吉林省长春市2020届高三质量监测（四模考试）数学（文科）试题 Word版含解析

这是一份吉林省长春市2020届高三质量监测（四模考试）数学（文科）试题 Word版含解析，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

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长春市 2020 届高三质量监测（二） 文科数学
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
解一元二次不等式求得集合，由此求得.
【详解】由解得，所以，所以.
故选：B
【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查集合交集的概念和运算，属于基础题.
2. 若（），，则（ ）
A. 0或2 B. 0 C. 1或2 D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】
利用复数的模的运算列方程，解方程求得的值.
【详解】由于（），，所以，解得或.
故选：A
【点睛】本小题主要考查复数模的运算，属于基础题.
3. 下列与函数定义域和单调性都相同的函数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
分析函数的定义域和单调性，然后对选项逐一分析函数的定义域、单调性，由此确定正确选项.
【详解】函数的定义域为，在上为减函数.
A选项，的定义域为，在上为增函数，不符合.
B选项，的定义域为，不符合.
C选项，的定义域为，在上为减函数，符合.
D选项，的定义域为，不符合.
故选：C
【点睛】本小题主要考查函数的定义域和单调性，属于基础题.
4. 已知等差数列中，若，则此数列中一定为0的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
将已知条件转化为的形式，由此确定数列为的项.
【详解】由于等差数列中，所以，化简得，所以为.
故选：A
【点睛】本小题主要考查等差数列的基本量计算，属于基础题.
5. 若单位向量、夹角为，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用平面数量积的定义和运算性质计算出的值，进而可得出的值.
【详解】由于位向量、夹角为，则，
，因此，.
故选：C.
【点睛】本题考查利用平面向量数量积计算平面向量的模，考查计算能力，属于基础题.
6. 《普通高中数学课程标准（2017版）》提出了数学学科的六大核心素养.为了比较甲、乙两名高二学生的数学核心素养水平，现以六大素养为指标对二人进行了测验，根据测验结果绘制了雷达图（如图，每项指标值满分为5分，分值高者为优），则下面叙述正确的是（ ）

A. 甲的数据分析素养高于乙
B. 甲的数学建模素养优于数学抽象素养
C. 乙的六大素养中逻辑推理最差
D. 乙的六大素养整体平均水平优于甲
【答案】D
【解析】
分析】
根据雷达图对选项逐一分析，由此确定叙述正确的选项.
【详解】对于A选项，甲的数据分析分，乙的数据分析分，甲低于乙，故A选项错误.
对于B选项，甲的建模素养分，乙的建模素养分，甲低于乙，故B选项错误.
对于C选项，乙的六大素养中，逻辑推理分，不是最差，故C选项错误.
对于D选项，甲的总得分分，乙的总得分分，所以乙的六大素养整体平均水平优于甲，故D选项正确.
故选：D
【点睛】本小题主要考查图表分析和数据处理，属于基础题.
7. 命题：存在实数，对任意实数，使得恒成立；：，为奇函数，则下列命题是真命题的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
分别判断命题和的真假性，然后根据含有逻辑联结词命题的真假性判断出正确选项.
【详解】对于命题，由于，所以命题为真命题.对于命题，由于，由解得，且，所以是奇函数，故为真命题.所以为真命题. 、、都是假命题.
故选：A
【点睛】本小题主要考查诱导公式，考查函数的奇偶性，考查含有逻辑联结词命题真假性的判断，属于基础题.
8. 已知函数，则函数的零点个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】
对分两种情况求方程的根的个数即得解.
【详解】当时，或，都满足；
当时，，
所以方程没有实数根.
综合得函数的零点个数是2.
故选：B
【点睛】本题主要考查函数的零点的个数的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.
9. 已知为锐角，且，则角（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
对先化切为弦，再利用和角差角的正余弦公式化简即得解.
【详解】由题得为锐角，∴
∴.
因为为锐角，∴.
故选：C
【点睛】本题主要考查同角的三角函数关系和和角差角的正余弦公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
10. 若双曲线（，）的一条渐近线被圆截得的弦长为2，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
求得双曲线的一条渐近线方程，求得圆心和半径，运用点到直线的距离公式和弦长公式，可得，的关系，即可得到所求的离心率．
【详解】双曲线的一条渐近线方程设为，
由题得圆的圆心为，半径，
可得圆心到渐近线的距离为，
则，化为，所以
，
故选：．
【点睛】本题主要考查双曲线的方程和性质，考查直线和圆的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
11. 已知数列的前项和为，且，（），则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由题得再利用累乘法求出，即得.
【详解】由题得（）
所以（）
由题得，所以（）.
所以
所以.
所以.
故选：B
【点睛】本题主要考查数列通项的求法，考查数列前项和与的关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
12. 在正方体中，点，，分别为棱，，的中点，给出下列命题：①；②；③平面；④和成角为.正确命题的个数是（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】
建立空间直角坐标系，利用向量的方法对四个命题逐一分析，由此得出正确命题的个数.
【详解】设正方体边长为，建立空间直角坐标系如下图所示，，.
①，，所以，故①正确.
②，，不存在实数使，故不成立，故②错误.
③，，，故平面不成立，故③错误.
④，，设和成角为，则，由于，所以，故④正确.
综上所述，正确的命题有个.
故选：C

