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专题02 圆与方程（重难点突破）-2023-2024学年高二数学上学期精品讲义（人教A版）
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这是一份专题02 圆与方程（重难点突破）-2023-2024学年高二数学上学期精品讲义（人教A版），文件包含专题02圆与方程重难点突破原卷版-高二数学上学期精品讲义人教A版docx、专题02圆与方程重难点突破解析版-高二数学上学期精品讲义人教A版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共39页， 欢迎下载使用。
专题02 圆与方程
一、考情分析
二、考点梳理
1．圆的方程
(1)圆的方程
①标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圆心坐标为(a，b)，半径为r.
②一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，圆心坐标为，半径r＝.
(2)点与圆的位置关系
①几何法：利用点到圆心的距离d与半径r的关系判断：d>r⇔点在圆外，d＝r⇔点在圆上；d
2．直线与圆的位置关系
直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)与圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)的位置关系如下表.
方法位置关系
几何法：根据d＝与r的大小关系
代数法：
消元得一元二次方程，根据判别式Δ的符号
相交
d
相切
d＝r
Δ＝0
相离
d>r
Δ<0
3．圆与圆的位置关系
表现形式
位置关系
几何表现：圆心距d与r1、r2的关系
代数表现：两圆方程联立组成的方程组的解的情况
相离
d>r1＋r2
无解
外切
d＝r1＋r2
一组实数解
相交
|r1－r2|
内切
d＝|r1－r2|(r1≠r2)
一组实数解
内含
0≤d<|r1－r2|(r1≠r2)
无解
三、题型突破
重难点1 圆的方程
求圆的标准方程的常用方法包括几何法和待定系数法．
（1）由圆的几何性质易得圆心坐标和半径长时，用几何法可以简化运算．对于几何法，常用到圆的以下几何性质：①圆中任意弦的垂直平分线必过圆心；②圆内的任意两条弦的垂直平分线的交点一定是圆心．
（2）由于圆的标准方程中含有三个参数a，b，r，运用待定系数法时，必须具备三个独立的条件才能确定圆的方程．这三个参数反映了圆的几何性质，其中圆心（a，b）是圆的定位条件，半径r是圆的定形条件．
例1．（1）（2020黑龙江黑河一中高二期中）已知A(3，－2)，B(－5,4)，则以AB为直径的圆的方程是( )
A．(x－1)2＋(y＋1)2＝25 B．(x＋1)2＋(y－1)2＝25
C．(x－1)2＋(y＋1)2＝100 D．(x＋1)2＋(y－1)2＝100
【答案】B
【解析】由题意可得圆心为（-1，1），半径为，由圆心和半径可得圆的方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝25，选B.
（2）．（2020福建莆田一中高二月考）过点，且圆心在直线上的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】本题作为选择题，可采用排除法，根据圆心在直线上，排除B、D，
点在圆上，排除A，故选C.
（3）．（2021·河南许昌市·高一期末）以点为圆心，且与轴相切的圆的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
根据题中条件，得到圆的半径，进而可得圆的方程.
【详解】
以点为圆心且与轴相切的圆的半径为，
故圆的标准方程是.
故选：C.
（4）．（2020·湖北）以，两点为直径端点的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
先求出线段中点坐标即为圆心，再求出即为直径，即可得出圆的方程.
【详解】
可知线段的中点坐标为，即为，
，
以，两点为直径端点的圆的圆心为，半径为5，
则方程为.
故选：D.
【点睛】
本题考查圆的标准方程的求法，属于基础题.
【变式训练1】．（1）（2020·全国高二课时练习）圆的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
将圆的一般方程配方得圆的标准方程.
【详解】
将配方得标准方程为．
故选：C.
【点睛】
本题考查将圆的一般方程配方得圆的标准方程，属于基础题.
（2）．（2020·全国高二课时练习）过点的圆C与直线相切于点，则圆C的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
求出直线的斜率，利用两直线垂直时斜率的乘积为求出过点B的直径所在直线方程的斜率，求出此直线方程,根据直线方程设出圆心 C 坐标，根据，利用两点间的距离公式列出方程，求出方程的解确定出 C 坐标，进而确定出半径，写出圆的方程即可.
【详解】
解：直线的斜率为1，
过点B的圆的直径所在直线的斜率为.
，
此直线方程为，即.
设圆心C的坐标为，
，
即，
解得，圆心C坐标为，半径为.
圆C的方程为.
故选：D.
【点睛】
此题考查了圆的标准方程，涉及的知识有：两点间的距离公式，两直线垂直时斜率满足的关系，求出圆心坐标与半径是解本题的关键.
例 2．（2021·全国高二课时练习）求下列各圆的方程：
（1）圆心为且过点；
（2）过，，三点；
（3）圆心在直线上，且经过原点和点．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】
（1）求出半径，即可得出圆的方程；
（2）设出圆的标准方程，将已知三点代入即可求解；
（3）设出圆心，由圆心到原点的距离与到的距离相等可求出，进而求出半径，得出方程.
【详解】
（1）由题意，圆的半径，
又圆心为，则所求圆的方程为；
（2）设圆的方程为，
因为圆过，，三点，
，解得，
则所求圆的方程为；
（3）由圆心在直线上可设圆心为，
则圆心到原点的距离与到的距离相等，
则，解得，即圆心为，
则半径为，
故所求圆的方程为.
【变式训练2-1】．（2021·全国高二课时练习）分别根据下列条件，求圆的方程：
（1）过点和原点；
（2）与两坐标轴均相切，且圆心在直线上.
【答案】（1）；（2）或.
【分析】
(1) 设圆的方程为，由和原点在圆上可得，从而可求出，即可得圆的方程.
(2) 设圆心的坐标为，由圆与坐标轴相切可知，进而可求出的值，即可求出圆的方程.
