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人教B版（2019）必修第二册《第五章 概率与统计》单元测试（含解析）
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人教B版（2019）必修第二册《第五章 概率与统计》单元测试
一 、单选题（本大题共8小题，共40分）
1.（5分）根据国家统计局数据显示，我国2010～2019年研究生在校女生人数及所占比重如图所示，则下列说法错误的是( )
年份
2010
2011
2012
2013
2014
2015
2016
2017
2018
2019
比重
47.9
48.5
49.0
49.0
49.2
49.7
50.6
48.4
49.6
50.6
A. 2010～2019年，我国研究生在校女生人数逐渐增加
B. 可以预测2020年，我国研究生在校女生人数将不低于144万
C. 2017年我国研究生在校女生人数少于男生人数
D. 2019年我国研究生在校总人数不超过285万
2.（5分）从装有2个红球和2个白球的袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( )
A. 至少有1个红球，都是红球 B. 恰有1个红球，恰有1个白球
C. 至少有1个红球，都是白球 D. 恰有1个白球，恰有2个白球
3.（5分）某中学高一年级有学生600人，高二年级有学生750人，高三年级有学生690人，现用分层抽样的方法从这三个年级学生中抽取68人进行某项研究，则应从高二年级抽取的学生的人数为( )
A. 20 B. 23 C. 25 D. 29
4.（5分）某中学共有1000名学生，其中高一年级350人，该校为了了解本校学生视力情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽出一个容量为100的样本进行调查，则应从高一年级抽取的人数为( )
A. 20 B. 25 C. 30 D. 35
5.（5分）容量为100的样本数据，按从小到大的顺序分为8组，如下表：
组号
1
2
3
4
5
6
7
8
频数
10
13
x
14
17
13
12
9
若要在第3组和第7组中用分层抽样的方法，抽取8个数据，则第3组中应抽取( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
6.（5分）考虑掷硬币实验，设A=“正面朝上”，则下列论述正确的是( )
A. 掷2次硬币，事件“一个正面，一个反面”发生的概率为13
B. 掷10次硬币，事件A发生的次数一定是5
C. 重复掷硬币，事件A发生的频率等于事件A发生的概率
D. 当投掷次数足够多时，事件A发生的频率接近0.5
7.（5分）已知函数f(x)=logax+log1a8(a>0且a≠1)，在集合{14,13,12,3,4,5,6,7}中任取一个数为a，则f(3a+1)>f(2a)>0的概率为 ( )
A. 14 B. 38 C. 12 D. 34
8.（5分）河图是上古时代神话中伏羲通过黄河中浮出龙马身上的图案，通过观察画出的“八卦”，龙马身上的图案就叫做“河图”.把一到十分成五组，其口诀：一六共宗，为水居北；二七同道，为火居南；三八为朋，为木居东；四九为友，为金居西；五十同途，为土居中．现从这十个数中随机抽取两个数，则这两个数不在同组的概率是( )
A. 19 B. 59 C. 79 D. 89
二 、多选题（本大题共5小题，共25分）
9.（5分）某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，其相应产品数量之比为2：5：3，现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本，样本中A型号产品有16件，则( )
A. 此样本的容量n为20 B. 此样本的容量n为80
C. 样本中B型号产品有40件 D. 样本中B型号产品有24件
10.（5分）设一组样本的统计数据为：x1，x2，…，xn，其中n∈N*，x1，x2，…，xn∈R.已知该样本的统计数据的平均数为x-，方差为s2，设函数f(x)=i=1n(xi-x)2，a∈R.则下列说法正确的是()
A. 设b∈R，则x1+b，x2+b，…，xn+b，的平均数为x-+b
B. 设a∈R，则ax1，ax2，…，axn的方差为as2
C. 当x=x-时，函数f(x)有最小值ns2
D. f(x1)+f(x2)+…+f(xn)
在统计学中，同比是指本期统计数据与上一年同期统计数据相比较，例如2016年第二季度与2015年第二季度相比较；环比是指本期统计数据与上期统计数据相比较，例如2015年第二季度与2015年第一季度相比较.据上述信息，下列结论中正确的是()
A. 2015年第三季度环比有所降低 B. 2016年第一季度同比有所降低
C. 2017年第三季度同比有所提高 D. 2018年第一季度环比有所提高
12.（5分）气象意义上从春季进入夏季的标志为：“连续5天每日平均温度不低于22℃”.现重庆市内北碚区、渝北区、渝中区三地连续5天日平均温度的记录数据(数据都是正整数，单位℃)满足以下条件：
北碚区：5个数据的中位数是24，众数是22；
渝北区：5个数据的中位数是27，平均数是24；
渝中区：5个数据有一个是32，平均数是26，方差是10.2
则下列说法正确的是( )
A. 进入夏季的地区至少有两个 B. 渝中区肯定进入了夏季
C. 不能肯定渝北区进入夏季 D. 不能肯定北碚区进入夏季
13.（5分）已知一组数据按从小到大的顺序排列，得到-1，0，4，x，7，14的中位数为5，则下列有关数据正确的是( )
A. 平均数为5 B. 方差为743 C. 极差为15 D. 最大值为7
三 、填空题（本大题共5小题，共25分）
14.（5分）某校高一(1)班有学生36人，高一(2)班有学生42人，现在要用分层抽样的方法从两个班抽出13人参加军训表演，则高一(2)班被抽出的人数是______．
15.（5分）某中学为了了解全校学生的阅读情况，在全校采用随机抽样的方法抽取一个样本进行问卷调查，并将他们在一个月内去图书馆的次数进行了统计，将学生去图书馆的次数分为5组：[0,4)，[4,8)，[8,12)，[12,16)，[16,20]，制作了如图所示的频率分布表，则抽样总人数为______．
分组
人数
频率
[0,4)
3
[4,8)
9
[8,12)
9
[12,16)
0.2
[16,20]
0.1
16.（5分）某单位职工分为青年、中年、老年三类，且青年、中年、老年职工的人数之比为4：3：5.从中抽取72人作为样本，则该单位青年职工被抽取的人数为 ______人．
17.（5分）从集合{2,3,4,5}中随机抽取一个数a，从集合{4,6,8}中随机抽取一个数b，则向量m→=(a,b)与向量n→=(-2,1)垂直的概率为______．
18.（5分）一组数据x1，x2，…，x5的平均数为5，x12，x22，…，x52的平均数为33，则数据x1，x2，…，x5的方差为_________．
四 、解答题（本大题共5小题，共60分）
19.（12分）某大学餐饮中心为了了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如下表所示：
喜欢甜品
不喜欢甜品
合计
南方学生
60
20
80
北方学生
10
10
20
合计
70
30
100
(1)根据表中数据，问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”；
(2)已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至多有1人喜欢甜品的概率．
附：K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
P(K2>k0)
0.10
0.05
0.01
0.005
k0
2.706
3.841
6.635
7.879
20.（12分）某市为缓解交通压力，计划在某路段实施“交通限行”，为了解公众对该路段“交通限行”的态度，某机构从经过该路段的人员中随机抽查了40人进行调查，将调查情况进行整理，制成如表：
年龄(岁)
[15,30)
[30,45)
[45,60)
[60,75)
人数
12
13
8
7
赞成人数
5
7
x
3
(Ⅰ)如果经过该路段人员对“交通限行”的赞成率为0.45，则x的值为；
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，若从年龄在[45,60),[60,75)两组赞成“交通限行”的人中再随机选取2人进行进一步的采访，记选中的2人至少有1人来自[60,75)年龄段为事件M，求事件M的概率．
21.（12分）襄阳市某优质高中为了选拔学生参加“全国中学生英语能力竞赛(NEPCS)”，先在本校进行初赛(满分150分)，若该校有100名学生参加初赛，并根据初赛成绩得到如图所示的频率分布直方图．
(1)根据频率分布直方图，计算这100名学生参加初赛成绩的中位数；
(2)该校推荐初赛成绩在110分以上的学生代表学校参加竞赛，为了了解情况，在该校推荐参加竞赛的学生中随机抽取2人，求选取的两人的初赛成绩在频率分布直方图中处于不同组的概率．
22.（12分）某公司为了解共享单车的使用情况，随机问卷50名使用者，然后根据这50名的问卷评分数据，统计得到如图所示的频率分布直方图，其统计数据分组区间为[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100].
