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人教B版（2019）高中数学 必修第四册《第九章 解三角形》单元测试5（含解析）
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人教B版（2019）必修第四册《第九章 解三角形》单元测试5
一 、单选题（本大题共8小题，共40分）
1.（5分）已知ΔABC的三个内角A，B，C依次成等差数列，BC边上的中线AD=7，AB=2，则SΔABC=( )
A. 3 B. 23 C. 33 D. 6
2.（5分）已知在△ABC中，角A，B的对边分别为a，b，若sinA：sinB=1：2,a=2，则b的值为()
A. 1 B. 2 C. 2 D. 22
3.（5分）在ΔABC中，A=30°，b=3，c=1，则a=( )
A. 2 B. 3 C. 2 D. 1
4.（5分）在ΔABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若c=2a，bsin B-asin A=12asin C，则sin B为( )
A. 74
B. 34
C. 73
D. 13
5.（5分）在ΔABC中，a,b,c分别为∠A,∠B,∠C的对边，且2b=a+c，∠B=30∘，ΔABC的面积为32，那么b等于( )
A. 1+32 B. 1+3 C. 2+32 D. 2+3
6.（5分）已知ΔABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=2，b=2，A=π6，则满足条件的ΔABC( )
A. 无解 B. 有一个解 C. 有两个解 D. 不能确定
7.（5分）在ΔABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a.b.c成等比数列，且2c-4a=0，则cosB=( )
A. 14 B. 34 C. 24 D. 23
8.（5分）在ΔABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC+ccosB=asinA，则角A的值为( )
A. π3 B. π6 C. π2 D. 2π3
二 、多选题（本大题共5小题，共25分）
9.（5分）在ΔABC中，内角A,B,C的对边分别为a , b , c，则下列关系式中，一定成立的有( )
A. asinB=bsinA B. a=bcosC+ccosB
C. a2+b2-c2=2abcosC D. b=csinA+asinC
10.（5分）在ΔABC中，分别根据下列条件解三角形，其中有两个解的是( )
A. a=14，b=16，A=45° B. a=25，b=30，A=150°
C. a=30，b=40，A=30° D. a=72，b=60，A=135°
11.（5分）在ΔABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列的结论中正确的是( )
A. 若cosA>cosB，则sinA
C. 若ΔABC是锐角三角形，则sinA+sinB+sinC>cosA+cosB+cosC
D. 已知ΔABC不是直角三角形，则tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC
12.（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，以下说法中正确的是()
A. 若A>B，则sinA>sinB
B. 若a=4，b=5，c=6，则△ABC为锐角三角形
C. 若acosA=bcosB，则△ABC一定是等腰三角形
D. 已知a=2，b=6，A=45°符合条件的三角形有两个
13.（5分）△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边．根据以下条件解三角形，恰有一解的是()
A. a=4，b=3，A=π3 B. a=3，b=4，A=π6
C. a=3，b=2，A=2π3 D. a=1，b=2，A=π4
三 、填空题（本大题共5小题，共25分）
14.（5分）在ΔABC中，若sinA：sinB：sinC=3：5：7，则cosC= ______ ．
15.（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中a=3，2c+3cosC=b+33sinC，则△ABC的面积与周长之比的取值范围是 ______.
16.（5分）在ΔABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若满足A=π4，b=3的ΔABC有且仅有一个，则边a的取值范围是 ______ .
17.（5分）在ΔABC中，A=60°，B=75°，a=10，则c=________.
18.（5分）中，分别为的对边，如果成等差数列，，的面积为，那么__________.
四 、解答题（本大题共5小题，共60分）
19.（12分）已知ΔABC中，AB=4，AC=2，SΔABC=23，求ΔABC外接圆面积．
20.（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asinB=3bcosA.
(1)求角A的大小；
(2)若D是BC边上靠近B的三等分点，且AD=213,c=2，判断△ABC是否存在，若存在，求出△ABC面积；若不存在，说明理由．
21.（12分）在ΔABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A=π3.
(1)若b+c=2，且a=3，求ΔABC的面积；
(2)若b=2c，求sinC.