【点睛】本小题主要考查空间线线、线面位置关系向量判断方法，考查运算求解能力，属于中档题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分.
13. 若满足约束条件，则的最大值为__________．
【答案】4
【解析】
【详解】作出可行域如图所示：

由，解得.
目标函数，即为，平移斜率为-1的直线，经过点时，.
14. 曲线在处的切线与直线垂直，则________.
【答案】1
【解析】
【分析】
先求出切线的斜率解方程即得解.
【详解】由题得
所以.
故答案为：1
【点睛】本题主要考查导数的几何意义，考查两直线垂直的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
15. 在半径为2的圆上有，两点，且，在该圆上任取一点，则使得为锐角三角形的概率为________.
【答案】
【解析】
【分析】
如图，当点P在劣弧CD上运动时，为锐角三角形.求出劣弧CD的长，再利用几何概型的概率公式求解.
【详解】
如图，四边形ABCD是矩形，当点P在劣弧CD上运动时，为锐角三角形.
由于OD=OC=CD=2，所以,
所以劣弧CD的长为，
由几何概型的概率公式得.
故答案为：
【点睛】本题主要考查几何概型的概率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
16. 三棱锥的顶点都在同一个球面上，满足过球心，且，则三棱锥体积的最大值为________；三棱锥体积最大时，平面截球所得的截面圆的面积为________.
【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】
由于是球的直径，故当时，三棱锥体积取得最大值，由此求得体积的最大值.求得三棱锥体积最大时，等边三角形的外接圆半径，由此求得等边三角形的外接圆的面积，也即求得平面截球所得的截面圆的面积.
【详解】依题意可知，是球的直径，所以当，即时，三棱锥体积取得最大值为.此时，即三角形是等边三角形，设其外接圆半径为，由正弦定理得，所以等边三角形的外接圆的面积，也即平面截球所得的截面圆的面积为.
故答案为：(1). (2).

【点睛】本小题主要考查几何体外接球的有关计算，考查球的截面面积的计算，考查空间想象能力，属于中档题.
三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第 17~21 题为必考 题，每个试题考生都必须作答. 第 22~23 题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共 60 分.
17. 已知在的三个内角分别为、、，，.
（1）求的大小；
（2）若，求长.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）由题得，再解方程即得解；（2）求出，再利用正弦定理得解.
【详解】（1）由题得，
所以，所以，
解得，，∴.
（2）
由正弦定理得.
【点睛】本题主要考查同角的三角函数关系，考查和角的正弦公式的应用，考查正弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
18. 2019年入冬时节，长春市民为了迎接2022年北京冬奥会，增强身体素质，积极开展冰上体育锻炼.现从速滑项目中随机选出100名参与者，并由专业的评估机构对他们的锻炼成果进行评估打分（满分为100分）并且认为评分不低于80分的参与者擅长冰上运动，得到如图所示的频率分布直方图：

（1）求的值；
（2）将选取的100名参与者的性别与是否擅长冰上运动进行统计，请将下列列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率在不超过0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系？

擅长
不擅长
合计
男性

30

女性


50
合计


100


0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001

2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828

（，其中）
【答案】（1）（2）填表见解析；不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系
【解析】
【分析】
（1）利用频率分布直方图小长方形的面积和为列方程，解方程求得的值.
（2）根据表格数据填写列联表，计算出的值，由此判断不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系.
【详解】（1）由题意，解得.
（2）由频率分布直方图可得不擅长冰上运动的人数为.
完善列联表如下：

擅长
不擅长
合计
男性
20
30
50
女性
10
40
50
合计
30
70
100

，
对照表格可知，，
不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系.
【点睛】本小题主要考查根据频率分布直方图计算小长方形的高，考查列联表独立性检验，属于基础题.
19. 如图，直三棱柱中，底面为等腰直角三角形，，，，分别为，的中点，为棱上一点，且.

