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人教B版（2019）必修第二册《第六章 平面向量初步》（含解析）.1 试卷
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人教B版（2019）必修第二册《第六章 平面向量初步》2022年单元测试卷（1）
一 、单选题（本大题共12小题，共60分）
1.（5分）下列命题中正确的是()
A. 若AB→与CD→是共线向量，则A，B，C，D四点共线
B. 若a→//b→，b→//c→，则a→//c→
C. 不相等的两个向量一定不平行
D. 两个相等向量的模相等
2.（5分）在半径为10的圆上有三点A，B，C，其中A，B两点的坐标分别为(0,−4)、(103,6).现有两个命题：p：若∠ABC为60°，则三角形ABC的面积为503；q：若CD→=(−3,3)，则四边形ACBD的面积为403.
那么下列选项是真命题的是()
A. p且q B. p或q C. 非p且非q D. 非p或q
3.（5分）在平行四边形ABCD中，O是对角线交点，下列结论正确的是( )
A. AB→=CD→，BC→=AD→ B. BO→+OD→=AD→−AB→
C. AD→+OD→=OA→ D. AD→+DC→+CB→=BA→
4.（5分）已知空间向量AB→，BC→，CD→，AD→，则下列结论正确的是 ( )
A. AB→=BC→+CD→ B. AB→+CD→+BC→=AD→
C. AD→=AB→+BC→−CD→ D. BC→=BD→+CD→
5.（5分）设向量a→=(x−1,x)，b→=(−1,2)，若a→//b→，则x=()
A. −32 B. −1 C. 23 D. 32
6.（5分）若|a→+b→|=|a→−b→|=2|a→|，则向量a→−b→与b→的夹角为( )。
A. π6 B. π3 C. 2π3 D. 5π6
7.（5分）设向量a→，b→满足|a→|=1，|a→+b→|=3，a→⋅(a→+b→)=0，则|2a→−b→|=( )
A. 2 B. 23 C. 4 D. 43
8.（5分）设e1→，e2→是两个不共线的向量，已知AB→=2e1→+ke2→，CB→=e1→+3e2→，CD→=2e1→-e2→，若三点A，B，D共线，则k的值为( )
A. -8 B. 8 C. 6 D. -6
9.（5分）在△ABC中，AD→=2DB→,CE→=2EA→，则()
A. DE→=13CA→−23CB→ B. DE→=13CA→+23CB→
C. DE→=23CA→−13CB→ D. DE→=23CA→+13CB→
10.（5分）已知O为ΔABC内一点，满足4AO→=AB→+2AC→，则ΔAOB与ΔAOC面积之比为( )
A. 1：1 B. 1：2 C. 1：3 D. 2：1
11.（5分）李明开发的小程序在发布时已有500名初始用户，经过t天后，用户人数A(t)=A(0)ekt，其中k为常数．已知小程序发布经过10天后有2000名用户，则用户超过50000名至少经过的天数为()(本题取lg2=0.30)
A. 31 B. 32 C. 33 D. 34
12.（5分）如图所示，ΔABC中，点D是线段BC的中点，E是线段AD的靠近A的三等分点，则BE→= ( )
A. 76AB→+16AC→ B. −56AB→+16AC→
C. −23AB→+13AC→ D. −56AB→+13AC→
二 、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.（5分）若平面向量a→，b→满足|a→+b→|=1，a→+b→平行于x轴，b→=(2,−1)，则a→= ______ ．
14.（5分）已知i→，j→别是方向与x轴正方向、y轴正方向相同的单位向量，O为坐标原点，设OA→=(x2+x+1)i→−(x2−x+1)j→(x∈R)，则点A位于第 ______ 象限.
15.（5分）作用于同一点的三个力F1，F2，F3平衡，已知F1=4N，F2=5N，F1与F2之间的夹角是60°，则力F3的大小为 ______ N.
16.（5分）已知向量a→=(1,2)，b→=(3,x)，若a→⊥b→，则|a→−2b→|=________.
三 、解答题（本大题共6小题，共72分）
17.（12分）已知向量a→，b→，c→是同一平面内的三个向量，其中a→=(1,−2).
(1)若a→·c→=10，且c→//a→，求向量c→的坐标；
(2)若b→是单位向量，且a→⊥(a→−3b→)，求a→与b→的夹角θ的余弦值．
18.（12分）如图，在正六边形ABCDEF中，O为中心，AB→=a，AF→=b，求AC→，AD→，AE→.(用a，b表示)
19.（12分）已知平面内三个向量：a→=(3,2)，b→=(−1,2)，c→=(4,1)
(Ⅰ)若(a→+kc→)//(2b→−a→)，求实数k的值；
(Ⅱ)设d→=(x,y)，且满足(a→+b→)⊥(d→−c→)，|d→−c→|=5，求d→．
20.（12分）在如图的方格纸(每个小方格的边长为1)上，已知向量a→.
(1)试以B为起点画一个向量b→，使b→=a→；
(2)画一个以C为起点的向量c→，使|c→|=2，并说出c→的终点的轨迹是什么.
21.（12分）如图，A，B是单位圆上的相异两定点(O为圆心)，且∠AOB=θ(θ为锐角).点C为单位圆上的动点，线段AC交线段OB于点M.
