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人教B版（2019）必修第二册《第六章 平面向量初步》（含解析） 试卷
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人教B版（2019）必修第二册《第六章 平面向量初步》2022年单元测试卷
一 、单选题（本大题共12小题，共60分）
1.（5分）已知直角梯形ABCD中，AD//BC，∠ADC=90°，AD=DC=2，BC=1，P是DC的中点，则|PA→+PB→|=( )
A. 3 B. 5 C. 3 D. 9
2.（5分）已知a→=(2,-1),b→=(1,m)，且a→+b→=λ(a→-b→)(λ≠0)，则实数m的值为( )
A. 12 B. 1 C. -12 D. -12或1
3.（5分）过点P(1,2)引直线，使A(2,3)，B(4,-5)到它的距离相等，则这条直线的方程为( )
A. 4x+y-6=0 B. x+4y-6=0
C. 2x+3y-7=0或x+4y-6=0 D. 3x+2y-7=0或4x+y-6=0
4.（5分）已知a=(3,t)，b=(-1,2)，若存在非零实数λ，使得a=λ(a+b)，则t=( )
A. 6 B. -6 C. -32 D. 23
5.（5分）观察如图所示的向量，其中小方格的边长为1，那么下列说法正确的是()
A. AB→//CD→ B. CD→=GH→
C. CD→与GH→是相反向量 D. AB→与EF→共线
6.（5分）已知0⩽θ<2π，两个向量O→P1=(cosθ,sinθ)，O→P2=(2+sinθ,2-cosθ)，则向量P1→P2长度的最大值是( )
A. 2 B. 3 C. 32 D. 23
7.（5分）如果向量a→=(1,2)，b→=(4,3)，那么等于a→-2b→=()
A. (9,8) B. (-7,-4) C. (7,4) D. (-9,-8)
8.（5分）如图，在△ABC中，AN→=13NC→，P是BN上一点，若AP→=(2m+15)AB→+15BC→，则实数m的值是()
A. 110 B. 310 C. 1 D. 3
9.（5分）已知单位向量a→，b→满足a→·b→=0，若(a→-c→)·(b→-c→)=0，并且c→=λa→+μb→，那么λ+μ的最大值为()
A. 2 B. 22 C. 2 D. 32
10.（5分）某人在无风条件下骑自行车的速度为v1，风速为v2(|v1|>|v2|)，则逆风行驶的速度的大小为( )
A. v1-v2 B. v1+v2 C. |v1|-|v2| D. v1v2
11.（5分）已知ΔABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P满足PA→+PB→+PC→=AB→，则点P与ΔABC的关系为( )
A. P在ΔABC内部 B. P在ΔABC外部
C. P在AB边所在直线上 D. P是AC边的一个三等分点
12.（5分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线l：x-ky+1=0与圆C：x2+y2=4相交于A，B两点，OM→=OA→+OB→.若点M在圆C上，则实数k=( )
A. -2 B. -1 C. 0 D. 1
二 、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.（5分）已知△ABC的重心为M，过M的直线分别交线段AB，AC于点E，F(点E，F不重合)，若AE→=mAB→，AF→=nAC→，则m+n的最小值为 ______.
14.（5分）设D为ΔABC的边AC靠近A的三等分点，BD→=λBA→+13BC→，则λ=______．
15.（5分）如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态．已知两条绳上的拉力分别是F1→，F2→，且F1→，F2→与水平夹角均为45°，|F1→|=|F2→|=42N，则物体的重力大小为 ______N.
16.（5分）黄金分割是指用一个点把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比，其比值为5-12，该点称为这条线段的黄金分割点，已知在边长为1的等边△ABC中，D是BC边的一个黄金分割点(BD>CD)，E是直线AD上一点，若AE→=AB→+kAC→，则AB→·AE→=__________.
三 、解答题（本大题共6小题，共72分）
17.（12分）已知平行四边形OABC中，若P是该平面上任意一点，则满足OP→=λOA→+μOB→(λ,μ∈R)．
(1)若P是BC的中点，求λ+μ的值；
(2)若A、B、P三点共线，求证：λ+μ=1．
18.（12分）已知三点A(2,1)，B(4,3)，D(0,3)．
(Ⅰ)求证：AB⊥AD；
(Ⅱ)若四边形ABCD为矩形，求点C的坐标及|AC→|.
19.（12分）已知A(1,1)，B(3,-1)，C(a,b)
(1)若A，B，C三点共线，求a，b的关系式；
(2)若AC→=2AB→，求点C的坐标．
20.（12分）如图，已知O为平面直角坐标系的原点，∠OAB=∠ABC=150°，|OA→|=|BC→|=|AB→|=2.
(1)求OC→的坐标；
(2)若四边形ABCD为平行四边形，求|OB→+OD→|.
21.（12分）在ΔABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，q→=(2a,1)，p→=(2b-c,cosC)且p→//q→．
求：
(Ⅰ)求sinA的值；
(Ⅱ)求三角函数式-2cos2C1+tanC+1的取值范围．
22.（12分）如图所示，以向量OA→=a→，OB→=b→为边作平行四边形AOBD，又BM→=13BC→，CN→=13CD→.
(1)用a→，b→表示OM→，ON→；
(2)OA=1，OB=3，∠AOB=π3，求|MN→|.
