专题07 命题及其关系、充分条件与必要条件（课时训练）-2023-2024学年高二数学上学期精品讲义（人教A版）

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专题07 命题及其关系、充分条件与必要条件
A组 基础巩固
1．（2021·安徽六安一中高二月考（文））命题“若，则或”的否命题是（ ）
A．若，则且 B．若，则或
C．若，则且 D．若，则或
【答案】C
【分析】
根据命题的否命题的定义写出给定命题的否命题即可判断作答.
【详解】
将一个命题的题设的否定作题设，结论的否定作结论所得到的命题是原命题的否命题，
所以，“若，则或”的否命题是“若，则且”，C正确.
故选：C
2．（2021·浙江台州市·路桥中学高二开学考试）在中，“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】
根据充分条件和必要条件的定义，结合余弦函数的单调性即可判断.
【详解】
因为是三角形的内角，且，
所以，
因为在上单调递减，所以，故充分性成立；
反之，在上单调递减，，
若，则，故必要性成立，
所以在中，“”是“”的充要条件，
故选：C.
3．（2021·江苏南京市·南京师大附中高一月考）不等式成立的必要不充分条件有（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
解得，再根据题意依次讨论各选项即可得答案.
【详解】
解：不等式，
所以对于A选项，互为充要条件；
对于BD选项，是不等式成立的既不充分也不必要条件，
对于C选项，∵ Ü，∴不等式成立的必要不充分条件是C.
故选：C.
4．（2021·浙江高一月考）设，则“”是“方程无解”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】
根据一元二次方程无解可得，解出的范围，由推出关系可得结论.
【详解】
当方程无解时，，解得：；
则方程无解；方程无解；
“”是“方程无解”的必要不充分条件.
故选：B.
5．（2021·海淀区·北京市八一中学高一月考）对于实数，“”是“”的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要
【答案】A
【分析】
由充分条件和必要条件的定义，即可判断
【详解】
由题意，“”可推出“”，故充分性成立；
“”不可推出“”，故必要性不成立；
因此“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
6．（2021·重庆北碚区·西南大学附中高一月考）已知集合，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也非必要条件
【答案】B
【分析】
由题知，再根据包含关系判断“”是“”的必要不充分条件.
【详解】
∵集合，
∴，所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
7．（2021·贵阳修文北大新世纪贵阳实验学校高三月考（文））二次函数在区间上单调递增的一个充分不必要条件为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
先求出在区间上单调递增的等价条件为，通过充分不必要条件的定义，即可判断
【详解】
因为二次函数在区间上单调递增，
所以解得．因为只有C是其真子集，
故选：C
8．（2020·全国（理））命题“若，则”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，假命题的个数是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
原命题和其逆否命题同真假，命题的逆命题和其否命题同真假，据此即可判断.
【详解】
解：若，则或，所以“若，则”为假命题，其逆否命题也为假命题；而逆命题“若，则”是真命题，从而否命题是真命题，则可知在四个命题中真命题有两个．
故选：B
【点睛】
方法点睛，四种命题中：（1）原命题与其逆否命题互为逆否关系，否命题与逆命题互为逆否关系；（2）互为逆否关系的两个命题真假性相同；故判断真命题的个数只需要判断两个命题真假.
9．（2020·宾县第一中学高三月考（理））下列判断正确的是（ ）
A．“若，则”的逆否命题为真命题
B．，总有
C．“”的充要条件是“”
D．函数的最小值为
【答案】B
【分析】
对于A项，利用原命题和逆否命题等价，判断原命题不正确得到其逆否命题不正确，得到A项错误；
对于B项，构造函数，利用导数研究函数的最值，得到B项正确；
对于C项，方程有三个零点，得到C项错误；
对于D项，利用对勾函数的单调性，求得其最小值，得到D项错误；得到答案.
【详解】
对于A项，若，则，
故原命题为假命题，所以它的逆否命题也为假命题，所以A项错误；
对于B项，构造函数，
则，易知在时恒成立，
所以在上单调递增，所以，所以B项正确；
对于C项，可化为.
令，则，可知原方程还有另外两根，
故“”不是“”的充要条件，所以C项错误；
对于D项，函数.
令，设由对勾函数的图像可知，
在上单调递增，所以函数的最小值，所以D项错误.
故选：B.
【点睛】
关键点点睛：该题考查的是有关选择正确命题的问题，在解题的过程中注意知识点之间的联系，注重基础知识.
10．有下列命题，其中正确命题的是（ ）
A．“若，则且”
B．“矩形的对角线相等”
C．“若，则的解集是R”
D．“若是无理数，则a是无理数”
【答案】BD
【分析】
应用特殊值法，及矩形对角线性质、无理数的性质可判断各项的真假.
【详解】
A中，有，假命题.
B中，矩形的对角线相等，真命题.
C中，有，显然在时解集不为R，假命题.
D中，若是无理数，则a是无理数，真命题.
故选：BD
11．（2021·福清西山学校高一月考）若是的充分不必要条件，则实数a的值可以是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】CD
【分析】
先根据充分不必要条件求解出的取值范围，由此确定出的可取值.
