD中，利用三角形内角和定理求得∠DAC的度数，根据∠DAE=∠DAC-∠EAC即可求解．
【详解】∵在△ABC中,∠B=70∘,∠C=40∘，
∴∠BAC=180∘−∠B−∠C=180∘−70∘−40∘=70∘，
∵AE是∠BAC的平分线，
∴∠EAC=∠BAC=35∘，
在直角△ADC中,∠DAC=90∘−∠C=90∘−40∘=50∘，
∴∠DAE=∠DAC−∠EAC=50∘−35∘=15∘，
故选A.
【点睛】本题考查三角形内角和定理，解题的突破口在于根据∠DAE=∠DAC-∠EAC，求出
∠DAC和∠EAC是解题关键.
7．（2021·安徽·中考真题）两个直角三角板如图摆放，其中，，，AB与DF交于点M．若，则的大小为（       ）


A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据，可得再根据三角形内角和即可得出答案．
【详解】由图可得
∵，
∴
∴
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质和三角形的内角和，掌握平行线的性质和三角形的内角和是解题的关键．
8．（2022·广西贵港·七年级期末）如图7，AB⊥BC，AE平分∠BAD交BC于E，AE⊥DE，∠1+∠2＝90°，M，N分别是BA，CD延长线上的点，∠EAM和∠EDN的平分线交于点F．下列结论：①AB∥CD；②∠AEB+∠ADC＝180°；③DE平分∠ADC；④∠F＝135°，其中正确的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】先根据AB⊥BC，AE平分∠BAD交BC于点E，AE⊥DE，∠1+∠2=90°，∠EAM和∠EDN的平分线交于点F，由三角形内角和定理以及平行线的性质即可得出结论．
【详解】解：标注角度如图所示：

∵AB⊥BC，AE⊥DE，
∴∠1+∠AEB=90°，∠DEC+∠AEB=90°，
∴∠1=∠DEC，
又∵∠1+∠2=90°，
∴∠DEC+∠2=90°，
∴∠C=90°，
∴∠B+∠C=180°，
∴AB∥CD，故①正确；
∴∠ADN=∠BAD，
∵∠ADC+∠ADN=180°，
∴∠BAD+∠ADC=180°，
又∵∠AEB≠∠BAD，
∴AEB+∠ADC≠180°，故②错误；
∵∠4+∠3=90°，∠2+∠1=90°，而∠3=∠1，
∴∠2=∠4，
∴ED平分∠ADC，故③正确；
∵∠1+∠2=90°，
∴∠EAM+∠EDN=360°-90°=270°．
∵∠EAM和∠EDN的平分线交于点F，
∴∠EAF+∠EDF=×270°=135°．
∵AE⊥DE，
∴∠3+∠4=90°，
∴∠FAD+∠FDA=135°-90°=45°，
∴∠F=180°-（∠FAD+∠FDA）=180-45°=135°，故④正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定、三角形内角和定理、直角三角形的性质及角平分线的计算，解题的关键是熟知三角形的内角和等于180°．
9．（2022·全国·八年级课时练习）如图，将沿翻折，三个顶点恰好落在点处．若，则的度数为（       ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据翻折变换前后对应角不变，故∠B=∠EOF，∠A=∠DOH，∠C=∠HOG，∠1+∠2+∠HOD+∠EOF+∠HOG=360°，进而求出∠1+∠2的度数．
【详解】解：∵将△ABC三个角分别沿DE、HG、EF翻折，三个顶点均落在点O处，
∴∠B=∠EOF，∠A=∠DOH，∠C=∠HOG，∠1+∠2+∠HOD+∠EOF+∠HOG=360°，
∵∠HOD+∠EOF+∠HOG=∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠1+∠2=360°-180°=180°，
∵∠1=40°，
∴∠2=140°，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了翻折变换的性质和三角形的内角和定理，根据已知得出∠HOD+∠EOF+∠HOG=∠A+∠B+∠C=180°是解题关键．
10．（2022·全国·八年级专题练习）如图，，一块含45°的直角三角板的一个顶点落在直线b上，若，则∠2的度数为（       ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设∠2的同位角为∠3，∠3的邻补角为∠5，三角板的一个锐角为∠4，根据等腰三角板的特点可求出∠4，根据三角形内角和即可求出∠5，再根据平角的性质即可求出∠3，进而根据两直线平行同位角相等即可求出∠2．
【详解】设∠2的同位角为∠3，∠3的邻补角为∠5，三角板的一个锐角为∠4，如图，