(1)求频率分布直方图中a的值；
(2)求这50名问卷评分数据的中位数；
(3)估计样本的平均数.
23.（12分）为了了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A，B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液．每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比．根据试验数据分别得到如图所示的直方图：
根据频率分布直方图估计，事件C：“乙离子残留在体内的百分比不高于5.5”发生的概率P(C)=0.30．
(1)根据所给的频率分布直方图估计各段频数(在答题卡填写两个频数分布表)；
(附：频数分布表)
A组实验甲离子残留频数表
[0,1.5)
[1.5,2.5)
[2.5,3.5)
[3.5,4.5)
[4.5,5.5)
[5.5,6.5)
[6.5,7.5)
[7.5,8.5)
[8.5,100]
B组实验甲离子残留频数表
[0,1.5)
[1.5,2.5)
[2.5,3.5)
[3.5,4.5)
[4.5,5.5)
[5.5,6.5)
[6.5,7.5)
[7.5,8.5)
[8.5,100]
(2)请估计甲离子残留百分比的众数和中位数，请估计乙离子残留百分比的平均值．
答案和解析
1.【答案】D;
【解析】
此题主要考查数学文化、统计图表、样本的数字特征，考查考生数学运算、逻辑推理、数学建模的核心素养．属于基础题.
根据条形图和折线图中相关数据逐一验证、判断即可.
解：2010～2019年，我国研究生在校女生人数逐渐增加，故A项正确；
由于2010～2019年，我国研究生在校女生人数逐年增加，且2019年人数为144.8万，所以可以预测2020年，我国研究生在校女生人数将不低于144万，故B项正确；
2017年我国研究生在校女生人数所占比重为48.4％，不足一半，故C项正确；
因为144.80.506≈286.166，故2019年我国研究生在校总人数超过285万，故D项错误．
故选：D.
2.【答案】D;
【解析】解：从装有2个红球和2个白球的袋内任取2个球，
在A中，至少有1个红球和都是红球，这两个事件能同时发生，故A不是互斥事件；
在B中，恰有1个红球，恰有1个白球，这两个事件能同时发生，故B不是互斥事件；
在C中，至少有1个红球，都是白球，这两个事件不能同时发生，也不能同时不发生，故C是对立事件；
在D中，恰有1个白球，恰有2个白球，这两个事件不能同时发生，能同时不发生，故D是互斥而不对立的两个事件．
故选：D．
在A中，至少有1个红球和都是红球，这两个事件能同时发生；在B中，恰有1个红球，恰有1个白球，这两个事件能同时发生；在C中，至少有1个红球，都是白球，这两个事件不能同时发生，也不能同时不发生；在D中，恰有1个白球，恰有2个白球，这两个事件不能同时发生，能同时不发生．
该题考查互斥而不对立事件的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意互斥事件、对立事件的定义的合理运用．
3.【答案】C;
【解析】解：高二年级有学生750人所占的比例为750600+750+690=2568，
故应从高二年级抽取的学生的人数为68×2568=25，
故选：C．
先求出高二年级学生所占的比例，再用样本容量乘以此比例，即为所求．
这道题主要考查分层抽样的定义和方法，属于基础题．
4.【答案】D;
【解析】
设应当从高一年级的学生中抽取的人数是x，则由分层抽样的定义可得1001000=x350，解得即可
这道题主要考查分层抽样的定义和方法，各个部分的个体数之比等于各个部分对应的样本数之比，属于基础题．
解：设应当从高一年级的学生中抽取的人数是x，
则由分层抽样的定义可得1001000=x350，
解得x=35，
故选：D．
5.【答案】B;
【解析】解：x=100-(10+13+14+17+13+12+9)=12，
又第7组数据为12个，所以第3组中应抽取4个．
故选：B
根据分层抽样的定义进行求解即可．
这道题主要考查分层抽样的应用，比较基础．
6.【答案】D;
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，掷2次硬币，有4个基本事件，事件“一个正面，一个反面”有2个基本事件，则该事件发生的概率为12，A错误；
对于B，掷10次硬币，事件A发生的次数不一定是5，B错误；
对于C，重复掷硬币，事件A发生的频率接近事件A发生的概率，C错误；
对于D，当投掷次数足够多时，事件A发生的频率接近事件A发生的概率，即接近0.5，D正确，
故选：D.
根据题意，由随机事件的定义和概率的性质依次分析选项，综合可得答案．
此题主要考查随机事件的定义以及概率性质，注意概率的性质，属于基础题．
7.【答案】B;
【解析】此题主要考查概率的求法，由f(x)=logax-loga8)=logax8，求出基本事件总数和满足f(3a+1)>f(2a)>0的基本事件个数，由此能示出f(3a+1)>f(2a)>0的概率.属基础题.解：∵函数f(x)=logax+log1a8(a>0,且a≠1)，
∴f(x)=logax-loga8)=logax8，
∵在集合{14,13,12,3,4,5,6,7}中任取一个数为a，
∴基本事件总数n=8，
∵f(3a+1)>f(2a)>0，
3a+1-2a=a-1，
当a>1时，3a+1>2a，2a>1，即a=5，6，7时才成立；
当a<1时，3a+1<2a，即a+1<1，不成立．
∴满足f(3a+1)>f(2a)>0的基本事件个数m=3，
∴f(3a+1)>f(2a)>0的概率为p=mn=38.故选B.
