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人教B版（2019）高中数学 必修第四册《第九章 解三角形》单元测试3（含解析）
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这是一份人教B版（2019）高中数学 必修第四册《第九章 解三角形》单元测试3（含解析），共14页。
人教B版（2019）必修第四册《第九章 解三角形》单元测试3
一 、单选题（本大题共8小题，共40分）
1.（5分）在200m高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是30°，60°，如图所示则塔高CB为( )
A. 4003 m B. 40033 m C. 20033 m D. 2003 m
2.（5分）在ΔABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若tanBb2=tanCc2，则ΔABC的形状为( )
A. 等腰三角形 B. 直角三角形
C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形
3.（5分）在ΔABC中，BC=3，AC=2，∠ACB=60°，则AB=( )
A. 10 B. 10 C. 7 D. 7
4.（5分）在ΔABC中，角A，B，C的对边分别是边a，b，c，若a=33，c=2，A+C=π6，则b=( )
A. 7 B. 6 C. 5 D. 4
5.（5分）ΔABC中，AB=2,AC=3,角A为钝角，则边BC的取值范围是( )
A. 1,5 B. 13,5 C. 5,13 D. 1,5∪13,5
6.（5分）在ΔABC中，sinA:sinB:sinC=2:3:4，则cosA:cosB:cosC=( )
A. 2:3:4 B. 14:11:(-4)
C. 4:3:2 D. 7:11:(-2)
7.（5分）ΔABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosB=15，a=3，c=5，则ΔABC的面积为( )
A. 43 B. 33 C. 46 D. 36
8.（5分）ΔABC的三个内角之比为A：B：C=3：2：1，三边之比a：b：c为( )
A. 3：2：1 B. 3：2：1 C. 3：2：1 D. 2：3：1
二 、多选题（本大题共5小题，共25分）
9.（5分）设ΔABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a=2，c=23，cos A=32，且b
10.（5分）在ΔABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，下列叙述正确的是( )
A. 若acosB=bcosA，则ΔABC为等腰三角形
B. 若ΔABC为锐角三角形，则sinA>cosB
C. 若tanA+tanB+tanC<0，则ΔABC为钝角三角形
D. 若a=bsinC+ccosB，则∠C=π4
11.（5分）下列结论正确的是( )
A. 在ΔABC中，已知a=2，则b cos C+c cos B=2
B. ΔABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a=5，c=2，cos A=23，则b=2
C. 在ΔABC中，若(a+c)(a-c)=b(b+c)，则A=120°
D. 三角形三边长分别为a，b，a2+ab+b2(a>0,b>0)，则最大角为120°
12.（5分）已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠BAC=60°，BC=3，D是BC上的点，AD=2，以下结论中正确的有()
A. 若AD⊥BC，则△ABC的面积为3
B. 当△ABC为等边三角形时，△ABC的面积最大
C. 若D为BC中点，则AB→⋅AC→=3
D. 若AD平分∠BAC，则△ABC的面积为332
13.（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列叙述正确的是()
A. 若asinB=bsinA，则△ABC为等腰三角形
B. 若acosB=bcosA，则△ABC为等腰三角形
C. 若acosA=bcosB，则△ABC为等腰三角形
D. 若a2tanA=b2tanB，则△ABC为等腰三角形
三 、填空题（本大题共5小题，共25分）
14.（5分）在ΔABC中，a=x，b=2，B=60°，若这样的三角形有2个，则x的取值范围是______．
15.（5分）ΔABC的三个内角A，B，C对应的三条边长分别是a，b，c，且满足csin A+3acos C=0.则角C=______．
16.（5分）已知命题p：若ΔABC满足sinA=cosB，则ΔABC是直角三角形．说明p为假命题的一组角为A=______，B=______.
17.（5分）在ΔABC中，若b=8，c=3，A=60°，则此三角形的外接圆的面积为_______.
18.（5分）已知三角形的三边长分别为x2+x+1，x2-1和2x+1(x>1)，则这个三角形的最大角为______．
四 、解答题（本大题共5小题，共60分）
19.（12分）在ΔABC中，a、b、c为角A、B、C所对的三边，已知b2+c2-a2=-bc．
(1)求角A的值；
(2)若a=3，cos(A-C)+cosB=32，求ΔABC的面积．
20.（12分）在锐角ΔABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足2bsinA=3a.
(1)求角B的大小；
(2)若a+c=5，且a>c，b=7，求cos(2A+B)
21.（12分）在ΔABC中，内角A，B，C所对的边为a，b，c，若ΔABC的面积S=14abc，且bsinB-asinA=2sinBsinC-2sin2C.
(Ⅰ)求角A的大小；
(Ⅱ)求ΔABC面积的最大值．
22.（12分）在锐角ΔABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asinBcosB+bcosAsinB=32c.
