专题06 概率（重难点突破）-2023-2024学年高二数学上学期精品讲义（人教A版）

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专题06 概率
一、考情分析

二、考点梳理
知识点一 古典概型
1.基本事件的特点
(1)任何两个基本事件是互斥的.
(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.
2.古典概型-具有以下两个特征的概率模型称为古典的概率模型，简称古典概型.
(1)试验的所有可能结果只有有限个，每次试验只出现其中的一个结果.
(2)每一个试验结果出现的可能性相同.
【特别提醒】
如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是；如果某个事件A包括的结果有m个，那么事件A的概率P(A)＝.
3. 古典概型的概率公式-P(A)＝.
知识点二 几何概型
1.几何概型的定义
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型.
2. 几何概型的两个基本特点
(1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个；
(2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性.
3.几何概型的概率公式
P(A)＝.
三、题型突破
重难点题型突破01 随机事件的概率
例1．（1）（2021·河北保定市第二十八中学高一月考）从装有两个红球和两个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（ ）
A．至少有一个黑球与都是黑球 B．至少有一个黑球与至少一个红球
C．至少有一个黑球与都是红球 D．恰好有一个黑球与都是红球
【答案】D
【分析】
根据互斥事件和对立事件的概念判断即可.
【详解】
对于A，至少有一个黑球与都是黑球既不是互斥事件，也不是对立事件；
对于B，至少有一个黑球与至少一个红球既不是互斥事件，也不是对立事件；
对于C，至少有一个黑球与都是红球既是互斥事件，也是对立事件；
对于D，恰好有一个黑球与都是红球是互斥而不对立事件；
故选：D
（2）．（2021·陕西省黄陵县中学高一期中（理））如图，“石头、剪刀、布”是民间广为流传的游戏，游戏时，双方每次任意出“石头”、“剪刀”、“布”这三种手势中的一种，那么双方出现相同手势的概率______．

