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人教B版（2019）必修第二册《第六章 平面向量初步》单元测试（含解析）
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人教B版（2019）必修第二册《第六章 平面向量初步》单元测试
一 、单选题（本大题共8小题，共40分）
1.（5分）已知平面上点O与线段AB，若线段AB上有n(n>1)个异于端点A、B的互异动点P1、P2、……、Pn，且满足O→Pk=λkOA→+μkOB→，λk、μk∈R，1⩽k⩽n，k∈Z，则(λ1λ2……λn)(μ1μ2……μn)的取值范围是( )
A. (0,12n) B. (0,14n)
C. (0,14n] D. [14n,+∞)
2.（5分）已知A、B、C、D四点共线，α∈(π2,π)，且向量AB→=(tanα,1)，CD→=(3tan2α,-2)，则tan(2α-π4)等于( )
A. -17 B. 17 C. -7 D. 7
3.（5分）已知平面内一正三角形ABC的外接圆半径为4，在三角形ABC中心为圆心r(0
4.（5分）下列命题中，正确的个数是( )
①单位向量都相等；
②模相等的两个平行向量是相等向量；
③若a→，b→满足|a→|>|b→|且a→与b→同向，则a→>b→；
④若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合；
⑤若a→//b→，b→//c→，则a→//c→．
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
5.（5分）已知D，E分别是△ABC的边BC和AC的中点，若AD→=a→，AC→=b→，则BE→=()
A. 12b→+a→ B. 12b→-13a→
C. 2b→-32a→ D. 32b→-2a→
6.（5分）已知向量a→=(1,-3),b→=(6,m)，若a→⊥b→，则|2a→-b→|等于()
A. 80 B. 160 C. D.
7.（5分）在三角形ABC中，AD→=2DB→，AE→=2EC→，P为线段DE上的动点，若AP→=lAB→+mAC→，λ，μ∈R，则l+m=()
A. 1 B. 23 C. 32 D. 2
8.（5分）设直线上三点A、B、P满足AP→=lPB→ (l≠±1)，O为平面上任意一点，则OP→与OA→、OB→的关系为()
A. OP→=OA→+lOB→ B. OP→=lOA→+(1-l)OB→
C. OP→=OA→+lOB→1+l D. OP→=1lOA→+11-lOB→
二 、多选题（本大题共5小题，共25分）
9.（5分）下列有关向量命题， 不正确的是()
A. 若{a→,b→}是平面向量的一组基底，则{a→-2b→,-a→+2b→}也是平面向量的一组基底
B. a→，b→，c→均为非零向量，若a→//b→，b→//c→，则a→//c→
C. 若a→//b，则存在唯一的实数λ，使得a→=λb→
D. 若|a→|=1，|b→|=6，则|a→+b→|的取值范围[5,7]
10.（5分）在给出的下列命题中，正确的是()
A. 设O、A、B、C是同一平面上的四个点，若OA→=m·OB→+(1-m)·OC→(m∈R)，则点A、B、C必共线
B. 若向量a→和b→是平面α上的两个向量，则平面α上的任一向量c→都可以表示为c→=λa→+μb→(μ、λ∈R)，且表示方法是唯一的
C. 已知平面向量OA→，OB→，OC→满足OA→·OB→=OA→·OC→，AO→=λ(AB|AB→|+AC→|AC→|)则△ABC为等腰三角形
D. 已知平面向量OA→，OB→，OC→满足|OA→|=|OB→|=|OC→|=r(r>0)，且OA→+OB→+OC→=0→，则ΔABC是等边三角形
11.（5分）如图所示，在ΔABC中，点D在边BC上，且CD=2DB，点E在边AD上，且AD=3AE，则( )
A. CE→=13AD→+AC→ B. CE→=13AD→-AC→
C. CE→=29AB→+89AC→ D. CE→=29AB→-89AC→
12.（5分）如图，A 、B 分别是射线OM 、ON 上的点，下列以O 为起点的向量中，终点落在阴影区域内的向量是( )
A. OA→+2OB→ B. 12OA→+13OB→
C. 34OA→+13OB→ D. 34OA→+15OB→
13.（5分）设向量a→=(2,0)，b→=(1,1)，则
A. |a→|=|b→| B. (a→-b→)//b→
C. (a→-b→)⊥b→ D. a→与b→的夹角为π4
三 、填空题（本大题共5小题，共25分）
14.（5分）在ΔABC中，AB=2，AC=3，角A的平分线与AB边上的中线交于点O，若=x+y(x,y∈R)，则x+y的值为____.
15.（5分）已知AB→=(3,4)，则与向量AB→同向的单位向量的坐标为_______________.
16.（5分）如图，在直角梯形ABCD中，AB//CD，AB=2，AD=DC=1，P是线段BC上一动点，Q是线段DC上一动点，DQ→=λDC→，CP→=(1-λ)CB→，则AP→·AQ→的取值范围是__________.
17.（5分）已知向量a→=(3,-2)，b→=(m,6)，若a→//b→，则m=______；若a→⊥b→，则m=______．
18.（5分）在ΔABC中，|AB→|=|AC→|，∠BAC=120°，过点A作AB的垂线交BC于点D，AC→=xAB→+yAD→，则xy=______．
四 、解答题（本大题共5小题，共60分）
19.（12分）已知e→1，e→2为不共线的单位向量，a→=2e→1-e→2，b→=e→1+λe→2，且a→与b→共线．
(1)求λ的值；
(2)若a→=(3,0)，分别求e→1和e→2的坐标．
20.（12分）已知向量a→=(-3,1)，b→=(1,-2)，m→=a→+kb→(k∈R).
(Ⅰ)若m→与向量2a→-b→垂直，求实数k的值；
(Ⅱ)若向量c→=(1,-1)，且m→与向量kb→+c→平行，求实数k的值．
21.（12分）在ΔABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知向量p→=(2sinA,cos(A-B))，q→=(sinB,-1)，且p→⋅q→=12．
(Ⅰ)求角C的大小；
(Ⅱ)若c=3，求b-a的取值范围．
22.（12分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量a→=(-1,2)，又点A(8,0)，B(n,t)，C(ksinθ,t)，θ∈R．
(1)若AB→⊥a→，且|AB→|=5|OA→|，求向量OB→；
(2)若向量AC→与向量a→共线，常数k>0，求f(θ)=tsinθ的值域．
23.（12分）在如图的方格纸中，画出下列向量.