(1)若2a=3c=6，求边b的大小；
(2)若cosAcosC=14，且b=23，求ΔABC的面积．
23.（12分）在ΔABC中，a，b，c分别是A，B，C的对边，且满足bsinA+bcosA=c．
(1)求B；
(2)若角A的平分线与BC相交于D点，AD=AC，BD=2，求ΔABC的面积．
答案和解析
1.【答案】A;
【解析】解：如图所示：设山高为AO，塔高为CB为x，且AOCD为矩形，由题意得
tan30°=BDAD=200-xBD=33，∴BD=3(200-x)．
tan60°=200AD=3，∴BD=20033，
∴20033=3(200-x)，x=4003(米)，
故选：A．
由tan30°=BDAD=200-xBD得到BE与塔高x间的关系，由tan60°=200AD求出BD值，从而得到塔高x的值．
该题考查直角三角形中的边角关系，体现了数形结合的数学思想，求出BE值是解答该题的关键，属于中档题．
2.【答案】D;
【解析】解：∵tanBb2=tanCc2，
∴sinBb2cosB=sinCc2cosC，由正弦定理可得：bb2cosB=cc2cosC，
可得：bcosB=ccosC，可得sinBcosB=sinCcosC，可得：sin2B=sin2C，
∴2B=2C，或2B+2C=π，
∴B=C，或B+C=π2，
∴ΔABC的形状为等腰三角形或直角三角形．
故选：D．
由三角函数恒等变换的应用，正弦定理化简已知等式可得sin2B=sin2C，可得2B=2C，或2B+2C=π，解得B=C，或B+C=π2，即可判断ΔABC的形状．
这道题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
3.【答案】C;
【解析】解：∵在ΔABC中，BC=3，AC=2，∠ACB=60°，
∴由余弦定理可得：AB=BC2+AC2-2BC.AC.cos60°=9+4-2×3×2×12=7．
故选：C．
由已知利用余弦定理即可计算得解AB的值．
这道题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．
4.【答案】A;
【解析】
此题主要考查了余弦定理，正弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题
由余弦定理可求b的值，再利用正弦定理可求三角形的外接圆的半径R的值，计算得解．
解：A+C=π6，得B=150°，
由余弦定理b2=a2+c2-2accosB
将a=33，c=2，B=150°代入得：
b=7
故选A.
5.【答案】B;
【解析】
此题主要考查余弦定理的应用，属于基础题.
根据余弦定理和三角形两边之和大于第三边即可解答.
解：ΔABC中，AB=2,AC=3，角A为钝角，
所以BC2>AB2+AC2BC4+9BC<2+3，
解得13
6.【答案】B;
【解析】
此题主要考查了正弦定理和余弦定理，属于基础题.
由sinA:sinB:sinC=2:3:4可知，a:b:c=2:3:4，设a=2m,b=3m,c=4m，结合余弦定理即可得到答案.
解：∵sinA:sinB:sinC=2:3:4，
∴由正弦定理得：a:b:c=2:3:4，∴设a=2m,b=3m,c=4m，
∴cosA:cosB:cosC=b2+c2-a22bc:a2+c2-b22ac:a2+b2-c22ab=78:1116:(-14)=14:11:(-4).
故选B.
7.【答案】D;
【解析】解：因为cosB=15，所以sinB=265，
所以ΔABC的面积S=12acsinB=12×3×5×265=36．
故选：D．
由已知可求sinB，然后利用三角形的面积公式，求出ΔABC的面积．
这道题主要考查了同角三角函数的基本关系和三角形的面积公式，属于基础试题．
8.【答案】D;
【解析】解：ΔABC的三个内角之比为A：B：C=3：2：1，
∴B=2C，A=3C，
由A+B+C=π，得C=π6，
A=π2、B=π3；
由正弦定理可得三边之比为
a：b：c=sinA：sinB：sinC=1：32：12=2：3：1．
故选D．
根据题意，利用A+B+C=π求出C、A、B的值，再由正弦定理可得三边之比为a：b：c=sinA：sinB：sinC．
这道题主要考查了正弦定理与三角形内角和定理的应用问题，是基础题．
9.【答案】AD;
【解析】
此题主要考查了余弦定理，属于基础题.
利用余弦定理可求b的值，即可得到B.
解：由a2=b2+c2-2bccos A，
得4=b2+12-6b，b2-6b+8=0，(b-2)(b-4)=0，
由b
故选A、D.
10.【答案】BCD;
【解析】解：对于A，因为acosB=bcosA，
由正弦定理可得，sinAcosB=sinBcosB，
即sin2A=sin2B，
因为A，B均为三角形的内角，
所以2A=2B或2A+2B=π，
则A=B或A+B=π2，
所以ΔABC为等腰三角形或直角三角形，
故选项A错误；
对于B，因为ΔABC为锐角三角形，
则A+B>90°，即A>90°-B，
又0°
所以sinA>sin(90°-B)=cosB，
故选项B正确；
对于C，因为tanC=-tan(A+B)=-tanA+tanB1-tanAtanB，
所以tanA+tanB=-tanC(1-tanAtanB)，
故tanA+tanB+tanC=-tanC(1-tanAtanB)+tanC=tanAtanBtanC，
因为tanA+tanB+tanC<0，
则tanA，tanB，tanC中必有一个值为负值，
即角A，B，C中必有一个为钝角，
所以ΔABC为钝角三角形，
故选项C正确；
对于D，因为a=bsinC+ccosB，
由正弦定理可得，sinA=sinBsinC+sinCcosB，
即sin(B+C)=sinBsinC+sinCcosB，
所以sinBcosC=sinBsinC，
因为sinC≠0，
所以cosC=sinC，即tanC=1，
因为0
故选项D正确．
故选：BCD.
利用正弦定理化简已知等式，由二倍角公式以及诱导公式得到A=B或A+B=π2，即可判断选项A，利用正弦函数的单调性，即可判断选项B，由两角和的正切公式得到tanA，tanB，tanC中必有一个值为负值，即可判断选项C，利用正弦定理将已知的等式边化角，然后由两角和差公式化简求解，即可判断选项D.