【答案】
【分析】
求出总的基本事件的个数和双方出现相同手势包含的基本事件的个数，由古典概率公式即可求解.
【详解】
游戏时，双方每次任意出“石头”、“剪刀”、“布”这三种手势中的一种，
基本事件有：
（石头，石头），（石头，剪刀），（石头，布），
（剪刀，石头），（剪刀，剪刀），（剪刀，布），
（布，石头），（布，剪刀），（布，布）共有种，
双方出现相同手势的有：（石头，石头），（剪刀，剪刀），（布，布）共种情况，
所以双方出现相同手势的概率，
故答案为：.
（3）．（2022·浙江高三专题练习）厦门地铁1号线从镇海路站到文灶站有4个站点.甲、乙同时从镇海路站上车，假设每一个人自第二站开始在每个站点下车是等可能的，则甲乙在不同站点下车的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
先求出甲乙在相同站点下车的概率，再求甲乙在不同站点下车的概率.
【详解】
令事件为甲乙在相同站点下车，则
则甲乙在不同站点下车的概率为
故选：C
【变式训练1-1】．（2021·浙江镇海中学）从装有4个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的事件是（ ）
A．至少有一个红球和都是红球 B．至少有一个红球和都是白球
C．至少有一个红球和至少有一个白球 D．恰有一个红球和恰有两个白球
【答案】D
【分析】
利用对立事件、互斥事件的定义直接求解．
【详解】
解：对于A，至少有一个红球和都是红球能同时发生，不是互斥事件，故A错误；
对于B，至少有一个红球和都是白球是对立事件，故B错误；
对于C，至少有一个红球和至少有一个白球能同时发生，不是互斥事件，故C错误；
对于D，恰有一个红球和恰有两个白球是互斥而不对立的事件，故D正确．
故选：D．
【变式训练1-2】．（2021·海安市南莫中学高二期中）从装有两个红球和两个黑球的口袋内任取2个球，那么下列两个事件中互斥而不对立的是（ ）
A．至少有一个黑球与都是黑球 B．至少有一个黑球与都是红球
C．至少有一个黑球与至少有一个红球 D．恰有一个黑球与恰有两个红球
【答案】D
【分析】
根据互斥事件与对立事件的概念分析可得.
【详解】
A选项，“至少有一个黑球”与“都是黑球”有公共事件：两个黑球，
能同时发生，则不互斥；
B选项，“至少有一个黑球”与“都是红球”是对立事件；
C选项，“至少有一个黑球”与“至少有个红球”
有公共事件：一个红球，一个黑球，
能同时发生，则不互斥；
D选项，“恰有一个黑球”与“恰有两个红球”没有公共事件，是互斥事件,
但不是对立事件,因为有可能是两个黑球.
故选D.
【变式训练1-3】．（2021·山西吕梁·高一期末）甲，乙两人下棋，甲不输的概率是0.7，两人下成平局的概率是0.5，则甲胜的概率是（ ）
A．0.2 B．0.5 C．0.6 D．0.7
【答案】A
【分析】
将甲不输棋的事件进行分拆，再利用互斥事件概率的加法公式即可得解.
【详解】
甲不输棋的事件A是甲胜乙的事件B与甲乙下成平局的事件C的和，显然B，C互斥，
而，又，于是得，
所以甲胜的概率是0.2.
故选：A
重难点题型突破02 简单的古典概型
例2．（1）（2020届安徽省“江南十校”高三综合素质检测）“哥德巴赫猜想”是近代三大数学难题之一，其内容是：一个大于2的偶数都可以写成两个质数(素数)之和，也就是我们所谓的“1+1”问题.它是1742年由数学家哥德巴赫提出的，我国数学家潘承洞、王元、陈景润等在哥德巴赫猜想的证明中做出相当好的成绩.若将6拆成两个正整数的和，则拆成的和式中，加数全部为质数的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】6拆成两个正整数的和含有的基本事件有:(1，5)，(2，4)，(3，3)， (4，2)，(5，1)，
而加数全为质数的有(3，3)，根据古典概型知，所求概率为，故选A。
（2）．（2021·安徽华星学校高二开学考试）2021年湖南新高考实行“3+1+2模式”，即语文、数学、英语必选，物理与历史2选1，政治、地理、化学和生物4选2，共有12种选课模式．今年高一小明与小芳都准备选历史与政治，假设他们都对后面三科没有偏好，则他们选课相同的概率为________．
【答案】
【分析】
求出基本事件的总数，以及他们选课相同包含的基本事件的个数，由古典概率公式即可求解.
【详解】
今年高一的小明与小芳都准备选历史与政治，假若他们都对后面三科没有偏好，
则基本事件有
（地，地），（地，化），（地，生），
（化，地），（化，化），（化，生），
（生，地），（生，化），（生，生）共个，
他们选课相同包含的基本事件有：（地，地），（化，化），（生，生）共有个，
所以他们选课相同的概率．
故答案为：.
（3）．（2021·全国高一课时练习）甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为，其中，若，就称“甲、乙心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由题意，样本点总数为36，可列举出满足条件的样本点共16个，由古典概型的概率公式，即得解
【详解】
记“|a－b|≤1”为事件A，由于a，b∈{1,2,3,4,5,6}，
则事件A包含的样本点有(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,5)，(6,6)，共16个，
而依题意得，样本点总数为36，且每个样本点出现的可能性相等．
因此他们“心有灵犀”的概率P＝＝.
故选：D
【变式训练2-1】．（2021·福建）公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率的值的范围是：，为纪念祖冲之在圆周率的成就，把3.1415926称为“祖率”，这是中国数学的伟大成就.某小学教师为帮助同学们了解“祖率”，让同学们从小数点后的7位数字1，4，1，5，9，2，6随机选取两位数字，整数部分3不变，那么得到的数字大于3.14的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
利用古典概型结合对立事件的概率求解.
【详解】
从1，4，1，5，9，2，6这7位数字中任选两位数字的不同情况有：
14，11，15，19，12，16，41，45，49，42，46，59，52，56，92，96，26，
51，91，21，61，54，94，24，64，95，25，65，29，69，62，共31种，
其中得到的数字不大于3.14的有11，12，14，共3种，
所以得到的数字大于3.14的概率为.
故选：A
【变式训练2-2】．（2020·赣州市第一中学高二月考（文））八卦是中国道家文化的深奥概念，是一套用三组阴阳组成的哲学符号.八卦表示事物自身变化的阴阳系统，用“━━”代表阳，用“━ ━”代表阴，用这两种符号，按照大自然的阴阳变化平行组合，组成八种不同的形式（如图所示）.从图中的八卦中随机选取一卦，则此卦中恰有两个“━ ━”的概率为_____.