【详解】
（1）设圆的方程为，
由题意，，解得，
故所求圆的方程为.
（2）由圆心在直线上，设圆心的坐标为，
因为圆与两坐标轴均相切，所以， 解得或.
当时，圆心为，半径为5，则圆的方程为；
当时，圆心为，半径为1，则圆的方程为；
故所求圆的方程为或.
【点睛】
本题考查了圆的标准方程，考查了圆的一般方程.求圆的方程时，可采用待定系数法，设圆的标准方程或一般方程，由已知条件列方程组，从而求出圆的方程.
重难点2 直线与圆的位置关系
判定直线与圆位置关系的常用方法：
（1）几何法：根据圆心到直线的距离与圆半径的大小关系判断．
（2）代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组的解的个数判断．
（3）直线系法：若动直线过定点，则点在圆内时，直线与圆相交；当在圆上时，直线与圆相切或相交；当在圆外时，直线与圆位置关系不确定．
例3．（1）（2021·全国高二课时练习）已知直线：与圆：交于、两点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由圆的方程可得圆心坐标和半径,根据点到直线的距离求得圆心到直线的距离,根据勾股定理可求得答案.
【详解】
∵圆的圆心，半径为，
圆心到直线：的距离为，
∴，
故选：B.
（2）．（2020·全国高二课时练习）若圆的圆心到直线的距离为，则的值为_________.
【答案】4或2
【分析】
利用圆心到直线的距离构建关于的方程，解方程后可得的值.
【详解】
圆的圆心为，它到直线的距离为，
故或.
故答案为：4或2.
【点睛】
本题考查点到直线的距离，利用公式计算距离时注意把直线方程整理为一般方程.
（3）．（2021·全国高二单元测试）圆：上的点到直线距离的最大值为______.
【答案】
【分析】
先由圆的方程，得到圆心为，半径为，求出圆心到直线的距离，再由圆的性质，即可得出结果.
【详解】
由整理得，
即圆的圆心为，半径为，
所以圆心到直线的距离，
根据圆的性质可得，圆上的点到直线距离的最大值为.
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查求圆上一点到定直线距离的最值，属于基础题型.
【变式训练3-1】．若直线x－y＋m＝0被圆(x－1)2＋y2＝5截得的弦长为2，则m的值为( )
A．1 B．－3
C．1或－3 D．2
【答案】C
【解析】因为圆(x－1)2＋y2＝5的圆心C(1，0)，半径r＝.又直线x－y＋m＝0被圆截得的弦长为2.所以圆心C到直线的距离d＝＝，
因此＝， 所以m＝1或m＝－3.答案：C
【变式训练3-2】．已知圆C的方程是x2＋y2－8x－2y＋8＝0，直线y＝a(x－3)被圆C截得的弦最短时，直线方程为________．
【解析】圆C的标准方程为(x－4)2＋(y－1)2＝9，所以圆C的圆心C(4，1)，半径r＝3.
又直线y＝a(x－3)过定点P(3，0)，
则当直线y＝a(x－3)与直线CP垂直时，被圆C截得的弦长最短．
因此a·kCP＝a·＝－1，所以a＝－1.
故所求直线的方程为y＝－(x－3)，即x＋y－3＝0.答案：x＋y－3＝0
【变式训练3-3】．（2020·上海高二课时练习）若圆的圆心到直线的距离为，则的值为_________.
【答案】4或2
【解析】圆的圆心为，它到直线的距离为，
故或.故答案为：4或2.
例4．（2021·全国高二课时练习）已知圆，直线．
（1）当为何值时，直线与圆相切；
（2）当直线与圆相交于，两点，且时，求直线的方程．
【答案】（1）；（2）或.
【分析】
（1）将圆的方程化为标准方程，得圆心坐标与半径，计算圆心到直线的距离，再根据列式求解；
（2）得圆心到直线的距离，根据几何法求弦长的公式列式计算.
【详解】
（1），所以圆心，半径为，
因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离为：，
所以当时，直线与圆相切；
（2）圆心到直线的距离为：，
由几何法求弦长的公式可知：，
解得或，所以直线为：或．
【变式训练4-1】．（2021·全国高二单元测试）已知直线，圆C的圆心在x轴的负半轴上，半径为，且圆心C到直线l的距离为.
（1）求圆C的方程；
（2）由直线l上一点Q作圆C的两条切线，切点分别为M，N，若，求点Q的坐标.
【答案】（1）；（2）点Q的坐标为或.
【分析】
（1）设圆心，代入点到直线的距离公式，结合题意，即可求得a值，即可得答案；
（2）根据题意可得，在中，可求得，设，根据题意，列出方程，即可求得Q的坐标.
【详解】
（1）依题意设圆心，
由题意得：，解得或，
由于，所以，
因此圆的方程为.
（2）因为，所以.
在中，，所以.
设，
则有
解得或，
因此点Q的坐标为或.
【点睛】
本题考查圆的标准方程的求法，圆的几何性质，考查分析理解，数形结合的能力，属基础题.