本题以命题的真假判断为载体，考查了正弦定理和余弦定理的应用，二倍角公式以及两角和差公式的应用，同角三角函数关系式的应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．
11.【答案】ACD;
【解析】
此题主要考查正弦定理，余弦定理，属于中档题.
运用正弦定理和两角和的三角函数公式可分析B选项，运用余弦定理可分析B，C，D选项.
解：对于A选项，由正弦定理得bcosC+ccosB=2RsinBcosC+2RsinCcosB=2Rsin(B+C)=2Rsin(π-A)=2RsinA=a=2，(R为ΔABC的外接圆半径)，故A正确；
对于B选项，由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA，即5=b2+4-2×b×2×23，
整理得3b2-8b-3=0，解得b=-13(舍去)或b=3，故B错误；
对于C选项，由(a+c)(a-c)=b(b+c)可得bc=a2-b2-c2，由余弦定理可得cosA=b2+c2-a22bc=-12，
又0°
故选ACD.
12.【答案】AD;
【解析】解：设AB=c，AC=b，BC=a，
对于A选项，因为BC=3，D是BC上的点，AD=2，AD⊥BC，
所以△ABC的面积为12×3×3=3，故A正确；
对于B选项，当AD⊥BC时，△ABC的面积最大，故B错误；
对于C选项，b2+c2=bc+9①，AB→⋅AC→=bccos60°=12bc，
由于D为BC中点，则AD→=12(AB→+AC→)，
故|AD→|=12|AB→+AC→|=12|AB→+AC→|2=12|AB→|2+2AB→⋅AC→+|AC→|2=2，
所以|AB→|2+2AB→⋅AC→+|AC→|2=16，即c2+bc+b2=16②，
所以②-①2得bc=72，所以AB→⋅AC→=12bc=74，故C错误；
对于D选项，因为AD平分∠BAC，∠BAC=60°，所以∠BAD=∠CAD=30°，
S△ABC=S△BAD+S△CAD=12AB⋅AD⋅sin30°+12AC⋅AD⋅sin30°=12c⋅2×12+12b⋅2×12=12(b+c)
由于SΔ△ABC=34bc,b2+c2-bc=9，故12(b+c)=34bc，
即b+c=32bc，
所以b2+c2-bc=(b+c)2-3bc=(32bc)-3bc=9，
即(bc)2-4bc-12=0，解得bc=6，
所以S△ABC=34bc=34×6=332，故D正确．
故选：AD.
直接根据三角形的面积公式计算判断A即可；根据三角形性质判断B；由余弦定理与向量的模求解公式等运算得bc=72，进而根据数量积运算判断C；根据S△ABC=S△BAD+S△CAD，结合余弦定理得bc=6，进而得面积判断D.
此题主要考查了三角形中的几何定理，属于中档题．
13.【答案】AC;
【解析】解：∵asinB=bsinA，
∴asinA=bsinB，∴a2=b2，
∴△ABC为等腰三角形，故A正确，
∵acosA=bcosB，
∴acosB=bcosA，sinAcosB=cosAsinB，
∴sin(A-B)=0，∴A=B，故C正确，B错误，
∵a2tanA=b2tanB，
∴sinAcosA=sinBcosB，
∴sin2A=sin2B，∴A=B或A+B=π2，故D错误，
故选：AC.
根据正弦定理分别判断即可．
此题主要考查了正弦定理的应用，考查转化思想，是基础题．
14.【答案】2＜x＜433;
【解析】解：由正弦定理得asinA=bsinB=232=433，
∴a=433sinA，A+C=180°-60°=120°，
由题意得：A有两个值，且这两个值互补，
∴60°
∴32
则2
该题考查了正弦定理，正弦函数的值域，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．
15.【答案】2π3;
【解析】解：由题意知，csin A+3acos C=0，
由正弦定理得，sinCsin A+3sinAcos C=0，
又sinA>0，则sinC+3cos C=0，
所以tanC=-3，
因为0
由正弦定理化简已知的式子，由商的关系化简后，由内角的范围和特殊角的三角函数值求出角C．
此题主要考查了正弦定理的应用：边角互化，注意内角的范围，属于基础题．
16.【答案】120° 30°;略;
【解析】解：若A=120°，B=30°，
则sinA=cosB，此时三角形不是直角三角形，说明p为假命题．
故答案为：120°，30°.