【答案】
【分析】
根据古典概型的概率公式计算可得；
【详解】
解：用这两种符号，按照大自然的阴阳变化平行组合，组成八种不同的形式，
从图中的八卦中随机选取一卦，则此卦中恰有两个“”的有3个：
此卦中恰有两个“”的概率．
故答案为：．
【变式训练2-3】．（2020届山西省大同市第一中学高三一模）洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源，在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上心有此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数．如图，若从四个阴数和五个阳数中分别随机选取1个数，则其和等于11的概率是（ ）．

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】从四个阴数和五个阳数中分别随机选取1个数，基本事件总数，
其和等于11包含的基本事件有：，，，，共4个，
其和等于的概率。
例3．（2021·河北张家口·高一期末）已知袋子内装有大小质地完全相同的小球，其中2个红球，m个黄球，1个白球，若从中随机抽取一个小球，抽到每个小球的概率为.
（1）求m的值；
（2）若从中不放回地随机取出两个小球，求只有一个黄球的概率.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）根据概率的计算公式可得，进行计算即可；
（2）列出摸出两个小球的所有可能，由概率的计算公式即可得解.
【详解】
（1）由题意知，.
（2）记两个红球分别为，，两个黄球分别为，，一个白球为，从中不放回地随机抽取两个小球的所有情况为，，，，，，，，，，
只有一个黄球的概率为.
【变式训练3-1】．（2021·浙江镇海中学）某校在数学文化节活动中推出了一款数学游戏“”，游戏规则如下，游戏参与者连续抛掷一颗质地均匀的骰子，记第次得到的点数为，若存在正整数，使得，则称为游戏参与者的幸运数字．
（1）求游戏参与者的幸运数字为1的概率；
（2）求游戏参与者的幸运数字为2的概率．
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）设事件A表示“游戏参与者的幸运数字为1”，分析基本事件总数和事件A包含的基本事件个数，利用古典概型求概率.
（2）设事件B表示“游戏参与者的幸运数字为2”，分析基本事件总数和事件A包含的基本事件个数，利用古典概型求概率.
【详解】
（1）设事件A表示“游戏参与者的幸运数字为1”由题意得x1=5.
基本事件总数n=6，事件A包含的基本事件个数m=1,
∴游戏参与者的幸运数字为1的概率.
（2）设事件B表示“游戏参与者的幸运数字为2”，则x1+x2=5.
基本事件总数N=6×6=36,事件B包含的基本事件有(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),所以M=4个,
∴游戏参与者的幸运数字为2的概率.
重难点03 与长度、面积和体积有关的几何概型
例4．（1）（2020届湖南省岳阳市高三第二次教学质量检测）在区间上随机取一个数，使直线与圆相交的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为圆心，半径，直线与圆相交，所以
，解得 所以相交的概率，故选C。
（2）．（2021·陕西西北工业大学附属中学高三（文））利用计算机产生0~1之间的均匀随机数，则事件“”发生的概率为___________.
【答案】
【分析】
所求概率为几何概型长度的比值，求出的范围计算比值即可.
【详解】
解：，即，
又为计算机产生0~1之间的均匀随机数，所以，则所求概率为长度比，
所以发生的概率为.
故答案为：.
【变式训练4-1】．（2020·江西高三期中（文））在区间上随机取一个数x，若x满足的概率为，则实数m为_______.
【答案】1
【分析】
利用几何概型计算概率，求得的值.
【详解】
区间的区间长度为
由，解得,区间长度为
随机取一个数x，若x满足的概率为，解得；
故答案为：1.
【分析】
本题考查与长度有关的几何概型，属基础题，当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解．
【变式训练4-2】．（2021·湖南高二期末）在[，2]上随机取一个数k，则事件“直线与圆有公共点”发生的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
先求出直线与圆有公共点的k值区间，再利用几何概型即可求出概率.
【详解】
显然，圆的圆心坐标为，半径为2，
直线与圆有公共点，当且仅当，解得，
在[，2]上随机取一个数k的试验的全部结果构成的区间长度为4，
“直线与圆有公共点”的事件A的区间长度为2，于是得，
事件“直线与圆有公共点”发生的概率为.
故选：B
【变式训练4-3】．（吉林省四平一中2019届期中）在区间[0，2]上随机地取一个数x，则事件“－1≤log≤1”发生的概率为(　　)
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由－1≤log≤1，得≤x＋≤2，解得0≤x≤，所以事件“－1≤log≤1”发生的概率为＝.
例5．（1）（2020届河南省天一大联考“顶尖计划”高三二联）一个陶瓷圆盘的半径为，中间有一个边长为的正方形花纹，向盘中投入1000粒米后，发现落在正方形花纹上的米共有51粒，据此估计圆周率的值为（精确到0.001）（ ）
A．3.132 B．3.137 C．3.142 D．3.147
【答案】B
【解析】