(1)求OA→·AB→(结果用θ表示)；
(2)若θ=60°.
①求CA→·CB→的取值范围；
②设OM→=tOB→(0
22.（12分）
(1)已知向量a→=(−2,−1)，b→=(λ,1)，若a→与b→的夹角为钝角，求实数λ的取值范围；
(2)平面向量a→,b→,c→不共线，且两两所成的角相等，若|a→|=|b→|=2，|c→|=1，求|a→+b→+c→|；
答案和解析
1.【答案】D;
【解析】解：对于A：若AB→与CD→是共线向量，则A，B，C，D四点共线或AB→//CD→，故A错误；
对于B：若a→//b→，b→//c→，(b→≠0→)，则a→//c→，故B错误；
对于C：不相等的两个向量一定不平行，应该对于向量来讲，向量相等和向量平行没有关系，故C错误；
对于D：向量相等，则方向一定相同，模长一定相等，故D正确．
故选：D.
直接利用向量相等和向量共线的充要条件的应用判断A、B、C、D的结论．
本题考查的知识要点：向量相等和向量共线的充要条件的应用，主要考查学生对基础知识的理解，属于基础题．
2.【答案】B;
【解析】解：根据题意，A，B两点的坐标分别为(0,−4)、(103,6)，则|AB|=300+100=20，则AB为圆的直径，△ABC为直角三角形，∠C=90°，
对于p，若∠ABC为60°，而△ABC为直角三角形，则|AC|=103，|BC|=10，其面积S=503，p是真命题，
对于q，AB→=(103,10)，CD→=(−3,3)，则AB→⋅CD→=−30+30=0，则AB→⋅CD→垂直，
四边形ACBD的面积为|AB→||CD→|=203，q是假命题；
故p或q为真，
故选：B.
根据题意，分析命题p、q的真假，进而由复合命题真假的判断方法分析选项，即可得答案．
此题主要考查命题真假的判断，涉及向量数量积的计算，属于中档题．
3.【答案】B;
【解析】解：如图所示，依次分析选项：
对于A、AB→=DC→，BC→=AD→，故A错误；
对于B、BO→+OD→=BD→，AD→−AB→=BD→，则有BO→+OD→=AD→−AB→，故B正确；
对于C、AD→+OD→≠OA→，故C错误；
对于D、AD→+DC→+CB→=AB→，故D错误；
故选：B．
根据题意，由向量的定义依次分析选项，综合即可得答案．
该题考查了平行四边形的性质以及平面向量的线性运算问题，关键是理解平面向量的定义．
4.【答案】B;
【解析】
此题主要考查向量的线性运算，考查简单的运算能力，属于基础题.
根据空间向量的加减运算可得B正确．
解：由题知空间向量AB→，BC→，CD→，AD→，
所以对于A，BD→=BC→+CD→，即A错误；
对于B，AD→=AB→+CD→+BC→，即B正确；
对于C，AD→=AB→+BC→+CD→ ，即C错误；
对于D，BC→=BD→+DC→ ，即D错误；
故选B.
5.【答案】C;
【解析】【分析】
本题考查平面向量共线的条件，属于基础题.
由a→//b→，则2(x−1)−x·(−1)=0，解出x即可.
【解答】
解：由a→//b→，可得2(x−1)−x·(−1)=0，
解得x=23.
故选C.
6.【答案】D;
【解析】
此题主要考查平面向量的相关知识，考查数形结合思想，属于基础题.
根据条件，画出图形，设AD→=a→,AB→=b→，则a→−b→与→ b的夹角为BD→与øverrightarrowAB的夹角，由此可得答案 .
解：由题意作图如上，设AD→=a→,AB→=b→，
则|→ a+→ b|=|AC→|=|→ a−→ b|=|BD→|=2|→ a|，
即矩形ABCD中，AC=BD=2AD，
∴∠ABD=π 6，
故向量a→−b→与→ b的夹角为BD→与øverrightarrowAB的夹角，即π−∠ABD=5π 6.
故选D.
7.【答案】B;
【解析】解：∵向量a→，b→满足|a→|=1，|a→+b→|=3，且a→⋅(a→+b→)=0，
∴a2→+2a→.b→+b2→=3=1+2a→.b→+b2→，且a2→=−a→.b→=1，
∴b2→=4，−a→.b→=1，∴a2→+2a→.b→+b2→=1−2+4=3，
则|2a→−b→|=(2a→−b→)2=4a2→−4a→.b→+b2→=4+4+4=23，
故选：B．
由条件利用两个向量的数量积的定义求得b2→=4，−a→.b→=1，从而求得|2a→−b→|的值．
此题主要考查两个向量的数量积的定义，求向量的模的方法，属于基础题．
8.【答案】A;
【解析】【分析】
本题考查向量平行的判断，属基础题，A，B，D三点共线，故必存在一个实数λ，使得AB→=λBD→.然后利用向量加减运算和共线向量基本定理得到方程组，求解即可
【解答】
解：BD→=CD→−CB→=2e1→−e2→−e1→−3e2→=e1→−4e2→，因为三点A，B，D共线，所以AB→与BD→共线，则存在实数λ，使得AB→=λBD→，即2e1→+ke2→=λe1→−4λe2→，由向量相等的条件得{2=λk=−4λ，所以k=−8.