若A=120°，B=30°，满足条件sinA=cosB，此时三角形不是直角三角形，即可得解．
此题主要考查命题的真假的判断与应用，属于基础题．
17.【答案】49π3 ;
【解析】
此题主要考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值．
利用余弦定理列出关系式，把b，c，cosA的值代入求出a的值，再利用正弦定理求出三角形外接圆半径，即可确定出外接圆面积．
解：∵在ΔABC中，b=8，c=3，A=60°，
∴由余弦定理得：a2=b2+c2-2bccosA=64+9-24=49，即a=7，
由正弦定理得：asinA=2R，即R=a2sinA=72×32=733，
则此三角形外接圆面积为493π，
故答案为：493π
18.【答案】2π3;
【解析】解：由于x>1，
所以x2+x+1-(x2-1)=x+2>0，
所以x2+x+1>(x2-1)．
x2+x+1-(2x+1)=x2-x=x(x-1)>0，
所以x2+x+1为最大边长．
所以最大角θ满足cosθ=(x2-1)2+(2x+1)2+(x2+x+1)22(x2-1)(2x+1)=-12，
由于0<θ<π，
所以θ=2π3．
故答案为：2π3
直接利用数的大小比较和余弦定理的应用求出结果．
该题考查的知识要点：正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用，数的大小比较的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
19.【答案】解：（1）∵b2+c2-a2=-bc．
∴由余弦定理得cosA=b2+c2-a22bc=-12，
∵A∈（0，π），
∴A=2π3．
（2）由题意得cos（A-C）-cos（A+C）=32，
∴sinAsinC=34，
又∵sinA=32，
∴sinC=12，
∵C∈（0，π3），
∴C=π6，B=π6，
由正弦定理得asinA=csinC，解得c=1，
∴S△ABC=12acsinB=34．;
【解析】
(1)由已知及余弦定理可求cosA=-12，结合范围A∈(0,π)，即可求得A的值．
(2)由已知及三角函数恒等变换的应用可得sinAsinC=34，进而可求sinC=12，结合范围C∈(0,π3)，可得C的值，可求B=π6，由正弦定理解得c，利用三角形面积公式即可计算得解．
此题主要考查了余弦定理，三角函数恒等变换的应用，正弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于中档题．
20.【答案】解：（1）在△ABC中，由2bsinA=3a，
根据正弦定理得：2sinBsinA=3sinA，
∵sinA≠0（A为锐角），
∴sinB=32．
∴由B为锐角，可得B=π3．
（2）∵a+c=5，①b=7，
∴利用余弦定理：b2=a2+c2-2accosB，可得：7=a2+c2-ac=（a+c）2-3ac，解得：ac=6，②
∴由①②联立即可解得：c=2a=3，或c=3a=2（由a＞c，舍去），
∴cosA=b2+c2-a22bc=7+4-92×7×2=714，sinA=1-cos2A=32114，sin2A=2sinAcosA=3314，cos2A=2cos2A-1=-1314，
∴cos（2A+B）=cos（2A+π3）=12cos2A-32sin2A=12×（-1314）-32×3314=-1114．;
【解析】
(1)已知等式利用正弦定理化简，求出sinB的值，由B为锐角即可得解．
(2)由已知及余弦定理可得ac=6，联立即可解得a，c的值，由余弦定理可求cosA，利用同角三角函数基本关系式可求sinA，进而利用二倍角公式可求sin2A，cos2A的值，由两角和的余弦函数公式即可化简求值．
此题主要考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函数基本关系式，二倍角公式，两角和的余弦函数公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，熟练掌握正弦定理是解本题的关键，属于中档题．
21.【答案】解：（Ⅰ）由S=12absinC=14abc，
∴csinC=2=bsinB=asinA，
∴由bsinB-asinA=2sinB•sinC-2sin2C=bsinC-csinC，
即b2+c2-a2=bc，
∴cosA=b2+c2-a22bc=12，
又∵A∈（0，π），从而A=π3．
（Ⅱ）由A=π3，∴a=2sinA=3，
从而a2=3=b2+c2-2bccosA=b2+c2-bc≥bc，
∴bc≤3，
∴S△ABC=12bcsinA≤32sinA=334，
即△ABC面积的最大值为334，此时△ABC是正三角形．;
【解析】
(Ⅰ)由三角形面积公式得到csinC=2，再利用正弦定理对已知等式角化边得b2+c2-a2=bc，再由余弦定理即可求出角A的大小；
(Ⅱ)由角A求出a，再利用余弦定理结合基本不等式求出bc⩽3，再由三角形面积公式即可求出ΔABC面积的最大值．
这道题主要考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，以及基本不等式的应用，是中档题．
22.【答案】解：（1）asinBcosB+bcosAsinB=32c，利用正弦定理的应用sinAsinBcosB+sinBcosAsinB=32sinC，
整理得sinBsin（A+B）=32sinC，
由于sinC＞0，所以sinB=32，cosB=12，
由于a=3，c=2，
利用余弦定理得：b2=a2+c2-2accosB，解得b=7．
（2）由于cosAcosC=14，所以cos(A+C)=-cosB=-12，
整理得cosAcosC-sinAsinC=-12，故sinAsinC=14．
由正弦定理asinA=bsinB=csinC，
所以acsinAsinC=b2sin2B，
所以ac14=b234，整理得b2=3ac，
由于b2=12，所以ac=4．
所以S△ABC=12acsinB=12×4×32=3．;
【解析】
(1)直接利用三角函数关系式的恒等变换与余弦定理的应用求出结果．
(2)利用正弦定理和三角形面积公式的应用求出结果．
该题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型
23.【答案】解：（1）由题意，利用正弦定理可得sinBsinA+sinBcosA=sinC=sin（A+B），
整理可得sinB=cosB，∴B=π4；
（2）由AD=AC，可知∠ACD=∠ADC．