(1)|OA→|=3，点A在点O的正西方向.
(2)|OB→|=32，点B在点O的北偏西45°方向.
(3)求出|AB→|的值.
答案和解析
1.【答案】B;
【解析】解：因为O→Pk=λkOA→+μkOB→，且三点Pk，A，B共线，
所以λk+μk=1，
因为Pk在线段AB上且异于端点A，B，
结合O→Pk=λkOA→+μkOB→以及平行四边形法则可得，λk>0，μk>0，
若λk=μk=12，此时Pk为线段AB的中点，仅有1个点，但n>1，
所以0<(λ1λ2……λn)(μ1μ2……μn)=(λ1μ1)(λ2μ2)……(λnμn)<(λ1+μ12)2.(λ2+μ22)2…(λn+μn2)2=14n，
故选：B.
根据三点Pk，A，B共线，得到λk、μk的关系式，结合基本不等式求解(λ1λ2……λn)(μ1μ2……μn)的取值范围即可．
此题主要考查了平面向量的理解和应用，主要考查了平面向量三点共线的应用以及基本不等式的运用，考查了逻辑推理能力与转化化归能力，属于中档题．
2.【答案】D;
【解析】解：∵A、B、C、D四点共线，α∈(π2,π)，且向量AB→=(tanα,1)，CD→=(3tan2α,-2)，
∴3tan2α+2tanα=0，化为：6tanα1-tan2α+2tanα=0，tanα>0，
解得tanα=2，tan2α=-43．
则tan(2α-π4)=tan2α-11+tan2α=-43-11-43=7．
故选：D．
利用向量共线定理可得tanα，再利用倍角公式与和差公式即可得出．
此题主要考查了向量共线定理、倍角公式与和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
3.【答案】A;
【解析】解：建立如图所示坐标系，
则点A(-2,23),B(-2,-23),C(4,0)，
设点M(rcosθ,rsinθ)，且0⩽θ<2π，
则|MA→+MB→+3MC→|=(8-5rcosθ)2+25r2sin2θ=64+25r2-80rcosθ
故当r=1，θ=π时，|MA→+MB→+3MC→|有最大值为13，
故选：A.
建立直角坐标系，可以表示出A，B，C的坐标，再设点M(rcosθ,rsinθ)，即可用r与θ表示出|MA→+MB→+3MC→|，即可求出答案．
此题主要考查了向量模长的最值问题，建立合适的坐标系，利用参数法求解是解题关键，属于中档题．
4.【答案】A;
【解析】
该题考查了平面向量的基本概念与应用问题，属于基础题．
根据平面向量的基本概念，对选项进行分析、判断正误即可．
解：对于①，单位向量的大小相等，但方向不一定相同，故①错误；
对于②，模相等的两个平行向量是相等向量或相反向量，故②错误；
对于③，向量是有方向的量，不能比较大小，故③错误；
对于④，向量是可以平移的矢量，当两个向量相等时，它们的起点和终点不一定相同，故④错误；
对于⑤，b→=0→时，a→//b→，b→//c→，则a→与c→不一定平行，故⑤错误．
综上，以上正确的命题个数是0．
故选A．
5.【答案】D;
【解析】解：如图；因为D，E分别是△ABC的边BC和AC的中点，
所以BE→=BC→+CE→=2DC→-12AC→=2(AC→-AD→)-12AC→=32AC→-2AD→=32b→-2a→.
故选：D.
根据向量的基底表示与线性运算计算．
本题考查向量的线性运算，属基础题．
6.【答案】C;
【解析】【分析】
本题考查了向量垂直与数量积的关系、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
a→⊥b→，可得a→⋅b→=0，解得m.再利用向量模的计算公式即可得出．
【解答】
解：∵a→⊥b→，
∴a→⋅b→=6-3m=0，解得m=2.
∴2a→-b→=(-4,-8)，
则|2a→-b→|=42+82=45.
故选：C.
7.【答案】B;
【解析】解：
∵P为线段DE上的动点，即D、P、E三点共线，
∴令AP→=λAD→+μAE→,λ+μ=1，
∵AD→=2DB→，AE→=2EC→，
∴AD→=23AB→,AE=23AB→，
∴AP→=λ·23AB→+μ·23AC→=23λAB→+23μAC→，
又∵AP→=lAB→+mAC→，
∴l=23λ,m=23μ，
∴l+m=23λ+23μ=23(λ+μ)=23，
故选：B.
通过已知条件，将AP→ 转化为有关AB→、AC→的表达式，再结合向量的三点共线定理，即可求解．
本题考查了平面向量的线性运算的应用及平面向量基本定理的应用，掌握三点共线时如何设立表达式的解本题的关键，属于中档题．
8.【答案】C;
【解析】解：∵三点A、B、P满足AP→=lPB→ (l≠±1)，∴OP→-OA→=l(OB→-OP→)，化为OP→=OA→+lOB→1+l.
故选C.
利用向量的三角形法则即可得出．
熟练掌握向量的三角形法则是解题的关键．
9.【答案】AC;
【解析】【分析】
本题考查命题的真假的判断，向量的基本性质的应用，是基础题．
利用向量是否共线，判断是否是基底，判断A，向量平行关系判断B；共线向量的充要条件判断C；向量模的性质判断D.
【解答】
解：a→-2b→=-(-a→+2b→)，两向量平行，不能做基底，故A错误；
由于a→，b→，c→均为非零向量，所以a→//b→，b→//c→，则a→一定平行于c→，B正确；
a→//b→，当a→≠0→，b→=0→时，不存在实数λ，使得a→=λb→成立，C错误；
由定义可知|a→|=1，|b→|=6，又||a→|-|b→||⩽|a→+b→|⩽||a→|+|b→||，
则|a→+b→|的取值范围[5,7]，D正确．
故选：AC.