∵直角三角板含一个45°的锐角，
∴该三角板为等腰三角形，
∴∠4=45°，
∵∠1=58°54′，
又∵在三角形中有∠1+∠4+∠5=180°，
∴∠5=180°-(∠1+∠4)=180°-(58°54′+45°)=180°-103°54′=76°6′，
∵∠3+∠5=180°，
∴∠3=180°-∠5=180°-76°6′=103°54′，
∵，
∴∠2=∠3，
∴∠2=103°54′，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及三角形的内角和等知识，掌握两直线平行同位角相等是解答本题的关键．

11．（2022·江苏·盐城市初级中学七年级期中）如图，是的高，，，则________．

【答案】
【分析】先由直角三角形的性质求得∠DAC，然后再根据线段的和差求解即可．
【详解】解：是的高，
，
∵
，
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了角的和差、直角三角形的性质、三角形高的性质等知识点，掌握直角三角形两锐角互余是解答本题的关键．
12．（2022·江苏·扬州中学教育集团树人学校七年级期中）如图，在△ABC中，点D在BC上，点E、F在AB上，点G在DF的延长线上，且∠B＝∠DFB，∠G＝∠DEG，若，则∠BDE的度数为_____．

【答案】
【分析】设，则，再根据三角形的内角和定理可得，根据三角形的外角性质可得，然后在中，根据三角形的内角和定理即可得．
【详解】解：设，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理、三角形的外角性质，熟练掌握三角形的内角和定理是解题关键．
13．（2022·江苏·扬州市江都区第三中学七年级阶段练习）如图，∠A＝45°，∠BCD＝135°，∠AEB与∠AFD的平分线交于点P．下列结论：①EP⊥FP；②∠AEB＋∠AFD＝∠P；③∠A＝∠PEB＋∠PFD．其中正确的结论是______．

【答案】①②③
【分析】延长EP于AB交于G根据角平分线的定义得到，再根据邻补角的定义求出∠BCF=180°-∠BCD=45°，然后利用三角形外角的性质和三角形内角和定理得到∠BEG+45°+∠AEG+2∠PFG+45°=180°，从而推出∠BEG+∠PFG=45°，由此进行逐一推导判断即可．
【详解】解：如图所示，延长EP于AB交于G


∵∠AEB与∠AFD的平分线交于点P，
∴，，
∵∠BCD=135°，
∴∠BCF=180°-∠BCD=45°，
∵∠EGB=∠A+∠AEG=45°+∠AEG，∠EBG=∠CFB+∠BCF=2∠PFG+45°，∠BEG+∠EGB+EBG=180°，
∴∠BEG+45°+∠AEG+2∠PFG+45°=180°，
∴2∠BEG+2∠PFG=90°，即∠BEG+∠PFG=45°，
∴∠EPF=∠EGB+∠PFG=45°+∠AEG+∠PFG=45°+∠BEG+∠PFG=90°，
∴EP⊥FP，故①正确；
∴∠AEB+∠AFD=2∠BEG+2∠PFG=90°=∠EPF，故②正确；
∵∠BEG+∠PFG=∠BEG+∠PFD=45°，
∴∠A=∠PEB+∠PFD，故③正确；
故答案为：①②③
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，三角形外角的性质，三角形内角和定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．

14．（2022·全国·八年级专题练习）如图，在△ABC中，AM是△ABC的角平分线，AD是△ABC的高线．

猜想∠MAD、∠B、∠C之间的数量关系，并说明理由．
【答案】
【分析】由直角三角形的性质得出∠DAC＝90°−∠C，由三角形内角和定理和角平分线定义求出∠MAC＝90°−∠C−∠B，再作差计算即可．
【详解】解：．
理由：∵AD是△ABC的高线，
∴∠ADC＝90°，
∴∠DAC＝90°−∠C，
∵∠BAC＝180°−∠C−∠B，AM是∠BAC的角平分线，
∴∠MAC＝ (180°−∠C−∠B)＝90°−∠C−∠B，
∴∠MAD＝∠MAC−∠DAC＝90°−∠C−∠B−(90°−∠C) ＝．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理、角平分线定义以及直角三角形两锐角互余；熟练掌握三角形内角和是180°是解题的关键．
15．（2022·全国·八年级单元测试）在△ABC中，BC＝8，AB＝1；
(1)若AC是整数，求AC的长；
(2)已知BD是△ABC的中线，若△ABD的周长为10，求△BCD的周长．
【答案】(1)8
(2)17
【分析】（1）根据三角形三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”得7＜AC＜9，根据AC是整数得AC＝8；
（2）根据BD是△ABC的中线得AD＝CD，根据△ABD的周长为17和AB＝1得AD+BD＝9，即可求解．
（1）
由题意得：BC﹣AB＜AC＜BC+AB，
∴7＜AC＜9，
∵AC是整数，
∴AC＝8；
（2）
如图所示：