设∠BAD=∠DAC=α，∠ACD=∠ADC=γ，则45∘+2α+β=180∘α+2β=180∘，
∴α=30°，β=75°
△ABD中，由正弦定理可得ABsin105∘=ADsin45∘=2sin30∘，
∴AB=6+2，AD=22，∴AC=22，
∴S△ABC=12AB.AC.sin2α=3+3．;
【解析】
(1)由题意，利用正弦定理可得sinBsinA+sinBcosA=sinC=sin(A+B)，由此可求B；
(2)ΔABD中，由正弦定理可得ABsin105∘=ADsin45∘=2sin30∘，求出AB，AD，AC，即可求ΔABC的面积．
该题考查正弦定理的运用，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
人教B版（2019）必修第四册《第九章 解三角形》单元测试3
一 、单选题（本大题共8小题，共40分）
1.（5分）在200m高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是30°，60°，如图所示则塔高CB为( )
A. 4003 m B. 40033 m C. 20033 m D. 2003 m
2.（5分）在ΔABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若tanBb2=tanCc2，则ΔABC的形状为( )
A. 等腰三角形 B. 直角三角形
C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形
3.（5分）在ΔABC中，BC=3，AC=2，∠ACB=60°，则AB=( )
A. 10 B. 10 C. 7 D. 7
4.（5分）在ΔABC中，角A，B，C的对边分别是边a，b，c，若a=33，c=2，A+C=π6，则b=( )
A. 7 B. 6 C. 5 D. 4
5.（5分）ΔABC中，AB=2,AC=3,角A为钝角，则边BC的取值范围是( )
A. 1,5 B. 13,5 C. 5,13 D. 1,5∪13,5
6.（5分）在ΔABC中，sinA:sinB:sinC=2:3:4，则cosA:cosB:cosC=( )
A. 2:3:4 B. 14:11:(-4)
C. 4:3:2 D. 7:11:(-2)
7.（5分）ΔABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosB=15，a=3，c=5，则ΔABC的面积为( )
A. 43 B. 33 C. 46 D. 36
8.（5分）ΔABC的三个内角之比为A：B：C=3：2：1，三边之比a：b：c为( )
A. 3：2：1 B. 3：2：1 C. 3：2：1 D. 2：3：1
二 、多选题（本大题共5小题，共25分）
9.（5分）设ΔABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a=2，c=23，cos A=32，且b
10.（5分）在ΔABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，下列叙述正确的是( )
A. 若acosB=bcosA，则ΔABC为等腰三角形
B. 若ΔABC为锐角三角形，则sinA>cosB
C. 若tanA+tanB+tanC<0，则ΔABC为钝角三角形
D. 若a=bsinC+ccosB，则∠C=π4
11.（5分）下列结论正确的是( )
A. 在ΔABC中，已知a=2，则b cos C+c cos B=2
B. ΔABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a=5，c=2，cos A=23，则b=2
C. 在ΔABC中，若(a+c)(a-c)=b(b+c)，则A=120°
D. 三角形三边长分别为a，b，a2+ab+b2(a>0,b>0)，则最大角为120°
12.（5分）已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠BAC=60°，BC=3，D是BC上的点，AD=2，以下结论中正确的有()
A. 若AD⊥BC，则△ABC的面积为3
B. 当△ABC为等边三角形时，△ABC的面积最大
C. 若D为BC中点，则AB→⋅AC→=3
D. 若AD平分∠BAC，则△ABC的面积为332
13.（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列叙述正确的是()
A. 若asinB=bsinA，则△ABC为等腰三角形
B. 若acosB=bcosA，则△ABC为等腰三角形
C. 若acosA=bcosB，则△ABC为等腰三角形
D. 若a2tanA=b2tanB，则△ABC为等腰三角形
三 、填空题（本大题共5小题，共25分）
14.（5分）在ΔABC中，a=x，b=2，B=60°，若这样的三角形有2个，则x的取值范围是______．
15.（5分）ΔABC的三个内角A，B，C对应的三条边长分别是a，b，c，且满足csin A+3acos C=0.则角C=______．
16.（5分）已知命题p：若ΔABC满足sinA=cosB，则ΔABC是直角三角形．说明p为假命题的一组角为A=______，B=______.
17.（5分）在ΔABC中，若b=8，c=3，A=60°，则此三角形的外接圆的面积为_______.
18.（5分）已知三角形的三边长分别为x2+x+1，x2-1和2x+1(x>1)，则这个三角形的最大角为______．
四 、解答题（本大题共5小题，共60分）
19.（12分）在ΔABC中，a、b、c为角A、B、C所对的三边，已知b2+c2-a2=-bc．
(1)求角A的值；
(2)若a=3，cos(A-C)+cosB=32，求ΔABC的面积．
20.（12分）在锐角ΔABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足2bsinA=3a.
(1)求角B的大小；
(2)若a+c=5，且a>c，b=7，求cos(2A+B)
21.（12分）在ΔABC中，内角A，B，C所对的边为a，b，c，若ΔABC的面积S=14abc，且bsinB-asinA=2sinBsinC-2sin2C.
(Ⅰ)求角A的大小；
(Ⅱ)求ΔABC面积的最大值．
22.（12分）在锐角ΔABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asinBcosB+bcosAsinB=32c.