8.【答案】D;
【解析】
此题主要考查以传统文化中的”河图”为背景， 考查古典概型， 突出考查学生数学运算，属基础题.
求出从十个数中任取2个数的基本事件数和两数在同一组所包含的基本事件数，根据对立事件的概念，进而求得两数不在同组的概率.
解：从十个数中任取2个数的基本事件共有C102=45种，
其中两数在同一组所包含的基本事件有C51=5种.
故所求事件的概率为1-545=89.
故选D.
9.【答案】BC;
【解析】解：工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，其相应产品数量之比为2：5：3，
现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本，样本中A型号产品有16件，
设样本为n，则n=16÷2k2k+5k+3k=80，故A错误，B正确；
样本中B型号产品有：80×5k2k+5k+3k=40件，故C正确，D错误．
故选：BC．
设样本为n，利用分层样的性质能求出n，进而能求出样本中B型号产品的件数．
此题主要考查命题真假的判断，考查分层抽样等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
10.【答案】AC;
【解析】解：对于A，x1，x2，⋅⋅⋅，xn的平均数x-=1n(x1+x2+⋅⋅⋅+xn)，
x1+b，x2+b，⋅⋅⋅，xn+b的平均数为：
1n(x1+b+x2+b+⋅⋅⋅+xn+b)=1n(x1+x2+⋅⋅⋅+xn)+nbn=x→+b，故A正确；
对于B，x1，x2，⋅⋅⋅，xn的方差s2=1n[(x1-x-)2+(x2-x-)2+⋅⋅⋅+(xn-x-)2]，
ax1，ax2，…，axn的平均数为：
1n(ax1+ax2+…+axn)=an(x1+x2+…+xn)=ax-，
方差为：1n[(ax1-ax-)2+(ax2-ax-)2+⋅⋅⋅+(axn-ax-)]=a21n[(x1-x-)2+(x2-x-)2+⋅⋅⋅+(xn-x-)2]=a2s2，故B错误；
对于C，f(x)=i=1n(xi-x)2=i=1nxi2-2nx-x+nx2，
∵s2=1ni=1n(xi-x)2=1n(i=1nxi2-nx-2)，i=1nxi2=ns2+nx-，
∴f(x)=i=1nxi2-2nx-x+nx2=nx2-2nx-x+nx-2+ns2=n(x-x-)+ns2，
∴当x=x-时，函数f(x)有最小值ns2，故C正确；
对于D，由上知f(x1)>ns2，f(x2)>ns2，⋅⋅⋅，f(xn)>ns2，
∴f(x1)+f(x2)+…+f(xn)⩾n2s2，故D错误．
故选：AC.
A、B选项直接计算平均数和方差即可判断；C选项先化简得到f(x)=i=1nxi2-2nx-x+nx2，再结合i=1nxi2=ns2+nx-2得到f(x)=n(x-x-)2+ns2，即判断；f(x)的最小值即可判断D选项．
本题考命题真假的判断，考查平均数、方差的定义和性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
11.【答案】ABC;
【解析】
此题主要考查了折线图的应用，读懂统计图并能从统计图得到必要的信息是解决问题的关键，属于基础题．
利用题中折线图中的数据信息以及变化趋势，对四个选项逐一分析判断即可．
解：2015年第二季度利用率为74.3％，第三季度利用率为74.0％，故2015年第三季度环比有所降低，故选项A正确；
2015年第一季度利用率为74.2％，2016年第一季度利用率为72.9％，故2016年第一季度同比有所降低，故选项B正确；
2016年第三季度利用率为72.2％，2017年第三季度利用率为76.8％，故2017年第三季度同比有所提高，故选项C正确；
2017年第四季度利用率为78％，2018年第一季度利用率为76.5％，故2018年第一季度环比有所下降，故选项D错误．
故选：ABC.
12.【答案】ABC;
【解析】解：北碚区肯定进入夏季，因为众数为22℃，所以22℃至少出现两次，
若有一天低于22℃，则中位数不可能为24℃；
渝中区肯定进入，10.2×5-(32-26)2⩾(26-x)2，
∴15⩾(26-x)2，若x⩽21，不成立．
渝北区不一定进入，如13，23，27，28，29.
故选：ABC.
利用众数、中位数、方差、平均数的性质求解．
此题主要考查众数、中位数、方差、平均数的应用，是基础题，解题时要认真审题，熟练掌握基本概念．
13.【答案】ABC;
【解析】
此题主要考查了中位数、平均数和方差的计算问题，是基础题．
由题意求出x的值，再计算这组数据的平均数和方差、极差等．由题意知，-1，0，4， x，7，14的中位数为5，∴4+x2=5，解得 x=6.
∴这组数据的平均数=-1+0+4+6+7+146=5，故A正确，
方差为 s2=16×[(-1-5)2+(0-5)2+(4-5)2+(6-5)2+(7-5)2+(14-5)2]=743，
故B正确，
极差为14-(-1)=15，故C正确，
数据为-1，0，4，6，7，14，所以最大值为14，D错误，
故答案为ABC.
14.【答案】7;
【解析】
根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论。
这道题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键．比较基础。
解：由分层抽样的定义得4236+42×13=4278×13=7人。
故答案为7。
15.【答案】30;
【解析】解：依题意，前三组抽取的总人数为3+9+9=21人，前三组的频率和为1-(0.1+0.2)=0.7，
所以抽取的总人数为210.7=30人．
故答案为：30
计算出前三组的总人数以及前三组的频率和，相除即可得到抽取的总人数．
该题考查了频率分布表的识别和应用，属于基础题．
16.【答案】24;
【解析】解：由题意，该单位青年职工所占的比例为44+3+5=13，
可得该单位青年职工被抽取的人数为72×13=24，
故答案为：24.