答案和解析
1.【答案】C;
【解析】解：因为PA→=PD→+DA→=12CD→+DA→，
PB→=PC→+CB→=12DC→+12DA→=-12CD→+12DA→，
所以|PA→+PB→|=|12CD→+DA→-12CD→+12DA→|=|DA→+12DA→|=|32DA→|=32×2=3，
故选：C.
将所求向量均用CD→，DA→表示后运算即可．
此题主要考查了平面向量基本定理，属于基础题．
2.【答案】C;
【解析】解：∵a→=(2,-1),b→=(1,m)，
∴a→+b→=(3,m-1)，a→-b→=(1,-1-m)，
∵a→+b→=λ(a→-b→)(λ≠0)，
∴m-1=3(-1-m)，
解得：m=-12，
故选：C.
先求出a→+b→和a→-b→的坐标，再利用向量共线的坐标关系求解．
此题主要考查了平面向量的坐标运算，考查了向量共线的坐标关系，是基础题．
3.【答案】D;
【解析】解法一 ∵kAB=-4，线段AB中点C(3,-1)，
∴过P(1,2)与直线AB平行的直线方程为y-2=-4(x-1)，
即4x+y-6=0.此直线符合题意.
过P(1,2)与线段AB中点C(3,-1)的直线方程为 y-2=-32(x-1)，即3x+2y-7=0.此直线也是所求.
故所求直线方程为4x+y-6=0或3x+2y-7=0.
∴即4x+y-6=0或3x+2y-7=0.
解法二 显然这条直线斜率存在
设直线方程为y=kx+b，据条件有
2=k+b2k-3+bk2+1=4k+5+bk2+1
化简得 k+b=2k=-4或 k+b=23k+b+1=0
∴k=-4，b=6或 k=-32，b=72
∴直线方程为y=-4x+6或 y=-32x+72.
即4x+y-6=0或3x+2y-7=0.
4.【答案】B;
【解析】
此题主要考查向量的坐标运算，属于基础题.
解：a+b=2,2+t，
∵a=λ(a+b)，
所以3,t=2λ,2λ+tλ，
所以λ=32，t=-6.
故选B.
5.【答案】D;
【解析】解：由图可知，AB→与CD→所在直线不重合也不平行，∴A错；
由图可知，CD→与GH→模相等，但不平行，∴BC错；
由图可知，AB→与EF→是相反向量，∴共线，∴D对．
故选：D.
根据图中向量的模及方向可可解决此题．
本题考查向量概念及模、向量共线，考查数学运算能力及直观想象能力，属于基础题．
6.【答案】C;
【解析】解：由向量的减法知，P1→P2=O→P2-O→P1=(2+sinθ-cosθ,2-cosθ-sinθ)，
∴|P1→P2|=(2+sinθ-cosθ)2+(2-cosθ-sinθ)2
=4+4(sinθ-cosθ)+(sinθ-cosθ)2+4-4(sinθ+cosθ)+(cosθ+sinθ)2
=10-8cosθ，
∵0⩽θ<2π，∴-1⩽cosθ⩽1，
则当cosθ=-1时，P1→P2的长度有最大值是32．
故选：C．
根据向量的减法法则求出P1→P2的坐标，利用向量模的坐标公式和同角平方关系，化简向量P1→P2的模代数式，再根据已知角的范围和余弦函数性质，求出P1→P2模的最大值．
该题考查了向量减法和向量模的坐标运算，利用了同角的平方关系和余弦函数的性质，考查了运用知识和解决问题的能力．
7.【答案】B;
【解析】解：向量a→=(1,2)，b→=(4,3)，
则于a→-2b→=(1,2)-2(4,3)=(1,2)-(8,6)=(1-8,2-6)=(-7,-4)，
故选：B.
根据向量的坐标的运算法则计算即可．
本题考查了向量的坐标运算，关键是掌握运算法则，属于基础题．
8.【答案】A;
【解析】解：根据题意得：AP→=(2m+15)AB→+15(AC→-AB→)=2mAB→+15AC→=2mAB→+15×4AN→=2mAB→+45AN→，
∵B，P，N三点共线，∴2m+45=1，解得m=110.
故选：A.
把AP→用AB→和AN→表示，再根据三点B、P、N共线可解决此题．
此题主要考查平面向量线性运算，考查数学运算能力，所以中档题．
9.【答案】A;
【解析】解：不妨设a→=(1,0)，b→=(0,1)，则由c→=λa→+μb→=λ(1,0)+μ(0,1)=(λ,μ)，
因为(a→-c→)·(b→-c→)=0，即(1-λ,-μ)⋅(-λ,1-μ)=λ2-λ+μ2-μ=0，
设t=λ+μ，即μ=t-λ，代入上式可得λ2-λ+(t-λ)2-(t-λ)=0，
整理可得2λ2-2tλ+t2-t=0，
所以Δ=4t2-8(t2-t)⩾0，解得0⩽t⩽2，
所以λ+μ=t的最大值为2，
故选：A.
根据条件不妨设a→=(1,0)，b→=(0,1)，则c→=(λ,μ)，由(a→-c→)·(b→-c→)=0可得λ，μ的关系式，设t=λ+μ，表示出μ，代入上述关系式，结合△⩾0可得t的最大值．
此题主要考查平面向量数量积的性质及其运算，考查转化思想，属于中档题．
10.【答案】C;
【解析】解：根据题意，要求逆风行驶的速度，
即v1与v2方向相反，而|v1|>|v2|
则逆风行驶的速度大小为|v1|-|v2|.
故选：C.