(1)若2a=3c=6，求边b的大小；
(2)若cosAcosC=14，且b=23，求ΔABC的面积．
23.（12分）在ΔABC中，a，b，c分别是A，B，C的对边，且满足bsinA+bcosA=c．
(1)求B；
(2)若角A的平分线与BC相交于D点，AD=AC，BD=2，求ΔABC的面积．
答案和解析
1.【答案】A;
【解析】解：如图所示：设山高为AO，塔高为CB为x，且AOCD为矩形，由题意得
tan30°=BDAD=200-xBD=33，∴BD=3(200-x)．
tan60°=200AD=3，∴BD=20033，
∴20033=3(200-x)，x=4003(米)，
故选：A．
由tan30°=BDAD=200-xBD得到BE与塔高x间的关系，由tan60°=200AD求出BD值，从而得到塔高x的值．
该题考查直角三角形中的边角关系，体现了数形结合的数学思想，求出BE值是解答该题的关键，属于中档题．
2.【答案】D;
【解析】解：∵tanBb2=tanCc2，
∴sinBb2cosB=sinCc2cosC，由正弦定理可得：bb2cosB=cc2cosC，
可得：bcosB=ccosC，可得sinBcosB=sinCcosC，可得：sin2B=sin2C，
∴2B=2C，或2B+2C=π，
∴B=C，或B+C=π2，
∴ΔABC的形状为等腰三角形或直角三角形．
故选：D．
由三角函数恒等变换的应用，正弦定理化简已知等式可得sin2B=sin2C，可得2B=2C，或2B+2C=π，解得B=C，或B+C=π2，即可判断ΔABC的形状．
这道题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
3.【答案】C;
【解析】解：∵在ΔABC中，BC=3，AC=2，∠ACB=60°，
∴由余弦定理可得：AB=BC2+AC2-2BC.AC.cos60°=9+4-2×3×2×12=7．
故选：C．
由已知利用余弦定理即可计算得解AB的值．
这道题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．
4.【答案】A;
【解析】
此题主要考查了余弦定理，正弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题
由余弦定理可求b的值，再利用正弦定理可求三角形的外接圆的半径R的值，计算得解．
解：A+C=π6，得B=150°，
由余弦定理b2=a2+c2-2accosB
将a=33，c=2，B=150°代入得：
b=7
故选A.
5.【答案】B;
【解析】
此题主要考查余弦定理的应用，属于基础题.
根据余弦定理和三角形两边之和大于第三边即可解答.
解：ΔABC中，AB=2,AC=3，角A为钝角，
所以BC2>AB2+AC2BC
解得13
6.【答案】B;
【解析】
此题主要考查了正弦定理和余弦定理，属于基础题.
由sinA:sinB:sinC=2:3:4可知，a:b:c=2:3:4，设a=2m,b=3m,c=4m，结合余弦定理即可得到答案.
解：∵sinA:sinB:sinC=2:3:4，
∴由正弦定理得：a:b:c=2:3:4，∴设a=2m,b=3m,c=4m，
∴cosA:cosB:cosC=b2+c2-a22bc:a2+c2-b22ac:a2+b2-c22ab=78:1116:(-14)=14:11:(-4).
故选B.
7.【答案】D;
【解析】解：因为cosB=15，所以sinB=265，
所以ΔABC的面积S=12acsinB=12×3×5×265=36．
故选：D．
由已知可求sinB，然后利用三角形的面积公式，求出ΔABC的面积．
这道题主要考查了同角三角函数的基本关系和三角形的面积公式，属于基础试题．
8.【答案】D;
【解析】解：ΔABC的三个内角之比为A：B：C=3：2：1，
∴B=2C，A=3C，
由A+B+C=π，得C=π6，
A=π2、B=π3；
由正弦定理可得三边之比为
a：b：c=sinA：sinB：sinC=1：32：12=2：3：1．
故选D．
根据题意，利用A+B+C=π求出C、A、B的值，再由正弦定理可得三边之比为a：b：c=sinA：sinB：sinC．
这道题主要考查了正弦定理与三角形内角和定理的应用问题，是基础题．
9.【答案】AD;
【解析】
此题主要考查了余弦定理，属于基础题.
利用余弦定理可求b的值，即可得到B.
解：由a2=b2+c2-2bccos A，
得4=b2+12-6b，b2-6b+8=0，(b-2)(b-4)=0，
由b
故选A、D.
10.【答案】BCD;
【解析】解：对于A，因为acosB=bcosA，
由正弦定理可得，sinAcosB=sinBcosB，
即sin2A=sin2B，
因为A，B均为三角形的内角，
所以2A=2B或2A+2B=π，
则A=B或A+B=π2，
所以ΔABC为等腰三角形或直角三角形，
故选项A错误；
对于B，因为ΔABC为锐角三角形，
则A+B>90°，即A>90°-B，
又0°
所以sinA>sin(90°-B)=cosB，
故选项B正确；
对于C，因为tanC=-tan(A+B)=-tanA+tanB1-tanAtanB，
所以tanA+tanB=-tanC(1-tanAtanB)，
故tanA+tanB+tanC=-tanC(1-tanAtanB)+tanC=tanAtanBtanC，
因为tanA+tanB+tanC<0，
则tanA，tanB，tanC中必有一个值为负值，
即角A，B，C中必有一个为钝角，
所以ΔABC为钝角三角形，
故选项C正确；
对于D，因为a=bsinC+ccosB，
由正弦定理可得，sinA=sinBsinC+sinCcosB，
即sin(B+C)=sinBsinC+sinCcosB，
所以sinBcosC=sinBsinC，
因为sinC≠0，
所以cosC=sinC，即tanC=1，
因为0
故选项D正确．
故选：BCD.
利用正弦定理化简已知等式，由二倍角公式以及诱导公式得到A=B或A+B=π2，即可判断选项A，利用正弦函数的单调性，即可判断选项B，由两角和的正切公式得到tanA，tanB，tanC中必有一个值为负值，即可判断选项C，利用正弦定理将已知的等式边化角，然后由两角和差公式化简求解，即可判断选项D.