∵BD是△ABC的中线，
∴AD＝CD，
∵△ABD的周长为10，
∴AB+AD+BD＝10，
∵AB＝1，
∴AD+BD＝9，
∴△BCD的周长＝BC+BD+CD＝BC+AD+CD＝8+9＝17．
【点睛】本题考查的是三角形的三边关系、三角形的中线的定义，掌握三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边是解题的关键．
16．（2022·河南周口·七年级期末）如图．AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线，EF⊥BC于点F．

(1)在△BEF中，请指出边EF上的高；
(2)若BD＝5，EF＝2，求△ACD的面积；
(3)若AB＝m，AC＝n，若△ACD的周长为a，请用含m，n，a的式子表示△ABD的周长．
【答案】(1)边EF上的高是BF；
(2)S△ACD=10；
(3)△ABD的周长为m+a-n．
【分析】（1）根据三角形高的定义即可得出边EF上的高是BF；
（2）先求得△BDE的面积，然后根据三角形的中线将三角形分成两个三角形得到S△ABE=S△BDE=5，进一步得到S△ACD=S△ABD=10；
（3）利用三角形周长公式即可求得．
（1）
解：∵EF⊥BC于点F，
∴边EF上的高是BF；
（2）
解：∵BD=5，EF=2，
∴S△BDE=BD•EF=5．
∵BE是△ABD的中线，
∴S△ABE=S△BDE=5，
∴S△ABD=10．
同理可得，S△ACD=S△ABD=10；
（3）
解：∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD．
∵△ACD的周长为a，
∴a=AD+CD+AC=AD+CD+n，
∴AD+CD=a-n，
∴△ABD的周长为：AB+AD+BD=AB+AD+CD=m+a-n．
【点睛】本题涉及到三角形的面积公式，同时考查了三角形的中线将三角形分成两个三角形，它们的面积等于原三角形面积的一半的知识，难度适中．
17．（2022·陕西渭南·七年级期末）如图，点A在CB的延长线上，点F在DE的延长线上，连接AF，分别与BD、CE交于点G、H．已知∠1＝52°，∠2＝128°．

(1)探索BD与CE的位置关系，并说明理由；
(2)若∠C＝78°，求∠A的度数．
【答案】(1)，理由见解析
(2)
【分析】（1）由，∠2＝128°，得到∠DGF＋∠2＝180°，利用“同旁内角互补，两直线平行”可证出；
（2）由得到，由三角形内角和定理求解即可．
（1）
，
理由：∵，∠2＝128°，
∴，
∴．
（2）
∵，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质、三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握相关性质和定理．
18．（2022·江苏·兴化市乐吾实验学校七年级阶段练习）
(1)【问题背景】如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说明；
(2)【简单应用】如图2，、分别平分、，若，，求的度数；
(3)【问题探究】如图3，直线平分的外角，平分的外角，若，，请猜想的度数，并说明理由；
(4)【拓展延伸】在图4中，若设，，，，试问与、之间的数量关系为：___．（用、表示，不必说明理由）



【答案】(1)见解析
(2)
(3)；理由见解析
(4)
【分析】（1）根据三角形内角和定理即可证明；
（2）根据角平分线的定义可得∠1=∠2，∠3=∠4，再根据（1）的结论列出整理即可得解；
（3）表示出∠PAD和∠PCD，再根据（1）的结论列出等式并整理即可得解；
（4)同法即可解决问题．
（1）
证明：在AOB中，∠A+∠B+∠AOB=180°，
在COD中，∠C+∠D+∠COD=180°
∠AOB=∠COD
∠A+∠B=∠C+∠D
（2）
∵AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD
∠1=∠2，∠3=∠4
由(1)的结论得

2∠P+∠1+∠3=∠2+∠4+∠ABC+∠ADC
∠P=(∠ABC+∠ADC)
∵∠ABC=35°，∠ADC=15°
∠P=25°
（3）
解：如图3
∵ AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE
∠PAD=180°-∠2，∠PCD=180°-∠3
∵∠P+(180°-∠1)=∠ADC+(180°-∠3)
∠P+∠1=∠ABC+∠4
2∠P=∠ABC+∠ADC
∠ABC=35°，∠ADC=29°
∠P=(∠B+∠D)=×(35°+29°)=32°
（4）
解:同法可得，∠P=
故答案为：∠P=
【点睛】本题考查三角形内角和，三角形的外角的性质、多边形的内角和等知识，解题的关键是学会用方程组的思想思考问题，属于中考常见题型．