根据题意，题目要求的是速度的大小，即向量的大小，v1与v2方向相反，由向量的加法可得答案．
此题主要考查向量模的计算，注意向量的定义，属于基础题．
11.【答案】D;
【解析】解：∵PA→+PB→+PC→=AB→，
∴PA→+PB→+PC→=PB→-PA→，∴PC→=-2PA→=2AP→，
∴P是AC边的一个三等分点．
故选项为D
利用向量的运算法则将等式变形，得到PC→=2AP→，据三点共线的充要条件得出结论．
该题考查向量的运算法则及三点共线的充要条件．
12.【答案】C;
【解析】
此题主要考查了直线与圆相交的性质，考查向量加减法的意义，点到直线的距离公式的应用，考查学生的计算能力，属于简单题．
设AB的中点为D，有OM→=OA→+OB→=2OD→，即圆心到直线的距离等于半径的一半，由点到直线的距离公式列方程解出实数k的值．
解：设AB的中点为D，有OM→=OA→+OB→=2OD→，
∴|OM→|=2|OD→|=R=2，
∴|OD→|=1．
由点到直线的距离公式得1=|0-0+1|k2+1，解得k=0，
故选：C．
13.【答案】43;
【解析】解：延长AM交BC边于K，则K是BC边的中点，
则AK→=12AB→+12AC→，
AM→=23AK→=23(12AB→+12AC→)=13AB→+13AC→，
∵AE→=mAB→，AF→=nAC→，∴AB→=1mAE→，AC→=1nAF→，
则AM→=13(1mAE→+1nAF→)=13mAE→+13nAF→，
∵B，M，F三点共线，∴13m+13n=1，
则m+n=(m+n)(13m+13n)=13+13+n3m+m3n⩾23+2n3m·m3n=23+23=43，
当且仅当n3m=m3n，即m=n时取等号，
即m+n的最小值为43.
故答案为：43.
延长AM交BC边于K，则K是BC边的中点，根据中点向量公式以及B，M，F三点关系得到13m+13n=1，然后利用基本不等式进行求解即可．
本题主要考查向量基本的应用，利用中点向量公式，以及三点共线，基本不等式进行转化是解决本题的关键，是中档题．
14.【答案】23;
【解析】解：如图，
BD→=BA→+AD→=BA→+13AC→=BA→+13(BC→-BA→)=23BA→+13BC→，
则λ=23，
故答案为：23
利用三角形法则推出BD→=23BA→+13BC→，与已知比较可得λ．
该题考查了平面向量基本定理，属基础题．
15.【答案】8;
【解析】解：设F1→，F2→的合力为F→，则F→=F1→+F2→，
∵F1→，F2→的夹角为90°，
∴ F 2 → = ( F 1 → + F 2 → ) 2 = F 1 → 2 + F 2 → 2 + 2øverrightarrow F 1 ⋅ F 2 → = 32 + 32 = 64，
∴|F→|=8，
∵物体平衡状态．∴物体的重力大小为8.
故答案为：8.
根据向量加法的平行四边形法则得到合力F→=F1→+F2→，进而求出F2→=(F1→+F2→)2的值，从而得出物体重力的大小．
此题主要考查了向量加法的平行四边形法则，平面向量的求模公式，考查了计算能力，属于基础题．
16.【答案】5+54;
【解析】【分析】
本题考查平面向量基本定理，向量的运算，属中档题.
根据黄金分割点的定义得到BD→=5-12BC→，运算得到AD→=3-52AB→+5-12AC→，可得k值，再由向量的数量积运算求解.【解答】
解：根据黄金分割点的定义得到BD→=5-12BC→，
即AD→-AB→=5-12(AC→-AB→)，
化为AD→=3-52AB→+5-12AC→，
设AE→=mAD→=3-52mAB→+5-12mAC→，
由题意{3-52m=15-12m=k，解得k=5+12，
所以AE→=AB→+5+12AC→，
又△ABC为边长为1的等边三角形，故AB→·AE→=AB→·(AB→+5+12AC→)=AB→2+5+12AC→·AB→=1+5+12×1×1×12=5+54.
17.【答案】解：（1）若P是BC的中点，则OP→=12(OB→+OC→)=12(OB→+OB→-OA→)=-12OA→+OB→，
又OP→=λOA→+μOB→，
∴根据平面向量基本定理得，λ=-12μ=1，
∴λ+μ=12；
（2）证明：∵A，B，P三点共线，
∴AP→和AB→共线，
∴存在实数k，使AP→=kAB→，
∴OP→-OA→=k(OB→-OA→)，
∴OP→=(1-k)OA→+kOB→，
又OP→=λOA→+μOB→，
∴根据平面向量基本定理得，λ+μ=1-k+k=1．;
【解析】
(1)P是BC的中点时，可得出OP→=-12OA→+OB→，从而根据平面向量基本定理得出λ+μ=12；
(2)根据A，B，P三点共线可得出AP→与AB→共线，从而得出AP→=kAB→，进而得出OP→=(1-k)OA→+kOB→，这样根据平面向量基本定理即可得出λ+μ=1．
该题考查了向量加法的平行四边形法则，共线向量和平面向量基本定理，以及向量减法的几何意义，向量的数乘运算，考查了计算和推理能力，属于基础题．
18.【答案】证明：(Ⅰ)∵三点A(2,1)，B(4,3)，D(0,3)．
∴AB→=(2,2)，AD→=(-2,2)，
∴AB→⋅AD→=4-4=0，
∴AB⊥AD．
(Ⅱ)设C(x,y)，
∵AB→⊥AD→，四边形ABCD为矩形，
∴BA→=(-2,-2)，BC→=(x-4,y-3)，DA→=(2,-2)，DC→=(x+2,y-2)，
BA→.BC→=-2(x-4)-2(y-3)=0，且DA→.DC→=2(x+2)-2(y-2)，
解得x=-32，y=52，
∴点C的坐标C(-32,52).