故选A.
9.【答案】A;
【解析】
【分析】
本题考查了向量的三角形法则和向量的数乘运算，属于基础题．
根据向量的加减的几何意义和三角形法则即可求出．
【解答】
解：如图：
∵AD→=2DB→，CE→=2EA→，
∴DE→=AE→−AD→，
=13AC→−23AB→
=13AC→−23(AC→+CB→)
=13AC→−23AC→−23CB→
=−13AC→−23CB→
=13CA→−23CB→，
故选A.
10.【答案】D;
【解析】
该题考查向量的几何运用，属于中档题．
设AB的中点为D，利用向量的运算法则得到O为中线CD的中点，从而得到三角形面积的关系．
解：设AB的中点为D，
∵O为ΔABC内一点，满足4AO→=AB→+2AC→，
∴−4OA→=OB→−OA→+2OC→−2OA→，
∴OB→+OA→=−2OC→=2OD→，
∴O为中线CD的中点，
∴ΔAOD，ΔBOD，ΔAOC的面积相等，
∴ΔAOB与ΔAOC的面积之比为2：1，
故选：D．
11.【答案】D;
【解析】解：经过t天后，用户人数A(t)=A(0)ekt，
∵李明开发的小程序在发布时已有500名初始用户，
∴A(0)=500，
∵小程序发布经过10天后有2000名用户，
∴2000=500e10k，即4=e10k，
∴lg4=10k⋅lge①，
当用户达到50000名时，有50000=500ekt，即100=ekt，
∴lg100=lgekt，即2=kt⋅lge②，
联立①②可得，lg42=10t，即2lg22=10t，
∴t=10lg2=100.3≈33.3，
故用户超过50000名至少经过的天数为34天．
故选：D.
根据已知条件，列出等式，再结合对数函数的公式，即可求解．
此题主要考查函数的实际应用，掌握对数函数的公式是解本题的关键，属于中档题．
12.【答案】B;
【解析】
此题主要考查平面向量基本定理和平面向量的线性运算，考查推理能力和计算能力，属于基础题.
由BE→=BA→+AE→=BA→+13AD→=BA→+13×12(AB→+AC→)即可求解．
解：由题意，得BE→=BA→+AE→=BA→+13AD→=BA→+13×12(AB→+AC→)=−56AB→+16AC→.
故选B.
13.【答案】（-3，1）或（-1，1）;
【解析】解：设a→=(x,y)，
∵|a→+b→|=1，a→+b→平行于x轴，b→=(2,−1)，
∴a→+b→=(x+2,y−1)，
∴(x+2)2+(y−1)2=1y−1=0；
解得x=−3y=1，或x=−1y=1；
∴a→=(−3,1)或a→=(−1,1)．
故答案为：(−3,1)或(−1,1)．
设出a→=(x,y)，根据题意列出方程组，求出方程组的解来．
该题考查了平面向量的应用问题，解题时应根据题意，列出方程组，即可求出答案，是基础题．
14.【答案】四;
【解析】解：由题意可得，OA→=(x2+x+1)i→−(x2−x+1)j→(x∈R)，
故A=(x2+x+1,−x2+x−1)，
∵x2+x+1=(x+12)2+34>0，
−(x2−x+1)=−[(x−12)2+34]<0，
∴点A位于第四象限．
故答案为：四．
由题意可得，OA→=(x2+x+1)i→−(x2−x+1)j→(x∈R)，可得A=(x2+x+1,−x2+x−1)，判断A的横坐标、纵坐标正负号，即可求解，
此题主要考查了向量的坐标表示，以及二次函数的值域范围，属于基础题．
15.【答案】61;
【解析】解：根据题意知，F3=|F1→+F2→|=(F1→+F2→)2=F12+F22+2F1.F2.cos60°=16+25+2×4×5×12=61.
故答案为：61.
根据条件及F3=|F1→+F2→|=(F1→+F2→)2进行数量积的运算即可求出答案．
此题主要考查了利用向量解决物理知识的方法，向量数量积的运算及计算公式，向量长度的求法，考查了计算能力，属于基础题．
16.【答案】52;
【解析】
【分析】
本题考查平面向量垂直的条件及模的计算，属于基础题.
由a→⊥b→求出x，然后利用模的计算公式求解即可.
【解答】
解： 因为a→=(1,2)，b→=(3,x)，a→⊥b→，
所以a→·b→=3+2x=0，
得x=−32，
所以a→−2b→=(−5,5)，
则|a→−2b→|=(−5)2+52=52.
故答案为52.
17.【答案】解：(1)设c→=(x,y)，由a→·c→=10，且c→//a→，
得{y+2x=0x−2y=10，
所以{x=2y=−4，
故c→=(2,−4).
(2)因为|b→|=1，且a→⊥(a→−3b→)，
所以a→⋅(a→−3b→)=0，
即a→2−3a→⋅b→=0，
所以5−3a→⋅b→=0，得a→⋅b→=53，
即cosθ=a→⋅b→|a→|⋅|b→|=53.
