专题09 椭圆（重难点突破）-2023-2024学年高二数学上学期精品讲义（人教A版）

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专题09 椭圆
一、考情分析

二、考点梳理
知识点一 椭圆的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
集合P＝{M|＋＝2a}，＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数．
(1)若a＞c，则集合P为椭圆；
(2)若a＝c，则集合P为线段；
(3)若a＜c，则集合P为空集．

知识点二 椭圆的标准方程和几何性质
标准方程
＋＝1(a＞b＞0)
＋＝1(a＞b＞0)
图形


性质

范围
－a≤x≤a，
－b≤y≤b
－b≤x≤b，
－a≤y≤a
对称性
对称轴：坐标轴，对称中心：(0,0)
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)，
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)，
B1(－b,0)，B2(b,0)
轴
长轴A1A2的长为2a，短轴B1B2的长为2b
焦距
＝2c
离心率
e＝，　　e∈(0,1)
a，b，c
的关系
c2＝a2－b2

三、题型突破
重难点01 椭圆的定义及其应用
例1、（1）（河南郑州外国语学校2019届模拟）如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是(　　)

A．椭圆　　　　　　　　 B．双曲线
C．抛物线 D．圆
【答案】A　
【解析】由折叠过程可知点M与点F关于直线CD对称，所以|PM|＝|PF|，所以|PO|＋|PF|＝|PO|＋|PM|＝|OM|＝r，由椭圆的定义可知点P的轨迹为椭圆．
（2）．（2020·重庆市第七中学校高二月考）如图所示，某人去草场打靶，猎物被放在了两个固定物、之间，满足，,此人在移动过程中，始终保持到，两点的距离和不小于6，当他离猎物最近时开枪命中猎物，则此时他离猎物的距离为（ ）


A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
当时，点在以为焦点的椭圆上，故设 ，利用两点距离公式求解最小值即可．
【详解】
由题意，以中点为原点建立直角坐标系，则，
由，，得，
因为，当时，点在以为焦点的椭圆上，
所以，
则椭圆方程为，化为参数方程为 (为参数)，
所以到的距离为
，
当时，.
故选：B.

【点睛】
方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：
一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；
二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．
(3)．已知方程表示椭圆，则实数k的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
根据方程表示椭圆列不等式，由此求得的取值范围.
【详解】
由于方程表示椭圆，
所以.
故选：B
【变式训练1-1】、（2020·厦门市国祺中学高二月考）如图，在圆内有一点，点为圆上一动点，的垂直平分线与、的连线交于点，则动点的轨迹方程为（ ）

A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
连接，计算出为定值，可知点的轨迹是椭圆，确定该椭圆的焦点位置，求出、的值，即可得出点的轨迹方程.
【详解】
连接，因为圆，所以圆心为，半径，

