培优专题12 最短路径-2023-2024学年八年级数学上册精选专题培优讲与练（人教版）

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培优专题12 最短路径

◎类型一：两定一动型
两定点到一动点的距离和最小。
类型1：在定直线l上找一个动点P，使动点P到两个定点A与B的距离之和最小，即PA+PB最小.

作法：连接AB，与直线l的交点Q，
Q即为所要寻找的点，即当动点P跑到了点Q处，
PA+PB最小，且最小值等于AB.
原理：两点之间线段最短。





类型2：在定直线l上找一个动点P，使动点P到两个定点A与B的距离之和最小，
即PA+PB的和最小.








作法：作定点B关于定直线l的对称点C，连接AC，与直线l的交点Q即为所要寻找的点，即当动点P跑到了点Q处，PA+PB和最小，且最小值等于AC.
原理：两点之间，线段最短

1．（2021·辽宁·盘锦市第一完全中学八年级期中）如图，等边△ABC的边长为8，AD是BC边上的中线，E是AD边上的动点，F是AB边上一点，若BF=4，当BE+EF取得最小值时，则∠EBC的度数为（       ）

A．15° B．25° C．30° D．45°
【答案】C
【分析】取AC得中点G，连接BG，交AD于点E，由等边△ABC的边长为8，BF＝4知点F是AB中点，据此得点G与点F关于AD对称，此时BE+FE＝BG最小，再根据等边三角形的性质可得答案．
【详解】解：取AC得中点G，连接BG，交AD于点E，
∵等边△ABC的边长为8，BF＝4，
∴点F是AB中点，
∴点G与点F关于AD对称，
此时BE+EF＝BG最小，
根据等边三角形的性质知∠EBC∠ABC＝30°，
故选：C．

【点睛】本题考查了轴对称－最短路线问题、等边三角形的性质，解决本题的关键是利用等边三角形的性质找对称点．
2．（2022·江苏·八年级课时练习）如图，在等边中，BC边上的高，E是高AD上的一个动点，F是边AB的中点，在点E运动的过程中，存在最小值，则这个最小值是（       ）

A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【分析】先连接CE，再根据EB=EC，将FE+EB转化为FE+CE，最后根据两点之间线段最短，求得CF的长，即为FE+EB的最小值．
【详解】解：如图，连接CE，


∵等边△ABC中，AD是BC边上的中线，
∴AD是BC边上的高线，即AD垂直平分BC，
∴EB=EC，
∴BE+EF=CE+EF，
∴当C、F、E三点共线时，EF+EC=EF+BE=CF，
∵等边△ABC中，F是AB边的中点，
∴AD=CF=6，
即EF+BE的最小值为6．
故选：B
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，轴对称性质等知识，熟练掌握和运用等边三角形的性质以及轴对称的性质是解决本题的关键．解题时注意，最小值问题一般需要考虑两点之间线段最短或垂线段最短等结论．
3．（2022·河南郑州·七年级期末）小颖的爸爸要在某条街道l上修建一个奶站P，向居民区A，B提供牛奶，要使点P到A，B的距离之和最短，则下列作法正确的是（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】只需要作A关于直线l的对称点，连接对称轴与点B交直线l与点P，点P即为所求（作B关于直线l的对称点亦可）；
【详解】解：根据两点之间线段最短可知，只需要作A关于直线l的对称点，连接B与A关于直线l的对称点与直线l的交点即可所求，则只有选项B符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了轴对称—最短路径问题，正确理解题意是解题的关键．
4．（2022··八年级期末）直线l是一条河，P，Q是在l同侧的两个村庄．欲在l上的M处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则M处到P，Q两地距离相等的方案是（       ）
A．B．C． D．
【答案】D
【分析】根据轴对称的性质及最短路径问题解答．
【详解】解：过点P作关于直线l的对称点，连接对称点与点Q，交直线l于一点，即为点M，
故选：D．
【点睛】此题考查了轴对称的性质，利用轴对称作图，最短路径问题，正确掌握最短路径问题的解题方法是解题的关键．
5．（2022·广西玉林·八年级期末）如图，∠AOB＝60°，P是∠AOB角平分线上一点，PD⊥AO，垂足为D，点M是OP的中点，且DM＝4，如果点C是射线OB上一个动点，则PC的最小值是（　　）