22.（12分）已知a，b，c分别是ΔABC内角A,B,C的对边，sin2B=2sinAsinC.
(I)若a=b，求cosB
(II)若B=90°，且a=2 求ΔABC的面积.
23.（12分）在ΔABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若ΔABC的面积为S，且bcsin2A=2S．
(Ⅰ)求角A的值；
(Ⅱ)若a=3c，求ab的值．
答案和解析
1.【答案】C;
【解析】解：∵由于ΔABC的三个内角A、B、C成等差数列，且内角和等于180°，
∴B=60°，
∵ΔABD中，由余弦定理可得：AD2=AB2+BD2-2AB⋅BD⋅cosB，即：7=4+BD2-2BD，
∴BD=3或-1(舍去)，可得：BC=6，
∴SΔABC=12AB.BC.sinB=12×2×6×32=33．
故选：C．
由于ΔABC的三个内角A、B、C成等差数列，且内角和等于180°，故 B=60°，ABD中，由余弦定理可得BD的长，进而利用三角形面积公式即可计算得解．
该题考查等差数列的定义，余弦定理以及三角形面积公式的应用，求出B=60°，是解答该题的关键，属于基础题．
2.【答案】C;
【解析】解：由正弦定理知，asinA=bsinB，
所以ab=sinAsinB=12，
所以b=2a=2.
故选：C.
利用正弦定理，即可得解．
此题主要考查解三角形，熟练掌握正弦定理是解答该题的关键，考查运算求解能力，属于基础题．
3.【答案】D;
【解析】解：因为A=30°，b=3，c=1，
∴a2=b2+c2-2bccosA
=32+12-2×3×1×cos30°
=1，
故a=1．
故选：D．
利用余弦定理即可求出a的值．
该题考查余弦定理的应用，属于基础题．
4.【答案】A;
【解析】略
5.【答案】B;
【解析】
∴SΔ=12acsinB=12acsin300=32ac=6ΔABCb2=a2+c2-2accosB=(a+c)2-2ac-2accosBb2=4b2-12-12×32b2=4+23=(3+1)2b=3+1
6.【答案】C;
【解析】解：ΔABC中，∵∠A=30°，a=2，b=2，
∴由正弦定理可得asinA=bsinB，即2sinπ6=2sinB，求得sinB=22，
∴B=π4，或B=3π4，故ΔABC有2个解．
故选：C.
利用正弦定理求得sinB=22，可得B=π4，或B=3π4，从而得出结论．
此题主要考查正弦定理的应用，解三角形，属于基础题．
7.【答案】B;
【解析】
利用等比数列的性质可得b2=ac，结合已知可求c=2a，b=2a，利用余弦定理即可解得cosB的值．
这道题主要考查了等比数列的性质，余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．
解：在ΔABC中，∵a.b.c成等比数列，可得：b2=ac，
又∵2c-4a=0，可得：c=2a，b=2a，
∴cosB=a2+c2-b22ac=a2+4a2-2a22a×2a=34．
故选：B．
8.【答案】C;
【解析】解：在ΔABC中，∵bcosC+ccosB=asinA，
∴sinBcosC+sinCcosB=sin(B+C)=sinA=sin2A，
∵sinA≠0，∴sinA=1，
∴由于A为三角形内角，可得A=π2．
故选：C．
根据正弦定理把已知等式中的边转化为角的正弦，利用两角和公式化简求得sinA的值进而求得A，即可得出结论．
这道题主要考查了正弦定理的应用．解答该题的关键是利用正弦定理把等式中的边转化为角的正弦，属于基本知识的考查．
9.【答案】ABC;
【解析】
此题主要考查正弦定理、余弦定理，属于基础题.
根据正弦定理和余弦定理逐一解答即可.
解：由正弦定理可得asinA=bsinB，∴asinB=bsinA，故A成立；
由于sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC，
则a=bcosC+ccosB ，故B成立;
由余弦定理可得a2+b2-c2=2abcosC，故C成立;
由于sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC，
则b=ccosA+acosC，
故b=csinA+asinC不一定成立，D错误；
故选ABC.