|AC→|=(-32-2)2+(52-1)2=582．;
【解析】该题考查向量垂直的证明，考查点的坐标和两点间距离的求法，考查向量垂直、向量坐标运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
(Ⅰ)求出AB→=(2,2)，AD→=(-2,2)，从而AB→⋅AD→=4-4=0，由此能证明AB⊥AD．
(Ⅱ)设C(x,y)，则BA→=(-2,-2)，BC→=(x-4,y-3)，DA→=(2,-2)，DC→=(x+2,y-2)，由BA→.BC→=-2(x-4)-2(y-3)=0，且DA→.DC→=2(x+2)-2(y-2)，由此能求出点C的坐标和|AC→|.
19.【答案】解：（1）∵A（1，1），B（3，-1），C（a，b）
∴øversetAB→=（2，-2），
AC→=（a-1，b-1）
∵A（1，1），B（3，-1），C（a，b）三点共线
∴AB→//AC→
∴-2（a-1）=2（b-1）
即a=2-b．
（2）若AC→=2AB→，即（a-1，b-1）=2（2，-2）所以a-1=4，b-1=-4，
得a=5，b=-3
点C的坐标（5，-3）．;
【解析】
利用向量坐标的求法求出两个向量的坐标；利用向量共线的坐标形式的充要条件列出方程，求出a，b的关系式．
该题考查向量坐标的求法、考查向量共线的坐标形式的充要条件．
20.【答案】解：（1）如图1所示，过点B作BM⊥x轴，BN∥x轴，CN⊥BN，M、N分别为垂足．
显然，∠BAM=30°，∠CBN=60°．
故|AM|=|CN|=3，|BM|=|BN|=1．
所以C(3+3，1+3)，从而OC→=(3+3，1+3)．
（2）如图2所示，设AC∩BD=P，
由平行四边形法则，OA→+OC→=OB→+OD→=2OP→，
由于OA→=(2，0)，
所以|OB→+OD→|=|OA→+OC→|=28+33．;
【解析】
(1)过点B作BM⊥x轴，BN//x轴，CN⊥BN，M、N分别为垂足，由题意可求|AM|=|CN|=3，|BM|=|BN|=1，可求C的坐标，即可得解．
(2)设AC∩BD=P，由平行四边形法则可得OA→+OC→=OB→+OD→=2øverrightarrowOP，由OA→=(2,0)，即可计算得解．
此题主要考查向量的坐标与向量的模，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．
21.【答案】解：（I）∵p→∥q→，∴2acosC=1×（2b-c），
根据正弦定理，得2sinAcosC=2sinB-sinC，
又∵sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，
∴2cosAsinC-sinC=0，即sinC（2cosA-1）=0
∵C是三角形内角，sinC≠0
∴2cosA-1=0，可得cosA=12
∵A是三角形内角，
∴A=π3，得sinA=32 …（5分）
（II）-2cos2C1+tanC+1=2(sin2C-cos2C)1+sinCcosC+1=2cosC（sinC-cosC）+1=sin2C-cos2C，
∴-2cos2C1+tanC+1=2sin（2C-π4），
∵A=π3，得C∈（0，2π3），
∴2C-π4∈（-π4，13π12），可得-22＜sin（2C-π4）≤1，
∴-1＜2sin（2C-π4）≤2，
即三角函数式-2cos2C1+tanC+1的取值范围是（-1，2]． …（11分）;
【解析】
(I)根据向量平行的充要条件列式：2b-c=2acosC，结合正弦定理与两角和的正弦公式，化简可得2cosAsinC=sinC，最后用正弦的诱导公式化简整理，可得cosA=12，从而得到sinA的值；
(II)将三角函数式用二倍角的余弦公式结合“切化弦”，化简整理得2sin(2C-π4)，再根据A=π3算出C的范围，得到sin(2C-π4)的取值范围，最终得到原三角函数式的取值范围．
本题给出向量平行，通过列式化简求A的大小，并求关于B的三角式的取值范围．着重考查了平面向量平行、三角恒等化简、正弦定理和诱导公式等知识，属于中档题．
22.【答案】解（1）BA→=OA→-OB→=a→-b→，∴OM→=- OB+BM→=OB→+1 3BC→=OB→+1 6- BA=1 6a→+5 6b→，
OD→=a→+b→，ON→=OC→+- CN=1 2OD→+1 6OD→=2 3OD→=2 3a→+2 3b→；
（2）∵MN→=ON→-OM→=23a→+23b→-16a→-56b→=12a→-16b→，
∴|- MN|=(1 2a→-1 6b→)2=1 4a2→+2×1 2×(-1 6)a→⋅b→+1 36b2→=1 4-1 4+1 4=1 2．;
【解析】
(1)按照向量几何意义的加减运算法则运算即可；
(2)按照向量几何意义加减运算法则及求向量模的方法计算即可．
此题主要考查平面向量几何意义加减运算、平面向量数量积性质及运算，考查数学运算能力，属于中档题．
人教B版（2019）必修第二册《第六章 平面向量初步》2022年单元测试卷
一 、单选题（本大题共12小题，共60分）
1.（5分）已知直角梯形ABCD中，AD//BC，∠ADC=90°，AD=DC=2，BC=1，P是DC的中点，则|PA→+PB→|=( )
A. 3 B. 5 C. 3 D. 9
2.（5分）已知a→=(2,-1),b→=(1,m)，且a→+b→=λ(a→-b→)(λ≠0)，则实数m的值为( )