由垂直平分线的性质可知，则，
则点的轨迹为焦点为、的椭圆，
且，即，则，
因此，点轨迹方程为：，
故选：B.
【点睛】
利用定义求解椭圆的轨迹问题时，在本题中，要确保为定值，且该定值大于.
【变式训练1-2】、已知椭圆的焦点在轴上，焦距为4，则等于（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
【答案】A
【分析】
根据方程表示椭圆，及焦点的位置得不等关系，从而得出结论．
【详解】
解：椭圆的焦点在轴上，
，即，
且，，
，
又焦距为4，，得．
故选：．
重难点02 椭圆的标准方程
例2．（1）（辽宁省抚顺一中2019届期中）椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于，且它的一个顶点为(0,2)，则椭圆C的标准方程为(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1
【答案】D　
【解析】根据题意，可知b＝2，结合离心率等于，可知a2＝16，所以椭圆方程为＋＝1.故选D.
（2）．（黑龙江省佳木斯一中2019届期末）设椭圆＋＝1(m>0，n>0)的右焦点为(2,0)，离心率为，则此椭圆的方程为________．
【答案】＋＝1
【解析】椭圆的右焦点为(2,0)，所以m2－n2＝4，e＝＝，所以m＝2，代入m2－n2＝4，得n2＝4，所以椭圆方程为＋＝1.
【变式训练2-1】．（山东省淄博一中2019届模拟）中心为原点，一个焦点为F(0,5)的椭圆，截直线y＝3x－2所得弦中点的横坐标为，则该椭圆方程为(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1
【答案】C　
【解析】由已知得c＝5，设椭圆的方程为＋＝1，联立得
消去y得(10a2－450)x2－12(a2－50)x＋4(a2－50)－a2(a2－50)＝0，设直线y＝3x－2与椭圆的交点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，由根与系数关系得x1＋x2＝，由题意知x1＋x2＝1，即＝1，解得a2＝75，所以该椭圆方程为＋＝1.
【变式训练2-2】、（2021·全国高二课时练习）若椭圆：（）满足，则该椭圆的离心率（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
由题意构建齐次式即可得到结果.
【详解】
由题意知，又，
∴
∴，即或（舍），
故选:B．
例3．（2021·江苏高二专题练习）求满足下列条件的椭圆的标准方程：
（1）两个焦点的坐标分别为F1(－4，0)，F2(4，0)，并且椭圆上一点P与两焦点的距离的和等于10；
（2）焦点坐标分别为(0，－2)，(0，2)，经过点；
（3）经过两点，.
【答案】（1）＋＝1；（2）＋＝1；（3）＋＝1.
【分析】
(1)由已知求得，可求得椭圆的标准方程.
(2)设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．法一：由椭圆的定义求得a，c，b，从而求得椭圆的标准方程.法二：代入椭圆过的点的坐标得＋＝1.再由c2＝a2－b2可求得椭圆的标准方程.
(3)法一：分焦点在x轴上和焦点在y轴上两种情况，分别设椭圆的标准方程和代入已知点的坐标，解之可求得椭圆的标准方程.
法二：避免考虑椭圆焦点的位置，设椭圆的一般方程为Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞0，A≠B)．代入已知点的坐标建立方程组，解之可求得椭圆的标准方程.
【详解】
(1)因为椭圆的焦点在x轴上，且c＝4，2a＝10，所以a＝5，b＝＝＝3，所以椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)因为椭圆的焦点在y轴上，所以设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．
法一：由椭圆的定义知2a＝＋＝12，解得a＝6.又c＝2，所以b＝＝4.
所以椭圆的标准方程为＋＝1.
法二：因为所求椭圆过点(4，3)，所以＋＝1.
又c2＝a2－b2＝4，可解得a2＝36，b2＝32.
所以椭圆的标准方程为＋＝1.
(3)法一：若焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．由已知条件得解得
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
若焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．
由已知条件得解得
则a2＜b2，与a＞b＞0矛盾，舍去．
综上可知，所求椭圆的标准方程为＋＝1.
法二：设椭圆的一般方程为Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞0，A≠B)．分别将两点的坐标(2，－)，代入椭圆的一般方程，得解得
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
【点睛】
方法点睛：已知椭圆上两个已知点求椭圆的标准方程的方法：方法一：分焦点在x轴上和焦点在y轴上两种情况，分别设椭圆的标准方程和代入已知点的坐标，解方程组求得椭圆的标准方程.方法二：避免考虑椭圆焦点的位置，设椭圆的一般方程为Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞0，A≠B)．代入已知点的坐标建立方程组，解方程组求得椭圆的标准方程.
【变式训练3-1】、（2020·全国）求满足下列条件的椭圆的标准方程：
（1）两个焦点坐标分别是，椭圆上一点到两焦点的距离之和等于10；
（2）过点，且与椭圆有相同的焦点.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）由椭圆的两个焦点坐标，得到焦点在y轴上，且，再结合椭圆的定义，求得，进而求得，即可求得椭圆标准方程；
（2）根据题意，设它的标准方程为且，代入点，列出方程组，求得的值，即可求解.
【详解】
（1）由题意，椭圆的两个焦点坐标分别是，可得焦点在y轴上，且，
又由椭圆上一点到两焦点的距离之和等于10，即，所以，
所以，所以椭圆标准方程为.
（2）由与椭圆有相同的焦点，可得，
因为焦点在x轴上，可设它的标准方程为且，
因为椭圆过点，所以有 ①，
又因为 ②，
由①②解得：，.
所求椭圆的标准方程为.
【点睛】
本题主要考查了椭圆的定于与标准方程的求解，以及椭圆的几何性质的应用，其中解答中熟记椭圆的标准方程和几何性质是解答的关键，着重考查运算与求解能力.
重难点03 椭圆的几何性质
例4．(1)（湖南省株洲二中2019届期末）已知焦点在y轴上的椭圆 ＋＝1的长轴长为8，则m＝(　　)
A．4 B．8 C．16 D．18
【答案】C　
【解析】椭圆的焦点在y轴上，则m＝a2.由长轴长2a＝8得a＝4，所以m＝16.故选C.
(2)．（湖南省张家界一中2019届期末）已知△ABC的顶点B，C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是(　　)
A．2 B．6 C．4 D．12

