专题08 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词（重难点突破）-2023-2024学年高二数学上学期精品讲义（人教A版）

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专题08 简单的逻辑连接词、全称量词与存在量词
一、考情分析

二、考点梳理
【基础知识梳理】
1．命题p∧q、p∨q、非p的真假判定
p
q
p∧q
p∨q
非p
真
真



真
假



假
真



假
假




2．全称量词和存在量词
(1)全称量词有：所有的，任意一个，任给，用符号“∀”表示；存在量词有：存在一个，至少有一个，有些，用符号“∃”表示．
(2)含有全称量词的命题，叫做全称命题．“对M中任意一个x，有p(x)成立”用符号简记为：∀x∈M，p(x)．
(3)含有存在量词的命题，叫做特称命题．“存在M中元素x0，使p(x0)成立”用符号简记为：∃x0∈M，p(x0)．
3．含有一个量词的命题的否定
命题
命题的否定
∀x∈M，p(x)

∃x0∈M，p(x0)


4.命题的否定和否命题（原命题：若p，则q）
(1)否命题：
(2)命题的否定：
【知识拓展】
1.“p∨q”、“p∧q”、“ p”等形式命题真假的判断步骤：
①确定命题的构成形式；
②判断其中命题p、q的真假；
③确定“p∧q”、“p∨q”、“非p”等形式命题的真假．
2.判定全称命题“∀x∈M,p(x)”是真命题,需要对集合M中的每一个元素x,证明p(x)成立；要判断特称命题是真命题,只要在限定集合内至少找到一个x＝x0,使p(x0)成立．
3.对全(特)称命题进行否定的方法
①找到命题所含的量词,没有量词的要结合命题的含义先加上量词,再改变量词．
②对原命题的结论进行否定．
4.已知含逻辑联结词的命题的真假,可根据每个命题的真假利用集合的运算求解参数的取值范围；
5.含量词的命题中参数的取值范围,可根据命题的含义,利用函数值域(或最值)解决．
6．含有逻辑联结词的命题真假的判断规律
(1)p∨q：p、q中有一个为真,则p∨q为真,即有真为真；
(2)p∧q：p、q中有一个为假,则p∧q为假,即有假即假；
(3)p：与p的真假相反,即一真一假,真假相反．.
7．“否命题”与“命题的否定”的区别．
“否命题”与“命题的否定”是两个不同的概念,“否命题”是对原命题既否定其条件,又否定其结论,而“命题的否定”是否定原命题,只否定命题的结论．
三、题型突破
(一) 含有逻辑联结词的命题的真假判断
例1.（1）、在一次跳伞训练中，甲．乙两位学员各跳一次，设命题是“甲降落在指定范围”，是“乙降
落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】“至少有一位学员没有降落在指定范围”即：“甲或乙没有降落在指定范围内”．
（2）．若命题“”与命题“”都是假命题，则（ ）
A．真真 B．真假 C．假真 D．假假
【答案】B
【分析】
根据复合命题的真假可判断简单命题、的真假，即可得出结论.
【详解】
因为命题“”为假命题，则、均为假命题，即真假，此时命题“”也为假命题.
故选：B.
（3）、已知命题p：若，则，命题q：若，则在命题：①②③④中，真命题是（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【答案】D
【分析】
先判断每个命题的真假，再判断复合命题的真假．
【详解】
因为命题p为假，命题q为假，则为真，为真，
所以命题①为假；命题②为真；命题③为假；命题④为真，
故正确的命题是②④，
故选：D．
【变式训练1-1】、若命题“” 与命题“”都是假命题，则（ ）
A．真真 B．真假
C．假真 D．假假
【答案】B
【分析】
由给定条件结合逻辑联结词联结的命题真值表即可得解.
【详解】
因命题“”为假命题，则，中至少有一个为假命题，
若为假命题，则为真命题，则为真命题与命题“”是假命题矛盾，
故必有为真命题，为假命题.
故选：B