A. 12 B. 1 C. -12 D. -12或1
3.（5分）过点P(1,2)引直线，使A(2,3)，B(4,-5)到它的距离相等，则这条直线的方程为( )
A. 4x+y-6=0 B. x+4y-6=0
C. 2x+3y-7=0或x+4y-6=0 D. 3x+2y-7=0或4x+y-6=0
4.（5分）已知a=(3,t)，b=(-1,2)，若存在非零实数λ，使得a=λ(a+b)，则t=( )
A. 6 B. -6 C. -32 D. 23
5.（5分）观察如图所示的向量，其中小方格的边长为1，那么下列说法正确的是()
A. AB→//CD→ B. CD→=GH→
C. CD→与GH→是相反向量 D. AB→与EF→共线
6.（5分）已知0⩽θ<2π，两个向量O→P1=(cosθ,sinθ)，O→P2=(2+sinθ,2-cosθ)，则向量P1→P2长度的最大值是( )
A. 2 B. 3 C. 32 D. 23
7.（5分）如果向量a→=(1,2)，b→=(4,3)，那么等于a→-2b→=()
A. (9,8) B. (-7,-4) C. (7,4) D. (-9,-8)
8.（5分）如图，在△ABC中，AN→=13NC→，P是BN上一点，若AP→=(2m+15)AB→+15BC→，则实数m的值是()
A. 110 B. 310 C. 1 D. 3
9.（5分）已知单位向量a→，b→满足a→·b→=0，若(a→-c→)·(b→-c→)=0，并且c→=λa→+μb→，那么λ+μ的最大值为()
A. 2 B. 22 C. 2 D. 32
10.（5分）某人在无风条件下骑自行车的速度为v1，风速为v2(|v1|>|v2|)，则逆风行驶的速度的大小为( )
A. v1-v2 B. v1+v2 C. |v1|-|v2| D. v1v2
11.（5分）已知ΔABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P满足PA→+PB→+PC→=AB→，则点P与ΔABC的关系为( )
A. P在ΔABC内部 B. P在ΔABC外部
C. P在AB边所在直线上 D. P是AC边的一个三等分点
12.（5分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线l：x-ky+1=0与圆C：x2+y2=4相交于A，B两点，OM→=OA→+OB→.若点M在圆C上，则实数k=( )
A. -2 B. -1 C. 0 D. 1
二 、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.（5分）已知△ABC的重心为M，过M的直线分别交线段AB，AC于点E，F(点E，F不重合)，若AE→=mAB→，AF→=nAC→，则m+n的最小值为 ______.
14.（5分）设D为ΔABC的边AC靠近A的三等分点，BD→=λBA→+13BC→，则λ=______．
15.（5分）如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态．已知两条绳上的拉力分别是F1→，F2→，且F1→，F2→与水平夹角均为45°，|F1→|=|F2→|=42N，则物体的重力大小为 ______N.
16.（5分）黄金分割是指用一个点把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比，其比值为5-12，该点称为这条线段的黄金分割点，已知在边长为1的等边△ABC中，D是BC边的一个黄金分割点(BD>CD)，E是直线AD上一点，若AE→=AB→+kAC→，则AB→·AE→=__________.
三 、解答题（本大题共6小题，共72分）
17.（12分）已知平行四边形OABC中，若P是该平面上任意一点，则满足OP→=λOA→+μOB→(λ,μ∈R)．
(1)若P是BC的中点，求λ+μ的值；
(2)若A、B、P三点共线，求证：λ+μ=1．
18.（12分）已知三点A(2,1)，B(4,3)，D(0,3)．
(Ⅰ)求证：AB⊥AD；
(Ⅱ)若四边形ABCD为矩形，求点C的坐标及|AC→|.
19.（12分）已知A(1,1)，B(3,-1)，C(a,b)
(1)若A，B，C三点共线，求a，b的关系式；
(2)若AC→=2AB→，求点C的坐标．
20.（12分）如图，已知O为平面直角坐标系的原点，∠OAB=∠ABC=150°，|OA→|=|BC→|=|AB→|=2.
(1)求OC→的坐标；
(2)若四边形ABCD为平行四边形，求|OB→+OD→|.
21.（12分）在ΔABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，q→=(2a,1)，p→=(2b-c,cosC)且p→//q→．
求：
(Ⅰ)求sinA的值；
(Ⅱ)求三角函数式-2cos2C1+tanC+1的取值范围．
22.（12分）如图所示，以向量OA→=a→，OB→=b→为边作平行四边形AOBD，又BM→=13BC→，CN→=13CD→.
(1)用a→，b→表示OM→，ON→；
(2)OA=1，OB=3，∠AOB=π3，求|MN→|.
答案和解析
1.【答案】C;
【解析】解：因为PA→=PD→+DA→=12CD→+DA→，
PB→=PC→+CB→=12DC→+12DA→=-12CD→+12DA→，
所以|PA→+PB→|=|12CD→+DA→-12CD→+12DA→|=|DA→+12DA→|=|32DA→|=32×2=3，
故选：C.
