人教A版（上）第三次月考测试卷（A卷 基础巩固）-2023-2024学年高二数学上学期精品讲义（人教A版）

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高二（上）第三次月考测试卷（A卷 基础巩固）
数 学
考试时间：120分钟 满分：150分
一、单选题：本大题共12小题，每个小题5分，共60分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．过，两点的直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
利用斜率公式可求直线的斜率，从而可求直线的倾斜角.
【详解】
过，两点的直线的斜率为，
设该直线的倾斜角为，则且，故，
故选：C.
2．椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
变形可得椭圆方程为：，根据离心率公式即可求解
【详解】
椭圆方程为，则，所以，所以离心率
故选A
3．已知直线：，圆：，则直线与圆的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定
【答案】A
【分析】
首先求出直线过定点，再判断点与圆的位置关系，即可判断直线与圆的位置关系；
【详解】
解：因为直线的方程为，即，令，解得，即直线过定点，因为，即点在圆：内部，所以直线与圆相交；
故选：A
4．直线：和直线：（）的位置关系是（ ）
A．平行 B．垂直
C．相交但不垂直 D．重合
【答案】B
【分析】
讨论和两种情况，再由斜率关系得出两直线位置关系.
【详解】
当时，直线：与直线：相互垂直；
当时，直线方程可化为，直线方程可化为
因为，所以直线与直线相互垂直
故选：B
5．已知直线的方程为，则（ ）
A．该直线过点，斜率为 B．该直线过点，斜率为
C．该直线过点，斜率为 D．该直线过点，斜率为
【答案】C
【分析】
根据直线的点斜式方程判断可得；
【详解】
解：因为直线方程为，所以直线的斜率为，且当时，，故直线过点
故选：C
6．如图，“天宫三号”的运行轨道是以地心（地球的中心）为其中一个焦点的椭圆．已知它的近地点（离地面最近的点）距地面千米，远地点（离地面最远的距离）距离地面千米，并且，，在同一条直线上，地球的半径为千米，则“天宫三号”运行的轨道的短轴长为（ ）千米

A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
根据题设条件可求椭圆的长半轴长和焦距的关系式，从而可求短半轴长.
【详解】
由题设条件可得，，
设椭圆的半长轴长为，半焦距为，则，，
故短半轴长为，
所以短轴长为，
故选：D.
7．已知命题，，则该命题的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【分析】
根据特称命题的否定是全称命题求解即可.
【详解】
因为特称命题的否定是全称命题，先变量词再否定结论，
所以命题，的否定是，，
故选：C.
8．已知直线，和平面满足，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】
利用线面垂直的性质及举例说明命题：“若，则”和“若，则”的互逆的两个命题的真假而得解.
【详解】
因直线，和平面满足，
时，有，此时不成立，即，
，必有，因平面的垂线垂直于平面内的任意直线，即，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B
9．命题“”的否定是
A．不存在 B．
C． D．
【答案】D
【详解】
命题的否定是
故选D
10．已知点M（4，t）在抛物线上，则点M到焦点的距离为（ 　）
A．5 B．6
C．4 D．8
【答案】A
【详解】
由题意得抛物线定义得，焦点坐标为点，M到焦点的距离为 ,而 ,所以点M到焦点的距离为,选A.
11．已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上.若点满足且，则的最小值为
A．3 B． C． D．1
【答案】C
【详解】
根据题意得：,
由，得，所以.
又因为.
所以.
故选C.
12．已知点为椭圆上一点，，分别为椭圆C的左右焦点，当时，，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由P在椭圆上求出P的横坐标，利用焦半径公式及余弦定理得到关于a，c的方程，求解可得椭圆的离心率.
【详解】
由在椭圆上，且，可得，
不妨取，
则，.
在中，则，
即.
∴，则.
故选：A





二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13．圆被轴截得的弦长为________．
【答案】4
【分析】
利用垂径定理可求弦长.
【详解】
由题设可得圆心坐标为，半径为，
故所求弦长为，
故答案为：4
14．过点，且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程为________．
【答案】
【分析】
由已知椭圆焦点在轴上，且，设它的标准方程为，由题中条件，列出方程组求解，即可得出结果.
【详解】
因为所求椭圆与椭圆的焦点相同，
所以其焦点在轴上，且.
设它的标准方程为，
因为，且，故①，
又点在所求椭圆上，
所以②
由①②得，，
所以所求椭圆的标准方程为，
故答案为：
15．若命题“存在实数x，使”为假命题，则实数a的取值范围为__________.
【答案】
【分析】
根据特称命题的性质将条件转化为求一元二次不等式的参数求解即可.
【详解】
解：命题“存在实数x，使”为假命题，
则此命题的否定为：，有”成立，
即原命题的否定为真命题，即解：，有”成立的a的范围，
则，
解得：，
即实数a的取值范围为.
故答案为：.
16．双曲线的离心率为，点，是双曲线上关于原点对称的两点，点是双曲线上异于点，的动点，若直线，的斜率都存在且分别为，则的值为___________．
【答案】
【分析】
由双曲线离心率求出，设出点A，M的坐标并代入双曲线方程相减，再结合斜率坐标公式即可得解.
【详解】
设双曲线半焦距c，由题意知，
设，，根据对称性可得，
则，，两式相减得，即，
由斜率坐标公式得，
所以的值为.
故答案为：