如图，由几何概型公式可知：，故选B。
（2）．（2021·云南民族中学高三月考（文））七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具，它由五块等腰直角三角形､一块正方形和一块平行四边形共七块板组成.（清）陆以湉《冷庐杂识》卷中写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余，体物肖形，随手变幻，盖游戏之具，足以排闷破寂，故世俗皆喜为之.如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分以外的概率为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
先设大正方形的边长为4，则阴影部分可看做一个等腰直角三角形，边长为，另外一部分为梯形，上底为，下底为，高，然后分别求出面积，即可求出阴影部分以外的面积，根据与面积有关的几何概率公式可求．
【详解】
解：设大正方形的边长为4，则面积，
阴影部分可看做一个等腰直角三角形，边长为，面积，
另外一部分为梯形，上底为，下底为，高，面积，
故阴影部分以外的面积为16-4-3=9，
所以此点取自阴影部分以外的概率为．
故选：C．
【变式训练5-1】．（2021·山西（理））如图，在正六边形中，以6个顶点为圆心作扇形，相邻两个扇形都两两相切，若在该正六边形内随机取一点，该点取自阴影部分的概率为，则圆周率（ ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
由几何概型的计算公式可求得结果.
【详解】
设，因为正六边形的内角之和为720°，所以6个扇形的面积为，故由几何概型可知.
故选：D.
【变式训练5-2】．（2020届河南省驻马店市高三第二次模拟）设不等式组表示的平面区域为，若从圆：的内部随机选取一点，则取自的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】

作出中在圆内部的区域，如图所示，因为直线，的倾斜角分别为，，
所以由图可得取自的概率为，故选B。
【变式训练5-3】．（2020届黑龙江省哈尔滨市第三中学高三第一次调研）如图所示，三国时代数学家在《周脾算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明.图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形（阴影），设直角三角形有一个内角为，若向弦图内随机抛掷200颗米粒（大小忽略不计，取），则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为（ ）

A．20 B．27 C．54 D．64
【答案】B
【解析】设大正方体的边长为，则小正方体的边长为，设落在小正方形内的米粒数大约为，
则，解得：。
例6．（2019·莆田第十五中学）小明计划搭乘公交车回家，经网上公交实时平台查询，得到838路与611路公交车预计到达公交站的时间均为8：30．已知公交车实际到达时间与网络报时误差不超过10分钟
（1）求两辆车到达站时间相差不超过5分钟的概率
（2）求838路与611路公交车实际到站时间与网络报时的误差之和不超过10分钟的概率．
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）设838路到公交站的时间为8点x分钟，611路到达公交站的时间为8点y分钟，得到，作出可行域，利用几何概型的面积类型求解；
（2）设838路到公交站的时间为8点x分钟，611路到达公交站的时间为8点y分钟，得到，作出可行域，利用几何概型的面积类型求解；
【详解】
（1）设838路到公交站的时间为8点x分钟，611路到达公交站的时间为8点y分钟，
则，作出可行域，如图所示：