A．8 B．6 C．4 D．2
【答案】C
【分析】根据角平分线的定义可得，再根据直角三角形的性质求得，然后根据角平分线的性质和垂线段最短得到结果．
【详解】
∵P是∠AOB角平分线线上一点，且∠AOB＝
∴∠AOP＝∠AOB＝        
∵PD⊥OA，M是OP的中点，DM＝4
∴OP＝2DM＝8
∴PD＝OP＝4
∵C点是OB上一个动点
∴当PC丄OB时，PC的值最小
此时PC＝PD＝4
∴PC的最小值为4
故选C
【点睛】本题考查了角平分线上的点到角两边的距离相等的性质，直角三角形的性质，.熟记性质并做出辅助线构造直角三角形是集体的关键．
6．（2022·福建泉州·七年级期末）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位，的三个顶点都在格点上．

(1)在网格中画出向下平移4个单位得到的；
(2)在网格中画出关于直线对称的；
(3)在直线上画一点，使得的周长最小．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析

【分析】（1）根据平移的性质分别作出点A、B、C平移后的对应点A1、B1、C1，再顺次连接即可得；
（2）根据轴对称的性质分别作出点A、B、C关于直线m的对称点A2、B2、C2，再顺次连接即可得；
（3）连接A2C交直线m于点P即可．
（1）
解：如图，即为所求.

（2）
解：如图，即为所求.
（3）
解：如图，点即为所求.
由（2）作图可知，点A与点A2是关于直线m的对称点，
∴PA=PA2，
∴PC+PA=PC+PA2=A2C，
∴PC+PA最小，
∵的周长=AC+PC+PA，
∴的周长最小．
【点睛】本题考查平移作图，作轴对称图形，利用轴对称求最小值，熟练掌握平移性质、轴对称的性质是解题的关键．


◎类型二：两动一定型
类型3：在∠MON的内部有一点A，在OM上找一点B，在ON上找一点C，使得△BAC周长最短．


作法：作点A关于OM的对称点A’，作点A关于ON的对称点A’’ ，连接A’ A’’，与OM交于点B，与ON交于点C，连接AB，AC，△ABC即为所求．




类型4：在∠MON的内部有点A和点B，在OM上找一点C，在ON上找一点D，使得四边形ABCD周长最短．



作法：作点A关于OM的对称点A’，作点B关于ON的对称点B’ ，连接A’ B’，与OM交于点C，与ON交于点D，连接AC，BD，AB，四边形ABCD即为所求．


7．（2022·全国·七年级期末）如图，四边形中，，，在、上分别找一点、，使周长最小时，则的度数为　　

A．130° B．120° C．110° D．100°
【答案】B
【分析】根据要使的周长最小，即利用点的对称，让三角形的三边在同一直线上，作出关于和的对称点，，即可得出，进而得出即可得出答案．
【详解】解：作关于和的对称点，，连接，交于，交于，如图所示：

则的长即为的周长最小值．
下面来求此时满足题目要求的角度：
，
，
，，且，，
，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出，的位置是解题关键．
8．（2022·全国·八年级课时练习）如图，在五边形ABCDE中，（为钝角），，在BC，DE上分别找一点M，N，当周长最小时，的度数为（       ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分别延长AB、AE到点、，使，，连接，分别交BC和DE于点M，N，连接AM，AN，此时周长最小，可求得，，由三角形的内角和求得即可解答.
【详解】解：∵，
∴如图，分别延长AB、AE到点、，使，，连接，分别交BC和DE于点M，N，连接AM，AN，此时周长最小，
∵BM垂直平分，EN垂直平分，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选C．

【点睛】本题考查平面内最短路径问题，涉及两点之间线段最短、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握平面内最短路径的求解方法是解答的关键.
9．（2022·全国·八年级专题练习）如图，若∠AOB=44°，为∠AOB内一定点，点M在OA上，点N在OB上，当△PMN的周长取最小值时，∠MPN的度数为(               )

A．82° B．84° C．88° D．92°
【答案】D
【分析】分别作点P关于OA、OB的对称点、，连接交OA于M，交OB于N，的周长的最小值为长度，然后依据等腰等腰中，，即可得出，代入求解即可．
【详解】解：如图所示：分别作点P关于OA、OB的对称点、，连接交OA于M，交OB于N，

∴，，，
根据轴对称的性质可得，，
∴的周长的最小值为长度，
由轴对称的性质可得，
∴等腰中，
，
∴
，
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，轴对称的性质，等腰三角形的性质等，正确作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．
10．（2022·广东广州·八年级期末）如图，点E在等边△ABC的边BC上，BE＝4，射线CD⊥BC，垂足为点C，点P是射线CD上一动点，点F是线段AB上一动点，当EP+FP的值最小时，BF＝5，则AB的长为（　　）