10.【答案】AC;
【解析】
此题主要考查正弦定理，利用正弦定理逐项分析即可得解.
解：若A成立，由正弦定理得sinB=bsinAa=16×2214=427>22=sinA，所以b>a，B>A，且b>a>bsinA=82，所以有两个解；
若B成立，由正弦定理得2512=30sinB，所以sinB=35，又b>a，故B>150°，无解；
若C成立，由正弦定理得3012=40sinB，所以sinB=23，又b>a，所以B>A，且b>a>bsin A=20，故B可以是锐角，也可以是钝角，所以有两个解；
若D成立，由正弦定理得7222=60sinB，所以sinB=5212，由于b
11.【答案】ACD;
【解析】解：因为A，B∈(0,π)，且y=cosx在(0,π)上单调递减，故由cosA>cosB得A
若三角形ABC为锐角三角形，则A+B>π2⇒A>π2-B>0，故sinA>sin(π2-B)=cosB，
同理可得sinB>cosC，sinC>cosA，三式相加得sinA+sinB+sinC>cosA+cosB+cosC，故C正确；
ΔABC不是直角三角形，即A，B，C都不是直角，因为tanC=-tan(A+B)=tanA+tanBtanAtanB-1，
整理得tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC，故D正确．
故选：ACD.
结合正弦定理以及三角函数与三角形的性质、三角恒等变换以及两角和与差的三角函数公式逐项判断即可．
此题主要考查三角恒等变换以及正弦定理等知识与方法，属于中档题．
12.【答案】ABD;
【解析】解：对于A，∵A>B，∴a>b，由正弦定理asinA=bsinB,sinAsinB=ab>1,A,B∈(0,π),sinA>0,sinB>0，∴sinA>sinB，故A正确；
对于B，c>b>a，∴C>B>A,cosC=a2+b2-c22ab=42+52-622×4×5=18>0，∴C是锐角，故△ABC是锐角三角形，B正确；
对于C，acosA=bcosB，sinAcosA=sinBcosB，A，B∈(0,π)，
即12sin2A=12sin2B，∴2A=2B或2A+2B=π,A+B=π2，
∴△ABC或是等腰三角形或是直角三角形，故C错误；
对于D，由正弦定理得：asinA=bsinB,sinB=basinA=62×22=32，B=π3或B=2π3，故D正确；
故选：ABD.
运用正弦定理和余弦定理对每一个选项分析计算可以求解．
此题主要考查了正余弦定理的应用，属于中档题．
13.【答案】AC;
【解析】解：对于A：由于a=4，b=3，A=π3，利用正弦定理asinA=bsinB，解得sinB=338，由于a>b，所以△ABC有唯一解，故A正确；
对于B：由于a=3，b=4，A=π6，满足b>a>bsinA，故△ABC有两解，故B错误；
对于C：由于a=3，b=2，A=2π3，利用正弦定理asinA=bsinB，解得sinB=33，利用大边对大角，故△ABC有唯一解，故C正确．
对于D：由于a=1，b=2，A=π4，利用正弦定理理asinA=bsinB，解得sinB=2，故△ABC无解，故D错误；
故选：AC.
直接利用正弦定理和三角函数的值的应用判断A、B、C、D的结论．
此题主要考查的知识要点：解三角形知识的应用，正弦定理的应用，三角函数的值，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
14.【答案】-12;
【解析】
该题考查正、余弦定理的应用，属于基础题．
由正弦定理可得a：b：c=3：5：7，进而可用b表示a，c，代入余弦定理化简可得．
解：∵sinA：sinB：sinC=3：5：7，
∴由正弦定理可得a：b：c=3：5：7，
∴a=3b5，c=7b5，
由余弦定理可得cosC=a2+b2-c22ab=9b225+b2-49b2252×3b5×b=-12．
故答案为-12．
15.【答案】(0，34];
【解析】解：由已知可得：2c+acosC=b+3asinC，
可得2sinC+sinAcosC=sinB+3sinAsinC，
即2sinC+sinAcosC=sinAcosC+cosAsinC+3sinAsinC，
即2sinC=3sinAsinC+cosA⋅sinC，即sin(A+π6)=1，
因为0
由余弦定理可得b2+c2-bc=9，所以(b+c)2-9=3bc，(*).