;
【解析】此题主要考查向量的坐标的求法，考查向量的夹角的求法，考查向量平行、向量垂直、向量的数量积等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于基础题．
(1)设c→=(x,y)，由a→·c→=10，且c→//a→，列出方程组，能求出向量c→的坐标；
(2)由|b→|=1，且a→⊥(a→−3b→)，得a→⋅b→=53，由此能求出a→与b→的夹角θ的余弦值．
18.【答案】解：由向量的平行四边形法则，有→ AO=→ AB+→ AF=→ a+→ b，
在平行四边形ABCO中，
→ AC=→ AB+→ AO=2→ a+→ b,→ AD=2→ AO=2→ a+2→ b,
→ AE=→ AF+→ FE=→ a+2→ b.
;
【解析】
此题主要考查平面向量加法运算，
根据平面向量加法的平行四边形法则和三角形法则，计算即可.
19.【答案】解：因为a→=(3,2)，b→=(−1,2)，c→=(4,1)，
所以(Ⅰ)a→+kc→=(3+4k，2+k)，2b→−a→=(−5,2)，
又(a→+kc→)//(2b→−a→)，
所以2(3+4k)+5(2+k)=0，解得k=−1613；
(Ⅱ)d→=(x，y)，且满足(a→+b→)⊥(d→−c→)，|d→−c→|=5，
又a→+b→=(2,4)，d→−c→=(x−4,y−1)，
所以2(x−4)+4(y−1)=0(x−4)2+(y−1)2=5，解得x=6y=0或x=2y=2，
所以d→=(6,0)或者(2,2)．;
【解析】该题考查了平面向量的坐标运算以及向量平行、垂直时的坐标关系，属于基础题．
(Ⅰ)根据向量的加减法及数乘运算表示向量a→+kc→和2b→−a→，再结合向量平行的条件求解即可；
(Ⅱ)由题表示向量a→+b→与d→−c→，根据向量垂直的条件及模长计算，求解可得答案．
20.【答案】解：（1）根据相等向量的定义，所作向量b→应与a→同向，且长度相等，如下图所示．
（2）由平面几何知识可作满足条件的向量c→，所有这样的向量c→的终点的轨迹是以点C为圆心，2为半径的圆，如下图所示．
;
【解析】
(1)根据向量相等的定义作图．
(2)由平面几何知识可作满足条件的向量c→，进而得到向量c→的终点的轨迹．
此题主要考查了平面向量的概念和向量相等的定义，同时考查了学生的作图能力，是基础题．
21.【答案】解：如图以O为原点以OA为x轴正半轴建立直角坐标系系，则A（1，0），B（cosθ，sinθ），
（1）OA→⋅AB→=(1，0)⋅(cosθ−1，sinθ)=cosθ−1；
（2）由题知B(12，32)，
①设C（cosx，sinx），x∈[60，180°]，则
CA→⋅CB→=(1−cosx，−sinx)⋅(12−cosx，32−sinx)=32−3sin(x+60°)=32，
当x+60°=180°，即x=120°，
此时∠BOC=60°；
②因为OM→=tOB→(0＜t＜1)，设∠AOC=α所以α∈（60，180°），
在△AOM中由正弦定理OMsin(90∘−α2)=1sin(30∘+α2)得
OM=cosα212cosα2+32sinα2=112+32u，其中u=tanα2∈(33，+∞)，
∴S△COMS△ABM=S△AOC−S△AOMS△AOB−S△AOM=12sinα−34⋅21+3u34−34⋅21+3u
=u1+u2−34⋅21+3u34−34⋅21+3u=23⋅u+3u2+1．
令m=u+3＞433，
所以S△COMS△ABM=23⋅1m−23+4m，
因为m+4m−23∈(33，+∞)，S△COMS△ABM∈(0，2)，
所以f（t）∈（0，2）．;
【解析】
(1)以O为原点，以OA为x轴正半轴建系，则利用坐标法易得；
(2)①可设点C的坐标，利用数量积及三角函数的知识即可求出∠BOC；②设∠AOC=α，通过正弦定理及三角形面积公式表示出S△COMS△ABM，再利用整体代换，对勾函数的性质求出S△COMS△ABM的取值范围，即为函数f(t)的值域．
此题主要考查平面向量的数量积运算，考查学生的运算能力，属于中档题．
22.【答案】(1)−12,2∪2,+∞
(2)1;
【解析】(1)
此题主要考查利用平面向量数量积坐标运算研究向量的夹角，考查向量反向的判断，若a→与b→的夹角为钝角，则a→.b→=−2λ−1<0，所以λ>−12，当−1×λ=−2×1，即λ=2时，a→与b→反向，即可得出λ的范围.
解：若a→与b→的夹角为钝角，
则a→.b→=−2λ−1<0，所以λ>−12，
当−1×λ=−2×1，即λ=2时，a→与b→反向，
所以λ的取值范围为−12,2∪2,+∞.
故答案为−12,2∪2,+∞.
(2)
此题主要考查利用平面向量数量积运算求向量的模，由已知可得向量两两夹角为120∘，a→+b→+c→=a→+b→+c→2，由向量数量积运算得出结果.
解：平面向量a→，b→，c→不共线，且两两所成的角相等，
则它们两两夹角为120∘，
所以a→+b→+c→=a→+b→+c→2
=a→2+b→2+c→2+2øverrightarrowa.b→+2→. ac→+2øverrightarrowb.c→
=22+22+12+2×2×2×−1 2+2×2×1×−1 2+2×2×1×−1 2=1.