三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知直线：（）．
（1）若直线在轴上的截距为，求实数的值；
（2）若直线与直线：平行，求直线与之间的距离．
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）由题意利用直线在坐标轴上的截距的定义，求得 的值．
（2）利用两条直线平行的性质求得的值，再利用两条平行直线间的距离公式，计算求得结果．
（1）
直线：，令，，则
（2）
直线与直线：平行，则，得
当时，直线：，即满足条件
此时直线与之间的距离为
18．已知椭圆：（）的焦距为，离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线与椭圆交于，两点，是否存在使得，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】
（1）
（2）不存在，理由见解析
【分析】
（1）根据椭圆的焦距及离心率求出即可得出方程；
（2）设,联立直线与椭圆方程，根据根与系数关系求出，，再根据建立方程即可求解.
（1）
由题意，
，，
，
椭圆的标准方程为
（2）
设，
由消元得：，
因为过点，且在椭圆内，
所以，
，
，
由可得，
即，，
故无解.
即不存在，使得.
19．（1）两个定点的距离为，点到这两个定点的距离的平方和为，建立适当坐标系，求点的轨迹方程．
（2）过点的直线与圆：相交于，两点，求弦中点的轨迹方程．
【答案】（1）（2）
【分析】
（1）建立坐标系，设动点坐标，由化简即可求解；
（2）设弦中点，根据建立方程，化简求解即可.
【详解】
(1)以两定点所在直线为x轴，定点所在线段的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，
设两定点分别为, 则，
设，
由,
可得，
化简可得：，
即点的轨迹方程为.
(2)设弦中点，
由圆：可得，
即圆心，
设,
由题意可得,
所以,
所以，
即，
故弦中点的轨迹方程为.
20．已知，命题方程表示焦点在轴上的椭圆；命题方程表示双曲线.若为真命题，为假命题，求实数的取值范围.
【答案】
【分析】
先分别求解命题为真时的的范围，然后结合为真命题，为假命题，判断出命题是一真一假，从而可求答案.
【详解】
当为真命题时，有，解得．
当为真命题时，有，即，解得．
∵为真命题，为假命题，、一真一假．
当真假时，则有或，此时解集为．
当假真时，则有或，解得或．
综上，实数的取值范围为．
21．已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上，且．
（1）求抛物线的方程及点的坐标．
（2）已知直线与抛物线相交于不同两点、，为坐标原点，若，求证：直线恒过某定点，并求出该定点的坐标．
【答案】（1）；；（2）证明见解析；．
【分析】
（1）根据抛物线的定义先求解，然后可得抛物线的方程及点的坐标；
（2）设出直线的方程，和抛物线联立，结合韦达定理和，可以证明直线恒过某定点，并能求出定点的坐标．
【详解】
（1），解得，因此，抛物线的方程．
因为点在抛物线上，所以，可得．
（2）方法一：
当直线的斜率存在时，显然斜率，
设直线的方程为，变形得，
与抛物线的方程联立，得，
设，，则，
因为，所以，
即，
所以，此时，直线的方程为，
此时直线恒过定点．
当直线的斜率不存在时，设直线的方程为，，，
由题意知：，即，又，
所以，此时直线的方程为，也过定点．
因此，直线恒过定点．
方法二：
当直线的斜率存在时，显然斜率，设直线的方程为，与抛物线的方程联立，得，
设，，则
因为，所以，
即，所以，
当时，，此时直线的方程为，直线恒过定点，、在轴两侧，符合题意；
所以时，，此时直线的方程为，直线恒过定点，、在轴同侧，不符合题意．
因此，当直线的斜率存在时，直线恒过定点．
当直线的斜率不存在时，设直线的方程为，，，
由题意知：，即，
又，所以，此时直线的方程为．因此，直线恒过定点．
方法三：
由题意知，直线的斜率不为．设直线的方程为，
与抛物线的方程联立，得，
设，，则
因为，所以，
即
所以，满足，于是直线的方程为，故直线恒过轴上一定点．
方法四：
由题意知，直线的斜率不为．设直线的方程为，
与抛物线的方程联立，得，
设，，则
因为，所以，即
所以，满足，于是直线的方程为，故直线恒过轴上一定点．
22．已知椭圆的一个焦点为，左､右顶点分别为，经过点的直线与椭圆交于两点.
（1）求椭圆方程；
（2）记与的面积分别为和，求的最大值.
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）根据已知条件求出，即可写出椭圆的标准方程；
（2）设出直线方程，与椭圆的方程联立，然后用韦达定理及均值不等式求面积最值问题．
【详解】
（1）因为为椭圆的焦点，所以，
又，所以，所以椭圆方程为．
（2）方法一：当直线斜率不存在时，直线方程为，
此时与的面积相等，．
当直线斜率存在时，显然其斜率不为，设直线的方程，
设，，则异号．由，得，
显然，且，
此时．
由，可得，
当且仅当，即时等号成立．
所以的最大值为
方法二：由题设，直线不可能与轴重合，
可设直线，，，则，异号．
由，得，
显然，且，
此时，
若，可得，
当且仅当，即时等号成立．
若，则，此时直线的方程为，
与的面积相等，所以的最大值为．
【点睛】
（1）解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．
（2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．