重难点3 直线、圆方程的综合应用
（1）判断或处理直线和圆的位置的问题，一般有两种方法，一是几何法，利用圆的几何性质解题，二是代数法，联立圆与直线的方程，利用判别式，根与系数关系来处理，在做题时要用心作图，很多题目要用到数形结合的思想．
（2）若是定圆上的一动点，则和这两种形式的最值，一般都有两种求法，分别是几何法和代数法．
①几何法．的最值：设，圆心到直线的距离为，由即可解得两个值，一个为最大值，一个为最小值．
的最值：即点与原点连线的斜率，数形结合可求得斜率的最大值和最小值．
②代数法．的最值：设，与圆的方程联立，化为一元二次方程，由判别式等于0，求得的两个值，一个为最大值，一个为最小值．
的最值：设，则，与圆的方程联立，化为一元二次方程，由判别式等于0，求得的两个值，一个为最大值，一个为最小值．
例5．（2021·全国高二单元测试）已知圆，圆，，分别是圆，上的动点，为轴上的动点，则的最小值为
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
求出圆关于轴的对称圆的圆心坐标，以及半径，然后求解圆与圆的圆心距减去两个圆的半径和，即可求出的最小值．
【详解】
解：如图圆关于轴的对称圆的圆心坐标，半径为1，
圆的圆心坐标，半径为3，
由图象可知当，，，三点共线时，取得最小值，
的最小值为圆与圆的圆心距减去两个圆的半径和，
即：．
故选：D．
【点睛】
本题考查圆的对称圆的方程的求法，两个圆的位置关系，两点距离公式的应用，考查转化思想与计算能力，属于中档题．
【变式训练5-1】．（2021·全国高二专题练习）圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋(y－3)2＝1的内公切线有且仅有（ ）
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
【答案】B
【分析】
判断出两圆的位置关系后可得内公切线条数．
【详解】
圆心距为3，半径之和为2，故两圆外离，内公切线条数为2.
故选：B．
【变式训练5-2】．（2021·全国高二专题练习）以圆：与圆：相交的公共弦为直径的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
首先两圆相减，求公共弦所在的直线方程，和圆心连线的方程联立求圆心，再根据弦长公式求半径，最后表示圆的方程.
【详解】
∵圆与圆，
∴两圆相减可得公共弦方程为，即
又∵圆的圆心坐标为(−2,0),半径为；
圆的圆心坐标为(−1,−1)，半径为1，
∴的方程为
∴联立可得公共弦为直径的圆的圆心坐标为(−1,−1)，
∵(−2,0)到公共弦的距离为：，
∴公共弦为直径的圆的半径为：，
∴公共弦为直径的圆的方程为
故选：B.
【点睛】
关键点点睛：本题的关键是两圆相交时，两圆相减后的直线方程是两圆公共弦所在的直线方程.
例6．（2021·全国高二课时练习）已知为圆：上任意一点.
(1)求的最大值；
(2)求的最大值和最小值；
(3)求的最大值和最小值.
【答案】（1）；（2）最大值为，最小值为；（3）最大值为，最小值为.
【分析】
（1）的最大值，等价于过圆上一点作斜率为的直线的截距的最大值，设，当直线与圆相切时，纵截距取得最大值或最小值，计算即得解；
（2）看成是过点和的直线斜率，设直线的方程为：，利用圆心到直线的距离不大于半径解不等式即可.
（3）表示点与点的距离的平方，转化为圆上的点与点的距离的距离平方；
【详解】
解：(1)∵的圆心，半径，
设，将看成直线方程，
∵该直线与圆有公共点，∴圆心到直线的距离，
解上式得：，∴的最大值为.
(2)记点，∵表示直线的斜率，设直线的方程为：，即，由直线与圆有公共点，
∴，可得，
∴的最大值为，最小值为；
(3)∵设，等价于圆的圆心到原点的距离的平方，
则，
；
【点睛】
方法点睛：(1)型的最大值转化为直线的截距的最大值；
(2)型的最大值和最小值转化为过点和的直线斜率的最大值和最小值；
(3)型的最大值和最小值转化为和的距离的最大值和最小值的平方.
【变式训练6-1】．（2020·全国高二课时练习）已知实数，满足方程.
（1）求的最大值和最小值；
（2）求的最大值和最小值；
（3）求的最大值和最小值.
【答案】（1）最大值为，最小值为；（2）最大值为，最小值为；（3）最大值为，最小值为.
【分析】
（1）设，即，当直线与圆相切时，斜率取得最大值和最小值，解方程即得解；
（2）设，当与圆相切时，纵截距取得最大值和最小值，解方程即得解；
（3）最大值和最小值分别为圆心到原点的距离与半径的和与差的平方.
【详解】
（1）方程表示以点为圆心，为半径的圆，
设，即，
当直线与圆相切时，斜率取得最大值和最小值，
此时，解得.
故的最大值为，最小值为.
（2）设，即，
当与圆相切时，纵截距取得最大值和最小值，
此时，即.
故的最大值为，最小值为.
（3）表示圆上的点与原点距离的平方，由平面几何知识知，它在过原点和圆心的直线与圆的两个交点处取得最大值和最小值，又圆心到原点的距离为2，
故，
.
【点睛】
本题主要考查直线和圆的位置关系，考查点到圆上的点的距离的最值的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
四、定时训练（30分钟）
1．（2021·全国高二专题练习）圆的圆心和半径分别是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
直接根据圆标准方程的几何性质求解即可.
【详解】
圆的标准方程为，
圆的圆心坐标和半径长分别是，故选D.
【点睛】
本题主要考查圆的标准方程应用，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题.
2．（2021·贵溪市实验中学高一期末）经过点的圆的切线方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
判断点在圆上，再由切线的几何性质求斜率，进而求切线方程.
【详解】
，
在圆上，且，
过的切线斜率为.
过的切线方程为：，即.
故选:D.
3．（2021·全国高二专题练习）若圆C1：与圆C2：外切，则正数r的值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】C
【分析】
根据外切可得圆心距等于半径之和可求出.
【详解】
圆C1：，圆C2：，
∴C1坐标为(1，1)，半径为1，C2坐标为，半径为r，
，解得.
故选：C.
4．（2021·安徽省舒城中学（文））已知点是圆上任意一点，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据题意画出图形，再由的几何意义，即圆上的动点与原点连线的斜率求解即可
【详解】
如图，
的几何意义为圆上的动点与原点连线的斜率，
由图可知，当动点与重合时，与圆相切，此时最大为所在直线的斜率.