先求出该单位青年职工所占的比例，再用样本容量乘以此比例，即为所求．
此题主要考查分层抽样的定义和方法，属于基础题．
17.【答案】14;
【解析】
此题主要考查两个向量垂直的性质，古典概型及其计算公式，属于基础题．
求得所有的(a,b)共有12个，满足m→⊥n→的(a,b)共有3个，由此求得向量m→=(a,b)与向量n→=(-2,1)垂直的概率．
解：所有的(a,b)共有4×3=12个，
由向量m→=(a,b)与向量n→=(-2,1)垂直，可得m→⋅n→=-2a+b=0，
故满足m→⊥n→的(a,b)共有3个：(2,4)，(3,6)，(4,8)，
故向量m→=(a,b)与向量n→=(-2,1)垂直的概率为312=14．
故答案为14．
18.【答案】8;
【解析】解：∵x1+x2，…+x5=25，x12+x22，…+x52=5×33，
∴15[(x1-5)2+(x2-5)2+…+(x5-5)2]
=15[x12+x22…+x52-10(x1+x2…+x5)+5×25]
=15(5×33-10×25+5×25)
=8，
即数据x1，x2，…，x5的方差为8，
故答案为：8．
根据平均数以及方差的定义代入计算即可．
该题考查了求数据的平均数、方差问题，是一道中档题．
19.【答案】解：(1)将2×2列联表中的数据代入公式，计算得
K2=100×(60×10-20×10)270×30×80×20=10021≈4.762，
因为4.762>3.841，
所以有95%的把握认为南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异；
(2)这5名数学系学生中，2名喜欢甜品的记为A、B，
其余3名不喜欢甜品的学生记为c、d、e，
则从这5名学生中任取3人的结果所组成的基本事件为
ABc，ABd，ABe，Acd，Ace，Ade，Bcd，Bce，Bde，cde，共10种；
3人中至多有1人喜欢甜品的基本事件是
Acd，Ace，Ade，Bcd，Bce，Bde，cde，共7种；
所以，至多有1人喜欢甜品的概率为P=710．;
【解析】此题主要考查了独立性检验的应用问题，也考查了利用列举法求古典概型的概率问题，是中档题目．
(1)利用2×2列联表中的数据计算观测值K2，对照表中数据即可得出结论；
(2)利用列举法求出从这5名学生中任取3人的基本事件数，计算对应的概率即可．
20.【答案】解：（1）经过该路段人员中赞成的人数为5+7+x+3----------------（2分）
因此，样本中的赞成率为5+7+x+340=0.45-----------------（3分）
解得x=3-----------------（4分）
（2）设年龄在[45，60]的3位被调查者为A，B，C，年龄在[65，75]的3位被调查a，b，c，---------------（5分）
则从6位调查者中抽出2人包括：（a，b），（a，c），（a，A），（a，B），（a，C），（b，C），（b，A），（b，B），（b，C），（c，A），（c，B），（c，C），（A，B），（A，C），（B，C）共15个基本事件，且每个基本事件等可能．-----------------（8分）
其中事件M包括（a，A），（a，B），（a，C），（b，A），（b，B），（b，C），（c，A），（c，B），（c，C），（a，b），（a，c），（b，c）共12个基本事件，-------（11分）
根据古典概率模型公式得p(M)=1215=45-----------------（13分）;
【解析】
(1)通过样本中的赞成率在求解即可．
(2)设年龄在[45,60]的3位被调查者为A，B，C，年龄在[65,75]的3位被调查a，b，c，写出所有基本事件，事件M的个数，然后求解概率．
此题主要考查古典概型概率公式的求法，基本知识的考查．
21.【答案】（1）设初赛成绩的中位数为x，则：（0.001+0.004+0.009）×20+0.02×（x-70）=0.5…（4分）
解得x=81，所以初赛成绩的中位数为81；…（6分）
（2）该校学生的初赛分数在[110，130）有4人，分别记为A，B，C，D，分数在[130，150）有2人，分别记为a，b，在则6人中随机选取2人，总的事件有（A，B），（A，C），（A，D），
（A，a），（A，b），（B，C），（B，D），（B，a），（B，b），（C，D），（C，a），（C，b），（D，a），（D，b），（a，b）共15个基本事件，其中符合题设条件的基本事件有8个…（10分）
故选取的这两人的初赛成绩在频率分布直方图中处于不同组的概率为P=815…（12分）;
【解析】
(1)根据频率分布直方图，求出每个矩形的面积，即每组的概率，每组的中值乘以每组的频率之和即这100名学生参加选拔测试的平均成绩；
(2)利用频率分布直方图计算分数在[110,130)和[130,150)的人数分别予以编号，列举出随机抽出2人的所有可能，找出符合题意得情况，利用古典概型计算即可．
此题主要考查频率分布直方图的应用，古典概概率的计算，属于基础题．
22.【答案】解：(1)由频率分布直方图，
可得(0.004+a+0.0156+0.0232+0.0232+0.028)×10=1，
解得a=0.006;
(2)由频率分布直方图，
可设中位数为m，
则有(0.004+0.006+0.0232)×10+(m-70)×0.028=0.5，
解得中位数m=76;
(3)平均数=0.04×45+0.06×55+0.232×65+0.28×75+0.232×85+0.156×95=75.72.
;
【解析】此题主要考查频率分布直方图及中位数平均数的计算.
(1)利用频率分布直方图中的信息，所有矩形的面积和为1，得到a；
(2)由中位数的定义得(0.004+0.006+0.0232)×10+(m-70)×0.028=0.5即可求解；
(3)利用平均数公式求出即可.
23.【答案】解：（1）∵事件C：“乙离子残留在体内的百分比不高于5.5”发生的概率P（C）=0.30，
∴0.05+b+0.15=0.30，
∴b=0.1，
∴a=1-（0.05+0.1+0.15+0.2+0.15）=0.35，
A组实验甲离子残留频数表
[0，1.5）
[1.5，2.5）
[2.5，3.5）
[3.5，4.5）
[4.5，5.5）
[5.5，6.5）
[6.5，7.5）
[7.5，8.5）
[8.5，100]
0
15
20
30
20
10
5
0
0
B组实验甲离子残留频数表
[0，1.5）
[1.5，2.5）
[2.5，3.5）
[3.5，4.5）
[4.5，5.5）
[5.5，6.5）
[6.5，7.5）
[7.5，8.5）
[8.5，100]
0
0
5
10
15
35
20
15
0
（2）由甲离子残留百分比直方图可知，[3.5，4.5）组的频数最大，取区间中点值，所以甲离子残留百分比的众数是4，
因为0.15+0.20=0.35＜0.5，而0.15+0.20+0.30=0.65＞0.5，
所以中位数在[3.5，4.5）这组，设甲离子残留百分比的中位数为x，
所以0.15+0.20+（x-3.5）×0.30=0.5，
解得：x=4，
所以甲离子残留百分比的中位数为4，
乙离子残留百分比的平均值为：（3×0.05+4×0.10+5×0.15+6×0.35+7×0.20+8×0.15）×1=0.15+0.4+0.75+2.1+1.4+1.2=6．;
【解析】
(1)根据P(C)=0.30，求出a，b的值，利用频数=频率×总数即可求出每组的频数，填入表格即可．
(2)由甲离子残留百分比直方图可知，甲离子残留百分比的众数是4，中位数在[3.5,4.5)这组，设甲离子残留百分比的中位数为x，所以0.15+0.20+(x-3.5)×0.30=0.5，即可解得x的值，取各个区间的中间值乘于该组数据的频率，再乘于组距，即可求得乙离子残留百分比的平均值．
这道题主要考查了频率分布直方图，以及根据频率分布直方图估算众数、中位数、平均值，是中档题．
人教B版（2019）必修第二册《第五章 概率与统计》单元测试
一 、单选题（本大题共8小题，共40分）
1.（5分）根据国家统计局数据显示，我国2010～2019年研究生在校女生人数及所占比重如图所示，则下列说法错误的是( )
年份
2010
2011
2012
2013
2014
2015
2016
2017
2018
2019
比重
47.9
48.5
49.0
49.0
49.2
49.7
50.6
48.4
49.6
50.6
A. 2010～2019年，我国研究生在校女生人数逐渐增加
B. 可以预测2020年，我国研究生在校女生人数将不低于144万
C. 2017年我国研究生在校女生人数少于男生人数