10.【答案】ACD;
【解析】【分析】
本题主要考查平面向量基本定理以及向量的夹角运算，属于中档题.
利用给出的等式得出CA→=mCB→，从而判断A；利用平面向量的共线定理判断B；由OA→⋅OB→=OA→⋅OC→,得出OA⊥BC，再由AO→=λ(AB→|AB→|+AC→|AC→|)可知AO平分角A，判断C；由|OA→|=|OB→|=|OC→|=r(r > 0)，
以及OA→+OB→+OC→=0→，得出OA→+OB→=CO→，两边平方得出OA→和OB→的夹角为120°，OA→和OC→、OB→和OC→的夹角也为120°，进而判断D.
【解答】
解：对于选项A，OA→=m⋅OB→+(1-m)⋅OC→(m∈R)，
∴OA→-OC→=m(OB→-OC→)，∴CA→=mCB→，且有公共点C，
∴则点A、B、C共线，A正确；
对于选项B，根据平面向量的基本定理知，
不共线的向量a→和b→是一组基底，则平面α上的任一向量c→，
都可表示为c→=λa→+μb→(μ、λ∈R)，且表示方法唯一，
B中并没有说明向量a→和b→不共线，故B不正确；
对于选项C，平面向量OA→、OB→、OC→满足OA→⋅OB→=OA→⋅OC→,
则OA→⋅(OB→-OC→)=0,即OA→·CB→=0，于是OA⊥BC，
再由AO→=λ(AB→|AB→|+AC→|AC→|)可知AO平分角A，
故AB=AC，所以△ABC为等腰三角形，故C正确；
对于选项D，平面向量OA→、OB→、OC→满足|OA→|=|OB→|=|OC→|=r(r > 0)，
且OA→+OB→+OC→=0→，∴OA→+OB→=-OC→，即OA→+OB→=CO→，
∴OA→2+2OA→⋅OB→+OB→2=CO→2，
即r2+2r2⋅cos OA→，OB→ > +r2=r2，
∴cos OA→，OB→ > =-12，∴OA→和OB→的夹角为120°，
同理OA→和OC→、OB→和OC→的夹角也为120°，
∴△ABC是等边三角形，故D正确．
故选ACD.
11.【答案】BD;
【解析】解：因为CE→=CA→+AE→，AE→=13AD→，AD→=AB→+BD→，BD→=12BC→，BC→=BA→+AC→，
所以CE→=13AD→-AC→，BD→=13(BA→+AC→)，
所以AD→=AB→+BD→=AB→+13BA→+13AC→，
所以AE→=13(AB→+13BA→+13AC→)，
所以CE→=CA→+13AB→+19BA→+19AC→=29AB→-89AC→.
故选：BD.
由已知结合向量的线性表示及向量加法的三角形法则即可求解．
此题主要考查了向量的线性表示及平面向量的基本定理，根据三角形法则，结合向量的线性运算是求解问题的关键，属于基础题．
12.【答案】AC;
【解析】 此题主要考查平面向量的基本运算及向量共线的基本定理，属于较难题．
由向量共线的充要条件可得：当点P在直线AB上时，存在唯一的一对有序实数u，v，使得OP→=uOA→+vOB→成立，且u+v=1，则可以证明当点P位于阴影区域内的充要条件是：满足OP→=uOA→+vOB→，且u>;0，v>;0，u+v>;1，即可判断.解：如图所示，点P是阴影区域内的任意一点，
过点P作PE // ON，PF // OM，分别交OM，ON于点E，F，
PE交AB于点P'，过点P'作P'F' // OM交ON于点F'，
则存在唯一一对实数(x,y)，(u',v')，
使得OP→'=xOE→+yOF→'=u'OA→+v'OB→，
且u'+v'=1，u'，v'唯一；
同理存在唯一一对实数x'，y'，
使得OP→=x'OE→+y'OF→=x'OE→+y''OF→'=uOA→+vOB→，
而x'=x，y''>;y，
∴u=u'，v>;v'，∴u+v>;u'+v'=1.
∵1+2>;1，∴点P位于阴影区域内，即可判断出A正确，
同理C正确；而B、D不正确．
故选AC.
13.【答案】CD;
【解析】【分析】
本题主要考查的是向量的坐标运算，属于基础题.
结合向量模的坐标公式判断A，结合向量共线与垂直的坐标关系判断结合向量夹角计算公式判断D.
【解答】
解：选项A，因为|a→|=22+02=2,|b→|=12+12=2，所以错误；
选项B，因为a→-b→=(1,-1)，b→=(1,1)，而1×1≠(-1)×1，
所以(a→-b→)//b→错误；
选项C，因为(a→-b→)·b→=1-1=0，所以(a→-b→)⊥b→，则C正确；
选项D，因为cos⟨a→,b→⟩=a→·b→|a→||b→|=22×2=22，又⟨a→,b→⟩∈[0,π]，所以⟨a→,b→⟩=π4，所以正确.
故选CD.
14.【答案】58;
【解析】
此题主要考查平面向量在几何中的应用及平面向量基本定理得应用，属于中档题.
解：设AB中点D，
∵AO在∠BAC的平分线上，
AB=2，AC=3，
∴存在k，使AO→=k(AB→2+AC→3)=k2AB→+k3AC→，
∵D，O，C三点共线，D是AB的中点，
∴AO→=λøverrightarrowAD+(1-λ)AC→=λ2AB→+(1-λ)AC→，
∴由平面向量基本定理得k2=λ2k3=1-λ，
解得k=34，
∴AO→=38AB→+14AC→，
又∵AO→=xøverrightarrowAB+yøverrightarrowAC，
∴x+y=38+14=58.
故答案为58.
15.【答案】(35,45);
【解析】
此题主要考查了单位向量、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
利用与向量AB→同向的单位向量e→=1|AB→|.AB→即可得出．
解：AB→=(3,4)，
与向量AB→同向的单位向量e→=1|AB→|.AB→=15.(3,4)=(35,45).
故答案为：(35,45).