【变式训练1-2】、（命题真假判断）下列命题中错误的是（ ）
A．若为假命题，则与均为假命题
B．已知向量，，则是的充分不必要条件
C．命题“若，则”的逆否命题是“若，则”
D．命题“，”的否定是“，”
【答案】B
【解析】若“”为假命题，则p与q均为假命题，正确；
已知向量，，则“”可得，解得或，所以“”是“”的必要不充分条件，所以B不正确；
命题“若，则的逆否命题为“若，则”，满足逆否命题的形式，正确；
命题“，”的否定是“，”满足命题的否定形式，正确；故选B．
(二) 含有一个量词命题的否定及真假判断
例2.(1)设命题：，，则为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】命题是一个特称命题，其否定是全称命题．
(2)命题“ 且的否定形式是（ ）
A．且 B．或
C．且 D．或
【答案】D
【解析】 根据全称命题的否定是特称命题，因此命题“且
”的否定为“或”可知选D．
【变式训练2-1】．已知命题，则命题的否定是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
根据特称命题的否定，改变量词，否定结论，可得出命题的否定.
【详解】
∵命题，
∴命题的否定：.
故选：C.
【变式训练2-2】．（2020届博雅闻道高三联合质量评测）已知命题使得成立，则为（ ）
A．都有恒成立 B．都有恒成立
C．都有恒成立 D．都有恒成立
【答案】B
【解析】命题,使得成立，为都有恒或立，故选B。
(三) 由命题的真假求参数的取值范围
例3.(1)若命题“使得”为假命题,则实数的取值范围是 （ ）
（A） （B） （C） （D）
【分析】命题“使得”的否定是真命题,故将本题转化为恒成立问题求解．
【解析】由命题“使得”为假命题,则命题“使得”为真命题．所以．故选（C）．
【点评】已知命题为假命题,则其否定是真命题,故将该题转化为恒成立问题处理．
（2）．设，，，．若或为真，且为假，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
分别求出当、为真时实数的取值范围，分析可知、中一真一假，分真假和假真两种情况讨论，由此可求得实数的取值范围.
【详解】
若为真，则，解得．
若为真，则，解得．
因为或为真，且为假，所以、中一真一假．
①若假真，则，解得；
②若真假，则，解得．
故的取值范围是．
故选：C.
【变式训练3-1】、若命题“，使得”是真命题，则实数的取值集合是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
讨论时是否符合题意，当时，不等式恒成立的等价条件为且即可求解.
【详解】
当时，等价于不满足对于恒成立，不符合题意；
当时，若对于恒成立，
则即可得：，
综上所述：实数的取值集合是，
故选：B.
【变式训练3-2】、已知命题，命题.若“p且q”为真命题，求实数m的取值范围.
【答案】
【分析】
分别求出均为真命题时参数的范围，再求交集得解
【详解】
若“p且q”为真命题,则均为真命题.
,在恒成立，
是增函数，所以，
，有解，即或

