专题16 圆锥曲线中的定值、定点、探索性问题（重难点突破）-2023-2024学年高二数学上学期精品讲义（人教A版）

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专题16 圆锥曲线中的定值、定点、探索性问题
一、考情分析
1.点问题在2019全国III理21中出现，虽然以往全国卷高考题中出现较少，是圆锥曲线部分的小概率考点．但是在2019年出现，所以在2020年备考一定引起重视。定点问题是比较常见出题形式，题目属于中等偏简单题目。采取常规平民化解法，计算是暴力美学范畴。化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量．
2.在解析几何中，有些几何量，如斜率、距离、面积、比值等基本量和动点坐标或动线中的参变量无关，这类问题统称为定值问题．对学生逻辑思维能力计算能力等要求很高,这些问题重点考查学生方程思想、函数思想、转化与化归思想的应用．为了提高同学们解题效率,特别是高考备考效率,本文列举了一些典型的定点和定值问题,以起到抛砖引玉的作用．
探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：
① 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；
② 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
解答的关键是认真审题，理清问题与题设的关系，建立合理的方程或函数，利用等量关系统一变量，最后消元得出定值
二、考点梳理
【直线过定点的解题策略】
（1） 如果题设条件没有给出这个定点，那么，我们可以这样思考：由于这个定点对符合要求的一些特殊情况必然成立，那么我们根据特殊情况先找到这个定点，再证明这个点与变量无关.
（2） 直接推理、计算，找出参数之间的关系，并在计算过程中消去部分参数，将直线方程化为点斜式方程，从而得到定点.
（3） 若直线方程含多个参数并给出或能求出参数满足的方程，观察直线方程特征与参数方程满足的方程的特征，即可找出直线所过顶点坐标，并带入直线方程进行检验.注意到繁难的代数运算是此类问题的特点，设而不求方法、整体思想和消元的思想的运用可有效地简化运算.
【重要结论】
1．动直线l过定点问题，设动直线方程(斜率存在)为y＝kx＋t，由题设条件将t用k表示为t＝mk，得y＝k(x＋m)，故动直线过定点(－m，0)．
2．动曲线C过定点问题，引入参变量建立曲线C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点．
3.“弦对定点张直角”-圆锥曲线如椭圆上任意一点P做相互垂直的直线交圆锥曲线于AB，则AB必过定点．
4.只要任意一个限定AP与BP条件（如定值，定值），直线AB依然会过定点
【定值问题的常见类型及解题策略】
(1)求代数式为定值．依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值；
(2)求点到直线的距离为定值．利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得；
(3)求某线段长度为定值．利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得．
【知识拓展】
1.设点是椭圆C：上一定点，点A,B是椭圆C上不同于P的两点，若，则时直线AB斜率为定值，若，则直线AB过定点；
2. 设点是双曲线C：一定点，点A,B是双曲线C上不同于P的两点，若，则时直线AB斜率为定值，若，则直线AB过定点；
3. 设点是抛物线C：一定点，点A,B是抛物线C上不同于P的两点，若，则时直线AB斜率为定值，若，则直线AB过定点；

三、题型突破
重难点题型突破1 定点问题
例1、（2021·山西怀仁·高二期中（理））已知定圆，动圆M过点，且和圆A相切．
（1）求动圆圆心M的轨迹E的方程；
（2）设不垂直于x轴的直线l与轨迹E交于不同的两点P、Q，点．若P、Q、N三点不共线，且．证明：动直线PQ经过定点．
【答案】
（1）.
（2）证明见解析.
【分析】
（1）求出圆A的圆心为，半径为4，设动圆的半径为，通过，，用，根据定义可得到轨迹，进而求解方程即可；
（2）设直线的方程为，联立直线与椭圆方程，，，，，利用韦达定理，表示出，化简得到，直线系方程为，求出定点．
（1）
圆A的圆心为，半径．设动圆M的半径为，
依题意有．由，可知点B在圆A内，从而圆M内切于圆A，
故，即．
所以动点M的轨迹E是以A、B为焦点，长轴长为4的椭圆，其方程为.
（2）
设直线l的方程为，联立消去y得，
，
设，，
则，
于是，
由知．
即
，
得，．
故动直线l的方程为，过定点.
【变式训练1-1】、（2021·湖北荆州·高二期中）已知椭圆：的离心率为，椭圆的短轴长等于4．

（1）求椭圆的标准方程；
（2）设，，过且斜率为的动直线与椭圆交于，两点，直线，分别交：于异于点的点，，设直线的斜率为，直线，的斜率分别为．
①求证：为定值；
②求证：直线过定点.
【答案】
（1）
（2）①证明见解析；②证明见解析
【分析】
（1）根据题意得到方程组，解之即可求出结果；
（2）①设出直线MN的方程，与椭圆联立，结合韦达定理得到，化简整理即可求出结果；
②设PQ的方程，与联立，结合韦达定理求出的值，进而可以求出结果.
（1）
由题意解得
所以椭圆的标准方程为：；
（2）
① 设MN的方程为，与联立得：，
设，，则，

②设PQ的方程为 ，与联立，
设，则

由，即此时，
的方程为，故直线恒过定点.
【点睛】
求定值问题常见的方法有两种：
（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
重难点题型突破2 定值问题
例2．（2021·浙江·模拟预测）已知椭圆，过的直线与椭圆交于两点，过的直线与椭圆交于两点.