A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】A
【分析】作E点关于CD的对称点E'，连接PE,E'P,PF，当E',P,F三点共线，E'F⊥AB时，此时EP+FP的值最小，由题意可得∠FE'B=30°，则BE'=2BF，再由BF=5，BE=4，可得10=2CE+4，解得CE=3，可求BC=7．
【详解】解：作E点关于CD的对称点E'，过E'作E'F⊥AB交于点F，交CD于点P，连接PE，

∴PE=PE'，
∴EP+FP=PE'+PF≥E'F，
当E',P,F三点共线，E'F⊥AB时，
此时EP+FP的值最小，
∵△ABC是正三角形，
∴∠B=60°，
∵E'F⊥AB，
∴∠FE'B=30°，
∴BE'=2BF，
∵BF=5，BE=4，
∴E'B=10，
∵CE=CE'，
∴10=2CE+BE=2CE+4，
∴CE=3，
∴BC=7，
故选：A．
【点睛】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，等边三角形的性质，直角三角形的性质是解题的关键．
11．（2021·福建·厦门市第九中学八年级期中）如图，等边△ABC中，BD⊥AC于D，QD＝15，点P、Q分别为AB、AD上的两个定点且BP＝AQ＝20，在BD上有一动点E使PE+QE最短，则PE+QE的最小值为（　　）

A．35 B．40 C．50 D．60
【答案】C
【分析】作点Q关于BD的对称点Q′，连接PQ′交BD于E，连接QE，此时PE+EQ的值最小．最小值PE+PQ=PE+EQ′=PQ′．
【详解】解：
如上图，∵△ABC是等边三角形，
∴BA=BC，
∵BD⊥AC，
∴AD=DC=AQ+QD=20+15=35cm，
∴AB=AC=2AD=70，
作点Q关于BD的对称点Q′，连接PQ′交BD于E，连接QE，此时PE+EQ的值最小．最小值为PE+PQ=PE+EQ′=PQ′，
∴QD=DQ′=15（cm），
∴AQ′=AD+DQ′=35+15=50(cm)
∵BP=20（cm），
∴AP=AB-BP=70-20=50（cm）
∴AP=AQ′=50（cm），
∵∠A=60°，
∴△APQ′是等边三角形，
∴PQ′=PA=50（cm），
∴PE+QE的最小值为50cm．
故选：C．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质和判定，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题．



◎类型三： 两定两动型最值
类型5：已知A、B是两个定点，在定直线l上找两个动点M与N，且MN长度等于定长d（动点M位于动点N左侧），使AM+MN+NB的值最小.
提示：存在定长的动点问题一定要考虑平移








作法一：将点A向右平移长度d得到点A’， 作A’关于直线l的对称点A’’，连接A’’B，交直线l于点N，将点N向左平移长度d，得到点M。
作法二：作点A关于直线l的对称点A1，将点A1向右平移长度d得到点A2，连接A2 B，
交直线l于点Q，将点Q向左平移长度d，得到点Q。

类型6：（造桥选址）直线l1∥l2，在直线l1上找一个点C，直线l2上找一个点D，使得CD⊥l2, 且
AC＋BD＋CD最短．
作法：将点A沿CD方向向下平移CD长度d至点A’，连接A’B，交l2于点D，过点D作DC⊥l2于点C，连接AC．则桥CD即为所求．此时最小值为A’B+CD




12．（2022·浙江舟山·七年级期末）如图，直线，表示一条河的两岸，且．现要在这条河上建一座桥（桥与河的两岸相互垂直），使得从村庄P经桥过河到村庄的路程最短，应该选择路线（     ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据两点间直线距离最短，使FEPP′为平行四边形即可，即PP′垂直河岸且等于河宽，接连P′Q即可．
【详解】解：作PP'垂直于河岸l2，使PP′等于河宽，
连接QP′，与另一条河岸相交于F，作FE⊥直线l1于点E，
则EF∥PP′且EF=PP′，
于是四边形FEPP′为平行四边形，故P′F=PE，
根据“两点之间线段最短”，QP′最短，即PE+FQ最短．
故C选项符合题意，
故选：C．
【点睛】此题考查了轴对称-最短路径问题，要利用“两点之间线段最短”，但许多实际问题没这么简单，需要我们将一些线段进行转化，即用与它相等的线段替代，从而转化成两点之间线段最短的问题．目前，往往利用对称性、平行四边形的相关知识进行转化．
13．（2022·湖北黄石·七年级期末）如图，河道的同侧有、两地，现要铺设一条引水管道，从地把河水引向、两地．下列四种方案中，最节省材料的是（       ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言．
【详解】解：依据垂线段最短，以及两点之间，线段最短，可得最节省材料的是：