△ABC的周长l=a+b+c=3+b+c，面积S=12bcsinA=34bc，
所以Sl=3bc4(3+b+c)=3[(b+c)2-9]12(3+b+c)=312(b+c-3)，
因为bc⩽(b+c)24，
所以由(*)式可得(b+c)2-9⩽3(b+c)24，即3
故答案为：(0,34].
由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得sin(A+π6)=1，结合范围0
16.【答案】{a|a≥3或a=322};
【解析】解：过C作AB边上的高h=bsinA=3×22=322，
若满足A=π4，b=3的ΔABC有且仅有一个，
则a=h=322或a⩾b，所以a⩾3或a=322，
即实数a的取值范围是{ a|a⩾3或a=322}，
故答案为：{ a|a⩾3或a=322}.
求出三角形底边AC上的高h，结合三角形的性质建立条件关系即可．
此题主要考查了正弦定理的应用，考查了数形结合思想，是中档题．
17.【答案】1063;
【解析】
此题主要考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．
由A与B的度数求出C的度数，再由sinA，sinC以及a的值，利用正弦定理求出c的值即可．
解：∵在ΔABC中，A=60°，B=75°，即C=45°，a=10，
∴由正弦定理asinA=csinC，
得：c=asinCsinA=10×2232=1063.
故答案为1063.
18.【答案】;
【解析】解析：因为成等差数列，所以，平方得.又的面积为，且.故由，得，所以.由余弦定理，得.解得.又因为为边长，所以.
19.【答案】解：由AB=c=4，AC=b=2，
S△ABC=23=12bcsinA，
可得sinA=32．
∴A=60°或120°．
由余弦弦定理：cosA=c2+b2-a22bc，
当A=60°，可得a=23．此时△ABC外接半径R=232sinA=2，△ABC外接圆面积S=4π．
当A=120°，可得a=27，此时△ABC外接半径R=272sinA=2213，△ABC外接圆面积S=849π．;
【解析】
根据余弦弦定理求出a，在利用正弦定理可得ΔABC外接的半径，即可得外接圆面积．
该题考查三角形的正余弦定理的灵活运用，考查运算能力，属于基础题．
20.【答案】解：（1）因为：asinB=3bcosA，
由正弦定理可得：sinAsinB=3sinBcosA，
因为sinB≠0，
故sinA=3cosA，显然cosA≠0，
故tanA=3，
又0＜A＜π，
故A=π3．
（2）依题意可得：AD→=13AC→+23AB→，
两边平方得：AD→2=19AC→2+49AB→2+49AB→·AC→，
即：73=19b2+49c2+49bccosπ3，
整理得：b2+4b-5=0，
解得：b=1，或b=-5 （舍去），
故△ABC面积S=12bcsinA=32．;
【解析】
(1)利用正弦定理化简求解即可；
(2)根据AD→=13AC→+23AB→，两边平方化简求a，b与△ABC面积即可．
此题主要考查了正、余弦定理在解三角形中的运用，当题中有边的等分点时可考虑结合向量求解，属于中档题．
21.【答案】解：（1）由余弦定理知a2=b2+c2-2bccosA，
∴a2=（b+c）2-2bc（1+cosA），
∴32=22-2bc(1+cosπ3)，解得bc=13，
∴S△ABC=12bcsinA=12×13×32=312，
故△ABC的面积为312．
（2）∵b=2c，则由正弦定理sinB=2sinC，B+C=2π3，
∴sin(2π3-C)=2sinC，即32cosC+12sinC=2sinC，
∴32cosC=32sinC，
∴tanC=33，C∈(0，2π3)，
∴C=π6，sinC=12．;
【解析】
(1)由已知利用余弦定理可求bc的值，进而根据三角形的面积公式即可求解．
(2)由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知可求tanC的值，进而可求sinC的值．
此题主要考查了解三角形中必备的正弦定理，余弦定理，面积公式，内角和定理的综合应用，考查了转化思想，属于中档题．
22.【答案】解：(I)因为sin2B=2sinAsinC，由正弦定理得b2=2ac，
又a=b，则b=2c,a=2c，
则cosB=a2+c2-b22ac=14，
(II)由(I)得b2=2ac，又因为B=90∘，
所以a2+c2=b2，
则a2+c2=2ac⇒a=c=2，
所以SΔ=12acsinB=12×2×2sin90∘=1.