故答案为1.
人教B版（2019）必修第二册《第六章 平面向量初步》2022年单元测试卷（1）
一 、单选题（本大题共12小题，共60分）
1.（5分）下列命题中正确的是()
A. 若AB→与CD→是共线向量，则A，B，C，D四点共线
B. 若a→//b→，b→//c→，则a→//c→
C. 不相等的两个向量一定不平行
D. 两个相等向量的模相等
2.（5分）在半径为10的圆上有三点A，B，C，其中A，B两点的坐标分别为(0,−4)、(103,6).现有两个命题：p：若∠ABC为60°，则三角形ABC的面积为503；q：若CD→=(−3,3)，则四边形ACBD的面积为403.
那么下列选项是真命题的是()
A. p且q B. p或q C. 非p且非q D. 非p或q
3.（5分）在平行四边形ABCD中，O是对角线交点，下列结论正确的是( )
A. AB→=CD→，BC→=AD→ B. BO→+OD→=AD→−AB→
C. AD→+OD→=OA→ D. AD→+DC→+CB→=BA→
4.（5分）已知空间向量AB→，BC→，CD→，AD→，则下列结论正确的是 ( )
A. AB→=BC→+CD→ B. AB→+CD→+BC→=AD→
C. AD→=AB→+BC→−CD→ D. BC→=BD→+CD→
5.（5分）设向量a→=(x−1,x)，b→=(−1,2)，若a→//b→，则x=()
A. −32 B. −1 C. 23 D. 32
6.（5分）若|a→+b→|=|a→−b→|=2|a→|，则向量a→−b→与b→的夹角为( )。
A. π6 B. π3 C. 2π3 D. 5π6
7.（5分）设向量a→，b→满足|a→|=1，|a→+b→|=3，a→⋅(a→+b→)=0，则|2a→−b→|=( )
A. 2 B. 23 C. 4 D. 43
8.（5分）设e1→，e2→是两个不共线的向量，已知AB→=2e1→+ke2→，CB→=e1→+3e2→，CD→=2e1→-e2→，若三点A，B，D共线，则k的值为( )
A. -8 B. 8 C. 6 D. -6
9.（5分）在△ABC中，AD→=2DB→,CE→=2EA→，则()
A. DE→=13CA→−23CB→ B. DE→=13CA→+23CB→
C. DE→=23CA→−13CB→ D. DE→=23CA→+13CB→
10.（5分）已知O为ΔABC内一点，满足4AO→=AB→+2AC→，则ΔAOB与ΔAOC面积之比为( )
A. 1：1 B. 1：2 C. 1：3 D. 2：1
11.（5分）李明开发的小程序在发布时已有500名初始用户，经过t天后，用户人数A(t)=A(0)ekt，其中k为常数．已知小程序发布经过10天后有2000名用户，则用户超过50000名至少经过的天数为()(本题取lg2=0.30)
A. 31 B. 32 C. 33 D. 34
12.（5分）如图所示，ΔABC中，点D是线段BC的中点，E是线段AD的靠近A的三等分点，则BE→= ( )
A. 76AB→+16AC→ B. −56AB→+16AC→
C. −23AB→+13AC→ D. −56AB→+13AC→
二 、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.（5分）若平面向量a→，b→满足|a→+b→|=1，a→+b→平行于x轴，b→=(2,−1)，则a→= ______ ．
14.（5分）已知i→，j→别是方向与x轴正方向、y轴正方向相同的单位向量，O为坐标原点，设OA→=(x2+x+1)i→−(x2−x+1)j→(x∈R)，则点A位于第 ______ 象限.
15.（5分）作用于同一点的三个力F1，F2，F3平衡，已知F1=4N，F2=5N，F1与F2之间的夹角是60°，则力F3的大小为 ______ N.
16.（5分）已知向量a→=(1,2)，b→=(3,x)，若a→⊥b→，则|a→−2b→|=________.
三 、解答题（本大题共6小题，共72分）
17.（12分）已知向量a→，b→，c→是同一平面内的三个向量，其中a→=(1,−2).
(1)若a→·c→=10，且c→//a→，求向量c→的坐标；
(2)若b→是单位向量，且a→⊥(a→−3b→)，求a→与b→的夹角θ的余弦值．
18.（12分）如图，在正六边形ABCDEF中，O为中心，AB→=a，AF→=b，求AC→，AD→，AE→.(用a，b表示)
19.（12分）已知平面内三个向量：a→=(3,2)，b→=(−1,2)，c→=(4,1)
(Ⅰ)若(a→+kc→)//(2b→−a→)，求实数k的值；
(Ⅱ)设d→=(x,y)，且满足(a→+b→)⊥(d→−c→)，|d→−c→|=5，求d→．
20.（12分）在如图的方格纸(每个小方格的边长为1)上，已知向量a→.
(1)试以B为起点画一个向量b→，使b→=a→；
(2)画一个以C为起点的向量c→，使|c→|=2，并说出c→的终点的轨迹是什么.
21.（12分）如图，A，B是单位圆上的相异两定点(O为圆心)，且∠AOB=θ(θ为锐角).点C为单位圆上的动点，线段AC交线段OB于点M.
(1)求OA→·AB→(结果用θ表示)；
(2)若θ=60°.
