专题13 抛物线（重难点突破）-2023-2024学年高二数学上学期精品讲义（人教A版）

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专题13 抛物线
一、考情分析

二、考点梳理
考点一 抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．
考点二 抛物线的标准方程与几何性质
标准方程
y2＝2px
(p＞0)
y2＝－2px
(p＞0)
x2＝2py
(p＞0)
x2＝－2py
(p＞0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
图形




顶点
O(0,0)
对称轴
x轴
y轴
焦点
F
F
F
F
离心率
e＝1
准线
　x＝－　
　x＝　
　y＝－　
　y＝　
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
开口方向
向右
向左
向上
向下
焦半径(P(x0，y0))
＝
　x0＋　
＝
　－x0＋　
＝
　y0＋　
＝
　－y0＋　
三、题型突破
重难点题型突破1 求抛物线的轨迹方程
例1．（1）、（2021·全国·高三专题练习）过点的直线与抛物线交于、两点.求线段的中点的轨迹方程.
【答案】
【分析】
设，，，代入抛物线方程中，再根据中点坐标公式可求得以线段PQ的中点B的轨迹方程.
【详解】
解：设，，
代入得，
化简得，
又，
所以线段PQ的中点B的轨迹方程为.
（2）、（2021·全国·高二课时练习）已知定点F和定直线l，点F不在直线l上，动圆M过点F且与直线l相切，则动圆圆心M的轨迹是（ ）
A．射线 B．直线 C．抛物线 D．椭圆
【答案】C
【分析】
由给定条件可得圆心M到定点F与到定直线l的距离相等，再结合抛物线定义即可判断作答.
【详解】
因为动圆M过定点F，则动圆M的半径为，
又动圆M与直线l相切，则圆心M到直线l的距离等于圆的半径，
因此，动点M到定点F的距离等于它到定直线l的距离，又定点F不在定直线l上，由抛物线的定义得，圆心M的轨迹是抛物线，
所以动圆圆心M的轨迹是抛物线.
故选：C
（3）、（2021·全国·高二单元测试）是任意实数，方程表示的曲线不可能是（ ）
A．圆 B．抛物线 C．椭圆 D．双曲线
【答案】B
【分析】
讨论的取值，根据椭圆、圆、双曲线以及抛物线的标准方程形式即可得出选项.
【详解】
当时，方程为，此方程为圆；
当时，方程表示的曲线为椭圆；
当时，方程，即，表示为两条直线；
当时，方程表示的曲线为双曲线.
故选：B
【变式训练1-1】、（2021·江西·南昌大学附属中学高二期中（理））如图是抛物线形拱桥，当水面在n时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽为（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由题建立平面直角坐标系，设抛物线方程为，结合条件即求.
【详解】
建立如图所示的直角坐标系：

设抛物线方程为，
由题意知：在抛物线上，
即，
解得：，
，
当水位下降1米后，即将代入，
即，解得：，
∴水面宽为米.
故选：D.
【变式训练1-2】、（2021·全国·高二专题练习）已知动圆P与定圆C：（x+2）2+y2＝1相外切，又与直线x＝1相切，那么动圆圆心P的轨迹方程是__．
【答案】y2＝﹣8x
【分析】
设，由两圆位置关系、直线与圆位置关系列式化简即可得．
【详解】
设圆心P到直线x＝1的距离等于r，P（x，y ），由题意可得 PC＝1+r，即 ＝1+1﹣x，化简可得 y2＝﹣8x.
故答案为：y2＝﹣8x．
【变式训练1-3】、（2021·广东·北京师范大学广州实验学校高二期中）已知点，，动点满足.
（1）求动点P的轨迹方程；
（2）设（1）中所求轨迹与直线交于C，D两点，且（O为原点），求b的值.
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）利用向量的数量积的坐标公式，即可得出动点的轨迹的方程；
（2）设、两点的坐标分别为，，联立轨迹方程与直线，利用韦达定理，结合斜率公式，得出，进而求得b的值.
（1）
∵，，∴，.
则.
∴
∴.
（2）
设、两点的坐标分别为，，
联立，整理得，
其中，，由韦达定理得，.
而，，∴
，∴
∴，即，解得：（舍去）.
故b的值为