D. 2019年我国研究生在校总人数不超过285万
2.（5分）从装有2个红球和2个白球的袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( )
A. 至少有1个红球，都是红球 B. 恰有1个红球，恰有1个白球
C. 至少有1个红球，都是白球 D. 恰有1个白球，恰有2个白球
3.（5分）某中学高一年级有学生600人，高二年级有学生750人，高三年级有学生690人，现用分层抽样的方法从这三个年级学生中抽取68人进行某项研究，则应从高二年级抽取的学生的人数为( )
A. 20 B. 23 C. 25 D. 29
4.（5分）某中学共有1000名学生，其中高一年级350人，该校为了了解本校学生视力情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽出一个容量为100的样本进行调查，则应从高一年级抽取的人数为( )
A. 20 B. 25 C. 30 D. 35
5.（5分）容量为100的样本数据，按从小到大的顺序分为8组，如下表：
组号
1
2
3
4
5
6
7
8
频数
10
13
x
14
17
13
12
9
若要在第3组和第7组中用分层抽样的方法，抽取8个数据，则第3组中应抽取( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
6.（5分）考虑掷硬币实验，设A=“正面朝上”，则下列论述正确的是( )
A. 掷2次硬币，事件“一个正面，一个反面”发生的概率为13
B. 掷10次硬币，事件A发生的次数一定是5
C. 重复掷硬币，事件A发生的频率等于事件A发生的概率
D. 当投掷次数足够多时，事件A发生的频率接近0.5
7.（5分）已知函数f(x)=logax+log1a8(a>0且a≠1)，在集合{14,13,12,3,4,5,6,7}中任取一个数为a，则f(3a+1)>f(2a)>0的概率为 ( )
A. 14 B. 38 C. 12 D. 34
8.（5分）河图是上古时代神话中伏羲通过黄河中浮出龙马身上的图案，通过观察画出的“八卦”，龙马身上的图案就叫做“河图”.把一到十分成五组，其口诀：一六共宗，为水居北；二七同道，为火居南；三八为朋，为木居东；四九为友，为金居西；五十同途，为土居中．现从这十个数中随机抽取两个数，则这两个数不在同组的概率是( )
A. 19 B. 59 C. 79 D. 89
二 、多选题（本大题共5小题，共25分）
9.（5分）某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，其相应产品数量之比为2：5：3，现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本，样本中A型号产品有16件，则( )
A. 此样本的容量n为20 B. 此样本的容量n为80
C. 样本中B型号产品有40件 D. 样本中B型号产品有24件
10.（5分）设一组样本的统计数据为：x1，x2，…，xn，其中n∈N*，x1，x2，…，xn∈R.已知该样本的统计数据的平均数为x-，方差为s2，设函数f(x)=i=1n(xi-x)2，a∈R.则下列说法正确的是()
A. 设b∈R，则x1+b，x2+b，…，xn+b，的平均数为x-+b
B. 设a∈R，则ax1，ax2，…，axn的方差为as2
C. 当x=x-时，函数f(x)有最小值ns2
D. f(x1)+f(x2)+…+f(xn)
在统计学中，同比是指本期统计数据与上一年同期统计数据相比较，例如2016年第二季度与2015年第二季度相比较；环比是指本期统计数据与上期统计数据相比较，例如2015年第二季度与2015年第一季度相比较.据上述信息，下列结论中正确的是()
A. 2015年第三季度环比有所降低 B. 2016年第一季度同比有所降低
C. 2017年第三季度同比有所提高 D. 2018年第一季度环比有所提高
12.（5分）气象意义上从春季进入夏季的标志为：“连续5天每日平均温度不低于22℃”.现重庆市内北碚区、渝北区、渝中区三地连续5天日平均温度的记录数据(数据都是正整数，单位℃)满足以下条件：
北碚区：5个数据的中位数是24，众数是22；
渝北区：5个数据的中位数是27，平均数是24；
渝中区：5个数据有一个是32，平均数是26，方差是10.2
则下列说法正确的是( )
A. 进入夏季的地区至少有两个 B. 渝中区肯定进入了夏季
C. 不能肯定渝北区进入夏季 D. 不能肯定北碚区进入夏季
13.（5分）已知一组数据按从小到大的顺序排列，得到-1，0，4，x，7，14的中位数为5，则下列有关数据正确的是( )
A. 平均数为5 B. 方差为743 C. 极差为15 D. 最大值为7
三 、填空题（本大题共5小题，共25分）
14.（5分）某校高一(1)班有学生36人，高一(2)班有学生42人，现在要用分层抽样的方法从两个班抽出13人参加军训表演，则高一(2)班被抽出的人数是______．
15.（5分）某中学为了了解全校学生的阅读情况，在全校采用随机抽样的方法抽取一个样本进行问卷调查，并将他们在一个月内去图书馆的次数进行了统计，将学生去图书馆的次数分为5组：[0,4)，[4,8)，[8,12)，[12,16)，[16,20]，制作了如图所示的频率分布表，则抽样总人数为______．
分组
人数
频率
[0,4)
3
[4,8)
9
[8,12)
9
[12,16)
0.2
[16,20]
0.1
16.（5分）某单位职工分为青年、中年、老年三类，且青年、中年、老年职工的人数之比为4：3：5.从中抽取72人作为样本，则该单位青年职工被抽取的人数为 ______人．
17.（5分）从集合{2,3,4,5}中随机抽取一个数a，从集合{4,6,8}中随机抽取一个数b，则向量m→=(a,b)与向量n→=(-2,1)垂直的概率为______．
18.（5分）一组数据x1，x2，…，x5的平均数为5，x12，x22，…，x52的平均数为33，则数据x1，x2，…，x5的方差为_________．
四 、解答题（本大题共5小题，共60分）
19.（12分）某大学餐饮中心为了了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如下表所示：
喜欢甜品
不喜欢甜品
合计
南方学生
60
20
80
北方学生
10
10
20
合计
70
30
100
(1)根据表中数据，问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”；
(2)已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至多有1人喜欢甜品的概率．
附：K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
P(K2>k0)
0.10
0.05
0.01
0.005
k0
2.706
3.841
6.635
7.879
20.（12分）某市为缓解交通压力，计划在某路段实施“交通限行”，为了解公众对该路段“交通限行”的态度，某机构从经过该路段的人员中随机抽查了40人进行调查，将调查情况进行整理，制成如表：
年龄(岁)
[15,30)
[30,45)
[45,60)
[60,75)
人数
12
13
8
7
赞成人数
5
7
x
3
(Ⅰ)如果经过该路段人员对“交通限行”的赞成率为0.45，则x的值为；
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，若从年龄在[45,60),[60,75)两组赞成“交通限行”的人中再随机选取2人进行进一步的采访，记选中的2人至少有1人来自[60,75)年龄段为事件M，求事件M的概率．
21.（12分）襄阳市某优质高中为了选拔学生参加“全国中学生英语能力竞赛(NEPCS)”，先在本校进行初赛(满分150分)，若该校有100名学生参加初赛，并根据初赛成绩得到如图所示的频率分布直方图．
(1)根据频率分布直方图，计算这100名学生参加初赛成绩的中位数；
(2)该校推荐初赛成绩在110分以上的学生代表学校参加竞赛，为了了解情况，在该校推荐参加竞赛的学生中随机抽取2人，求选取的两人的初赛成绩在频率分布直方图中处于不同组的概率．
22.（12分）某公司为了解共享单车的使用情况，随机问卷50名使用者，然后根据这50名的问卷评分数据，统计得到如图所示的频率分布直方图，其统计数据分组区间为[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100].