16.【答案】;
【解析】以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴立平面直角坐标系，则A(0,0)，D(0,1)，C(1,1)，B(2,0)，
由DQ→=λDC→可得Q(λ,1).由CP→=(1-λ)CB→可得P(2-λ,λ)，所以AP→=(2-λ,λ)，AQ→=(λ,1)，
则AP→·AQ→=-λ2+3λ(0⩽λ⩽1)，令F(λ)=-λ2+3λ(0⩽λ⩽1)，
由于该函数图象的对称轴为直线λ=32，则Fmin(λ)=F(0)，Fmax(λ)=F(1)=3-1=2，故0⩽F(λ)⩽2.
17.【答案】-9; 4;
【解析】解：∵向量a→=(3,-2),b→=(m,6)，a→//b→，
∴m3=6-2，解得m=-9；
∵a→⊥b→，∴a→.b→=3m-12=0，
解得m=4．
故答案为：-9，4．
利用向量平行的性质和向量垂直的性质直接求解．
该题考查实数值的求法，考査向量平行和向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
18.【答案】-13;
【解析】解：∵在ΔABC中，|AB→|=|AC→|，
∠BAC=120°，
过点A作AB的垂线交BC于点D，
如图
∴∠ABC=30°，
∴BD=2AD，
且∠ADB=60°，
所以DC=AD
∴BD=2AD=2DC，
∴AC→=AD→+DC→=AD→+12BD→=AD→+12(AD→-AB→)=32AD→-12AB→
又AC→=xAB→+yAD→，∴x=-12，y=32
∴xy=-13．
故答案为-13
由题意，可得出BD=2AD=2DC，由向量三角形法则可得出AC→=32AD→-12AB→，再结合AC→=xAB→+yAD→，根据平面向量基本定理，得出x，y的值，即可得出答案．
该题考查平面向量基本定理以及向量加法减法运算法则，属于向量基本题．
19.【答案】解：（1）因为a→与b→共线，所以设b→=μa→，又因为a→=2e→1-e→2，b→=e→1+λe→2，
所以e→1+λe→2=2μe→1-μe→2，得{2μ=1λ=-μ，解得λ=-12；
（2）设e→1=(m，n)，因为a→=2e→1-e→2=(3，0)，所以e→2=(2m-3，2n)，
得{m2+n2=1(2m-3)2+(2n)2=1，解得{m=32n=12或{m=32n=-12．
当e→1=(32，12)时，e→2=(0，1)；当e→1=(32，-12)时，e→2=(0，-1)．;
【解析】
(1)根据平面向量共线定理可解决此问题；
(2)设e→1=(m,n)，根据a→=2e→1-e→2与|e2→|=1，可解决此问题．
此题主要考查平面向量共线定理及坐标运算，考查数学运算能力，属于基础题．
20.【答案】解：(1)m→=a→+kb→=(-3+k,1-2k)，2a→-b→=(-7,4).
∵m→与向量2a→-b→垂直，∴m→⋅(2a→-b→)=-7(-3+k)+4(1-2k)=0，
解得k=53;
(2)kb→+c→=(k+1,-2k-1)，∵m→与向量kb→+c→平行，
∴(-2k-1)(-3+k)-(1-2k)(k+1)=0，解得k=-13.
;
【解析】
本题考查了向量垂直与数量积的关系、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
(1)由与向量2a→-b→垂直，可得m→⋅(2a→-b→)=0，解得k.
(2)利用向量共线定理即可得出．
21.【答案】解：(Ⅰ)由p→⋅q→=12，得2sinAsinB-cos(A-B)=12，
2sinAsinB-cosAcosB-sinAsinB=12，
∴cos(A+B)=-12，即cosC=12，
∵0
(Ⅱ)∵c=3，且C=π3，
∴3sinπ3=asinA=bsinB，
∴a=2sinA，b=2sinB．
∴b-a=2sinB-2sinA=2sin(A+π3)-2sinA，
=sinA+3cosA-2sinA=3cosA-sinA，
=2cos(A+π6)，
∵0
【解析】(Ⅰ)由p→⋅q→=12，得2sinAsinB-cos(A-B)=12，化简可得cosC=12，结合范围0
22.【答案】解：（1）AB→=（n-8，t），∵AB→⊥a→，且|AB→|=5|OA→|，∴-（n-8）+2t=0，(n-8)2+t2=85，
解得t=±8，t=8时，n=24；t=-8时，n=-8．
∴向量OB→=（24，8），（-8，-8）．（2）AC→=（ksinθ-8，t），
（2）∵向量AC→与向量a→共线，常数k＞0，∴t=-2ksinθ+16，
∴f（θ）=tsinθ=-2ksin2θ+16sinθ=-2k(sinθ-4k)2+32k．
①k＞4时，0＜4k＜1，∴sinθ=4k时，f（θ）=tsinθ取得最大值32k，
sinθ=-1时，f（θ）=tsinθ取得最小值-2k-16，此时函数f（θ）的值域为[-2k-16，32k]．
②4＞k＞0时，4k＞1．∴sinθ=1时，f（θ）=tsinθ取得最大值-2k+16，
sinθ=-1时，f（θ）=tsinθ取得最小值-2k-16，
此时函数f（θ）的值域为[-2k-16，-2k+16]．;
【解析】
(1)AB→=(n-8,t)，由AB→⊥a→，且|AB→|=5|OA→|，可得-(n-8)+2t=0，(n-8)2+t2=85，联立解出即可得出．
(2)AC→=(ksinθ-8,t)，由向量AC→与向量a→共线，常数k>0，可得t=-2ksinθ+16，f(θ)=tsinθ=-2ksin2θ+16sinθ=-2k(sinθ-4k)2+32k.对k分类讨论，利用三角函数的值域、二次函数的单调性即可得出．
该题考查了向量共线定理、模的计算公式、三角函数的值域、二次函数的单调性，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．
23.【答案】解：（1）（2）如下图所示：
（3）根据图形，|AB→|=3．;
【解析】
(1)根据要求画出点A的位置即可；
(2)根据要求找出点B的位置即可；
(3)根据图形即可求出|AB→|的值．
此题主要考查了向量的几何意义，向量长度的定义及求法，考查了作图能力，属于基础题．
人教B版（2019）必修第二册《第六章 平面向量初步》单元测试
一 、单选题（本大题共8小题，共40分）
1.（5分）已知平面上点O与线段AB，若线段AB上有n(n>1)个异于端点A、B的互异动点P1、P2、……、Pn，且满足O→Pk=λkOA→+μkOB→，λk、μk∈R，1⩽k⩽n，k∈Z，则(λ1λ2……λn)(μ1μ2……μn)的取值范围是( )
A. (0,12n) B. (0,14n)
C. (0,14n] D. [14n,+∞)
2.（5分）已知A、B、C、D四点共线，α∈(π2,π)，且向量AB→=(tanα,1)，CD→=(3tan2α,-2)，则tan(2α-π4)等于( )
A. -17 B. 17 C. -7 D. 7
3.（5分）已知平面内一正三角形ABC的外接圆半径为4，在三角形ABC中心为圆心r(0
4.（5分）下列命题中，正确的个数是( )
①单位向量都相等；
②模相等的两个平行向量是相等向量；
③若a→，b→满足|a→|>|b→|且a→与b→同向，则a→>b→；
④若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合；
⑤若a→//b→，b→//c→，则a→//c→．
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
5.（5分）已知D，E分别是△ABC的边BC和AC的中点，若AD→=a→，AC→=b→，则BE→=()
A. 12b→+a→ B. 12b→-13a→
C. 2b→-32a→ D. 32b→-2a→
6.（5分）已知向量a→=(1,-3),b→=(6,m)，若a→⊥b→，则|2a→-b→|等于()