所以两辆车到达站时间相差不超过5分钟的概率是；
（2）设838路到公交站的时间为8点x分钟，611路到达公交站的时间为8点y分钟，
则，作出可行域，如图所示：

所以838路与611路公交车实际到站时间与网络报时的误差之和不超过10分钟的概率是；
【变式训练6-1】．（2020·江苏高三）2021年江苏省高考实行“”模式，“”模式是指“3”为全国统考科目语文、数学、外语，所有考生必考；“1”为首选科目，考生须在高中学业水平考试的物理、历史2个科目中选择1科；“2”为再选科目，考生可在化学、生物、政治、地理4个科目中选择2科，共计6个考试科目.
（1）若学生甲在“1”中选物理，在“2”中任选2科，求学生甲选化学和生物的概率；
（2）设是关于的一元二次方程，若，，求方程有实数根的概率.
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）记学生甲选化学和生物为事件，求事件包含的基本事件的个数和总的基本事件的个数，由古典概型计算公式即可求解；
（2）记方程有实根为事件，由几何概型概率公式计算即可求解.
【详解】
（1）记学生甲选化学和生物为事件，
学生甲在“1”中选物理，在“2”中任选2科，包含的基本事件有：
（化，生），（化，政），（化，地），（生，政）（生，地），（政，地）共有个，
事件包含的基本事件为（化，生），共个，
所以.
（2）记方程有实根为事件，
总的基本事件区域为的面积，
若方程有实根，则，即，
可得，所以，
事件发生包含的区域为的面积，
作图如下：

所以事件发生的概率为，
所以方程有实数根的概率为.
重难点题型突破4 随机模拟
例7．（2021·河南高三开学考试（理））2021年中国人民银行计划发行个贵金属纪念币品种，以满足广大收藏爱好者的需要，其中牛年生肖币是收藏者的首选．为了测算如图所示的直径为的圆形生肖币中牛形图案的面积，进行如下实验，即向该圆形生肖币内随机投掷个点，若恰有个点落在牛形图案上，据此可估算牛形图案的面积是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
求出点落在牛形图案上的频率，从而可得点落在牛形图案上的概率，再由概率等于面积比可求得答案
【详解】
设牛形图案的面积为，则由题意可得
，
解得，
故选：B
【变式训练7-1】．（2019·内蒙古赤峰·高考模拟（理））我们可以用随机数法估计的值，如图，所示的程序框图表示其基本步骤（函数是产生随机数的函数，它能随机产生内的任何一个实数），若输出的结果为，则由此可估计的近似值为

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据已知程序框图可以得到，该程序的功能是利用随机模拟的方法任取（0,1）内的两个数x，y，将这两个数看作为平面区域内的一个点，该点落在的概率为；与此同时，计数变量表示计算该点落入平面区域的次数，根据古典概型计算公式得到概率为，再由两者之间的概率近似相等，从而得到的近似值.
【详解】
解：根据已知程序框图可以得到，
该程序的功能是利用随机模拟的方法任取（0,1）内的两个数x，y，
将这两个数看作为平面区域内的一个点，
该点落在的概率为；
计数变量表示计算该点落入平面区域的次数，
因为输出的结果为784，
所以在1000次种共有784次该点落入在平面区域内，
根据古典概型计算公式可得，
所以有，
故，故选C.
【点睛】
本题考查了程序框图、古典概型、几何概型等知识，解题的关键是读懂程序框图，理清程序框图解决问题的过程，还考查了“算两次”的思想方法.