重难点题型突破2 抛物线的定义及应用
例2．（1）、（2021·江苏省镇江中学高二期中）抛物线的焦点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据抛物线的简单几何性质计算可得；
【详解】
解：抛物线焦点在轴负半轴，因为，所以，所以焦点坐标为
故选：D
（2）、（2021·福建省南平市高级中学高二期中）抛物线上纵坐标为1的点到焦点的距离5，则该抛物线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据抛物线定义建立关系可求出.
【详解】
抛物线上纵坐标为1的点到焦点的距离5，
则根据抛物线定义可得，解得，
所以抛物线方程为.
故选：A.
【变式训练2-1】、（湖南省娄底一中2019届期末）已知抛物线y2＝2x的弦AB的中点的横坐标为，则|AB|的最大值为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】D　

【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝3.由抛物线的定义可知|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋1＝4.由图可知|AF|＋|BF|≥|AB|，所以|AB|≤4，当且仅当直线AB过焦点F时，|AB|取得最大值4.
【变式训练2-2】、（2021·全国·高二课时练习）顶点在原点，焦点为的抛物线的标准方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
结合抛物线的知识确定正确选项.
【详解】
因为抛物线的焦点为，所以，且抛物线开口向右，所以抛物线的标准方程为．
故选：C
【变式训练2-3】、（黑龙江省哈尔滨三中2019届质检）已知点Q(－2，0)及抛物线x2＝－4y上一动点P(x，y)，则|y|＋|PQ|的最小值为________．
【答案】2
【解析】如图，抛物线焦点F(0，－1)，抛物线的准线方程为y＝1，设点P到准线距离为d，则|y|＋|PQ|＝d－1＋|PQ|＝|PF|＋|PQ|－1≥|QF|－1＝－1＝2，所以|y|＋|PQ|的最小值为2.





重难点题型突破3 抛物线的标准方程及几何性质
例3．（2021·全国·高二课时练习）根据下列条件求抛物线的标准方程．
（1）焦点在轴上且抛物线过点；
（2）抛物线过点．
【答案】
（1）；
（2）或.
【分析】
（1）根据题意，设抛物线的标准方程为，将代入方程，求出的值，从而得出抛物线的标准方程；
（2）设抛物线方程为或，将分别代入方程，求出的值，从而得出抛物线的标准方程.
（1）
解：因为焦点在轴上且抛物线过点，
设抛物线的标准方程为，如图①所示，
将代入方程得，所以，
所以抛物线的标准方程为．
（2）
解：设抛物线方程为或，如图②所示，
将代入，得，
将代入，得，
故所求抛物线的标准方程为或．

例4．（2021·新疆·哈密市第十五中学高二期中（理））根据条件求下列方程.
（1）顶点在原点，准线方程是的抛物线方程；
（2）已知双曲线过点并且与有共同的渐近线，求双曲线的标准方程.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
(1)由条件判断抛物线的焦点位置，由此设其方程，在求参数p，得到抛物线的标准方程，(2)由共渐近线系的双曲线方程结论，设所求的双曲线方程，再由点在双曲线上，求出参数的值，由此可得双曲线方程.
【详解】
(1)∵ 抛物线的顶点在原点，准线方程是，
∴ 可设抛物线的方程为，且p=4，
∴ 抛物线的标准方程为，
(2)∵双曲线与双曲线有共同的渐近线，
∴ 可设双曲线方程为，
又双曲线过点，
∴ ，
∴ ，
故双曲线的标准方程.
【变式训练4-1】．（黑龙江省鹤岗一中2019届模拟）顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P(－4，－2)的抛物线的标准方程是(　　)
A．y2＝－x B.x2＝－8y
C．y2＝－8x或x2＝－y D．y2＝－x或x2＝－8y
【答案】D　
【解析】设抛物线为y2＝mx，代入点P(－4，－2)，解得m＝－1，则抛物线方程为y2＝－x；设抛物线为x2＝ny，代入点P(－4，－2)，解得n＝－8，则抛物线方程为x2＝－8y.故抛物线方程为y2＝－x或x2＝－8y.
【变式训练4-2】、（2021·全国·高二课时练习）已知抛物线过点，求抛物线的标准方程.
【答案】或．
【分析】
由题意可得抛物线的开口向右或向下，设方程为或，将点A的坐标代入方程计算即可.
【详解】
抛物线过点，且点在第四象限，
抛物线的开口向右或向下．
若开口向右，则设方程为，
过点，，
抛物线的标准方程为；
若开口向下，则设方程为，
过点，，
抛物线的标准方程为．
综上，抛物线的标准方程为或．
【变式训练4-3】．（2022·全国·高三专题练习）如图，过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝6，则此抛物线方程为（ ）