A. 80 B. 160 C. D.
7.（5分）在三角形ABC中，AD→=2DB→，AE→=2EC→，P为线段DE上的动点，若AP→=lAB→+mAC→，λ，μ∈R，则l+m=()
A. 1 B. 23 C. 32 D. 2
8.（5分）设直线上三点A、B、P满足AP→=lPB→ (l≠±1)，O为平面上任意一点，则OP→与OA→、OB→的关系为()
A. OP→=OA→+lOB→ B. OP→=lOA→+(1-l)OB→
C. OP→=OA→+lOB→1+l D. OP→=1lOA→+11-lOB→
二 、多选题（本大题共5小题，共25分）
9.（5分）下列有关向量命题， 不正确的是()
A. 若{a→,b→}是平面向量的一组基底，则{a→-2b→,-a→+2b→}也是平面向量的一组基底
B. a→，b→，c→均为非零向量，若a→//b→，b→//c→，则a→//c→
C. 若a→//b，则存在唯一的实数λ，使得a→=λb→
D. 若|a→|=1，|b→|=6，则|a→+b→|的取值范围[5,7]
10.（5分）在给出的下列命题中，正确的是()
A. 设O、A、B、C是同一平面上的四个点，若OA→=m·OB→+(1-m)·OC→(m∈R)，则点A、B、C必共线
B. 若向量a→和b→是平面α上的两个向量，则平面α上的任一向量c→都可以表示为c→=λa→+μb→(μ、λ∈R)，且表示方法是唯一的
C. 已知平面向量OA→，OB→，OC→满足OA→·OB→=OA→·OC→，AO→=λ(AB|AB→|+AC→|AC→|)则△ABC为等腰三角形
D. 已知平面向量OA→，OB→，OC→满足|OA→|=|OB→|=|OC→|=r(r>0)，且OA→+OB→+OC→=0→，则ΔABC是等边三角形
11.（5分）如图所示，在ΔABC中，点D在边BC上，且CD=2DB，点E在边AD上，且AD=3AE，则( )
A. CE→=13AD→+AC→ B. CE→=13AD→-AC→
C. CE→=29AB→+89AC→ D. CE→=29AB→-89AC→
12.（5分）如图，A 、B 分别是射线OM 、ON 上的点，下列以O 为起点的向量中，终点落在阴影区域内的向量是( )
A. OA→+2OB→ B. 12OA→+13OB→
C. 34OA→+13OB→ D. 34OA→+15OB→
13.（5分）设向量a→=(2,0)，b→=(1,1)，则
A. |a→|=|b→| B. (a→-b→)//b→
C. (a→-b→)⊥b→ D. a→与b→的夹角为π4
三 、填空题（本大题共5小题，共25分）
14.（5分）在ΔABC中，AB=2，AC=3，角A的平分线与AB边上的中线交于点O，若=x+y(x,y∈R)，则x+y的值为____.
15.（5分）已知AB→=(3,4)，则与向量AB→同向的单位向量的坐标为_______________.
16.（5分）如图，在直角梯形ABCD中，AB//CD，AB=2，AD=DC=1，P是线段BC上一动点，Q是线段DC上一动点，DQ→=λDC→，CP→=(1-λ)CB→，则AP→·AQ→的取值范围是__________.
17.（5分）已知向量a→=(3,-2)，b→=(m,6)，若a→//b→，则m=______；若a→⊥b→，则m=______．
18.（5分）在ΔABC中，|AB→|=|AC→|，∠BAC=120°，过点A作AB的垂线交BC于点D，AC→=xAB→+yAD→，则xy=______．
四 、解答题（本大题共5小题，共60分）
19.（12分）已知e→1，e→2为不共线的单位向量，a→=2e→1-e→2，b→=e→1+λe→2，且a→与b→共线．
(1)求λ的值；
(2)若a→=(3,0)，分别求e→1和e→2的坐标．
20.（12分）已知向量a→=(-3,1)，b→=(1,-2)，m→=a→+kb→(k∈R).
(Ⅰ)若m→与向量2a→-b→垂直，求实数k的值；
(Ⅱ)若向量c→=(1,-1)，且m→与向量kb→+c→平行，求实数k的值．
21.（12分）在ΔABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知向量p→=(2sinA,cos(A-B))，q→=(sinB,-1)，且p→⋅q→=12．
(Ⅰ)求角C的大小；
(Ⅱ)若c=3，求b-a的取值范围．
22.（12分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量a→=(-1,2)，又点A(8,0)，B(n,t)，C(ksinθ,t)，θ∈R．
(1)若AB→⊥a→，且|AB→|=5|OA→|，求向量OB→；
(2)若向量AC→与向量a→共线，常数k>0，求f(θ)=tsinθ的值域．
23.（12分）在如图的方格纸中，画出下列向量.