(1)求频率分布直方图中a的值；
(2)求这50名问卷评分数据的中位数；
(3)估计样本的平均数.
23.（12分）为了了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A，B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液．每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比．根据试验数据分别得到如图所示的直方图：
根据频率分布直方图估计，事件C：“乙离子残留在体内的百分比不高于5.5”发生的概率P(C)=0.30．
(1)根据所给的频率分布直方图估计各段频数(在答题卡填写两个频数分布表)；
(附：频数分布表)
A组实验甲离子残留频数表
[0,1.5)
[1.5,2.5)
[2.5,3.5)
[3.5,4.5)
[4.5,5.5)
[5.5,6.5)
[6.5,7.5)
[7.5,8.5)
[8.5,100]
B组实验甲离子残留频数表
[0,1.5)
[1.5,2.5)
[2.5,3.5)
[3.5,4.5)
[4.5,5.5)
[5.5,6.5)
[6.5,7.5)
[7.5,8.5)
[8.5,100]
(2)请估计甲离子残留百分比的众数和中位数，请估计乙离子残留百分比的平均值．
答案和解析
1.【答案】D;
【解析】
此题主要考查数学文化、统计图表、样本的数字特征，考查考生数学运算、逻辑推理、数学建模的核心素养．属于基础题.
根据条形图和折线图中相关数据逐一验证、判断即可.
解：2010～2019年，我国研究生在校女生人数逐渐增加，故A项正确；
由于2010～2019年，我国研究生在校女生人数逐年增加，且2019年人数为144.8万，所以可以预测2020年，我国研究生在校女生人数将不低于144万，故B项正确；
2017年我国研究生在校女生人数所占比重为48.4％，不足一半，故C项正确；
因为144.80.506≈286.166，故2019年我国研究生在校总人数超过285万，故D项错误．
故选：D.
2.【答案】D;
【解析】解：从装有2个红球和2个白球的袋内任取2个球，
在A中，至少有1个红球和都是红球，这两个事件能同时发生，故A不是互斥事件；
在B中，恰有1个红球，恰有1个白球，这两个事件能同时发生，故B不是互斥事件；
在C中，至少有1个红球，都是白球，这两个事件不能同时发生，也不能同时不发生，故C是对立事件；
在D中，恰有1个白球，恰有2个白球，这两个事件不能同时发生，能同时不发生，故D是互斥而不对立的两个事件．
故选：D．
在A中，至少有1个红球和都是红球，这两个事件能同时发生；在B中，恰有1个红球，恰有1个白球，这两个事件能同时发生；在C中，至少有1个红球，都是白球，这两个事件不能同时发生，也不能同时不发生；在D中，恰有1个白球，恰有2个白球，这两个事件不能同时发生，能同时不发生．
该题考查互斥而不对立事件的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意互斥事件、对立事件的定义的合理运用．
3.【答案】C;
【解析】解：高二年级有学生750人所占的比例为750600+750+690=2568，
故应从高二年级抽取的学生的人数为68×2568=25，
故选：C．
先求出高二年级学生所占的比例，再用样本容量乘以此比例，即为所求．
这道题主要考查分层抽样的定义和方法，属于基础题．
4.【答案】D;
【解析】
设应当从高一年级的学生中抽取的人数是x，则由分层抽样的定义可得1001000=x350，解得即可
这道题主要考查分层抽样的定义和方法，各个部分的个体数之比等于各个部分对应的样本数之比，属于基础题．
解：设应当从高一年级的学生中抽取的人数是x，
则由分层抽样的定义可得1001000=x350，
解得x=35，
故选：D．
5.【答案】B;
【解析】解：x=100-(10+13+14+17+13+12+9)=12，
又第7组数据为12个，所以第3组中应抽取4个．
故选：B
根据分层抽样的定义进行求解即可．
这道题主要考查分层抽样的应用，比较基础．
6.【答案】D;
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，掷2次硬币，有4个基本事件，事件“一个正面，一个反面”有2个基本事件，则该事件发生的概率为12，A错误；
对于B，掷10次硬币，事件A发生的次数不一定是5，B错误；
对于C，重复掷硬币，事件A发生的频率接近事件A发生的概率，C错误；
对于D，当投掷次数足够多时，事件A发生的频率接近事件A发生的概率，即接近0.5，D正确，
故选：D.
根据题意，由随机事件的定义和概率的性质依次分析选项，综合可得答案．
此题主要考查随机事件的定义以及概率性质，注意概率的性质，属于基础题．
7.【答案】B;
【解析】此题主要考查概率的求法，由f(x)=logax-loga8)=logax8，求出基本事件总数和满足f(3a+1)>f(2a)>0的基本事件个数，由此能示出f(3a+1)>f(2a)>0的概率.属基础题.解：∵函数f(x)=logax+log1a8(a>0,且a≠1)，
∴f(x)=logax-loga8)=logax8，
∵在集合{14,13,12,3,4,5,6,7}中任取一个数为a，
∴基本事件总数n=8，
∵f(3a+1)>f(2a)>0，
3a+1-2a=a-1，
当a>1时，3a+1>2a，2a>1，即a=5，6，7时才成立；
当a<1时，3a+1<2a，即a+1<1，不成立．
∴满足f(3a+1)>f(2a)>0的基本事件个数m=3，
∴f(3a+1)>f(2a)>0的概率为p=mn=38.故选B.