;
【解析】此题主要考查的是解三角形知识，是基础题.
(1)由正弦定理得b2=ac，由余弦定理即可得答案；
(2)由勾股定理得出a，c的值，易得三角形面积.
23.【答案】解：（I）因为bcsin2A=2S=bcsinA，所以2sinAcosA=sinA，
所以0＜A＜π，sinA≠0，
所以cosA=12，A=π3；
（II）由余弦定理，a2=b2+c2-2bccosA=b2+(33a)2-2b.33a.12，化简3b2-3ab-2a2=0，
所以(3b+a)(3b-2a)=0，
所以3b=2a，即ab=32．;
【解析】
(I)利用面积公式，得到关系式，求出A；
(2)由余弦定理化简求出a，b关系，作商即可．
考查正弦定理，余弦定理的应用，三角形面积和边角关系的化简，基础题．
人教B版（2019）必修第四册《第九章 解三角形》单元测试5
一 、单选题（本大题共8小题，共40分）
1.（5分）已知ΔABC的三个内角A，B，C依次成等差数列，BC边上的中线AD=7，AB=2，则SΔABC=( )
A. 3 B. 23 C. 33 D. 6
2.（5分）已知在△ABC中，角A，B的对边分别为a，b，若sinA：sinB=1：2,a=2，则b的值为()
A. 1 B. 2 C. 2 D. 22
3.（5分）在ΔABC中，A=30°，b=3，c=1，则a=( )
A. 2 B. 3 C. 2 D. 1
4.（5分）在ΔABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若c=2a，bsin B-asin A=12asin C，则sin B为( )
A. 74
B. 34
C. 73
D. 13
5.（5分）在ΔABC中，a,b,c分别为∠A,∠B,∠C的对边，且2b=a+c，∠B=30∘，ΔABC的面积为32，那么b等于( )
A. 1+32 B. 1+3 C. 2+32 D. 2+3
6.（5分）已知ΔABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=2，b=2，A=π6，则满足条件的ΔABC( )
A. 无解 B. 有一个解 C. 有两个解 D. 不能确定
7.（5分）在ΔABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a.b.c成等比数列，且2c-4a=0，则cosB=( )
A. 14 B. 34 C. 24 D. 23
8.（5分）在ΔABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC+ccosB=asinA，则角A的值为( )
A. π3 B. π6 C. π2 D. 2π3
二 、多选题（本大题共5小题，共25分）
9.（5分）在ΔABC中，内角A,B,C的对边分别为a , b , c，则下列关系式中，一定成立的有( )
A. asinB=bsinA B. a=bcosC+ccosB
C. a2+b2-c2=2abcosC D. b=csinA+asinC
10.（5分）在ΔABC中，分别根据下列条件解三角形，其中有两个解的是( )
A. a=14，b=16，A=45° B. a=25，b=30，A=150°
C. a=30，b=40，A=30° D. a=72，b=60，A=135°
11.（5分）在ΔABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列的结论中正确的是( )
A. 若cosA>cosB，则sinA
C. 若ΔABC是锐角三角形，则sinA+sinB+sinC>cosA+cosB+cosC
D. 已知ΔABC不是直角三角形，则tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC
12.（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，以下说法中正确的是()
A. 若A>B，则sinA>sinB
B. 若a=4，b=5，c=6，则△ABC为锐角三角形
C. 若acosA=bcosB，则△ABC一定是等腰三角形
D. 已知a=2，b=6，A=45°符合条件的三角形有两个
13.（5分）△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边．根据以下条件解三角形，恰有一解的是()
A. a=4，b=3，A=π3 B. a=3，b=4，A=π6
C. a=3，b=2，A=2π3 D. a=1，b=2，A=π4
三 、填空题（本大题共5小题，共25分）
14.（5分）在ΔABC中，若sinA：sinB：sinC=3：5：7，则cosC= ______ ．
15.（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中a=3，2c+3cosC=b+33sinC，则△ABC的面积与周长之比的取值范围是 ______.