均为真命题，
故答案为：
【点睛】
本题考查利用不等式恒成立、方程有解及复合命题真假求参数，属于基础题.
【变式训练3-3】、若命题“：，使”为真命题，实数的取值范围为______．
【答案】或
【分析】
整理成关于的不等式，然后结合一次函数性质得解．
【详解】
问题转化为对恒成立，
所以，解得或．
故答案为：或．
例4．已知：函数在区间上单调递增；：，．
（1）若“p且q”为真，求实数a的最大值；
（2）若“p或q”为真，“p且q”为假，求实数a的取值范围．
【答案】（1）4；（2）
【分析】
（1）先求出命题均为真命题时的取值范围，再根据“p且q”为真，即可求出实数a的最大值；
（2）根据“p或q”为真，“p且q”为假，得到一真一假，即可求出实数a的取值范围．
【详解】
解：当p为真时，函数在区间单调递增，
，
解得:；
当q为真时，关于x的不等式有解，
即，
解得：；
（1）若“p且q”为真，
即均为真命题；
则且，
即．
若“p且q”为真，实数a的最大值是4；
（2）若“p或q”为真，“p且q”为假，则p与q一真一假，
当p真q假时，且，解得：；
当p假q真时，且，解得：．
综上所述：所求实数a的取值范围是．
【变式训练4-】、命题：任意，成立；命题：存在，+成立.
（1）若命题为假命题，求实数的取值范围；
（2）若命题和有且只有一个为真命题，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）或或.
【分析】
（1）由q真,由判别式求得m的取值范围，进而得到q假的条件；
（2）求得p真的条件，由和有且只有一个为真命题，得到真假，或假真，然后分别求的m的取值范围，再取并集即得.
【详解】
（1）由q真：，得或，
所以q假：；
（2）p真推出，
由和有且只有一个为真命题，
真假，或假真，
或，
或或.
【点睛】
本题考查复合命题的真假判定和含有量词的命题真假判定，涉及一元二次不等式恒成立和能成立问题，不等式的求解，关键是由和有且只有一个为真命题，得到真假，或假真.
四、定时训练（30分钟）
1．已知命题：函数在内恰有一个零点；命题：函数在上是减函数．若为真命题，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
根据零点存在性定理由求出命题为真命题时范围；再由幂函数的单调性求出命题为真命题时范围；由题意可知真假，即可求解.
【详解】
若命题：函数在内恰有一个零点为真命题，
由零点存在定理可知，解得：；
若命题：函数在上是减函数为真命题，
则，解得；
因为为真命题，所以为真命题，为真命题，为假命题，
所以，可得，
所以实数的取值范围是．
故选：C.
2．命题“若，或”的否定是（ ）
A．若，或
B．若，且
C．若，或
D．若，且
【答案】D
【分析】
根据命题否定的方法：否定结论，即可求出．
【详解】
解：因为结论为“或”，其否定为“且”，
所以原命题的否定是“若，且”，
故选：D．
3．已知：；：．则下列命题中，真命题是（ ）
A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则
【答案】C
【分析】
对应各个选项，分别写出命题，由此即可判断真假．
【详解】
解：选项A：若，则，如，故A错误；
选项B：若，则，如，故B错误；
选项C：若，则，，故C正确；
选项D：若，则，不成立，故D错误，
故选：C．
4．命题“，”的否定是（　　）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【分析】
利用全称命题的否定可得出结论.
【详解】
由全称命题的否定可知，命题“，”的否定是“，”.
故选：C.
5．全称量词命题：的否定是（ ）
A． B．
C． D．以上都不对
【答案】C
【分析】
根据全称命题的否定为特称命题分析即可
【详解】
“”的否定是“”，即“”
故选：C
6．下列说法错误的是（ ）
A．命题“若，则”的逆否命题为：“若，则”.
B．“”是“”的充分不必要条件.
C．直线l与平面a垂直的充分必要条件是l与平面a内的两条直线垂直.
D．命题p:使得， 则均有.
【答案】C
【分析】
根据四种命题关系判断A，根据充分条件与必要条件的定义判断B，C，根据含量词的命题的否定方法判断D.
【详解】
命题“若，则”的逆否命题为：“若，则”，A对，
“”是“”的充分不必要条件，B对，
l与平面a内的两条直线垂直是直线l与平面a垂直的必要不充分条件，C错，
命题p:使得的否定为均有，D对，
故选：C.
7．下列4个说法中正确的有（ ）
①命题“若，则”的逆否命题为“若则”；
②若，则；
③若复合命题：“”为假命题，则p，q均为假命题；
④“”是“”的充分不必要条件．
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④
【答案】C
【分析】
①由逆否命题的意义即可判断出正误；
②由否命题的意义即可判断出正误；
④由解得或，即可判断出结论；
③若为假命题，则、至少有一个为假命题，即可判断出正误．
【详解】
解：对于①，因为命题“若p，则q”的逆否命题为“若，则”，所以①是正确的；
对于②，因为存在量词命题的否定为，所以②是正确的；
对于③，若“”为假命题，则p，q至少有一个为假命题，所以③是错误的；
对于④，因为，所以或，
所以“”是“”的充分不必要条件，所以④是正确的．
故选：C
【点睛】
本题考查了简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
8．若命题“存在，使”是假命题，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据命题“存在，使”是假命题，即不等式无解，转化为即可求解．
【详解】
命题“存在，使”是假命题，
不等式无解，
，
解得，
实数m的取值范围是 ，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了命题真假的判断，以及不等式求解问题，考查了基本的分析和转化能力，属于基础题．
9．已知命题在区间上是减函数，命题不等式的解集为，若命题“”为真，“”为假，则实数的取值范围是__________.
【答案】
【分析】
由已知可得p：，由不等式的解集为可得q：，由于为真，命题为假，可知p，q一真一假，从而可求解.
【详解】
∵在区间上是减函数，
∴，p：，
∵不等式的解集为，即恒成立，
∴，解得，即q：
∵“”为真，命题“”为假，
∴p，q一真一假，
当p真q假，即；
当p假q真时，此时无解，
综上可得实数的取值范围是，
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查了复合命题的真假关系的应用，解题的关键是准确求解出命题p，q的真假，属于中档题.
10．已知命题:方程有两个不等的负根；命题:方程无实根。若，两命题一真一假，则的取值范围为______.
【答案】
【分析】
先分析均为真命题的情况，然后根据、两命题一真一假分类讨论，从而求解出的取值范围.
【详解】
当为真命题时，，所以，
当为真命题时，，所以，
又因为，两命题一真一假，所以真假或假真，
当真假时，或，所以此时无解，
当假真时，或，所以，
综上可知：.
故答案为：.
【点睛】
本题考查根据命题的真假求解参数范围，着重考查了一元二次方程的根的分布以及根的个数问题，难度一般.分析一元二次方程的根的分布以及根的个数时，注意借助韦达定理以及根的判别式进行分析.
11．已知命题:“，不等式”是真命题.
(1)求实数的取值集合；
(2)设不等式的解集为，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
【答案】(1) ；（2）
【分析】
（1）根据题意将问题转化为在时恒成立，再求得最小值即可；
（2）解不等式得集合，故根据题意得：是的真子集，再根据集合关系求解即可.
【详解】
解：（1）命题：，都有不等式成立是真命题，
∴，即在时恒成立，
又当时，
∴，即；
（2）不等式，
故
∵是的充分不必要条件，则是的真子集，
∴，解得，
故实数a的取值范围为.
【点睛】
结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：
（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；
（2）若是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集；
（3）若是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；
（4）若是的既不充分又不必要条件， 对的集合与对应集合互不包含．