由图可知，，则.
故选：B.
【点睛】
关键点点睛：此题考查直线与圆的位置关系的应用，解题的关键是利用的几何意义，即圆上的动点与原点连线的斜率求解，考查数形结合思想，属于中档题
5．（2021·全国高二单元测试）若圆和相交，则的取值范围是（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】D
【分析】
求出圆的标准方程得到球心与半径，利用两圆的位置关系建立不等式求解即可.
【详解】
圆，圆心为，半径为2，
圆，圆心为，半径为3，
因为两圆相交，
所以，
解得或，
故选：D
【点睛】
本题主要考查了两圆的位置关系，圆的一般方程与标准方程，属于中档题.
6．（2020·重庆复旦中学高二月考）直线与圆的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定
【答案】B
【分析】
化圆的方程为标准方程，求出圆心坐标与半径，再由圆心到直线的距离等于半径判断．
【详解】
解：由，得．
圆心坐标为，半径为．
圆心到直线的距离，
直线与圆的位置关系是相切．
故选：．
【点睛】
本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线距离公式的应用，属于基础题．
7．（2021·全国高二课时练习）圆与圆的公共弦所在的直线方程为（ ）
A．x+2y=0 B．x－2y=0 C．y－2x=0 D．y+2x=0
【答案】A
【分析】
由题意设两圆交点A、B，两圆方程作差可得A、B点在直线上，即可得解.
【详解】
设两圆交点，
圆①，圆②，
②①得：即，
所以，，即A，B点在直线上，
所以公共弦所在的直线方程为.
故选：A.
【点睛】
本题考查了两圆公共弦方程的求解，考查了运算求解能力，属于基础题.
8．（2021·全国高二课时练习）对任意实数，圆恒过定点，则其坐标为______.
【答案】、
【分析】
将圆的方程重新按合并同类项，由此列方程组，解方程组求得定点坐标.
【详解】
由由得，故，解得或.
故填：、.
【点睛】
本小题主要考查圆过定点问题，考查化归与转化的数学思想方法，考查二元二次方程组的解法，属于基础题.
9．（2020·全国高二课时练习）已知圆，圆，则两圆公切线的方程为________.
【答案】
【分析】
首先判断两圆的位置关系，根据位置关系再求两圆公切线方程.
【详解】
解析圆，圆心为，半径为1；
圆，圆心为，半径为5.
易知两圆内切，切点为，又两圆圆心都在轴上，
所以两圆公切线的方程为，即.
故答案为：
【点睛】
本题考查两圆的位置关系，公切线方程，属于基础题型.
10．（2021·全国高二课时练习）圆与圆的公共弦长为________．
【答案】
【分析】
两圆方程相减得公共弦据直线方程，然后求出一个圆心到该直线距离，由勾股定理得弦长．
【详解】
两圆方程相减得，即，
原点到此直线距离为，圆半径为，
所以所求公共弦长为．
故答案为：．
【点睛】
本题考查两圆公共弦长，解题关键是求出公共弦所在直线方程．
11．（2021·全国高二专题练习）已知圆与圆相交于、两点.
（1）求过圆的圆心与圆相切的直线方程；
（2）求圆与圆的公共弦长.
【答案】（1），（2）2.
【分析】
（1）分别求解圆心，设圆的圆心的直线方程为，再由圆心到直线距离等于半径列方程求解即可；
（2）两圆作差得公共弦方程，再由垂径定理求解即可.
【详解】
（1）已知圆的圆心坐标为半径为，
圆的圆心坐标为半径为1.
过圆的圆心的直线方程为与圆相切（斜率显然存在），
则：圆心到直线的距离.整理得，解得，所以直线方程为，
（2）圆与圆相交于、两点，
两圆相减得：，
则过点和的直线方程为，即.
所以到直线的距离，
所以弦.
12．（2021·全国高二专题练习）已知点，求
（1）过点A,B且周长最小的圆的方程；
（2）过点A,B且圆心在直线上的圆的方程．
【答案】（1）；（2）
【分析】
(1)当为直径时，过的圆的半径最小，从而周长最小，进而求得圆心的坐标和圆的半径，即可得到圆的方程．
(2) 解法1：的斜率为时，则的垂直平分线的方程，进而求得圆心坐标和圆的半径，得到圆的标准方程；
解法2：设圆的方程为：，列方程组，求得的值，即可得到圆的方程．
【详解】
(1)当AB为直径时，过A、B的圆的半径最小，从而周长最小．即AB中点(0,1)为圆心，
半径r＝|AB|＝.则圆的方程为：x2＋(y－1)2＝10.
(2) 解法1：AB的斜率为k＝－3，则AB的垂直平分线的方程是y－1＝x.即x－3y＋3＝0
由圆心在直线上得两直线交点为圆心即圆心坐标是C(3,2)．
r＝|AC|＝＝2.∴圆的方程是(x－3)2＋(y－2)2＝20.
解法2：待定系数法
设圆的方程为：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
则
∴圆的方程为：(x－3)2＋(y－2)2＝20.
【点睛】
本题主要考查了圆的标准方程的求解，其中熟记圆的标准方程和根据题设条件，求解圆的圆心坐标和圆的半径是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力．
13．（2020·全国高二课时练习）已知点满足方程.
（1）求的取值范围；
（2）求的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）转化为直线的方程与圆有公共点时的范围；
（2）转化为圆上的点到直线的距离的倍求解即可，
【详解】
（1）已知方程可以转化为，
是以为圆心，为半径的圆，
表示点与点连线的斜率，
由于，故可设过点的直线的方程为，
则有.
利用圆心到直线的距离，
可得，
即.