（1）求证；
（2）求点到平面的距离.
【答案】（1）证明见解析（2）
【解析】
分析】
（1）先证明平面MNG, MG即得证；（2）设与交于点，先求出，再求出即得解.
【详解】（1）由题意平面平面，因为,
所以平面,因为平面,
所以,因为,
平面,,
所以平面MNG, 因为MG平面MNG,
所以MG.
（2）设与交于点，

在直角△中，,
在直角中，,所以，
则，
因为平面MNG,所以就是到平面的距离，
可知到平面的距离为.
【点睛】本题主要考查直线平面位置关系的证明，考查空间点到平面距离的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
20. 已知椭圆：（）的左、右顶点分别为、，焦距为2，点为椭圆上异于、的点，且直线和的斜率之积为.
（1）求的方程；
（2）设直线与轴的交点为，过坐标原点作交椭圆于点，试证明为定值，并求出该定值.
【答案】（1）（2）证明见解析；该定值为
【解析】
【分析】
（1）由已知得，且，即得椭圆的标准方程；（2）设直线的方程为：，求出，，再计算得其值为定值.
【详解】（1）已知点在椭圆：（）上，
可设，即，
又，
且，可得椭圆的方程为.
（2）设直线的方程为：，则直线的方程为.
联立直线与椭圆的方程可得：，
由，可得，
联立直线与椭圆的方程可得：，
即，即.
【点睛】本题主要考查椭圆标准方程的求法，考查椭圆中的定值问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
21. 已知函数.
（1）若为的极值点，且（），求的值.
（2）求证：当时，有唯一的零点.
【答案】（1）（2）证明见解析
【解析】
【分析】
（1）由题得，，对两式消元因式分解即得的值；（2）由题得，再分析和的图象即得当时，有唯一的零点.
【详解】（1）由题得，
由题可知，所以，
所以（i）
因为，所以.即（ii）
（ii）-（i）得，
所以.
（2）令，则，
令，，
可知在和上单调递增，在上单调递减，
又，；
为过点的直线，又，则，
因此有且只有一个交点，
即有唯一的零点.
【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的零点和极值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
（二）选考题：共 10 分，请考生在 22、23 题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分.
选修 4-4 坐标系与参数方程
22. 已知曲线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数）.
（1）求和的普通方程；
（2）过坐标原点作直线交曲线于点（异于），交曲线于点，求的最小值.
【答案】（1）曲线的普通方程为：；曲线的普通方程为：（2）
【解析】
【分析】
（1）消去曲线参数方程中的参数，求得和的普通方程.
（2）设出过原点的直线的极坐标方程，代入曲线的极坐标方程，求得的表达式，结合三角函数值域的求法，求得的最小值.
【详解】（1）曲线的普通方程为：；
曲线的普通方程为：.
（2）设过原点的直线的极坐标方程为；
由得，所以曲线的极坐标方程为
在曲线中，.
由得曲线的极坐标方程为，所以
而到直线与曲线的交点的距离为，
因此，
即的最小值为.
【点睛】本小题主要考查参数方程化为普通方程，考查直角坐标方程化为极坐标方程，考查极坐标系下距离的有关计算，属于中档题.
23. 已知函数.
（1）若，解关于的不等式；
（2）若当时，恒成立，求实数取值范围.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）利用零点分段法将表示为分段函数的形式，由此求得不等式的解集.
（2）对分成三种情况，求得的最小值，由此求得的取值范围.
【详解】（1）当时，，
由此可知，的解集为
（2）当时，
的最小值为和中的最小值，其中，.所以恒成立.
当时，，且，不恒成立，不符合题意.
当时，，
若，则，故不恒成立，不符合题意；
若，则，故不恒成立，不符合题意.
综上，.
【点睛】本小题主要考查绝对值不等式解法，考查根据绝对值不等式恒成立求参数的取值范围，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.