A．y2＝9x B．y2＝6x
C．y2＝3x D．y2＝x
【答案】B
【分析】
分别过A，B作准线的垂线，交准线于E，D，设|BF|=a，运用抛物线的定义和直角三角形的性质，求得p，可得所求抛物线的方程．
【详解】

如图分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，
设|BF|＝a，则由已知得：|BC|＝2a，由抛物线定义得：|BD|＝a，故∠BCD＝30°，在直角三角形ACE中，因为|AE|＝|AF|＝6，|AC|＝6＋3a，2|AE|＝|AC|，所以6＋3a＝12，从而得a＝2，|FC|＝3a＝6，所以p＝|FG|＝|FC|＝3，因此抛物线方程为y2＝6x.
故选：B
【变式训练4-4】．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，过抛物线的焦点F的直线依次交拋物线及准线于点A，B，C，若，且，则拋物线的方程为（ ）

A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
分别过点，作准线的垂线，分别交准线于点，，设，根据抛物线定义可知，进而推断出的值，在直角三角形中求得，进而根据，利用比例线段的性质可求得，则抛物线方程可得.
【详解】
如图分别过点，作准线的垂线，分别交准线于点，
设，则由已知得：，由定义得：，故
在直角三角形中，，
，，从而得
，，求得
所以抛物线的方程为．
故选：B

【点睛】
关键点睛：本题考查直线与抛物线的位置关系，解决本题的关键在于根据抛物线定义得出，进而推断出的值，考查学生的分析审题能力，属于一般题.
重难点题型突破4 综合应用
例5．（2020·浙江·瑞安中学高二期中）如图，已知点为抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于两点，点在抛物线上.

（1）求的值及抛物线的准线方程 ；
（2）若点为三角形的重心，求线段的长度.
【答案】（1），；（2）6.
【分析】
（1）根据抛物线的焦点坐标求得p，从而可得抛物线方程和准线方程；
（2）设过的直线方程为，，，，，，，联立直线和抛物线可得，利用韦达定理可求得，从而求得k，再利用抛物线的弦长公式即可得解.
【详解】
解：（1）点为抛物线的焦点，即，即，
抛物线的方程为，准线方程为；

（2）根据题意可知直线AB的斜率存在，
设过的直线方程为，，，，，，，
即有，，，
联立直线和抛物线可得，
可得，，
因为，,即，
所以
即,
则.
【变式训练5-1】．（2021·浙江·高三月考）已知抛物线上横坐标为4的点到焦点的距离为5.

（1）求的值；
（2）如图，已知为抛物线上过焦点的任意一条弦，弦的中点为垂直与抛物线准线交于点，若，求直线的方程.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）由抛物线的定义可得，由此即可求解；
（2）先设出直线：，与联立，再由根与系数的关系，结合垂直平分线的性质与点到直线的距离公式即可求解
【详解】
（1）抛物线（）的焦点为，准线方程为，由抛物线定义得：

，所以.
（2）由（1）得抛物线方程为
设直线：，与联立，消去x，整理得：，
设，，，有，
则弦长，弦中点
故弦的垂直平分线方程为
令得，即
故点P到直线的距离.
所以
所以，直线方程为




四、定时训练（30分钟）
1．（2021·全国·高二课时练习）若抛物线上一点到该抛物线的焦点的距离，则点到轴的距离（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据抛物线标准方程求出焦点、准线方程，利用抛物线定义求解.
【详解】
因为抛物线
所以抛物线焦点，准线方程，
点到准线距离为，到轴距离，
故选：D
2．（2021·吉林·长春市基础教育研究中心（长春市基础教育质量监测中心）一模（文））已知是抛物线上的一动点，是抛物线的焦点，点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
过作垂直准线，为垂足，则有，则可转化
，分析即得解
【详解】