【答案】C　
【解析】如图，设椭圆的另外一个焦点为F，则△ABC的周长为|AB|＋|AC|＋|BC|＝(|AB|＋|BF|)＋(|AC|＋|CF|)＝4a＝4.
【变式训练4-1】．（ 江苏省苏州一中2019届期中）已知椭圆＋＝1的离心率为，则k的值为(　　)
A．－21 B．21 C．－或21 D.或－21
【答案】D　
【解析】当9>4－k>0，即－5＜k＜4时，a＝3，c2＝9－(4－k)＝5＋k，所以＝，解得k＝.当9<4－k，即k<－5时，a＝，c2＝－k－5，所以＝，解得k＝－21.故选D.
【变式训练4-2】．（山西省朔州一中2019届期中）椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，若F关于直线x＋y＝0的对称点A是椭圆C上的点，则椭圆C的离心率为(　　)
A. B. C. D.－1
【答案】D　
【解析】设F(－c,0)关于直线x＋y＝0的对称点为A(m，n)，则解得m＝，n＝c，代入椭圆方程可得＋＝1化简可得e4－8e2＋4＝0，又0＜e＜1，解得e＝－1.故选D.
例5．（2021·全国）如图，已知定点，点P是圆上任意一点，线段的垂直平分线与半径相交于点.

（1）当点在圆上运动时，求点的轨迹方程；
（2）过定点且斜率为的直线与的轨迹交于､两点，若，求点到直线的距离.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）直接利用椭圆的定义式可知，，故而，此时，则根据可知，，则椭圆方程可求；
（2）设出直线为：，与的轨迹方程联立，得出根与系数的关系，代入向量乘积表达式，求出，从而得出直线方程，则到直线的距离可求.
【详解】
（1）连接MD.由已知，得，由，
∴根据椭圆的定义，
点M的轨迹是以C，D为焦点，长轴长为6的椭圆.
∴，，.
∴，点M的轨迹方程为.
（2）由题设知直线l的方程为，代入M的轨迹方程，
整理，得.
设，.
∴，.
∵

.
∴，解得.
∴点O到直线l的距离.
【点睛】
本题为圆锥曲线常规题型，考了椭圆的定义，直线与椭圆相交所形成的向量表达式与韦达定理的关系，以及点到直线的距离公式，要求学生具备深厚的计算能力，有处理代数式的转化思想，为中等难度题目.
【变式训练5-1】．（2016·全国（理））如图所示，已知圆：，圆内一定点，动圆过点且与圆内切，设动圆的半径为，求圆心的轨迹方程．

【答案】
【解析】由题意知，∵圆与圆内切，圆的半径为，
∴两圆的圆心距，即，
∴点的轨迹是以、两点为焦点的椭圆．
∴,.∴，.∴，
即点的轨迹方程为.
考点：轨迹方程.
四、定时训练（30分钟）
1．已知椭圆：的离心率为，则椭圆的长轴长为（ ）
A． B．4 C． D．8
【答案】C
【分析】
根据条件先计算出的值，再根据离心率求解出的值，最后根据长轴长为计算出长轴长.
【详解】
由题意知，所以，
又因为，所以，
所以椭圆的长轴长为.
故选：C.
2．（2020·全国高二专题练习）如图，已知是椭圆的左、右焦点，是椭圆上任意一点，过作的外角的角平分线的垂线，垂足为,则点的轨迹为

A．直线
B．圆
C．椭圆
D．抛物线
【答案】B
【分析】
延长与的延长线交于点，连接，根据等腰三角形“三线合一”和三角形中位线定理，结合椭圆的定义证出的长恰好等于椭圆的长半轴,得到点的轨迹方程为，由此得到答案．
【详解】
延长与的延长线交于点，连接.