（1）当的斜率是时，用表示出的值；
（2）若直线的倾斜角互补，是否存在实数，使为定值，若存在，求出该定值及，若不存在，说明理由.
【答案】
（1）
（2）存在，定值为，理由见解析
【分析】
（1）直线的方程：与椭圆方程联立消可得，再由弦长公式计算即可求解；
（2）当直线的斜率存在时：设，，直线的方程：与椭圆方程联立可得，代入整理，当直线的斜率不存在时，分别计算和，再计算即可求解.
（1）
设直线的方程：，
由可得，
所以，
因此.
（2）
当直线的斜率存在时：
设直线的方程：，，，
由得，
则，，
所以


所以当时，为常数，
当直线的斜率不存在时，，
将代入可得
，
所以，当时，成立，
综上所述：当时，为常数.
【点睛】
思路点睛：解决定值、定点的方法
（1）从特殊入手，求出定值、定点、定线，再证明定值、定点、定线与变量无关；
（2）直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量是此类问题的特点，设而不求的方法、整体思想和消元思想的运用可以有效的简化运算.
【变式训练2-1】、（2021·全国·高三月考（文））设、为椭圆的左、右焦点，焦距为，双曲线与椭圆有相同的焦点，与椭圆在第一、三象限的交点分别记为、两点，若有.
（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆的上顶点为，过点的直线与交于、两点（均异于点），试证明：直线和的斜率之和为定值.
【答案】
（1）
（2）证明见解析
【分析】
（1）求得，利用椭圆和双曲线的定义求得，再利用勾股定理可求得的值，进而可求得的值，由此可求得椭圆的标准方程；
（2）分析可知直线的斜率存在，设直线的方程为，设点、，联立直线与椭圆的方程，列出韦达定理，利用斜率公式可求得直线和的斜率之和.
（1）
解：由双曲线的焦点与椭圆的焦点重合，得，
由双曲线与椭圆的对称性知四边形为矩形，则，
由椭圆和双曲线的定义可得，解得，
由勾股定理可得，即，解得，
则，
因此，椭圆的方程为.
（2）
解：若直线的斜率不存在时，则该直线的方程为，直线与椭圆相切，不合乎题意.
所以，直线的斜率存在，设直线的方程为，即，
设点、，
联立，可得，
，可得，
由韦达定理可得，，

.
【点睛】
方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：
（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
重难点题型突破3 探索性问题
例3．（2021·河北·石家庄二中高二期中）双线曲经过点，一条渐近线的倾斜角为，直线l交双曲线于A、B．
（1）求双曲线C的方程；
（2）若l过双曲线的右焦点，是否存在x轴上的点，使得直线l绕点无论怎样转动，都有成立？若存在，求出M的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】
（1）
（2）存在；定点M的坐标为
【分析】
（1）根据倾斜角得出渐近线的倾斜角，求出渐近线方程，进而得到a,b的关系，再将点的坐标代入双曲线方程，最后解出a,b即可；
（2）考虑直线的斜率存在和不存在两种情况，当直线斜率存在时，设出直线的点斜式方程并代入双曲线方程并化简，进而根据根与系数的关系与得到答案.
（1）
双曲线的渐近线方程为，因为两条渐近线的夹角为，故渐近线的倾斜角为或，所以或．
又，故或（无解），故，
所以双曲线．
（2）
双曲线的右焦点为，当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：，设，，因为，所以，
整理得到…①，
由可以得到，
因为直线l与双由线有两个不同的交点，
故且，
所以．
由题设有①对任意的总成立，
因，
所以①可转化为，
整理得到对任意的总成立，
故，故即所求的定点M的坐标为．
当直线l的斜率不存在时，则，此时或，
此时．
综上，定点M的坐标为．
【点睛】
本题第（2）问是一道常规压轴题，根据向量数量积为0得到两点的坐标关系，然后结合根与系数的关系将式子化简，最后求出答案.
【变式训练3-1】、（2021·浙江·效实中学高二期中）设，为双曲线：（，）的左、右顶点，直线过右焦点且与双曲线的右支交于，两点，当直线垂直于轴时，△为等腰直角三角形．
（1）求双曲线的离心率；
（2）若双曲线左支上任意一点到右焦点点距离的最小值为3，
①求双曲线方程；
②已知直线，分别交直线于，两点，当直线的倾斜角变化时，以为直径的圆是否过轴上的定点，若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．
【答案】
（1）；
（2）①；②定点有两个，
【分析】
（1）由双曲线方程有、、，根据已知条件有，即可求离心率.
（2）①由题设有，结合（1）求双曲线参数，写出双曲线方程即可；
②由题设可设为，，，联立双曲线方程结合韦达定理求，，，，再由、的方程求，坐标，若在为直径的圆上点，由结合向量垂直的坐标表示列方程，进而求出定点坐标.
（1）
由题设，若，且，又△为等腰直角三角形，
∴，即，则又，可得.
（2）
由题设，，由（1）有，则，即，
①由上可知：双曲线方程为.
②由①知：，且直线的斜率不为0，设为，，，
联立直线与双曲线得：，
∴，，则，
∴，
∴直线为；直线为；
∴，，若在为直径的圆上点，
∴，且，
∴，
令，则，
∴，即，
∴或，即过定点.
【点睛】
关键点点睛：第二问的②，设直线为，联立直线与双曲线，应用韦达定理求，，，，进而根据、的方程求，坐标，再由圆的性质及向量垂直的坐标表示求定点坐标.