本题以命题的真假判断为载体，考查了正弦定理和余弦定理的应用，二倍角公式以及两角和差公式的应用，同角三角函数关系式的应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．
11.【答案】ACD;
【解析】
此题主要考查正弦定理，余弦定理，属于中档题.
运用正弦定理和两角和的三角函数公式可分析B选项，运用余弦定理可分析B，C，D选项.
解：对于A选项，由正弦定理得bcosC+ccosB=2RsinBcosC+2RsinCcosB=2Rsin(B+C)=2Rsin(π-A)=2RsinA=a=2，(R为ΔABC的外接圆半径)，故A正确；
对于B选项，由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA，即5=b2+4-2×b×2×23，
整理得3b2-8b-3=0，解得b=-13(舍去)或b=3，故B错误；
对于C选项，由(a+c)(a-c)=b(b+c)可得bc=a2-b2-c2，由余弦定理可得cosA=b2+c2-a22bc=-12，
又0°
故选ACD.
12.【答案】AD;
【解析】解：设AB=c，AC=b，BC=a，
对于A选项，因为BC=3，D是BC上的点，AD=2，AD⊥BC，
所以△ABC的面积为12×3×3=3，故A正确；
对于B选项，当AD⊥BC时，△ABC的面积最大，故B错误；
对于C选项，b2+c2=bc+9①，AB→⋅AC→=bccos60°=12bc，
由于D为BC中点，则AD→=12(AB→+AC→)，
故|AD→|=12|AB→+AC→|=12|AB→+AC→|2=12|AB→|2+2AB→⋅AC→+|AC→|2=2，
所以|AB→|2+2AB→⋅AC→+|AC→|2=16，即c2+bc+b2=16②，
所以②-①2得bc=72，所以AB→⋅AC→=12bc=74，故C错误；
对于D选项，因为AD平分∠BAC，∠BAC=60°，所以∠BAD=∠CAD=30°，
S△ABC=S△BAD+S△CAD=12AB⋅AD⋅sin30°+12AC⋅AD⋅sin30°=12c⋅2×12+12b⋅2×12=12(b+c)
由于SΔ△ABC=34bc,b2+c2-bc=9，故12(b+c)=34bc，
即b+c=32bc，
所以b2+c2-bc=(b+c)2-3bc=(32bc)-3bc=9，
即(bc)2-4bc-12=0，解得bc=6，
所以S△ABC=34bc=34×6=332，故D正确．
故选：AD.
直接根据三角形的面积公式计算判断A即可；根据三角形性质判断B；由余弦定理与向量的模求解公式等运算得bc=72，进而根据数量积运算判断C；根据S△ABC=S△BAD+S△CAD，结合余弦定理得bc=6，进而得面积判断D.
此题主要考查了三角形中的几何定理，属于中档题．
13.【答案】AC;
【解析】解：∵asinB=bsinA，
∴asinA=bsinB，∴a2=b2，
∴△ABC为等腰三角形，故A正确，
∵acosA=bcosB，
∴acosB=bcosA，sinAcosB=cosAsinB，
∴sin(A-B)=0，∴A=B，故C正确，B错误，
∵a2tanA=b2tanB，
∴sinAcosA=sinBcosB，
∴sin2A=sin2B，∴A=B或A+B=π2，故D错误，
故选：AC.
根据正弦定理分别判断即可．
此题主要考查了正弦定理的应用，考查转化思想，是基础题．
14.【答案】2＜x＜433;
【解析】解：由正弦定理得asinA=bsinB=232=433，
∴a=433sinA，A+C=180°-60°=120°，
由题意得：A有两个值，且这两个值互补，
∴60°
∴32
则2
该题考查了正弦定理，正弦函数的值域，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．
15.【答案】2π3;
【解析】解：由题意知，csin A+3acos C=0，
由正弦定理得，sinCsin A+3sinAcos C=0，
又sinA>0，则sinC+3cos C=0，
所以tanC=-3，
因为0
由正弦定理化简已知的式子，由商的关系化简后，由内角的范围和特殊角的三角函数值求出角C．
此题主要考查了正弦定理的应用：边角互化，注意内角的范围，属于基础题．
16.【答案】120° 30°;略;
【解析】解：若A=120°，B=30°，
则sinA=cosB，此时三角形不是直角三角形，说明p为假命题．
故答案为：120°，30°.