故选：D．
【点睛】本题主要考查了垂线段最短的运用，实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择．
14．（2022·江苏·扬州市江都区第三中学七年级阶段练习）如图，锐角∠AOB＝x，M，N分别是边OA，OB上的定点，P，Q分别是边OB，OA上的动点，记∠OPM＝α，∠QNO＝β，当MP+PQ+QN最小时，则关于α，β，x的数量关系正确的是（　　）

A．α﹣β＝2x B．2β+α＝90°+2x
C．β+α＝90°+x D．β+2α＝180°﹣2x
【答案】A
【分析】如图，作M关于OB的对称点M′，N关于OA的对称点N′，连接M′N′交OA于Q，交OB于P，则此时MP+PQ+QN最小，易知∠OPM=∠OPM′=∠NPQ，∠OQP=∠AQN′=∠AQN，再结合∠OPM=∠NPQ=∠AOB+∠OQP，∠OQP=∠AQN=∠AOB+∠ONQ，由此即可解决问题．
【详解】解：如图，作M关于的对称点，N关于的对称点，
连接交于Q，交于P，则此时的值最小．

此时，，．
∵∠OPM=∠NPQ=∠AOB+∠OQP，∠OQP=∠AQN=∠AOB+∠ONQ，
∴，，
∴，即：，
故选：A．
【点睛】本题考查轴对称-最短问题、三角形的内角和定理．三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
15．（2022·全国·八年级专题练习）如图，平行河岸两侧各有一城镇，，根据发展规划，要修建一条桥梁连接，两镇，已知相同长度造桥总价远大于陆上公路造价，为了尽量减少总造价，应该选择方案（       ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】作PP'垂直于河岸L，使PP′等于河宽，连接QP′，与河岸L相交于N，作NM⊥L，根据平行线的判定与性质，易证得此时PM+NQ最短.
【详解】解：如图，作PP'垂直于河岸L，使PP′等于河宽，连接QP′，与河岸L相交于N，作NM⊥L，则MN∥PP′且MN＝PP′，于是四边形PMNP′为平行四边形，故PM＝NP′．根据“两点之间线段最短”，QP′最短，即PM+NQ最短．观察选项，选项C符合题意．
故选C．

【点睛】本题主要考查最短路径问题，解此题的关键在于熟练掌握其知识点.
16．（2019·全国·七年级单元测试）已知村庄A和B分别在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN(假定河的两岸彼此平行，且桥与河岸互相垂直)，下列示意图中，桥的建造位置能使从村庄A经桥过河到村庄B的路程最短的是(       )
A．B．C． D．
【答案】C
【分析】如图作AI∥MN，且AI=MN，连接BI，由两点之间线段最短可知此时从A点到B点的距离最短，所以AM∥BN.
【详解】
解：如图，作AI∥MN，且AI=MN，连接BI，
∴四边形AMNI为平行四边形，
∴AM∥BN，此时从A点到B点距离最短.
故选C.
【点睛】本题主要考查了最短路径的问题，运用到了两点之间线段最短，平行四边形等知识点，解此题的关键在于熟练掌握其知识点.

◎类型四： 垂线段最短型
类型7：在∠MON的内部有一点A，在OM上找一点B，在ON上找一点C，使得AB＋BC最短．


点A是定点，OM，ON是定线，
点B、点C是OM、ON上要找的点，是动点．

作法：作点A关于OM的对称点A’，过点A’作A’C⊥ON，
交OM于点B，B、C即为所求。




类型8：在定直线l上找一个动点P，使动点P到两个定点A与B的距离之差最小，即|PA-PB |最小.


作法：连接AB，作AB的中垂线与l的交点，即为所求点P
此时|PA-PB |=0


类型9：在定直线l上找一个动点C，使动点C到两个定点A与B的距离之差最大，即|PA-PB |最大
作法：延长BA交l于点C，点C即为所求，
即点B、A、C三点共线时，最大值为AB的长度。


类型10：在定直线l上找一个动点C，使动点C到两个定点A与B的距离之差最大，即|PA-PB|最大
作法：作点B关于l的对称点B，连接AB，
交交l于点P即为所求，最大值为AB的长度。


