专题15 圆锥曲线中的范围、最值问题（课时训练）-2023-2024学年高二数学上学期精品讲义（人教A版）

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专题15 圆锥曲线中的范围、最值问题
A组 基础巩固
1．（2021·重庆八中高二月考）已知椭圆，直线，则椭圆C上的点到直线l距离的最大值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·全国·高二课时练习）如图，椭圆的长轴为，椭圆的短轴为，且与的离心率相同，直线与，相交于四点，这四点按纵坐标从大到小依次为，，，，若，为坐标原点，则实数的值为（ ）

A． B． C． D．
3．（2021·天津外国语大学附属外国语学校高二期中）椭圆的焦点为F1、F2，点P为椭圆上一动点，当∠F1PF2为钝角时，点P的横坐标的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2021·江西·南昌市豫章中学高三开学考试（文））如图：在椭圆中有一内接矩形（四个顶点都在椭圆上），A点在第一象限内．当内接矩形的面积最大时，点A的坐标是（ ）

A． B．
C． D．
5．（2021·广东广州·高三月考）已知点在圆：上，椭圆：的右焦点为，点在椭圆上，且圆上的所有点均在椭圆外，若的最小值为，且椭圆的长轴长恰与圆的直径长相等，过点作圆的切线，则切线斜率为（ ）
A． B． C． D．
6．（2020·江西·赣州市第一中学高二月考（文））已知点分别是椭圆的左、右焦点，是此椭圆上的动点，则最小值是（ ）
A．6 B．4 C． D．
7．（2020·贵州·安顺经济技术开发区大洋实验学校高二期中（文））如图，已知椭圆的左焦点为F，O为坐标原点，设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，求点G横坐标的取值范围（ ）

A．[-1，1] B． C． D．(-1，0)
8．（2020·浙江·余姚中学高二期中）已知椭圆的焦点，过点引两条互相垂直的两直线、，若为椭圆上任一点，记点到、的距离分别为、，则的最大值为（ ）
A．2 B． C． D．
9．（2019·全国·高三专题练习（文））如图，点、分别是椭圆的长轴的左、右端点，为椭圆的右焦点，直线的方程为，且．设是椭圆长轴上的一点，到直线的距离等于，求椭圆上的点到点的距离的最小值为（ ）．

A． B． C． D．
10．（2020·浙江丽水·高二课时练习）点、为椭圆长轴的端点，、为椭圆短轴的端点，动点满足，记动点的轨迹为曲线，若曲线上两点、满足面积的最大值为8，面积的最小值为1，则椭圆的离心率为
A． B． C． D．
11．（2020·福建省福州第一中学高三月考（理））已知椭圆的右焦点为，点是椭圆上任意一点，点，若的周长的最大值是，则椭圆的离心率是______.
12．（2021·江苏省响水中学高二月考）已知椭圆的离心率是，左、右焦点分别为，，点，在线段的垂直平分线上．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)如果圆被椭圆所覆盖，求圆的半径的最大值．

13．（2021·全国·高三课时练习）已知椭圆C：的离心率为，焦距为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若斜率为的直线l与椭圆C交于P，Q两点（点P，Q均在第一象限），O为坐标原点，若与Q关于x轴对称，求证：．


B组 能力提升
14．（2018·四川攀枝花·高二期末（文））下列说法正确的是
①设某大学的女生体重与身高具有线性相关关系，根据一组样本数据，用最小二乘法建立的线性回归方程为 ，则若该大学某女生身高增加，则其体重约增加；
②关于的方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；
③过定圆上一定点作圆的动弦，为原点，若，则动点的轨迹为椭圆；
④已知是椭圆的左焦点，设动点在椭圆上，若直线的斜率大于，则直线（为原点）的斜率的取值范围是.
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④
15．（2016·四川成都·高二期中（理））已知椭圆，过点的直线与椭圆交于不同两点（在之间），有以下四个结论：
①若，则的取值范围是；
②若是椭圆的右顶点，且的角平分线是轴，则直线的斜率为；
③若以为直径的圆过原点，则直线的斜率为；
④若，椭圆变成曲线，点变成，曲线与轴交于点，则直线与的交点必在一条定直线上.
其中正确的序号是________.
16．（2021·上海市进才中学高三期中）已知椭圆：的左、右焦点分别为、，上顶点为A，，长轴的长为4.过右焦点的直线l与椭圆交于M、N两点（非长轴端点）.

（1）求椭圆的方程；
（2）若直线l过椭圆的上顶点A，求的面积；
（3）延长MO（O为坐标原点）交椭圆C于P点，求面积的最大值，并求此时直线l的方程.







17．（2021·重庆八中高二期中）已知椭圆的离心率为，设是椭圆C上的一动点，以M为圆心作一个半径的圆，过原点作此圆的两条切线分别与椭圆C交于点P､Q，若存在圆M与两坐标轴都相切.
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线，的斜率都存在，且分别记为，.求证：为定值；
（3）探究是否为定值？若是，则求出的最大值；若不是，请说明理由.

18．（2021·上海·上外浦东附中高三月考）如图，过椭圆的左右焦点分别作长轴的垂线交椭圆于，将两侧的椭圆弧删除再分别以为圆心，线段的长度为半径作半圆，这样得到的图形称为“椭圆帽”．夹在之间的部分称为椭圆帽的椭圆段，夹在两侧的部分称为“椭圆帽”的圆弧段已知左右两个圆弧段所在的圆方程分别为．

（1）求椭圆段的方程；
（2）已知直线l过点与“椭圆帽”的交于两点为M，N，若，求直线l的方程；
（3）已知P为“椭圆帽”的左侧圆弧段上的一点，直线l经过点，与“椭圆帽”交于两点为M，N，若，求的取值范围．

19．（2021·重庆市育才中学高三月考）设椭圆（）上的任意一点动点，上顶点为A.
（1）当上顶点A坐标为，离心率时，求的最大值；
（2）过点作圆的两条切线，切点分别为和，直线与轴和轴的交点分别为和，求面积的最小值.






20．（2021·全国·高二课时练习）如图，已知直线AB为椭圆C1：+y2＝1与抛物线C2：y2＝2px（p＞0）的公切线，其中点A，B分别在C1，C2上，线段OB交C1于点P．

（1）求|OP|的取值范围；
（2）记ABP的面积为S，求S的最小值．