因为是的外角的角平分线，且，所以在中，，且为线段的中点．又为线段的中点，由三角形的中位线定理，得．由椭圆的定义，得，所以，可得点的轨迹方程为，所以点的轨迹为以原点为圆心，半径为的圆．
故答案选B
【点睛】
本题考查椭圆中求动点轨迹，着重考查椭圆的定义，等腰三角形的判定和三角形中位线定理等知识，属于中档题．
3．（2021·全国高二专题练习）动圆过定点，且内切于定圆：，动圆圆心的轨迹方程为________．
【答案】
【分析】
由点在圆内部可知动圆在圆内部，由两圆内切知圆心距，进而得到，由此确定动圆圆心轨迹为椭圆，由椭圆定义可计算求得轨迹方程.
【详解】
由圆方程知其圆心为，半径，
，即点在圆内部，动圆在圆内部，
设圆半径为，则，，
即，又，，
动圆圆心的轨迹满足以为焦点的椭圆，此时，，，
动圆圆心的轨迹方程为：.
故答案为：.
【点睛】
关键点点睛：本题考查动点轨迹方程的求解问题，解题关键是能够根据两圆内切构造等量关系，即圆心距等于大圆半径与小圆半径之差，由此确定动点轨迹为椭圆.
4．（2020·奉新县冶城职业学校高三月考（文））已知圆：，圆：，动圆与圆外切并且与圆内切，圆心的轨迹为曲线，则曲线的方程为____________.
【答案】()．
【分析】
先由题中条件，得到两圆的圆心和半径，设动圆的半径为，动圆与定圆位置关系，得出等量关系，推出动圆圆心轨迹为椭圆去掉左顶点，进而可求出结果.
【详解】
由圆，圆得到，半径，，半径，
设动圆的半径为，∵圆在圆内，∴动圆只能在内与圆内切，不能是在动圆内，即：，
∵动圆与圆外切，∴，∵动圆与圆内切，∴，
∴，即到和到的距离之和为定值，
∴是以、为焦点的椭圆，且，，所以，
∴动圆圆心的轨迹方程为，
又圆过点，椭圆也过点，而点显然不在圆上，
所以所求轨迹方程为：.
故答案为：.
5．（2021·威远中学校高二月考（理））设分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上任一点，点的坐标为，则的最大值为________．
【答案】15
【分析】
利用椭圆的定义将左焦点问题转化为右焦点问题，然后求解最值即可.
【详解】
由椭圆方程可得：，，
由椭圆的定义可得：，
，
则的最大值为15.
故答案为：15.
【点睛】
本题主要考查椭圆的定义与几何性质，等价转化的数学思想，数形结合的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
6．（2021·抚顺市第二中学高三模拟预测）已知椭圆（）的右焦点为，为坐标原点，点是椭圆在第一象限的一点，且为等边三角形，则________
【答案】
【分析】
为等边三角形,得到是直角三角形，求出,利用椭圆定义求出.
【详解】

如图为等边三角形,得到是直角三角形，
,
由椭圆定义得：

故答案为：
【点睛】
本题考查利用椭圆定义求参数值.
椭圆上的一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形．解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义和正弦定理、余弦定理．
7．（2017·全国高二课时练习）已知平面内的动点P到定直线l：x＝的距离与点P到定点F(，0)之比为.
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)若点N为轨迹C上任意一点(不在x轴上)，过原点O作直线AB，交(1)中轨迹C于点A、B，且直线AN、BN的斜率都存在，分别为k1、k2，问k1·k2是否为定值？
【答案】(1) (2) k1·k2＝－
【解析】
试题分析：（1）设出点P，利用两点间的距离公式分别表示出P到定直线的距离和到点F的距离的比，建立方程求得x和y的关系式，即P的轨迹方程．（2）设出N，A，则B的坐标可知，代入圆锥曲线的方程相减后，可求得k1·k2＝－证明原式．
试题解析：
(1)设点P(x，y)，依题意，有＝.整理，得＋＝1.所以动点P的轨迹C的方程为＋＝1.
(2)由题意，设N(x1，y1)，A(x2，y2)，则B(－x2，－y2)，
＋＝1，＋＝1.k1·k2＝·＝＝＝－，为定值．