将所求向量均用CD→，DA→表示后运算即可．
此题主要考查了平面向量基本定理，属于基础题．
2.【答案】C;
【解析】解：∵a→=(2,-1),b→=(1,m)，
∴a→+b→=(3,m-1)，a→-b→=(1,-1-m)，
∵a→+b→=λ(a→-b→)(λ≠0)，
∴m-1=3(-1-m)，
解得：m=-12，
故选：C.
先求出a→+b→和a→-b→的坐标，再利用向量共线的坐标关系求解．
此题主要考查了平面向量的坐标运算，考查了向量共线的坐标关系，是基础题．
3.【答案】D;
【解析】解法一 ∵kAB=-4，线段AB中点C(3,-1)，
∴过P(1,2)与直线AB平行的直线方程为y-2=-4(x-1)，
即4x+y-6=0.此直线符合题意.
过P(1,2)与线段AB中点C(3,-1)的直线方程为 y-2=-32(x-1)，即3x+2y-7=0.此直线也是所求.
故所求直线方程为4x+y-6=0或3x+2y-7=0.
∴即4x+y-6=0或3x+2y-7=0.
解法二 显然这条直线斜率存在
设直线方程为y=kx+b，据条件有
2=k+b2k-3+bk2+1=4k+5+bk2+1
化简得 k+b=2k=-4或 k+b=23k+b+1=0
∴k=-4，b=6或 k=-32，b=72
∴直线方程为y=-4x+6或 y=-32x+72.
即4x+y-6=0或3x+2y-7=0.
4.【答案】B;
【解析】
此题主要考查向量的坐标运算，属于基础题.
解：a+b=2,2+t，
∵a=λ(a+b)，
所以3,t=2λ,2λ+tλ，
所以λ=32，t=-6.
故选B.
5.【答案】D;
【解析】解：由图可知，AB→与CD→所在直线不重合也不平行，∴A错；
由图可知，CD→与GH→模相等，但不平行，∴BC错；
由图可知，AB→与EF→是相反向量，∴共线，∴D对．
故选：D.
根据图中向量的模及方向可可解决此题．
本题考查向量概念及模、向量共线，考查数学运算能力及直观想象能力，属于基础题．
6.【答案】C;
【解析】解：由向量的减法知，P1→P2=O→P2-O→P1=(2+sinθ-cosθ,2-cosθ-sinθ)，
∴|P1→P2|=(2+sinθ-cosθ)2+(2-cosθ-sinθ)2
=4+4(sinθ-cosθ)+(sinθ-cosθ)2+4-4(sinθ+cosθ)+(cosθ+sinθ)2
=10-8cosθ，
∵0⩽θ<2π，∴-1⩽cosθ⩽1，
则当cosθ=-1时，P1→P2的长度有最大值是32．
故选：C．
根据向量的减法法则求出P1→P2的坐标，利用向量模的坐标公式和同角平方关系，化简向量P1→P2的模代数式，再根据已知角的范围和余弦函数性质，求出P1→P2模的最大值．
该题考查了向量减法和向量模的坐标运算，利用了同角的平方关系和余弦函数的性质，考查了运用知识和解决问题的能力．
7.【答案】B;
【解析】解：向量a→=(1,2)，b→=(4,3)，
则于a→-2b→=(1,2)-2(4,3)=(1,2)-(8,6)=(1-8,2-6)=(-7,-4)，
故选：B.
根据向量的坐标的运算法则计算即可．
本题考查了向量的坐标运算，关键是掌握运算法则，属于基础题．
8.【答案】A;
【解析】解：根据题意得：AP→=(2m+15)AB→+15(AC→-AB→)=2mAB→+15AC→=2mAB→+15×4AN→=2mAB→+45AN→，
∵B，P，N三点共线，∴2m+45=1，解得m=110.
故选：A.
把AP→用AB→和AN→表示，再根据三点B、P、N共线可解决此题．
此题主要考查平面向量线性运算，考查数学运算能力，所以中档题．
9.【答案】A;
【解析】解：不妨设a→=(1,0)，b→=(0,1)，则由c→=λa→+μb→=λ(1,0)+μ(0,1)=(λ,μ)，
因为(a→-c→)·(b→-c→)=0，即(1-λ,-μ)⋅(-λ,1-μ)=λ2-λ+μ2-μ=0，
设t=λ+μ，即μ=t-λ，代入上式可得λ2-λ+(t-λ)2-(t-λ)=0，
整理可得2λ2-2tλ+t2-t=0，
所以Δ=4t2-8(t2-t)⩾0，解得0⩽t⩽2，
所以λ+μ=t的最大值为2，
故选：A.
根据条件不妨设a→=(1,0)，b→=(0,1)，则c→=(λ,μ)，由(a→-c→)·(b→-c→)=0可得λ，μ的关系式，设t=λ+μ，表示出μ，代入上述关系式，结合△⩾0可得t的最大值．
此题主要考查平面向量数量积的性质及其运算，考查转化思想，属于中档题．
10.【答案】C;
【解析】解：根据题意，要求逆风行驶的速度，
即v1与v2方向相反，而|v1|>|v2|
则逆风行驶的速度大小为|v1|-|v2|.
故选：C.