（2）由点到直线的距离公式可知为点到直线的距离的倍，即，圆心到直线的距离，
故圆上的点到直线的最大值为，
圆上的点到直线的最小值为，
即，.
【点睛】
本题主要考查了直线与圆的位置关系，考查了点到直线距离公式以及转化思想的应用，属于中档题,
专题02 圆与方程
一、考情分析
二、考点梳理
1．圆的方程
(1)圆的方程
①标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圆心坐标为(a，b)，半径为r.
②一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，圆心坐标为，半径r＝.
(2)点与圆的位置关系
①几何法：利用点到圆心的距离d与半径r的关系判断：d>r⇔点在圆外，d＝r⇔点在圆上；d
2．直线与圆的位置关系
直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)与圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)的位置关系如下表.
方法位置关系
几何法：根据d＝与r的大小关系
代数法：
消元得一元二次方程，根据判别式Δ的符号
相交
d
相切
d＝r
Δ＝0
相离
d>r
Δ<0
3．圆与圆的位置关系
表现形式
位置关系
几何表现：圆心距d与r1、r2的关系
代数表现：两圆方程联立组成的方程组的解的情况
相离
d>r1＋r2
无解
外切
d＝r1＋r2
一组实数解
相交
|r1－r2|
内切
d＝|r1－r2|(r1≠r2)
一组实数解
内含
0≤d<|r1－r2|(r1≠r2)
无解
三、题型突破
重难点1 圆的方程
求圆的标准方程的常用方法包括几何法和待定系数法．
（1）由圆的几何性质易得圆心坐标和半径长时，用几何法可以简化运算．对于几何法，常用到圆的以下几何性质：①圆中任意弦的垂直平分线必过圆心；②圆内的任意两条弦的垂直平分线的交点一定是圆心．
（2）由于圆的标准方程中含有三个参数a，b，r，运用待定系数法时，必须具备三个独立的条件才能确定圆的方程．这三个参数反映了圆的几何性质，其中圆心（a，b）是圆的定位条件，半径r是圆的定形条件．
例1．（1）（2020黑龙江黑河一中高二期中）已知A(3，－2)，B(－5,4)，则以AB为直径的圆的方程是( )
A．(x－1)2＋(y＋1)2＝25 B．(x＋1)2＋(y－1)2＝25
C．(x－1)2＋(y＋1)2＝100 D．(x＋1)2＋(y－1)2＝100
【答案】B
【解析】由题意可得圆心为（-1，1），半径为，由圆心和半径可得圆的方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝25，选B.
（2）．（2020福建莆田一中高二月考）过点，且圆心在直线上的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】本题作为选择题，可采用排除法，根据圆心在直线上，排除B、D，
点在圆上，排除A，故选C.
（3）．（2021·河南许昌市·高一期末）以点为圆心，且与轴相切的圆的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
根据题中条件，得到圆的半径，进而可得圆的方程.
【详解】
以点为圆心且与轴相切的圆的半径为，
故圆的标准方程是.
故选：C.
（4）．（2020·湖北）以，两点为直径端点的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
先求出线段中点坐标即为圆心，再求出即为直径，即可得出圆的方程.
【详解】
可知线段的中点坐标为，即为，
，
以，两点为直径端点的圆的圆心为，半径为5，
则方程为.
故选：D.
【点睛】
本题考查圆的标准方程的求法，属于基础题.
【变式训练1】．（1）（2020·全国高二课时练习）圆的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
将圆的一般方程配方得圆的标准方程.
【详解】
将配方得标准方程为．
故选：C.
【点睛】
本题考查将圆的一般方程配方得圆的标准方程，属于基础题.
（2）．（2020·全国高二课时练习）过点的圆C与直线相切于点，则圆C的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
求出直线的斜率，利用两直线垂直时斜率的乘积为求出过点B的直径所在直线方程的斜率，求出此直线方程,根据直线方程设出圆心 C 坐标，根据，利用两点间的距离公式列出方程，求出方程的解确定出 C 坐标，进而确定出半径，写出圆的方程即可.
【详解】
解：直线的斜率为1，
过点B的圆的直径所在直线的斜率为.
，
此直线方程为，即.
设圆心C的坐标为，
，
即，
解得，圆心C坐标为，半径为.
圆C的方程为.
故选：D.
【点睛】
此题考查了圆的标准方程，涉及的知识有：两点间的距离公式，两直线垂直时斜率满足的关系，求出圆心坐标与半径是解本题的关键.
例 2．（2021·全国高二课时练习）求下列各圆的方程：
（1）圆心为且过点；
（2）过，，三点；
（3）圆心在直线上，且经过原点和点．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】
（1）求出半径，即可得出圆的方程；
（2）设出圆的标准方程，将已知三点代入即可求解；
（3）设出圆心，由圆心到原点的距离与到的距离相等可求出，进而求出半径，得出方程.
【详解】
（1）由题意，圆的半径，
又圆心为，则所求圆的方程为；
（2）设圆的方程为，
因为圆过，，三点，
，解得，
则所求圆的方程为；
（3）由圆心在直线上可设圆心为，
则圆心到原点的距离与到的距离相等，
则，解得，即圆心为，
则半径为，
故所求圆的方程为.
【变式训练2-1】．（2021·全国高二课时练习）分别根据下列条件，求圆的方程：
（1）过点和原点；
（2）与两坐标轴均相切，且圆心在直线上.
【答案】（1）；（2）或.
【分析】
(1) 设圆的方程为，由和原点在圆上可得，从而可求出，即可得圆的方程.
(2) 设圆心的坐标为，由圆与坐标轴相切可知，进而可求出的值，即可求出圆的方程.
【详解】
（1）设圆的方程为，
由题意，，解得，
故所求圆的方程为.
（2）由圆心在直线上，设圆心的坐标为，
因为圆与两坐标轴均相切，所以， 解得或.