(1)|OA→|=3，点A在点O的正西方向.
(2)|OB→|=32，点B在点O的北偏西45°方向.
(3)求出|AB→|的值.
答案和解析
1.【答案】B;
【解析】解：因为O→Pk=λkOA→+μkOB→，且三点Pk，A，B共线，
所以λk+μk=1，
因为Pk在线段AB上且异于端点A，B，
结合O→Pk=λkOA→+μkOB→以及平行四边形法则可得，λk>0，μk>0，
若λk=μk=12，此时Pk为线段AB的中点，仅有1个点，但n>1，
所以0<(λ1λ2……λn)(μ1μ2……μn)=(λ1μ1)(λ2μ2)……(λnμn)<(λ1+μ12)2.(λ2+μ22)2…(λn+μn2)2=14n，
故选：B.
根据三点Pk，A，B共线，得到λk、μk的关系式，结合基本不等式求解(λ1λ2……λn)(μ1μ2……μn)的取值范围即可．
此题主要考查了平面向量的理解和应用，主要考查了平面向量三点共线的应用以及基本不等式的运用，考查了逻辑推理能力与转化化归能力，属于中档题．
2.【答案】D;
【解析】解：∵A、B、C、D四点共线，α∈(π2,π)，且向量AB→=(tanα,1)，CD→=(3tan2α,-2)，
∴3tan2α+2tanα=0，化为：6tanα1-tan2α+2tanα=0，tanα>0，
解得tanα=2，tan2α=-43．
则tan(2α-π4)=tan2α-11+tan2α=-43-11-43=7．
故选：D．
利用向量共线定理可得tanα，再利用倍角公式与和差公式即可得出．
此题主要考查了向量共线定理、倍角公式与和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
3.【答案】A;
【解析】解：建立如图所示坐标系，
则点A(-2,23),B(-2,-23),C(4,0)，
设点M(rcosθ,rsinθ)，且0⩽θ<2π，
则|MA→+MB→+3MC→|=(8-5rcosθ)2+25r2sin2θ=64+25r2-80rcosθ
故当r=1，θ=π时，|MA→+MB→+3MC→|有最大值为13，
故选：A.
建立直角坐标系，可以表示出A，B，C的坐标，再设点M(rcosθ,rsinθ)，即可用r与θ表示出|MA→+MB→+3MC→|，即可求出答案．
此题主要考查了向量模长的最值问题，建立合适的坐标系，利用参数法求解是解题关键，属于中档题．
4.【答案】A;
【解析】
该题考查了平面向量的基本概念与应用问题，属于基础题．
根据平面向量的基本概念，对选项进行分析、判断正误即可．
解：对于①，单位向量的大小相等，但方向不一定相同，故①错误；
对于②，模相等的两个平行向量是相等向量或相反向量，故②错误；
对于③，向量是有方向的量，不能比较大小，故③错误；
对于④，向量是可以平移的矢量，当两个向量相等时，它们的起点和终点不一定相同，故④错误；
对于⑤，b→=0→时，a→//b→，b→//c→，则a→与c→不一定平行，故⑤错误．
综上，以上正确的命题个数是0．
故选A．
5.【答案】D;
【解析】解：如图；因为D，E分别是△ABC的边BC和AC的中点，
所以BE→=BC→+CE→=2DC→-12AC→=2(AC→-AD→)-12AC→=32AC→-2AD→=32b→-2a→.
故选：D.
根据向量的基底表示与线性运算计算．
本题考查向量的线性运算，属基础题．
6.【答案】C;
【解析】【分析】
本题考查了向量垂直与数量积的关系、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
a→⊥b→，可得a→⋅b→=0，解得m.再利用向量模的计算公式即可得出．
【解答】
解：∵a→⊥b→，
∴a→⋅b→=6-3m=0，解得m=2.
∴2a→-b→=(-4,-8)，
则|2a→-b→|=42+82=45.
故选：C.
7.【答案】B;
【解析】解：
∵P为线段DE上的动点，即D、P、E三点共线，
∴令AP→=λAD→+μAE→,λ+μ=1，
∵AD→=2DB→，AE→=2EC→，
∴AD→=23AB→,AE=23AB→，
∴AP→=λ·23AB→+μ·23AC→=23λAB→+23μAC→，
又∵AP→=lAB→+mAC→，
∴l=23λ,m=23μ，
∴l+m=23λ+23μ=23(λ+μ)=23，
故选：B.
通过已知条件，将AP→ 转化为有关AB→、AC→的表达式，再结合向量的三点共线定理，即可求解．
本题考查了平面向量的线性运算的应用及平面向量基本定理的应用，掌握三点共线时如何设立表达式的解本题的关键，属于中档题．
8.【答案】C;
【解析】解：∵三点A、B、P满足AP→=lPB→ (l≠±1)，∴OP→-OA→=l(OB→-OP→)，化为OP→=OA→+lOB→1+l.
故选C.
利用向量的三角形法则即可得出．
熟练掌握向量的三角形法则是解题的关键．
9.【答案】AC;
【解析】【分析】
本题考查命题的真假的判断，向量的基本性质的应用，是基础题．
利用向量是否共线，判断是否是基底，判断A，向量平行关系判断B；共线向量的充要条件判断C；向量模的性质判断D.
【解答】
解：a→-2b→=-(-a→+2b→)，两向量平行，不能做基底，故A错误；
由于a→，b→，c→均为非零向量，所以a→//b→，b→//c→，则a→一定平行于c→，B正确；
a→//b→，当a→≠0→，b→=0→时，不存在实数λ，使得a→=λb→成立，C错误；
由定义可知|a→|=1，|b→|=6，又||a→|-|b→||⩽|a→+b→|⩽||a→|+|b→||，
则|a→+b→|的取值范围[5,7]，D正确．
故选：AC.