根据题意，题目要求的是速度的大小，即向量的大小，v1与v2方向相反，由向量的加法可得答案．
此题主要考查向量模的计算，注意向量的定义，属于基础题．
11.【答案】D;
【解析】解：∵PA→+PB→+PC→=AB→，
∴PA→+PB→+PC→=PB→-PA→，∴PC→=-2PA→=2AP→，
∴P是AC边的一个三等分点．
故选项为D
利用向量的运算法则将等式变形，得到PC→=2AP→，据三点共线的充要条件得出结论．
该题考查向量的运算法则及三点共线的充要条件．
12.【答案】C;
【解析】
此题主要考查了直线与圆相交的性质，考查向量加减法的意义，点到直线的距离公式的应用，考查学生的计算能力，属于简单题．
设AB的中点为D，有OM→=OA→+OB→=2OD→，即圆心到直线的距离等于半径的一半，由点到直线的距离公式列方程解出实数k的值．
解：设AB的中点为D，有OM→=OA→+OB→=2OD→，
∴|OM→|=2|OD→|=R=2，
∴|OD→|=1．
由点到直线的距离公式得1=|0-0+1|k2+1，解得k=0，
故选：C．
13.【答案】43;
【解析】解：延长AM交BC边于K，则K是BC边的中点，
则AK→=12AB→+12AC→，
AM→=23AK→=23(12AB→+12AC→)=13AB→+13AC→，
∵AE→=mAB→，AF→=nAC→，∴AB→=1mAE→，AC→=1nAF→，
则AM→=13(1mAE→+1nAF→)=13mAE→+13nAF→，
∵B，M，F三点共线，∴13m+13n=1，
则m+n=(m+n)(13m+13n)=13+13+n3m+m3n⩾23+2n3m·m3n=23+23=43，
当且仅当n3m=m3n，即m=n时取等号，
即m+n的最小值为43.
故答案为：43.
延长AM交BC边于K，则K是BC边的中点，根据中点向量公式以及B，M，F三点关系得到13m+13n=1，然后利用基本不等式进行求解即可．
本题主要考查向量基本的应用，利用中点向量公式，以及三点共线，基本不等式进行转化是解决本题的关键，是中档题．
14.【答案】23;
【解析】解：如图，
BD→=BA→+AD→=BA→+13AC→=BA→+13(BC→-BA→)=23BA→+13BC→，
则λ=23，
故答案为：23
利用三角形法则推出BD→=23BA→+13BC→，与已知比较可得λ．
该题考查了平面向量基本定理，属基础题．
15.【答案】8;
【解析】解：设F1→，F2→的合力为F→，则F→=F1→+F2→，
∵F1→，F2→的夹角为90°，
∴ F 2 → = ( F 1 → + F 2 → ) 2 = F 1 → 2 + F 2 → 2 + 2øverrightarrow F 1 ⋅ F 2 → = 32 + 32 = 64，
∴|F→|=8，
∵物体平衡状态．∴物体的重力大小为8.
故答案为：8.
根据向量加法的平行四边形法则得到合力F→=F1→+F2→，进而求出F2→=(F1→+F2→)2的值，从而得出物体重力的大小．
此题主要考查了向量加法的平行四边形法则，平面向量的求模公式，考查了计算能力，属于基础题．
16.【答案】5+54;
【解析】【分析】
本题考查平面向量基本定理，向量的运算，属中档题.
根据黄金分割点的定义得到BD→=5-12BC→，运算得到AD→=3-52AB→+5-12AC→，可得k值，再由向量的数量积运算求解.【解答】
解：根据黄金分割点的定义得到BD→=5-12BC→，
即AD→-AB→=5-12(AC→-AB→)，
化为AD→=3-52AB→+5-12AC→，
设AE→=mAD→=3-52mAB→+5-12mAC→，
由题意{3-52m=15-12m=k，解得k=5+12，
所以AE→=AB→+5+12AC→，
又△ABC为边长为1的等边三角形，故AB→·AE→=AB→·(AB→+5+12AC→)=AB→2+5+12AC→·AB→=1+5+12×1×1×12=5+54.
17.【答案】解：（1）若P是BC的中点，则OP→=12(OB→+OC→)=12(OB→+OB→-OA→)=-12OA→+OB→，
又OP→=λOA→+μOB→，
∴根据平面向量基本定理得，λ=-12μ=1，
∴λ+μ=12；
（2）证明：∵A，B，P三点共线，
∴AP→和AB→共线，
∴存在实数k，使AP→=kAB→，
∴OP→-OA→=k(OB→-OA→)，
∴OP→=(1-k)OA→+kOB→，
又OP→=λOA→+μOB→，
∴根据平面向量基本定理得，λ+μ=1-k+k=1．;
【解析】
(1)P是BC的中点时，可得出OP→=-12OA→+OB→，从而根据平面向量基本定理得出λ+μ=12；
(2)根据A，B，P三点共线可得出AP→与AB→共线，从而得出AP→=kAB→，进而得出OP→=(1-k)OA→+kOB→，这样根据平面向量基本定理即可得出λ+μ=1．
该题考查了向量加法的平行四边形法则，共线向量和平面向量基本定理，以及向量减法的几何意义，向量的数乘运算，考查了计算和推理能力，属于基础题．
18.【答案】证明：(Ⅰ)∵三点A(2,1)，B(4,3)，D(0,3)．
∴AB→=(2,2)，AD→=(-2,2)，
∴AB→⋅AD→=4-4=0，
∴AB⊥AD．
(Ⅱ)设C(x,y)，
∵AB→⊥AD→，四边形ABCD为矩形，
∴BA→=(-2,-2)，BC→=(x-4,y-3)，DA→=(2,-2)，DC→=(x+2,y-2)，
BA→.BC→=-2(x-4)-2(y-3)=0，且DA→.DC→=2(x+2)-2(y-2)，
解得x=-32，y=52，
∴点C的坐标C(-32,52).