当时，圆心为，半径为5，则圆的方程为；
当时，圆心为，半径为1，则圆的方程为；
故所求圆的方程为或.
【点睛】
本题考查了圆的标准方程，考查了圆的一般方程.求圆的方程时，可采用待定系数法，设圆的标准方程或一般方程，由已知条件列方程组，从而求出圆的方程.
重难点2 直线与圆的位置关系
判定直线与圆位置关系的常用方法：
（1）几何法：根据圆心到直线的距离与圆半径的大小关系判断．
（2）代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组的解的个数判断．
（3）直线系法：若动直线过定点，则点在圆内时，直线与圆相交；当在圆上时，直线与圆相切或相交；当在圆外时，直线与圆位置关系不确定．
例3．（1）（2021·全国高二课时练习）已知直线：与圆：交于、两点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由圆的方程可得圆心坐标和半径,根据点到直线的距离求得圆心到直线的距离,根据勾股定理可求得答案.
【详解】
∵圆的圆心，半径为，
圆心到直线：的距离为，
∴，
故选：B.
（2）．（2020·全国高二课时练习）若圆的圆心到直线的距离为，则的值为_________.
【答案】4或2
【分析】
利用圆心到直线的距离构建关于的方程，解方程后可得的值.
【详解】
圆的圆心为，它到直线的距离为，
故或.
故答案为：4或2.
【点睛】
本题考查点到直线的距离，利用公式计算距离时注意把直线方程整理为一般方程.
（3）．（2021·全国高二单元测试）圆：上的点到直线距离的最大值为______.
【答案】
【分析】
先由圆的方程，得到圆心为，半径为，求出圆心到直线的距离，再由圆的性质，即可得出结果.
【详解】
由整理得，
即圆的圆心为，半径为，
所以圆心到直线的距离，
根据圆的性质可得，圆上的点到直线距离的最大值为.
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查求圆上一点到定直线距离的最值，属于基础题型.
【变式训练3-1】．若直线x－y＋m＝0被圆(x－1)2＋y2＝5截得的弦长为2，则m的值为( )
A．1 B．－3
C．1或－3 D．2
【答案】C
【解析】因为圆(x－1)2＋y2＝5的圆心C(1，0)，半径r＝.又直线x－y＋m＝0被圆截得的弦长为2.所以圆心C到直线的距离d＝＝，
因此＝， 所以m＝1或m＝－3.答案：C
【变式训练3-2】．已知圆C的方程是x2＋y2－8x－2y＋8＝0，直线y＝a(x－3)被圆C截得的弦最短时，直线方程为________．
【解析】圆C的标准方程为(x－4)2＋(y－1)2＝9，所以圆C的圆心C(4，1)，半径r＝3.
又直线y＝a(x－3)过定点P(3，0)，
则当直线y＝a(x－3)与直线CP垂直时，被圆C截得的弦长最短．
因此a·kCP＝a·＝－1，所以a＝－1.
故所求直线的方程为y＝－(x－3)，即x＋y－3＝0.答案：x＋y－3＝0
【变式训练3-3】．（2020·上海高二课时练习）若圆的圆心到直线的距离为，则的值为_________.
【答案】4或2
【解析】圆的圆心为，它到直线的距离为，
故或.故答案为：4或2.
例4．（2021·全国高二课时练习）已知圆，直线．
（1）当为何值时，直线与圆相切；
（2）当直线与圆相交于，两点，且时，求直线的方程．
【答案】（1）；（2）或.
【分析】
（1）将圆的方程化为标准方程，得圆心坐标与半径，计算圆心到直线的距离，再根据列式求解；
（2）得圆心到直线的距离，根据几何法求弦长的公式列式计算.
【详解】
（1），所以圆心，半径为，
因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离为：，
所以当时，直线与圆相切；
（2）圆心到直线的距离为：，
由几何法求弦长的公式可知：，
解得或，所以直线为：或．
【变式训练4-1】．（2021·全国高二单元测试）已知直线，圆C的圆心在x轴的负半轴上，半径为，且圆心C到直线l的距离为.
（1）求圆C的方程；
（2）由直线l上一点Q作圆C的两条切线，切点分别为M，N，若，求点Q的坐标.
【答案】（1）；（2）点Q的坐标为或.
【分析】
（1）设圆心，代入点到直线的距离公式，结合题意，即可求得a值，即可得答案；
（2）根据题意可得，在中，可求得，设，根据题意，列出方程，即可求得Q的坐标.
【详解】
（1）依题意设圆心，
由题意得：，解得或，
由于，所以，
因此圆的方程为.
（2）因为，所以.
在中，，所以.
设，
则有
解得或，
因此点Q的坐标为或.
【点睛】
本题考查圆的标准方程的求法，圆的几何性质，考查分析理解，数形结合的能力，属基础题.