①求CA→·CB→的取值范围；
②设OM→=tOB→(0
22.（12分）
(1)已知向量a→=(−2,−1)，b→=(λ,1)，若a→与b→的夹角为钝角，求实数λ的取值范围；
(2)平面向量a→,b→,c→不共线，且两两所成的角相等，若|a→|=|b→|=2，|c→|=1，求|a→+b→+c→|；
答案和解析
1.【答案】D;
【解析】解：对于A：若AB→与CD→是共线向量，则A，B，C，D四点共线或AB→//CD→，故A错误；
对于B：若a→//b→，b→//c→，(b→≠0→)，则a→//c→，故B错误；
对于C：不相等的两个向量一定不平行，应该对于向量来讲，向量相等和向量平行没有关系，故C错误；
对于D：向量相等，则方向一定相同，模长一定相等，故D正确．
故选：D.
直接利用向量相等和向量共线的充要条件的应用判断A、B、C、D的结论．
本题考查的知识要点：向量相等和向量共线的充要条件的应用，主要考查学生对基础知识的理解，属于基础题．
2.【答案】B;
【解析】解：根据题意，A，B两点的坐标分别为(0,−4)、(103,6)，则|AB|=300+100=20，则AB为圆的直径，△ABC为直角三角形，∠C=90°，
对于p，若∠ABC为60°，而△ABC为直角三角形，则|AC|=103，|BC|=10，其面积S=503，p是真命题，
对于q，AB→=(103,10)，CD→=(−3,3)，则AB→⋅CD→=−30+30=0，则AB→⋅CD→垂直，
四边形ACBD的面积为|AB→||CD→|=203，q是假命题；
故p或q为真，
故选：B.
根据题意，分析命题p、q的真假，进而由复合命题真假的判断方法分析选项，即可得答案．
此题主要考查命题真假的判断，涉及向量数量积的计算，属于中档题．
3.【答案】B;
【解析】解：如图所示，依次分析选项：
对于A、AB→=DC→，BC→=AD→，故A错误；
对于B、BO→+OD→=BD→，AD→−AB→=BD→，则有BO→+OD→=AD→−AB→，故B正确；
对于C、AD→+OD→≠OA→，故C错误；
对于D、AD→+DC→+CB→=AB→，故D错误；
故选：B．
根据题意，由向量的定义依次分析选项，综合即可得答案．
该题考查了平行四边形的性质以及平面向量的线性运算问题，关键是理解平面向量的定义．
4.【答案】B;
【解析】
此题主要考查向量的线性运算，考查简单的运算能力，属于基础题.
根据空间向量的加减运算可得B正确．
解：由题知空间向量AB→，BC→，CD→，AD→，
所以对于A，BD→=BC→+CD→，即A错误；
对于B，AD→=AB→+CD→+BC→，即B正确；
对于C，AD→=AB→+BC→+CD→ ，即C错误；
对于D，BC→=BD→+DC→ ，即D错误；
故选B.
5.【答案】C;
【解析】【分析】
本题考查平面向量共线的条件，属于基础题.
由a→//b→，则2(x−1)−x·(−1)=0，解出x即可.
【解答】
解：由a→//b→，可得2(x−1)−x·(−1)=0，
解得x=23.
故选C.
6.【答案】D;
【解析】
此题主要考查平面向量的相关知识，考查数形结合思想，属于基础题.
根据条件，画出图形，设AD→=a→,AB→=b→，则a→−b→与→ b的夹角为BD→与øverrightarrowAB的夹角，由此可得答案 .
解：由题意作图如上，设AD→=a→,AB→=b→，
则|→ a+→ b|=|AC→|=|→ a−→ b|=|BD→|=2|→ a|，
即矩形ABCD中，AC=BD=2AD，
∴∠ABD=π 6，
故向量a→−b→与→ b的夹角为BD→与øverrightarrowAB的夹角，即π−∠ABD=5π 6.
故选D.
7.【答案】B;
【解析】解：∵向量a→，b→满足|a→|=1，|a→+b→|=3，且a→⋅(a→+b→)=0，
∴a2→+2a→.b→+b2→=3=1+2a→.b→+b2→，且a2→=−a→.b→=1，
∴b2→=4，−a→.b→=1，∴a2→+2a→.b→+b2→=1−2+4=3，
则|2a→−b→|=(2a→−b→)2=4a2→−4a→.b→+b2→=4+4+4=23，
故选：B．
由条件利用两个向量的数量积的定义求得b2→=4，−a→.b→=1，从而求得|2a→−b→|的值．
此题主要考查两个向量的数量积的定义，求向量的模的方法，属于基础题．
8.【答案】A;
【解析】【分析】
本题考查向量平行的判断，属基础题，A，B，D三点共线，故必存在一个实数λ，使得AB→=λBD→.然后利用向量加减运算和共线向量基本定理得到方程组，求解即可
【解答】
解：BD→=CD→−CB→=2e1→−e2→−e1→−3e2→=e1→−4e2→，因为三点A，B，D共线，所以AB→与BD→共线，则存在实数λ，使得AB→=λBD→，即2e1→+ke2→=λe1→−4λe2→，由向量相等的条件得{2=λk=−4λ，所以k=−8.
故选A.