17．（2022·福建厦门·八年级期末）为贯彻国家城乡建设一体化和要致富先修路的理念，某市决定修建道路和一座桥，方便张庄A和李厝B的群众出行到河岸a．张庄A和李厝B位于一条河流的同一侧，河的两岸是平行的直线，经测量，张庄A和李厝B到河岸b的距离分别为、，且，如图所示．现要求：建造的桥长要最短，然后考虑两村庄到河流另一侧桥头的路程之和最短，则这座桥建造的位置是________．（河岸边上的点到河对岸的距离都相等）


【答案】到AC的距离为p（m）处．
【分析】作B点关于直线b的对称点B'，连接AB'交b于点P，此时P点到A与B的距离和最短，然后求出AM＝（p＋q）m，可得∠CAP＝45°，则AC＝CP，问题得解．
【详解】解：作B点关于直线b的对称点B'，连接AB'交b于点P，
∴BP＝B'P，
∴AP＋BP＝AP＋B'P≥AB'，此时P点到A与B的距离和最短，
过B'作B'M∥CD，延长AC与B'M交于点M，
∴B'M＝CD，
∵AC＝p（m）、BD＝q（m），CD＝（p＋q）m，
∴AM＝（p＋q）m，
∴∠CAP＝45°，
∴AC＝CP，
∴P点与C点的距离是p（m），
∴这座桥建造的位置是：到AC的距离为p（m）处，
故答案为：到AC的距离为p（m）处．


【点睛】此题主要考查了最短路线问题；作出辅助线，构造出最短路线为斜边的直角三角形是解决本题的难点．
18．（2022·全国·八年级专题练习）如图，园区入口A到河的距离AE为100米，园区出口B到河的距离BF为200米，河流经过园区的长度EF为400米，现策划要在河上建一条直径CD为100米的半圆形观赏步道（如图：C在D左侧），游览路线定为A﹣C﹣D﹣B，问步道入口C应建在距离E_____米处，才能使游览路线最短．

【答案】100
【分析】如图，将BF向FE方向平移100米到B1F1，延长AE到A1，使AE=A1E=100米，连接A1B1交EF于C，则C即为所求作的点，延长BB1交A1A 延长线于H，证明△A1HB1和△A1EC是等腰直角三角形即可解答．
利用相似三角形的性质求解EC即可．
【详解】解：如图，将BF向FE方向平移100米到B1F1，则BB1=FF1=CD=100米，B1F1=BF=200米，EF1=300米，
延长AE到A1，使AE=A1E=100米，连接A1B1交EF于C，则C即为所求作的点．
延长BB1交A1A 延长线于H，则A1H= 300米，B1H=BH－BB1=300米，∠H=90°，
∴△A1HB1是等腰直角三角形，
∴∠HAB1=45°，又∠A1EC=90°，
∴∠A1CE=45°，
∴EC=A1E=100，
∴步道入口C应建在距离E100米处，能使游览路线最短，
故答案为：100．

【点睛】本题考查平移性质、最短路径问题、等腰直角三角形的判定与性质，会利用轴对称性质和两点之间线段最短解决最短路径问题是解答的关键．

19．（2022·河南周口·七年级期末）如图，要在街道旁修建一个奶站，向居民区提供牛奶，牛奶站应建在什么地方，才能使到它的距离之和最短，作图并说明．     

【答案】图见解析，说明见解析
【分析】如图，作点A关于街道得对称点C，连接CB，交街道与点D，则点D即为所求的牛奶站的位置．
【详解】解：如图，作点A关于街道得对称点C，连接CB，交街道与点D，则点D即为所求的牛奶站的位置．
由轴对称的性质可知AD=CD，则AD+BD=CD+BD=BC，
在街道上任取一点不同于D点的E，连接CE，BE，
根据两点之间线段最短可知BE+CE＞BC，则点D即为所求；

【点睛】本题主要考查了最短路径问题，熟知相关知识是解题的关键．
20．（2022·山东淄博·期中）如图，已知平面上四个点A，B，C，D，请按要求完成作图：


(1)作直线，射线，连接；
(2)在线段上求作点P，使得；（保留作图痕迹）
(3)在直线上确定一点Q，使点Q到点P与点D的距离之和最短．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析

【分析】（1）根据直线，射线，线段的定义画出图形即可；
（2）以A为圆心，AB为半径作弧，交AC于点P，点P即为所求；
（3）连接DP交AB于点Q，点Q即为所求．
（1）
解：如图，直线AB，射线BD，线段AC即为所求；

（2）
解：如图，点P即为所求；

（3）
解：如图，点Q即为所求．

【点睛】本题考查作图-复杂作图，直线，射线，线段的定义等知识，解题的关键是理解直线，射线，线段的定义，属于中考常考题型．