重难点3 直线、圆方程的综合应用
（1）判断或处理直线和圆的位置的问题，一般有两种方法，一是几何法，利用圆的几何性质解题，二是代数法，联立圆与直线的方程，利用判别式，根与系数关系来处理，在做题时要用心作图，很多题目要用到数形结合的思想．
（2）若是定圆上的一动点，则和这两种形式的最值，一般都有两种求法，分别是几何法和代数法．
①几何法．的最值：设，圆心到直线的距离为，由即可解得两个值，一个为最大值，一个为最小值．
的最值：即点与原点连线的斜率，数形结合可求得斜率的最大值和最小值．
②代数法．的最值：设，与圆的方程联立，化为一元二次方程，由判别式等于0，求得的两个值，一个为最大值，一个为最小值．
的最值：设，则，与圆的方程联立，化为一元二次方程，由判别式等于0，求得的两个值，一个为最大值，一个为最小值．
例5．（2021·全国高二单元测试）已知圆，圆，，分别是圆，上的动点，为轴上的动点，则的最小值为
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
求出圆关于轴的对称圆的圆心坐标，以及半径，然后求解圆与圆的圆心距减去两个圆的半径和，即可求出的最小值．
【详解】
解：如图圆关于轴的对称圆的圆心坐标，半径为1，
圆的圆心坐标，半径为3，
由图象可知当，，，三点共线时，取得最小值，
的最小值为圆与圆的圆心距减去两个圆的半径和，
即：．
故选：D．
【点睛】
本题考查圆的对称圆的方程的求法，两个圆的位置关系，两点距离公式的应用，考查转化思想与计算能力，属于中档题．
【变式训练5-1】．（2021·全国高二专题练习）圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋(y－3)2＝1的内公切线有且仅有（ ）
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
【答案】B
【分析】
判断出两圆的位置关系后可得内公切线条数．
【详解】
圆心距为3，半径之和为2，故两圆外离，内公切线条数为2.
故选：B．
【变式训练5-2】．（2021·全国高二专题练习）以圆：与圆：相交的公共弦为直径的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
首先两圆相减，求公共弦所在的直线方程，和圆心连线的方程联立求圆心，再根据弦长公式求半径，最后表示圆的方程.
【详解】
∵圆与圆，
∴两圆相减可得公共弦方程为，即
又∵圆的圆心坐标为(−2,0),半径为；
圆的圆心坐标为(−1,−1)，半径为1，
∴的方程为
∴联立可得公共弦为直径的圆的圆心坐标为(−1,−1)，
∵(−2,0)到公共弦的距离为：，
∴公共弦为直径的圆的半径为：，
∴公共弦为直径的圆的方程为
故选：B.
【点睛】
关键点点睛：本题的关键是两圆相交时，两圆相减后的直线方程是两圆公共弦所在的直线方程.
例6．（2021·全国高二课时练习）已知为圆：上任意一点.
(1)求的最大值；
(2)求的最大值和最小值；
(3)求的最大值和最小值.
【答案】（1）；（2）最大值为，最小值为；（3）最大值为，最小值为.
【分析】
（1）的最大值，等价于过圆上一点作斜率为的直线的截距的最大值，设，当直线与圆相切时，纵截距取得最大值或最小值，计算即得解；
（2）看成是过点和的直线斜率，设直线的方程为：，利用圆心到直线的距离不大于半径解不等式即可.
（3）表示点与点的距离的平方，转化为圆上的点与点的距离的距离平方；
【详解】
解：(1)∵的圆心，半径，
设，将看成直线方程，
∵该直线与圆有公共点，∴圆心到直线的距离，
解上式得：，∴的最大值为.
(2)记点，∵表示直线的斜率，设直线的方程为：，即，由直线与圆有公共点，
∴，可得，
∴的最大值为，最小值为；
(3)∵设，等价于圆的圆心到原点的距离的平方，
则，
；
【点睛】
方法点睛：(1)型的最大值转化为直线的截距的最大值；
(2)型的最大值和最小值转化为过点和的直线斜率的最大值和最小值；
(3)型的最大值和最小值转化为和的距离的最大值和最小值的平方.
【变式训练6-1】．（2020·全国高二课时练习）已知实数，满足方程.
（1）求的最大值和最小值；
（2）求的最大值和最小值；
（3）求的最大值和最小值.
【答案】（1）最大值为，最小值为；（2）最大值为，最小值为；（3）最大值为，最小值为.
【分析】
（1）设，即，当直线与圆相切时，斜率取得最大值和最小值，解方程即得解；
（2）设，当与圆相切时，纵截距取得最大值和最小值，解方程即得解；
（3）最大值和最小值分别为圆心到原点的距离与半径的和与差的平方.
【详解】
（1）方程表示以点为圆心，为半径的圆，
设，即，
当直线与圆相切时，斜率取得最大值和最小值，
此时，解得.
故的最大值为，最小值为.
（2）设，即，
当与圆相切时，纵截距取得最大值和最小值，
此时，即.
故的最大值为，最小值为.
（3）表示圆上的点与原点距离的平方，由平面几何知识知，它在过原点和圆心的直线与圆的两个交点处取得最大值和最小值，又圆心到原点的距离为2，
故，
.
【点睛】
本题主要考查直线和圆的位置关系，考查点到圆上的点的距离的最值的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
四、定时训练（30分钟）
1．（2021·全国高二专题练习）圆的圆心和半径分别是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
直接根据圆标准方程的几何性质求解即可.
【详解】
圆的标准方程为，
圆的圆心坐标和半径长分别是，故选D.
【点睛】
本题主要考查圆的标准方程应用，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题.
2．（2021·贵溪市实验中学高一期末）经过点的圆的切线方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
判断点在圆上，再由切线的几何性质求斜率，进而求切线方程.
【详解】
，
在圆上，且，
过的切线斜率为.
过的切线方程为：，即.
故选:D.
3．（2021·全国高二专题练习）若圆C1：与圆C2：外切，则正数r的值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】C
【分析】
根据外切可得圆心距等于半径之和可求出.
【详解】
圆C1：，圆C2：，
∴C1坐标为(1，1)，半径为1，C2坐标为，半径为r，
，解得.
故选：C.
4．（2021·安徽省舒城中学（文））已知点是圆上任意一点，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据题意画出图形，再由的几何意义，即圆上的动点与原点连线的斜率求解即可
【详解】
如图，
的几何意义为圆上的动点与原点连线的斜率，
由图可知，当动点与重合时，与圆相切，此时最大为所在直线的斜率.
由图可知，，则.
故选：B.