9.【答案】A;
【解析】
【分析】
本题考查了向量的三角形法则和向量的数乘运算，属于基础题．
根据向量的加减的几何意义和三角形法则即可求出．
【解答】
解：如图：
∵AD→=2DB→，CE→=2EA→，
∴DE→=AE→−AD→，
=13AC→−23AB→
=13AC→−23(AC→+CB→)
=13AC→−23AC→−23CB→
=−13AC→−23CB→
=13CA→−23CB→，
故选A.
10.【答案】D;
【解析】
该题考查向量的几何运用，属于中档题．
设AB的中点为D，利用向量的运算法则得到O为中线CD的中点，从而得到三角形面积的关系．
解：设AB的中点为D，
∵O为ΔABC内一点，满足4AO→=AB→+2AC→，
∴−4OA→=OB→−OA→+2OC→−2OA→，
∴OB→+OA→=−2OC→=2OD→，
∴O为中线CD的中点，
∴ΔAOD，ΔBOD，ΔAOC的面积相等，
∴ΔAOB与ΔAOC的面积之比为2：1，
故选：D．
11.【答案】D;
【解析】解：经过t天后，用户人数A(t)=A(0)ekt，
∵李明开发的小程序在发布时已有500名初始用户，
∴A(0)=500，
∵小程序发布经过10天后有2000名用户，
∴2000=500e10k，即4=e10k，
∴lg4=10k⋅lge①，
当用户达到50000名时，有50000=500ekt，即100=ekt，
∴lg100=lgekt，即2=kt⋅lge②，
联立①②可得，lg42=10t，即2lg22=10t，
∴t=10lg2=100.3≈33.3，
故用户超过50000名至少经过的天数为34天．
故选：D.
根据已知条件，列出等式，再结合对数函数的公式，即可求解．
此题主要考查函数的实际应用，掌握对数函数的公式是解本题的关键，属于中档题．
12.【答案】B;
【解析】
此题主要考查平面向量基本定理和平面向量的线性运算，考查推理能力和计算能力，属于基础题.
由BE→=BA→+AE→=BA→+13AD→=BA→+13×12(AB→+AC→)即可求解．
解：由题意，得BE→=BA→+AE→=BA→+13AD→=BA→+13×12(AB→+AC→)=−56AB→+16AC→.
故选B.
13.【答案】（-3，1）或（-1，1）;
【解析】解：设a→=(x,y)，
∵|a→+b→|=1，a→+b→平行于x轴，b→=(2,−1)，
∴a→+b→=(x+2,y−1)，
∴(x+2)2+(y−1)2=1y−1=0；
解得x=−3y=1，或x=−1y=1；
∴a→=(−3,1)或a→=(−1,1)．
故答案为：(−3,1)或(−1,1)．
设出a→=(x,y)，根据题意列出方程组，求出方程组的解来．
该题考查了平面向量的应用问题，解题时应根据题意，列出方程组，即可求出答案，是基础题．
14.【答案】四;
【解析】解：由题意可得，OA→=(x2+x+1)i→−(x2−x+1)j→(x∈R)，
故A=(x2+x+1,−x2+x−1)，
∵x2+x+1=(x+12)2+34>0，
−(x2−x+1)=−[(x−12)2+34]<0，
∴点A位于第四象限．
故答案为：四．
由题意可得，OA→=(x2+x+1)i→−(x2−x+1)j→(x∈R)，可得A=(x2+x+1,−x2+x−1)，判断A的横坐标、纵坐标正负号，即可求解，
此题主要考查了向量的坐标表示，以及二次函数的值域范围，属于基础题．
15.【答案】61;
【解析】解：根据题意知，F3=|F1→+F2→|=(F1→+F2→)2=F12+F22+2F1.F2.cos60°=16+25+2×4×5×12=61.
故答案为：61.
根据条件及F3=|F1→+F2→|=(F1→+F2→)2进行数量积的运算即可求出答案．
此题主要考查了利用向量解决物理知识的方法，向量数量积的运算及计算公式，向量长度的求法，考查了计算能力，属于基础题．
16.【答案】52;
【解析】
【分析】
本题考查平面向量垂直的条件及模的计算，属于基础题.
由a→⊥b→求出x，然后利用模的计算公式求解即可.
【解答】
解： 因为a→=(1,2)，b→=(3,x)，a→⊥b→，
所以a→·b→=3+2x=0，
得x=−32，
所以a→−2b→=(−5,5)，
则|a→−2b→|=(−5)2+52=52.
故答案为52.
17.【答案】解：(1)设c→=(x,y)，由a→·c→=10，且c→//a→，
得{y+2x=0x−2y=10，
所以{x=2y=−4，
故c→=(2,−4).
(2)因为|b→|=1，且a→⊥(a→−3b→)，
所以a→⋅(a→−3b→)=0，
即a→2−3a→⋅b→=0，
所以5−3a→⋅b→=0，得a→⋅b→=53，
即cosθ=a→⋅b→|a→|⋅|b→|=53.