过作垂直准线，为垂足，，所以
（当且仅当纵坐标相等时取等号）
故选：C
3．（2021·河北·衡水市第十四中学高二月考）若抛物线上一点P到焦点的距离为5，则点P的纵坐标为________．
【答案】3
【分析】
利用抛物线的定义求解.
【详解】
抛物线的焦点为 准线方程为： ，
设，
因为抛物线上一点P到焦点的距离为5，
由抛物线的定义得：，
解得，
故答案为：3
4．（2021·北京一七一中高二期中）若点是抛物线上一动点，是抛物线的焦点，点，则的最小值为______．
【答案】4
【分析】
由抛物线的定义可得，等于点到抛物线准线的距离，则可得的最小值为点到抛物线准线的距离，即可得出答案
【详解】
抛物线的焦点为，准线为，过作准线的垂线，交准线于
由抛物线的定义可得，等于点到抛物线准线的距离，
所以
所以的最小值为4，
故答案为：4

5．（2021·全国·高二课时练习）若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，M为准线与y轴的交点，A为抛物线上一点，且，，则此抛物线的标准方程为______．
【答案】或
【分析】
设所求抛物线的标准方程为，，结合抛物线的定义和距离公式求得，进而求得的值.
【详解】
设所求抛物线的标准方程为，，由题知．
因为，所以，
因为，所以，所以，
代入方程，得，解得或．
故所求抛物线的标准方程为或．
故答案为：或．
6．（2021·江苏·高二专题练习）已知抛物线：的焦点和准线，过点的直线交于点，与抛物线的一个交点为，且，则__________.
【答案】
【分析】
利用抛物线的定义和线段比例关系，并结合已知条件即可求解.
【详解】
由抛物线：的方程，易知焦点和准线：，
过点作，垂足为，设准线与轴交于点，如下图：

不妨设，故，从而，
又由抛物线定义可知，，
又因为，，
所以，解得，，
所以.
故答案为：.
7．（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线y＝x2的焦点为F，准线为l，M在l上，线段MF与抛物线交于N点，若|MN|＝|NF|，则|MF|＝________.
【答案】
【分析】
过N作准线的垂线NH，垂足为H.根据抛物线的定义可知|NH|＝|NF|，在△MFK中，可得∠FMK＝45°，即得解
【详解】
如图，过N作准线的垂线NH，垂足为H.根据抛物线的定义可知|NH|＝|NF|，

在Rt△NHM中，|NM|＝|NH|，则∠NMH＝45°.
在△MFK中，∠FMK＝45°，所以|MF|＝|FK|.
而|FK|＝1.所以|MF|＝.
故答案为：
8．（2021·全国·高三专题练习）已知动圆过定点，且在轴上截得的弦长为，求动圆圆心的轨迹的方程.
【答案】
【分析】
设圆心，过点作 轴，垂足为，利用垂径定理可得，又，利用两点间的距离公式即可得出；
【详解】
解：如图设圆心，，圆与轴交于、两点，过点作轴，垂足为，则，
，
，化为；
即动圆圆心的轨迹的方程为

9．（2021·江苏省阜宁中学高二月考）已知,是抛物线上的点.
（1）若点在其准线上的投影为，求的最小值；
（2）求过点且与抛物线有且仅有一个公共点的直线的方程.
【答案】（1）； （2）或或.
【分析】
（1）根据抛物线的定义得到 ，得出，结合点三点共线时，即可求解；
（2）①当过点的直线斜率不存在时，直线方程为，满足题意；②当过点的直线斜率存在时，设直线方程为，联立方程组，结合二次函数的性质，即可求解.
【详解】
（1）由抛物线，可得其焦点为，如图所示，
根据抛物线的定义，可得，所以，
当点三点共线时，等号成立，
又由，所以，即的最小值为.

（2）①当过点的直线斜率不存在时，直线方程为，
此时直线与抛物线只有一个交点，满足题意；
②当过点的直线斜率存在时，设直线方程为，
联立方程组，整理得，
当时，方程可只有一解，此时直线方程为；
当时，令，解得，
所以直线方程为.
综上可得，直线方程为或或.