8.【答案】D;
【解析】
此题主要考查以传统文化中的”河图”为背景， 考查古典概型， 突出考查学生数学运算，属基础题.
求出从十个数中任取2个数的基本事件数和两数在同一组所包含的基本事件数，根据对立事件的概念，进而求得两数不在同组的概率.
解：从十个数中任取2个数的基本事件共有C102=45种，
其中两数在同一组所包含的基本事件有C51=5种.
故所求事件的概率为1-545=89.
故选D.
9.【答案】BC;
【解析】解：工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，其相应产品数量之比为2：5：3，
现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本，样本中A型号产品有16件，
设样本为n，则n=16÷2k2k+5k+3k=80，故A错误，B正确；
样本中B型号产品有：80×5k2k+5k+3k=40件，故C正确，D错误．
故选：BC．
设样本为n，利用分层样的性质能求出n，进而能求出样本中B型号产品的件数．
此题主要考查命题真假的判断，考查分层抽样等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
10.【答案】AC;
【解析】解：对于A，x1，x2，⋅⋅⋅，xn的平均数x-=1n(x1+x2+⋅⋅⋅+xn)，
x1+b，x2+b，⋅⋅⋅，xn+b的平均数为：
1n(x1+b+x2+b+⋅⋅⋅+xn+b)=1n(x1+x2+⋅⋅⋅+xn)+nbn=x→+b，故A正确；
对于B，x1，x2，⋅⋅⋅，xn的方差s2=1n[(x1-x-)2+(x2-x-)2+⋅⋅⋅+(xn-x-)2]，
ax1，ax2，…，axn的平均数为：
1n(ax1+ax2+…+axn)=an(x1+x2+…+xn)=ax-，
方差为：1n[(ax1-ax-)2+(ax2-ax-)2+⋅⋅⋅+(axn-ax-)]=a21n[(x1-x-)2+(x2-x-)2+⋅⋅⋅+(xn-x-)2]=a2s2，故B错误；
对于C，f(x)=i=1n(xi-x)2=i=1nxi2-2nx-x+nx2，
∵s2=1ni=1n(xi-x)2=1n(i=1nxi2-nx-2)，i=1nxi2=ns2+nx-，
∴f(x)=i=1nxi2-2nx-x+nx2=nx2-2nx-x+nx-2+ns2=n(x-x-)+ns2，
∴当x=x-时，函数f(x)有最小值ns2，故C正确；
对于D，由上知f(x1)>ns2，f(x2)>ns2，⋅⋅⋅，f(xn)>ns2，
∴f(x1)+f(x2)+…+f(xn)⩾n2s2，故D错误．
故选：AC.
A、B选项直接计算平均数和方差即可判断；C选项先化简得到f(x)=i=1nxi2-2nx-x+nx2，再结合i=1nxi2=ns2+nx-2得到f(x)=n(x-x-)2+ns2，即判断；f(x)的最小值即可判断D选项．
本题考命题真假的判断，考查平均数、方差的定义和性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
11.【答案】ABC;
【解析】
此题主要考查了折线图的应用，读懂统计图并能从统计图得到必要的信息是解决问题的关键，属于基础题．
利用题中折线图中的数据信息以及变化趋势，对四个选项逐一分析判断即可．
解：2015年第二季度利用率为74.3％，第三季度利用率为74.0％，故2015年第三季度环比有所降低，故选项A正确；
2015年第一季度利用率为74.2％，2016年第一季度利用率为72.9％，故2016年第一季度同比有所降低，故选项B正确；
2016年第三季度利用率为72.2％，2017年第三季度利用率为76.8％，故2017年第三季度同比有所提高，故选项C正确；
2017年第四季度利用率为78％，2018年第一季度利用率为76.5％，故2018年第一季度环比有所下降，故选项D错误．
故选：ABC.
12.【答案】ABC;
【解析】解：北碚区肯定进入夏季，因为众数为22℃，所以22℃至少出现两次，
若有一天低于22℃，则中位数不可能为24℃；
渝中区肯定进入，10.2×5-(32-26)2⩾(26-x)2，
∴15⩾(26-x)2，若x⩽21，不成立．
渝北区不一定进入，如13，23，27，28，29.
故选：ABC.
利用众数、中位数、方差、平均数的性质求解．
此题主要考查众数、中位数、方差、平均数的应用，是基础题，解题时要认真审题，熟练掌握基本概念．
13.【答案】ABC;
【解析】
此题主要考查了中位数、平均数和方差的计算问题，是基础题．
由题意求出x的值，再计算这组数据的平均数和方差、极差等．由题意知，-1，0，4， x，7，14的中位数为5，∴4+x2=5，解得 x=6.
∴这组数据的平均数=-1+0+4+6+7+146=5，故A正确，
方差为 s2=16×[(-1-5)2+(0-5)2+(4-5)2+(6-5)2+(7-5)2+(14-5)2]=743，
故B正确，
极差为14-(-1)=15，故C正确，
数据为-1，0，4，6，7，14，所以最大值为14，D错误，
故答案为ABC.
14.【答案】7;
【解析】
根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论。
这道题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键．比较基础。
解：由分层抽样的定义得4236+42×13=4278×13=7人。
故答案为7。
15.【答案】30;
【解析】解：依题意，前三组抽取的总人数为3+9+9=21人，前三组的频率和为1-(0.1+0.2)=0.7，
所以抽取的总人数为210.7=30人．
故答案为：30
计算出前三组的总人数以及前三组的频率和，相除即可得到抽取的总人数．
该题考查了频率分布表的识别和应用，属于基础题．
16.【答案】24;
【解析】解：由题意，该单位青年职工所占的比例为44+3+5=13，
可得该单位青年职工被抽取的人数为72×13=24，
故答案为：24.