若A=120°，B=30°，满足条件sinA=cosB，此时三角形不是直角三角形，即可得解．
此题主要考查命题的真假的判断与应用，属于基础题．
17.【答案】49π3 ;
【解析】
此题主要考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值．
利用余弦定理列出关系式，把b，c，cosA的值代入求出a的值，再利用正弦定理求出三角形外接圆半径，即可确定出外接圆面积．
解：∵在ΔABC中，b=8，c=3，A=60°，
∴由余弦定理得：a2=b2+c2-2bccosA=64+9-24=49，即a=7，
由正弦定理得：asinA=2R，即R=a2sinA=72×32=733，
则此三角形外接圆面积为493π，
故答案为：493π
18.【答案】2π3;
【解析】解：由于x>1，
所以x2+x+1-(x2-1)=x+2>0，
所以x2+x+1>(x2-1)．
x2+x+1-(2x+1)=x2-x=x(x-1)>0，
所以x2+x+1为最大边长．
所以最大角θ满足cosθ=(x2-1)2+(2x+1)2+(x2+x+1)22(x2-1)(2x+1)=-12，
由于0<θ<π，
所以θ=2π3．
故答案为：2π3
直接利用数的大小比较和余弦定理的应用求出结果．
该题考查的知识要点：正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用，数的大小比较的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
19.【答案】解：（1）∵b2+c2-a2=-bc．
∴由余弦定理得cosA=b2+c2-a22bc=-12，
∵A∈（0，π），
∴A=2π3．
（2）由题意得cos（A-C）-cos（A+C）=32，
∴sinAsinC=34，
又∵sinA=32，
∴sinC=12，
∵C∈（0，π3），
∴C=π6，B=π6，
由正弦定理得asinA=csinC，解得c=1，
∴S△ABC=12acsinB=34．;
【解析】
(1)由已知及余弦定理可求cosA=-12，结合范围A∈(0,π)，即可求得A的值．
(2)由已知及三角函数恒等变换的应用可得sinAsinC=34，进而可求sinC=12，结合范围C∈(0,π3)，可得C的值，可求B=π6，由正弦定理解得c，利用三角形面积公式即可计算得解．
此题主要考查了余弦定理，三角函数恒等变换的应用，正弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于中档题．
20.【答案】解：（1）在△ABC中，由2bsinA=3a，
根据正弦定理得：2sinBsinA=3sinA，
∵sinA≠0（A为锐角），
∴sinB=32．
∴由B为锐角，可得B=π3．
（2）∵a+c=5，①b=7，
∴利用余弦定理：b2=a2+c2-2accosB，可得：7=a2+c2-ac=（a+c）2-3ac，解得：ac=6，②
∴由①②联立即可解得：c=2a=3，或c=3a=2（由a＞c，舍去），
∴cosA=b2+c2-a22bc=7+4-92×7×2=714，sinA=1-cos2A=32114，sin2A=2sinAcosA=3314，cos2A=2cos2A-1=-1314，
∴cos（2A+B）=cos（2A+π3）=12cos2A-32sin2A=12×（-1314）-32×3314=-1114．;
【解析】
(1)已知等式利用正弦定理化简，求出sinB的值，由B为锐角即可得解．
(2)由已知及余弦定理可得ac=6，联立即可解得a，c的值，由余弦定理可求cosA，利用同角三角函数基本关系式可求sinA，进而利用二倍角公式可求sin2A，cos2A的值，由两角和的余弦函数公式即可化简求值．
此题主要考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函数基本关系式，二倍角公式，两角和的余弦函数公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，熟练掌握正弦定理是解本题的关键，属于中档题．
21.【答案】解：（Ⅰ）由S=12absinC=14abc，
∴csinC=2=bsinB=asinA，
∴由bsinB-asinA=2sinB•sinC-2sin2C=bsinC-csinC，
即b2+c2-a2=bc，
∴cosA=b2+c2-a22bc=12，
又∵A∈（0，π），从而A=π3．
（Ⅱ）由A=π3，∴a=2sinA=3，
从而a2=3=b2+c2-2bccosA=b2+c2-bc≥bc，
∴bc≤3，
∴S△ABC=12bcsinA≤32sinA=334，
即△ABC面积的最大值为334，此时△ABC是正三角形．;
【解析】
(Ⅰ)由三角形面积公式得到csinC=2，再利用正弦定理对已知等式角化边得b2+c2-a2=bc，再由余弦定理即可求出角A的大小；
(Ⅱ)由角A求出a，再利用余弦定理结合基本不等式求出bc⩽3，再由三角形面积公式即可求出ΔABC面积的最大值．
这道题主要考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，以及基本不等式的应用，是中档题．
22.【答案】解：（1）asinBcosB+bcosAsinB=32c，利用正弦定理的应用sinAsinBcosB+sinBcosAsinB=32sinC，
整理得sinBsin（A+B）=32sinC，
由于sinC＞0，所以sinB=32，cosB=12，
由于a=3，c=2，
利用余弦定理得：b2=a2+c2-2accosB，解得b=7．
（2）由于cosAcosC=14，所以cos(A+C)=-cosB=-12，
整理得cosAcosC-sinAsinC=-12，故sinAsinC=14．
由正弦定理asinA=bsinB=csinC，
所以acsinAsinC=b2sin2B，
所以ac14=b234，整理得b2=3ac，
由于b2=12，所以ac=4．
所以S△ABC=12acsinB=12×4×32=3．;
【解析】
(1)直接利用三角函数关系式的恒等变换与余弦定理的应用求出结果．
(2)利用正弦定理和三角形面积公式的应用求出结果．
该题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型
23.【答案】解：（1）由题意，利用正弦定理可得sinBsinA+sinBcosA=sinC=sin（A+B），
整理可得sinB=cosB，∴B=π4；
（2）由AD=AC，可知∠ACD=∠ADC．
设∠BAD=∠DAC=α，∠ACD=∠ADC=γ，则45∘+2α+β=180∘α+2β=180∘，
∴α=30°，β=75°
△ABD中，由正弦定理可得ABsin105∘=ADsin45∘=2sin30∘，
∴AB=6+2，AD=22，∴AC=22，
∴S△ABC=12AB.AC.sin2α=3+3．;
【解析】
(1)由题意，利用正弦定理可得sinBsinA+sinBcosA=sinC=sin(A+B)，由此可求B；
(2)ΔABD中，由正弦定理可得ABsin105∘=ADsin45∘=2sin30∘，求出AB，AD，AC，即可求ΔABC的面积．
该题考查正弦定理的运用，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
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