四、定时训练（30分钟）
1．（2019·新疆·克拉玛依市教育研究所三模（文））已知椭圆过点，焦距长，一直线交椭圆于，两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）若点为轴上一点且=，求证：直线过定点，并求出定点坐标.
【答案】
（1）
（2）证明见解析，定点或
【分析】
（1）根据椭圆定义求出，再根据得到，则椭圆方程即可求出；
（2）当直线的斜率存在时，设直线方为：，和椭圆方程联立，利用韦达定理计算=，可得关系，进而可得直线所过定点，验证当直线的斜率不存在时的情况，最终定点可求出.
（1）
椭圆的两焦点为，由椭圆的定义得：

所以，
椭圆标准方程为；
（2）
当直线的斜率存在时，设直线方为：，代入中，整理得
，设点，
则有
所以，，
，
即，
整理得：，
即或，即或
由得
所以直线方程为：或,所以直线过定点或；
当直线的斜率不存在时，直线的方程为和满足题意，
所以直线过定点或.
2．（2020·新疆·克拉玛依市教育研究所三模（理））已知椭圆C的短轴的两个端点分别为A(0，1)，B(0，)，焦距为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知直线y=m与椭圆C有两个不同的交点M，N，设D为直线AN上一点，且直线BD，BM的斜率之积为，证明：点D在x轴上．
【答案】
（1）
（2）证明见解析
【分析】
（1）直接根据条件得到，根据求出，则椭圆方程可求；
（2）设，则，，．根据条件求出直线和直线的方程，联立方程求出点的纵坐标，再将条件代入即可得出答案.
（1）
由题设，得，所以，即．
故椭圆的方程为；
（2）
设，则，，．
所以直线的斜率为，
因为直线、的斜率的积为，所以直线的斜率为．
直线的方程为，直线的方程为．
联立，解得点的纵坐标为．
因为点在椭圆上，所以，
则，
所以点在轴上．
3．（2021·海南·北京师范大学万宁附属中学高三月考）已知椭圆的离心率为，且过点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点作两条直线分别交椭圆于点，满足直线，的斜率之和为，求证：直线过定点.
【答案】
（1）
（2）证明见解析
【分析】
（1）由离心率，及椭圆过，结合a,b,c的关系，列出方程组求解，即可得椭圆标准方程；
（2）当直线斜率存在时，设，与椭圆C联立，根据韦达定理可得的表达式，结合题干条件，化简整理，可得关系，即可得出直线所过定点，当直线斜率不存在时，检验可知不符合题意.
（1）
由题意可得，，解得：，
所以的标准方程为.
（2）
若直线斜率不存在，设，
则，解得，此时重合，舍去.
若直线斜率存在，设直线，
联立，得，
所以，
由题意，即
化简得
因此
化简得，即
若，则，直线过点，舍去，
所以，即，
所以直线方程为，即
因此直线过点.
4．（2021·新疆·克拉玛依市教育研究所模拟预测（文））已知圆，动圆过点且与圆相切，记动圆圆心的轨迹为曲线．
（1）求曲线的方程；
（2）、是曲线上的两个动点，且，原点到直线的距离是否为定值？若是定值求出定值，若不是，说明理由．
【答案】
（1）
（2）原点到直线的距离为定值
【分析】
（1）分析可知点的轨迹是以、为焦点的椭圆，求出、、的值，结合焦点位置可求得点的轨迹方程；
（2）对直线的斜率是否存在进行分类讨论，设出直线的方程，与椭圆方程联立，由已知条件得出可得出参数间的等量关系，再利用点到直线的距离公式可得出结果.
（1）
解：因为点在圆内，所以，圆内切于圆，
设圆的半径为，则，，
所以点的轨迹是以、为焦点的椭圆，且，，从而，
故点的轨迹的方程为．
（2）
解：证明：设，，
①若直线斜率存在，设直线方程为，
联立，整理得：，
由韦达定理可得，，
因为，所以，即．
化简得：，
即，从而，①．
记原点到直线的距离为，则，
所以，原点到直线的距离为定值；
②若直线斜率不存在，设直线方程为，
联立，解得，，
由，，解得，
即原点到直线的距离为定值．
综上，原点到直线的距离为定值．
【点睛】
方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：
（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．