【详解】
因为是的充分不必要条件，
所以，
所以的可取值有，
故选：CD.
12．（2020·江苏省西亭高级中学高一期末）下列说法中，正确的是（ ）
A．不等式的解集是 B．“”是“”成立的充分条件
C．函数的最小值为2 D．“”是“”成立的必要条件
【答案】BD
【分析】
对于A：取即可判断；
对于B：利用定义法进行判断；
对于C：求出的最小值即可判断；
对于D：利用定义法进行判断.
【详解】
对于A：不等式的解集是，没意义，不在解集内.故A错误；
对于B：因为“”由同向不等式相乘可以得到“”，但是，当“”时，可以有，不符合“”，所以“”是“”成立的充分条件.故B正确；
对于C：对于函数，令，则在上单增，所以，即的最小值为.故C错误；
对于D：因为“”可以推出“”，但是“”时有，所以
“”是“”成立的必要条件.故D正确.
故选:BD
13．（2021·福建省同安第一中学高一月考）下列说法正确的是（ ）
A．“”是“”的必要不充分条件
B．已知，则的充要条件是
C．“且”是“一元二次不等式的解集是R”的充要条件
D．“”是“”的充分不必要条件
【答案】AC
【分析】
根据充分条件、必要条件的判定方法，逐项判定，即可求解.
【详解】
对于A中，由，可得，则当时，不一定成立，
反之：由，可得成立，
所以 “”是“”的必要不充分条件，所以A正确；
对于B中，由，等价于，所以的充要条件是，
所以B不正确；
对于C中，一元二次不等式的解集是，
根据二次函数的图象与性质，可得且，
所以. “且”是“一元二次不等式的解集是”的充要条件，所以C正确；
对于D中，由，可得，所以当时，不一定成立；
反之：当时，一定成立，所以 “”是“”的必要不充分条件，
所以D不正确.
故选：AC.
14．（2021·沙坪坝·重庆一中高二期末）下列命题正确的是（ ）
A．
B．若，，则
C．使不等式成立的一个充分不必要条件是或
D．若ai，bi，ci(i=1，2)是全不为0的实数，则“”是“不等式和解集相同”的充分不必要条件
【答案】BC
【分析】
对于A，对均值不等式辨析判断即可；对于B，利用不等式性质推理即得；对于C，解出不等式，
借助集合的包含关系即可判断；对于D，分析不等式并利用充要性的意义判断作答.
【详解】
对于A：当，时，才成立，当，时，满足，而不等式不成立，A错误；
对于B：由得，因，于是得，整理得：，B正确；
对于C：不等式，整理得，解得或，显然Ü，
即或是不等式成立的一个充分不必要条件，C正确；
对于D：若是全不为0的实数，令，则，
于是有，
当时，，则不等式和解集相同，
当时，，则不等式和解集不相同，
若不等式和解集都是空集，如：与的解集都是空集，
则两个不等式中的系数可以没有关系，
综上知“”是“不等式和解集相同”的不充分不必要条件，D错误.
故选：BC
15．（2021·郑州市第二高级中学高一月考）下列说法正确的是（ ）
A．命题：，，则：，.
B．“，”是“”成立的充分不必要条件.
C．“”是“”的必要条件.
D．“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件.
【答案】ABD
【分析】
由全称量词命题的否定是特称命题可判断A；举反例可判断BC；根据根的分布可判断D.
【详解】
由命题：，是全称量词命题，则：，，故A正确；
由时一定有，当时，，但是，
因此“”是“”成立的充分不必要条件，故B正确；
如，但是，所以不一定能推出，
如，但是，也不一定能推出，所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故C错误；
关于的方程有一正一负根，所以“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件，故D正确.
故选：ABD.
16．（2021·陕西咸阳·高三（文））下列命题中正确命题的序号是______________．
①若，则；
②设，且，则的最大值为9；
③数列首项为1，A、B、C三点共线，且，则数列为等差数列；
④对任意，都有的否定为：存在，使得．
【答案】①③
【分析】
①根据同角三角函数基本关系与诱导公式，以及二倍角的正切公式，求出，即可判断①正确；
②利用基本不等式，根据题中条件，即可判断②错；
③根据、、三点共线及，即可判断③正确；
④根据全称命题的否定，即可判断④错.
【详解】
①若，则，所以，故①正确；
②因为，且，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为9；故②错；
③由、、三点共线，可知，所以数列是首项为公差也为的等差数列，故③正确；
④对任意，都有的否定为：存在，使得，故④错.
故答案为：①③.
17．（2021·河南洛阳·（理））已知四个命题：
①“若，则，中至少有一个不小于1”的逆命题；
②中，是的充分必要条件；
③“若空间两条直线不相交，则这两条直线平行”的逆否命题；
④若直线平面，直线平面，则.
则上述命题中所有真命题的序号是___________.
【答案】②④
【分析】
①根据举反例判断，②根据正弦定理及三角形性质判断，③根据空间直线位置关系判断，④根据立体几何定理判断.
【详解】
对于①，逆命题不成立，反例为: a=2，b=-3，则a＋b=-12不成立，所以①假;
对于②，由三角形正弦定理知sinA