10.【答案】ACD;
【解析】【分析】
本题主要考查平面向量基本定理以及向量的夹角运算，属于中档题.
利用给出的等式得出CA→=mCB→，从而判断A；利用平面向量的共线定理判断B；由OA→⋅OB→=OA→⋅OC→,得出OA⊥BC，再由AO→=λ(AB→|AB→|+AC→|AC→|)可知AO平分角A，判断C；由|OA→|=|OB→|=|OC→|=r(r > 0)，
以及OA→+OB→+OC→=0→，得出OA→+OB→=CO→，两边平方得出OA→和OB→的夹角为120°，OA→和OC→、OB→和OC→的夹角也为120°，进而判断D.
【解答】
解：对于选项A，OA→=m⋅OB→+(1-m)⋅OC→(m∈R)，
∴OA→-OC→=m(OB→-OC→)，∴CA→=mCB→，且有公共点C，
∴则点A、B、C共线，A正确；
对于选项B，根据平面向量的基本定理知，
不共线的向量a→和b→是一组基底，则平面α上的任一向量c→，
都可表示为c→=λa→+μb→(μ、λ∈R)，且表示方法唯一，
B中并没有说明向量a→和b→不共线，故B不正确；
对于选项C，平面向量OA→、OB→、OC→满足OA→⋅OB→=OA→⋅OC→,
则OA→⋅(OB→-OC→)=0,即OA→·CB→=0，于是OA⊥BC，
再由AO→=λ(AB→|AB→|+AC→|AC→|)可知AO平分角A，
故AB=AC，所以△ABC为等腰三角形，故C正确；
对于选项D，平面向量OA→、OB→、OC→满足|OA→|=|OB→|=|OC→|=r(r > 0)，
且OA→+OB→+OC→=0→，∴OA→+OB→=-OC→，即OA→+OB→=CO→，
∴OA→2+2OA→⋅OB→+OB→2=CO→2，
即r2+2r2⋅cos OA→，OB→ > +r2=r2，
∴cos OA→，OB→ > =-12，∴OA→和OB→的夹角为120°，
同理OA→和OC→、OB→和OC→的夹角也为120°，
∴△ABC是等边三角形，故D正确．
故选ACD.
11.【答案】BD;
【解析】解：因为CE→=CA→+AE→，AE→=13AD→，AD→=AB→+BD→，BD→=12BC→，BC→=BA→+AC→，
所以CE→=13AD→-AC→，BD→=13(BA→+AC→)，
所以AD→=AB→+BD→=AB→+13BA→+13AC→，
所以AE→=13(AB→+13BA→+13AC→)，
所以CE→=CA→+13AB→+19BA→+19AC→=29AB→-89AC→.
故选：BD.
由已知结合向量的线性表示及向量加法的三角形法则即可求解．
此题主要考查了向量的线性表示及平面向量的基本定理，根据三角形法则，结合向量的线性运算是求解问题的关键，属于基础题．
12.【答案】AC;
【解析】 此题主要考查平面向量的基本运算及向量共线的基本定理，属于较难题．
由向量共线的充要条件可得：当点P在直线AB上时，存在唯一的一对有序实数u，v，使得OP→=uOA→+vOB→成立，且u+v=1，则可以证明当点P位于阴影区域内的充要条件是：满足OP→=uOA→+vOB→，且u>;0，v>;0，u+v>;1，即可判断.解：如图所示，点P是阴影区域内的任意一点，
过点P作PE // ON，PF // OM，分别交OM，ON于点E，F，
PE交AB于点P'，过点P'作P'F' // OM交ON于点F'，
则存在唯一一对实数(x,y)，(u',v')，
使得OP→'=xOE→+yOF→'=u'OA→+v'OB→，
且u'+v'=1，u'，v'唯一；
同理存在唯一一对实数x'，y'，
使得OP→=x'OE→+y'OF→=x'OE→+y''OF→'=uOA→+vOB→，
而x'=x，y''>;y，
∴u=u'，v>;v'，∴u+v>;u'+v'=1.
∵1+2>;1，∴点P位于阴影区域内，即可判断出A正确，
同理C正确；而B、D不正确．
故选AC.
13.【答案】CD;
【解析】【分析】
本题主要考查的是向量的坐标运算，属于基础题.
结合向量模的坐标公式判断A，结合向量共线与垂直的坐标关系判断结合向量夹角计算公式判断D.
【解答】
解：选项A，因为|a→|=22+02=2,|b→|=12+12=2，所以错误；
选项B，因为a→-b→=(1,-1)，b→=(1,1)，而1×1≠(-1)×1，
所以(a→-b→)//b→错误；
选项C，因为(a→-b→)·b→=1-1=0，所以(a→-b→)⊥b→，则C正确；
选项D，因为cos⟨a→,b→⟩=a→·b→|a→||b→|=22×2=22，又⟨a→,b→⟩∈[0,π]，所以⟨a→,b→⟩=π4，所以正确.
故选CD.
14.【答案】58;
【解析】
此题主要考查平面向量在几何中的应用及平面向量基本定理得应用，属于中档题.
解：设AB中点D，
∵AO在∠BAC的平分线上，
AB=2，AC=3，
∴存在k，使AO→=k(AB→2+AC→3)=k2AB→+k3AC→，
∵D，O，C三点共线，D是AB的中点，
∴AO→=λøverrightarrowAD+(1-λ)AC→=λ2AB→+(1-λ)AC→，
∴由平面向量基本定理得k2=λ2k3=1-λ，
解得k=34，
∴AO→=38AB→+14AC→，
又∵AO→=xøverrightarrowAB+yøverrightarrowAC，
∴x+y=38+14=58.
故答案为58.
15.【答案】(35,45);
【解析】
此题主要考查了单位向量、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
利用与向量AB→同向的单位向量e→=1|AB→|.AB→即可得出．
解：AB→=(3,4)，
与向量AB→同向的单位向量e→=1|AB→|.AB→=15.(3,4)=(35,45).
故答案为：(35,45).