先求出该单位青年职工所占的比例，再用样本容量乘以此比例，即为所求．
此题主要考查分层抽样的定义和方法，属于基础题．
17.【答案】14;
【解析】
此题主要考查两个向量垂直的性质，古典概型及其计算公式，属于基础题．
求得所有的(a,b)共有12个，满足m→⊥n→的(a,b)共有3个，由此求得向量m→=(a,b)与向量n→=(-2,1)垂直的概率．
解：所有的(a,b)共有4×3=12个，
由向量m→=(a,b)与向量n→=(-2,1)垂直，可得m→⋅n→=-2a+b=0，
故满足m→⊥n→的(a,b)共有3个：(2,4)，(3,6)，(4,8)，
故向量m→=(a,b)与向量n→=(-2,1)垂直的概率为312=14．
故答案为14．
18.【答案】8;
【解析】解：∵x1+x2，…+x5=25，x12+x22，…+x52=5×33，
∴15[(x1-5)2+(x2-5)2+…+(x5-5)2]
=15[x12+x22…+x52-10(x1+x2…+x5)+5×25]
=15(5×33-10×25+5×25)
=8，
即数据x1，x2，…，x5的方差为8，
故答案为：8．
根据平均数以及方差的定义代入计算即可．
该题考查了求数据的平均数、方差问题，是一道中档题．
19.【答案】解：(1)将2×2列联表中的数据代入公式，计算得
K2=100×(60×10-20×10)270×30×80×20=10021≈4.762，
因为4.762>3.841，
所以有95%的把握认为南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异；
(2)这5名数学系学生中，2名喜欢甜品的记为A、B，
其余3名不喜欢甜品的学生记为c、d、e，
则从这5名学生中任取3人的结果所组成的基本事件为
ABc，ABd，ABe，Acd，Ace，Ade，Bcd，Bce，Bde，cde，共10种；
3人中至多有1人喜欢甜品的基本事件是
Acd，Ace，Ade，Bcd，Bce，Bde，cde，共7种；
所以，至多有1人喜欢甜品的概率为P=710．;
【解析】此题主要考查了独立性检验的应用问题，也考查了利用列举法求古典概型的概率问题，是中档题目．
(1)利用2×2列联表中的数据计算观测值K2，对照表中数据即可得出结论；
(2)利用列举法求出从这5名学生中任取3人的基本事件数，计算对应的概率即可．
20.【答案】解：（1）经过该路段人员中赞成的人数为5+7+x+3----------------（2分）
因此，样本中的赞成率为5+7+x+340=0.45-----------------（3分）
解得x=3-----------------（4分）
（2）设年龄在[45，60]的3位被调查者为A，B，C，年龄在[65，75]的3位被调查a，b，c，---------------（5分）
则从6位调查者中抽出2人包括：（a，b），（a，c），（a，A），（a，B），（a，C），（b，C），（b，A），（b，B），（b，C），（c，A），（c，B），（c，C），（A，B），（A，C），（B，C）共15个基本事件，且每个基本事件等可能．-----------------（8分）
其中事件M包括（a，A），（a，B），（a，C），（b，A），（b，B），（b，C），（c，A），（c，B），（c，C），（a，b），（a，c），（b，c）共12个基本事件，-------（11分）
根据古典概率模型公式得p(M)=1215=45-----------------（13分）;
【解析】
(1)通过样本中的赞成率在求解即可．
(2)设年龄在[45,60]的3位被调查者为A，B，C，年龄在[65,75]的3位被调查a，b，c，写出所有基本事件，事件M的个数，然后求解概率．
此题主要考查古典概型概率公式的求法，基本知识的考查．
21.【答案】（1）设初赛成绩的中位数为x，则：（0.001+0.004+0.009）×20+0.02×（x-70）=0.5…（4分）
解得x=81，所以初赛成绩的中位数为81；…（6分）
（2）该校学生的初赛分数在[110，130）有4人，分别记为A，B，C，D，分数在[130，150）有2人，分别记为a，b，在则6人中随机选取2人，总的事件有（A，B），（A，C），（A，D），
（A，a），（A，b），（B，C），（B，D），（B，a），（B，b），（C，D），（C，a），（C，b），（D，a），（D，b），（a，b）共15个基本事件，其中符合题设条件的基本事件有8个…（10分）
故选取的这两人的初赛成绩在频率分布直方图中处于不同组的概率为P=815…（12分）;
【解析】
(1)根据频率分布直方图，求出每个矩形的面积，即每组的概率，每组的中值乘以每组的频率之和即这100名学生参加选拔测试的平均成绩；
(2)利用频率分布直方图计算分数在[110,130)和[130,150)的人数分别予以编号，列举出随机抽出2人的所有可能，找出符合题意得情况，利用古典概型计算即可．
此题主要考查频率分布直方图的应用，古典概概率的计算，属于基础题．
22.【答案】解：(1)由频率分布直方图，
可得(0.004+a+0.0156+0.0232+0.0232+0.028)×10=1，
解得a=0.006;
(2)由频率分布直方图，
可设中位数为m，
则有(0.004+0.006+0.0232)×10+(m-70)×0.028=0.5，
解得中位数m=76;
(3)平均数=0.04×45+0.06×55+0.232×65+0.28×75+0.232×85+0.156×95=75.72.
;
【解析】此题主要考查频率分布直方图及中位数平均数的计算.
(1)利用频率分布直方图中的信息，所有矩形的面积和为1，得到a；
(2)由中位数的定义得(0.004+0.006+0.0232)×10+(m-70)×0.028=0.5即可求解；
(3)利用平均数公式求出即可.
23.【答案】解：（1）∵事件C：“乙离子残留在体内的百分比不高于5.5”发生的概率P（C）=0.30，
∴0.05+b+0.15=0.30，
∴b=0.1，
∴a=1-（0.05+0.1+0.15+0.2+0.15）=0.35，
A组实验甲离子残留频数表
[0，1.5）
[1.5，2.5）
[2.5，3.5）
[3.5，4.5）
[4.5，5.5）
[5.5，6.5）
[6.5，7.5）
[7.5，8.5）
[8.5，100]
0
15
20
30
20
10
5
0
0
B组实验甲离子残留频数表
[0，1.5）
[1.5，2.5）
[2.5，3.5）
[3.5，4.5）
[4.5，5.5）
[5.5，6.5）
[6.5，7.5）
[7.5，8.5）
[8.5，100]
0
0
5
10
15
35
20
15
0
（2）由甲离子残留百分比直方图可知，[3.5，4.5）组的频数最大，取区间中点值，所以甲离子残留百分比的众数是4，
因为0.15+0.20=0.35＜0.5，而0.15+0.20+0.30=0.65＞0.5，
所以中位数在[3.5，4.5）这组，设甲离子残留百分比的中位数为x，
所以0.15+0.20+（x-3.5）×0.30=0.5，
解得：x=4，
所以甲离子残留百分比的中位数为4，
乙离子残留百分比的平均值为：（3×0.05+4×0.10+5×0.15+6×0.35+7×0.20+8×0.15）×1=0.15+0.4+0.75+2.1+1.4+1.2=6．;
【解析】
(1)根据P(C)=0.30，求出a，b的值，利用频数=频率×总数即可求出每组的频数，填入表格即可．
(2)由甲离子残留百分比直方图可知，甲离子残留百分比的众数是4，中位数在[3.5,4.5)这组，设甲离子残留百分比的中位数为x，所以0.15+0.20+(x-3.5)×0.30=0.5，即可解得x的值，取各个区间的中间值乘于该组数据的频率，再乘于组距，即可求得乙离子残留百分比的平均值．
这道题主要考查了频率分布直方图，以及根据频率分布直方图估算众数、中位数、平均值，是中档题．
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