|AC→|=(-32-2)2+(52-1)2=582．;
【解析】该题考查向量垂直的证明，考查点的坐标和两点间距离的求法，考查向量垂直、向量坐标运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
(Ⅰ)求出AB→=(2,2)，AD→=(-2,2)，从而AB→⋅AD→=4-4=0，由此能证明AB⊥AD．
(Ⅱ)设C(x,y)，则BA→=(-2,-2)，BC→=(x-4,y-3)，DA→=(2,-2)，DC→=(x+2,y-2)，由BA→.BC→=-2(x-4)-2(y-3)=0，且DA→.DC→=2(x+2)-2(y-2)，由此能求出点C的坐标和|AC→|.
19.【答案】解：（1）∵A（1，1），B（3，-1），C（a，b）
∴øversetAB→=（2，-2），
AC→=（a-1，b-1）
∵A（1，1），B（3，-1），C（a，b）三点共线
∴AB→//AC→
∴-2（a-1）=2（b-1）
即a=2-b．
（2）若AC→=2AB→，即（a-1，b-1）=2（2，-2）所以a-1=4，b-1=-4，
得a=5，b=-3
点C的坐标（5，-3）．;
【解析】
利用向量坐标的求法求出两个向量的坐标；利用向量共线的坐标形式的充要条件列出方程，求出a，b的关系式．
该题考查向量坐标的求法、考查向量共线的坐标形式的充要条件．
20.【答案】解：（1）如图1所示，过点B作BM⊥x轴，BN∥x轴，CN⊥BN，M、N分别为垂足．
显然，∠BAM=30°，∠CBN=60°．
故|AM|=|CN|=3，|BM|=|BN|=1．
所以C(3+3，1+3)，从而OC→=(3+3，1+3)．
（2）如图2所示，设AC∩BD=P，
由平行四边形法则，OA→+OC→=OB→+OD→=2OP→，
由于OA→=(2，0)，
所以|OB→+OD→|=|OA→+OC→|=28+33．;
【解析】
(1)过点B作BM⊥x轴，BN//x轴，CN⊥BN，M、N分别为垂足，由题意可求|AM|=|CN|=3，|BM|=|BN|=1，可求C的坐标，即可得解．
(2)设AC∩BD=P，由平行四边形法则可得OA→+OC→=OB→+OD→=2øverrightarrowOP，由OA→=(2,0)，即可计算得解．
此题主要考查向量的坐标与向量的模，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．
21.【答案】解：（I）∵p→∥q→，∴2acosC=1×（2b-c），
根据正弦定理，得2sinAcosC=2sinB-sinC，
又∵sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，
∴2cosAsinC-sinC=0，即sinC（2cosA-1）=0
∵C是三角形内角，sinC≠0
∴2cosA-1=0，可得cosA=12
∵A是三角形内角，
∴A=π3，得sinA=32 …（5分）
（II）-2cos2C1+tanC+1=2(sin2C-cos2C)1+sinCcosC+1=2cosC（sinC-cosC）+1=sin2C-cos2C，
∴-2cos2C1+tanC+1=2sin（2C-π4），
∵A=π3，得C∈（0，2π3），
∴2C-π4∈（-π4，13π12），可得-22＜sin（2C-π4）≤1，
∴-1＜2sin（2C-π4）≤2，
即三角函数式-2cos2C1+tanC+1的取值范围是（-1，2]． …（11分）;
【解析】
(I)根据向量平行的充要条件列式：2b-c=2acosC，结合正弦定理与两角和的正弦公式，化简可得2cosAsinC=sinC，最后用正弦的诱导公式化简整理，可得cosA=12，从而得到sinA的值；
(II)将三角函数式用二倍角的余弦公式结合“切化弦”，化简整理得2sin(2C-π4)，再根据A=π3算出C的范围，得到sin(2C-π4)的取值范围，最终得到原三角函数式的取值范围．
本题给出向量平行，通过列式化简求A的大小，并求关于B的三角式的取值范围．着重考查了平面向量平行、三角恒等化简、正弦定理和诱导公式等知识，属于中档题．
22.【答案】解（1）BA→=OA→-OB→=a→-b→，∴OM→=- OB+BM→=OB→+1 3BC→=OB→+1 6- BA=1 6a→+5 6b→，
OD→=a→+b→，ON→=OC→+- CN=1 2OD→+1 6OD→=2 3OD→=2 3a→+2 3b→；
（2）∵MN→=ON→-OM→=23a→+23b→-16a→-56b→=12a→-16b→，
∴|- MN|=(1 2a→-1 6b→)2=1 4a2→+2×1 2×(-1 6)a→⋅b→+1 36b2→=1 4-1 4+1 4=1 2．;
【解析】
(1)按照向量几何意义的加减运算法则运算即可；
(2)按照向量几何意义加减运算法则及求向量模的方法计算即可．
此题主要考查平面向量几何意义加减运算、平面向量数量积性质及运算，考查数学运算能力，属于中档题．
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