【点睛】
关键点点睛：此题考查直线与圆的位置关系的应用，解题的关键是利用的几何意义，即圆上的动点与原点连线的斜率求解，考查数形结合思想，属于中档题
5．（2021·全国高二单元测试）若圆和相交，则的取值范围是（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】D
【分析】
求出圆的标准方程得到球心与半径，利用两圆的位置关系建立不等式求解即可.
【详解】
圆，圆心为，半径为2，
圆，圆心为，半径为3，
因为两圆相交，
所以，
解得或，
故选：D
【点睛】
本题主要考查了两圆的位置关系，圆的一般方程与标准方程，属于中档题.
6．（2020·重庆复旦中学高二月考）直线与圆的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定
【答案】B
【分析】
化圆的方程为标准方程，求出圆心坐标与半径，再由圆心到直线的距离等于半径判断．
【详解】
解：由，得．
圆心坐标为，半径为．
圆心到直线的距离，
直线与圆的位置关系是相切．
故选：．
【点睛】
本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线距离公式的应用，属于基础题．
7．（2021·全国高二课时练习）圆与圆的公共弦所在的直线方程为（ ）
A．x+2y=0 B．x－2y=0 C．y－2x=0 D．y+2x=0
【答案】A
【分析】
由题意设两圆交点A、B，两圆方程作差可得A、B点在直线上，即可得解.
【详解】
设两圆交点，
圆①，圆②，
②①得：即，
所以，，即A，B点在直线上，
所以公共弦所在的直线方程为.
故选：A.
【点睛】
本题考查了两圆公共弦方程的求解，考查了运算求解能力，属于基础题.
8．（2021·全国高二课时练习）对任意实数，圆恒过定点，则其坐标为______.
【答案】、
【分析】
将圆的方程重新按合并同类项，由此列方程组，解方程组求得定点坐标.
【详解】
由由得，故，解得或.
故填：、.
【点睛】
本小题主要考查圆过定点问题，考查化归与转化的数学思想方法，考查二元二次方程组的解法，属于基础题.
9．（2020·全国高二课时练习）已知圆，圆，则两圆公切线的方程为________.
【答案】
【分析】
首先判断两圆的位置关系，根据位置关系再求两圆公切线方程.
【详解】
解析圆，圆心为，半径为1；
圆，圆心为，半径为5.
易知两圆内切，切点为，又两圆圆心都在轴上，
所以两圆公切线的方程为，即.
故答案为：
【点睛】
本题考查两圆的位置关系，公切线方程，属于基础题型.
10．（2021·全国高二课时练习）圆与圆的公共弦长为________．
【答案】
【分析】
两圆方程相减得公共弦据直线方程，然后求出一个圆心到该直线距离，由勾股定理得弦长．
【详解】
两圆方程相减得，即，
原点到此直线距离为，圆半径为，
所以所求公共弦长为．
故答案为：．
【点睛】
本题考查两圆公共弦长，解题关键是求出公共弦所在直线方程．
11．（2021·全国高二专题练习）已知圆与圆相交于、两点.
（1）求过圆的圆心与圆相切的直线方程；
（2）求圆与圆的公共弦长.
【答案】（1），（2）2.
【分析】
（1）分别求解圆心，设圆的圆心的直线方程为，再由圆心到直线距离等于半径列方程求解即可；
（2）两圆作差得公共弦方程，再由垂径定理求解即可.
【详解】
（1）已知圆的圆心坐标为半径为，
圆的圆心坐标为半径为1.
过圆的圆心的直线方程为与圆相切（斜率显然存在），
则：圆心到直线的距离.整理得，解得，所以直线方程为，
（2）圆与圆相交于、两点，
两圆相减得：，
则过点和的直线方程为，即.
所以到直线的距离，
所以弦.
12．（2021·全国高二专题练习）已知点，求
（1）过点A,B且周长最小的圆的方程；
（2）过点A,B且圆心在直线上的圆的方程．
【答案】（1）；（2）
【分析】
(1)当为直径时，过的圆的半径最小，从而周长最小，进而求得圆心的坐标和圆的半径，即可得到圆的方程．
(2) 解法1：的斜率为时，则的垂直平分线的方程，进而求得圆心坐标和圆的半径，得到圆的标准方程；
解法2：设圆的方程为：，列方程组，求得的值，即可得到圆的方程．
【详解】
(1)当AB为直径时，过A、B的圆的半径最小，从而周长最小．即AB中点(0,1)为圆心，
半径r＝|AB|＝.则圆的方程为：x2＋(y－1)2＝10.
(2) 解法1：AB的斜率为k＝－3，则AB的垂直平分线的方程是y－1＝x.即x－3y＋3＝0
由圆心在直线上得两直线交点为圆心即圆心坐标是C(3,2)．
r＝|AC|＝＝2.∴圆的方程是(x－3)2＋(y－2)2＝20.
解法2：待定系数法
设圆的方程为：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
则
∴圆的方程为：(x－3)2＋(y－2)2＝20.
【点睛】
本题主要考查了圆的标准方程的求解，其中熟记圆的标准方程和根据题设条件，求解圆的圆心坐标和圆的半径是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力．
13．（2020·全国高二课时练习）已知点满足方程.
（1）求的取值范围；
（2）求的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）转化为直线的方程与圆有公共点时的范围；
（2）转化为圆上的点到直线的距离的倍求解即可，
【详解】
（1）已知方程可以转化为，
是以为圆心，为半径的圆，
表示点与点连线的斜率，
由于，故可设过点的直线的方程为，
则有.
利用圆心到直线的距离，
可得，
即.
（2）由点到直线的距离公式可知为点到直线的距离的倍，即，圆心到直线的距离，
故圆上的点到直线的最大值为，
圆上的点到直线的最小值为，
即，.
【点睛】
本题主要考查了直线与圆的位置关系，考查了点到直线距离公式以及转化思想的应用，属于中档题,
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