16.【答案】;
【解析】以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴立平面直角坐标系，则A(0,0)，D(0,1)，C(1,1)，B(2,0)，
由DQ→=λDC→可得Q(λ,1).由CP→=(1-λ)CB→可得P(2-λ,λ)，所以AP→=(2-λ,λ)，AQ→=(λ,1)，
则AP→·AQ→=-λ2+3λ(0⩽λ⩽1)，令F(λ)=-λ2+3λ(0⩽λ⩽1)，
由于该函数图象的对称轴为直线λ=32，则Fmin(λ)=F(0)，Fmax(λ)=F(1)=3-1=2，故0⩽F(λ)⩽2.
17.【答案】-9; 4;
【解析】解：∵向量a→=(3,-2),b→=(m,6)，a→//b→，
∴m3=6-2，解得m=-9；
∵a→⊥b→，∴a→.b→=3m-12=0，
解得m=4．
故答案为：-9，4．
利用向量平行的性质和向量垂直的性质直接求解．
该题考查实数值的求法，考査向量平行和向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
18.【答案】-13;
【解析】解：∵在ΔABC中，|AB→|=|AC→|，
∠BAC=120°，
过点A作AB的垂线交BC于点D，
如图
∴∠ABC=30°，
∴BD=2AD，
且∠ADB=60°，
所以DC=AD
∴BD=2AD=2DC，
∴AC→=AD→+DC→=AD→+12BD→=AD→+12(AD→-AB→)=32AD→-12AB→
又AC→=xAB→+yAD→，∴x=-12，y=32
∴xy=-13．
故答案为-13
由题意，可得出BD=2AD=2DC，由向量三角形法则可得出AC→=32AD→-12AB→，再结合AC→=xAB→+yAD→，根据平面向量基本定理，得出x，y的值，即可得出答案．
该题考查平面向量基本定理以及向量加法减法运算法则，属于向量基本题．
19.【答案】解：（1）因为a→与b→共线，所以设b→=μa→，又因为a→=2e→1-e→2，b→=e→1+λe→2，
所以e→1+λe→2=2μe→1-μe→2，得{2μ=1λ=-μ，解得λ=-12；
（2）设e→1=(m，n)，因为a→=2e→1-e→2=(3，0)，所以e→2=(2m-3，2n)，
得{m2+n2=1(2m-3)2+(2n)2=1，解得{m=32n=12或{m=32n=-12．
当e→1=(32，12)时，e→2=(0，1)；当e→1=(32，-12)时，e→2=(0，-1)．;
【解析】
(1)根据平面向量共线定理可解决此问题；
(2)设e→1=(m,n)，根据a→=2e→1-e→2与|e2→|=1，可解决此问题．
此题主要考查平面向量共线定理及坐标运算，考查数学运算能力，属于基础题．
20.【答案】解：(1)m→=a→+kb→=(-3+k,1-2k)，2a→-b→=(-7,4).
∵m→与向量2a→-b→垂直，∴m→⋅(2a→-b→)=-7(-3+k)+4(1-2k)=0，
解得k=53;
(2)kb→+c→=(k+1,-2k-1)，∵m→与向量kb→+c→平行，
∴(-2k-1)(-3+k)-(1-2k)(k+1)=0，解得k=-13.
;
【解析】
本题考查了向量垂直与数量积的关系、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
(1)由与向量2a→-b→垂直，可得m→⋅(2a→-b→)=0，解得k.
(2)利用向量共线定理即可得出．
21.【答案】解：(Ⅰ)由p→⋅q→=12，得2sinAsinB-cos(A-B)=12，
2sinAsinB-cosAcosB-sinAsinB=12，
∴cos(A+B)=-12，即cosC=12，
∵0
(Ⅱ)∵c=3，且C=π3，
∴3sinπ3=asinA=bsinB，
∴a=2sinA，b=2sinB．
∴b-a=2sinB-2sinA=2sin(A+π3)-2sinA，
=sinA+3cosA-2sinA=3cosA-sinA，
=2cos(A+π6)，
∵0
【解析】(Ⅰ)由p→⋅q→=12，得2sinAsinB-cos(A-B)=12，化简可得cosC=12，结合范围0
22.【答案】解：（1）AB→=（n-8，t），∵AB→⊥a→，且|AB→|=5|OA→|，∴-（n-8）+2t=0，(n-8)2+t2=85，
解得t=±8，t=8时，n=24；t=-8时，n=-8．
∴向量OB→=（24，8），（-8，-8）．（2）AC→=（ksinθ-8，t），
（2）∵向量AC→与向量a→共线，常数k＞0，∴t=-2ksinθ+16，
∴f（θ）=tsinθ=-2ksin2θ+16sinθ=-2k(sinθ-4k)2+32k．
①k＞4时，0＜4k＜1，∴sinθ=4k时，f（θ）=tsinθ取得最大值32k，
sinθ=-1时，f（θ）=tsinθ取得最小值-2k-16，此时函数f（θ）的值域为[-2k-16，32k]．
②4＞k＞0时，4k＞1．∴sinθ=1时，f（θ）=tsinθ取得最大值-2k+16，
sinθ=-1时，f（θ）=tsinθ取得最小值-2k-16，
此时函数f（θ）的值域为[-2k-16，-2k+16]．;
【解析】
(1)AB→=(n-8,t)，由AB→⊥a→，且|AB→|=5|OA→|，可得-(n-8)+2t=0，(n-8)2+t2=85，联立解出即可得出．
(2)AC→=(ksinθ-8,t)，由向量AC→与向量a→共线，常数k>0，可得t=-2ksinθ+16，f(θ)=tsinθ=-2ksin2θ+16sinθ=-2k(sinθ-4k)2+32k.对k分类讨论，利用三角函数的值域、二次函数的单调性即可得出．
该题考查了向量共线定理、模的计算公式、三角函数的值域、二次函数的单调性，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．
23.【答案】解：（1）（2）如下图所示：
（3）根据图形，|AB→|=3．;
【解析】
(1)根据要求画出点A的位置即可；
(2)根据要求找出点B的位置即可；
(3)根据图形即可求出|AB→|的值．
此题主要考查了向量的几何意义，向量长度的定义及求法，考查了作图能力，属于基础题．
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