;
【解析】此题主要考查向量的坐标的求法，考查向量的夹角的求法，考查向量平行、向量垂直、向量的数量积等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于基础题．
(1)设c→=(x,y)，由a→·c→=10，且c→//a→，列出方程组，能求出向量c→的坐标；
(2)由|b→|=1，且a→⊥(a→−3b→)，得a→⋅b→=53，由此能求出a→与b→的夹角θ的余弦值．
18.【答案】解：由向量的平行四边形法则，有→ AO=→ AB+→ AF=→ a+→ b，
在平行四边形ABCO中，
→ AC=→ AB+→ AO=2→ a+→ b,→ AD=2→ AO=2→ a+2→ b,
→ AE=→ AF+→ FE=→ a+2→ b.
;
【解析】
此题主要考查平面向量加法运算，
根据平面向量加法的平行四边形法则和三角形法则，计算即可.
19.【答案】解：因为a→=(3,2)，b→=(−1,2)，c→=(4,1)，
所以(Ⅰ)a→+kc→=(3+4k，2+k)，2b→−a→=(−5,2)，
又(a→+kc→)//(2b→−a→)，
所以2(3+4k)+5(2+k)=0，解得k=−1613；
(Ⅱ)d→=(x，y)，且满足(a→+b→)⊥(d→−c→)，|d→−c→|=5，
又a→+b→=(2,4)，d→−c→=(x−4,y−1)，
所以2(x−4)+4(y−1)=0(x−4)2+(y−1)2=5，解得x=6y=0或x=2y=2，
所以d→=(6,0)或者(2,2)．;
【解析】该题考查了平面向量的坐标运算以及向量平行、垂直时的坐标关系，属于基础题．
(Ⅰ)根据向量的加减法及数乘运算表示向量a→+kc→和2b→−a→，再结合向量平行的条件求解即可；
(Ⅱ)由题表示向量a→+b→与d→−c→，根据向量垂直的条件及模长计算，求解可得答案．
20.【答案】解：（1）根据相等向量的定义，所作向量b→应与a→同向，且长度相等，如下图所示．
（2）由平面几何知识可作满足条件的向量c→，所有这样的向量c→的终点的轨迹是以点C为圆心，2为半径的圆，如下图所示．
;
【解析】
(1)根据向量相等的定义作图．
(2)由平面几何知识可作满足条件的向量c→，进而得到向量c→的终点的轨迹．
此题主要考查了平面向量的概念和向量相等的定义，同时考查了学生的作图能力，是基础题．
21.【答案】解：如图以O为原点以OA为x轴正半轴建立直角坐标系系，则A（1，0），B（cosθ，sinθ），
（1）OA→⋅AB→=(1，0)⋅(cosθ−1，sinθ)=cosθ−1；
（2）由题知B(12，32)，
①设C（cosx，sinx），x∈[60，180°]，则
CA→⋅CB→=(1−cosx，−sinx)⋅(12−cosx，32−sinx)=32−3sin(x+60°)=32，
当x+60°=180°，即x=120°，
此时∠BOC=60°；
②因为OM→=tOB→(0＜t＜1)，设∠AOC=α所以α∈（60，180°），
在△AOM中由正弦定理OMsin(90∘−α2)=1sin(30∘+α2)得
OM=cosα212cosα2+32sinα2=112+32u，其中u=tanα2∈(33，+∞)，
∴S△COMS△ABM=S△AOC−S△AOMS△AOB−S△AOM=12sinα−34⋅21+3u34−34⋅21+3u
=u1+u2−34⋅21+3u34−34⋅21+3u=23⋅u+3u2+1．
令m=u+3＞433，
所以S△COMS△ABM=23⋅1m−23+4m，
因为m+4m−23∈(33，+∞)，S△COMS△ABM∈(0，2)，
所以f（t）∈（0，2）．;
【解析】
(1)以O为原点，以OA为x轴正半轴建系，则利用坐标法易得；
(2)①可设点C的坐标，利用数量积及三角函数的知识即可求出∠BOC；②设∠AOC=α，通过正弦定理及三角形面积公式表示出S△COMS△ABM，再利用整体代换，对勾函数的性质求出S△COMS△ABM的取值范围，即为函数f(t)的值域．
此题主要考查平面向量的数量积运算，考查学生的运算能力，属于中档题．
22.【答案】(1)−12,2∪2,+∞
(2)1;
【解析】(1)
此题主要考查利用平面向量数量积坐标运算研究向量的夹角，考查向量反向的判断，若a→与b→的夹角为钝角，则a→.b→=−2λ−1<0，所以λ>−12，当−1×λ=−2×1，即λ=2时，a→与b→反向，即可得出λ的范围.
解：若a→与b→的夹角为钝角，
则a→.b→=−2λ−1<0，所以λ>−12，
当−1×λ=−2×1，即λ=2时，a→与b→反向，
所以λ的取值范围为−12,2∪2,+∞.
故答案为−12,2∪2,+∞.
(2)
此题主要考查利用平面向量数量积运算求向量的模，由已知可得向量两两夹角为120∘，a→+b→+c→=a→+b→+c→2，由向量数量积运算得出结果.
解：平面向量a→，b→，c→不共线，且两两所成的角相等，
则它们两两夹角为120∘，
所以a→+b→+c→=a→+b→+c→2
=a→2+b→2+c→2+2øverrightarrowa.b→+2→. ac→+2øverrightarrowb.c→
=22+22+12+2×2×2×−1 2+2×2×1×−1 2+2×2×1×−1 2=1.
故答案为1.
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