16.（5分）在ΔABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若满足A=π4，b=3的ΔABC有且仅有一个，则边a的取值范围是 ______ .
17.（5分）在ΔABC中，A=60°，B=75°，a=10，则c=________.
18.（5分）中，分别为的对边，如果成等差数列，，的面积为，那么__________.
四 、解答题（本大题共5小题，共60分）
19.（12分）已知ΔABC中，AB=4，AC=2，SΔABC=23，求ΔABC外接圆面积．
20.（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asinB=3bcosA.
(1)求角A的大小；
(2)若D是BC边上靠近B的三等分点，且AD=213,c=2，判断△ABC是否存在，若存在，求出△ABC面积；若不存在，说明理由．
21.（12分）在ΔABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A=π3.
(1)若b+c=2，且a=3，求ΔABC的面积；
(2)若b=2c，求sinC.
22.（12分）已知a，b，c分别是ΔABC内角A,B,C的对边，sin2B=2sinAsinC.
(I)若a=b，求cosB
(II)若B=90°，且a=2 求ΔABC的面积.
23.（12分）在ΔABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若ΔABC的面积为S，且bcsin2A=2S．
(Ⅰ)求角A的值；
(Ⅱ)若a=3c，求ab的值．
答案和解析
1.【答案】C;
【解析】解：∵由于ΔABC的三个内角A、B、C成等差数列，且内角和等于180°，
∴B=60°，
∵ΔABD中，由余弦定理可得：AD2=AB2+BD2-2AB⋅BD⋅cosB，即：7=4+BD2-2BD，
∴BD=3或-1(舍去)，可得：BC=6，
∴SΔABC=12AB.BC.sinB=12×2×6×32=33．
故选：C．
由于ΔABC的三个内角A、B、C成等差数列，且内角和等于180°，故 B=60°，ABD中，由余弦定理可得BD的长，进而利用三角形面积公式即可计算得解．
该题考查等差数列的定义，余弦定理以及三角形面积公式的应用，求出B=60°，是解答该题的关键，属于基础题．
2.【答案】C;
【解析】解：由正弦定理知，asinA=bsinB，
所以ab=sinAsinB=12，
所以b=2a=2.
故选：C.
利用正弦定理，即可得解．
此题主要考查解三角形，熟练掌握正弦定理是解答该题的关键，考查运算求解能力，属于基础题．
3.【答案】D;
【解析】解：因为A=30°，b=3，c=1，
∴a2=b2+c2-2bccosA
=32+12-2×3×1×cos30°
=1，
故a=1．
故选：D．
利用余弦定理即可求出a的值．
该题考查余弦定理的应用，属于基础题．
4.【答案】A;
【解析】略
5.【答案】B;
【解析】
∴SΔ=12acsinB=12acsin300=32ac=6ΔABCb2=a2+c2-2accosB=(a+c)2-2ac-2accosBb2=4b2-12-12×32b2=4+23=(3+1)2b=3+1
6.【答案】C;
【解析】解：ΔABC中，∵∠A=30°，a=2，b=2，
∴由正弦定理可得asinA=bsinB，即2sinπ6=2sinB，求得sinB=22，
∴B=π4，或B=3π4，故ΔABC有2个解．
故选：C.
利用正弦定理求得sinB=22，可得B=π4，或B=3π4，从而得出结论．
此题主要考查正弦定理的应用，解三角形，属于基础题．
7.【答案】B;
【解析】
利用等比数列的性质可得b2=ac，结合已知可求c=2a，b=2a，利用余弦定理即可解得cosB的值．
这道题主要考查了等比数列的性质，余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．
解：在ΔABC中，∵a.b.c成等比数列，可得：b2=ac，
又∵2c-4a=0，可得：c=2a，b=2a，
∴cosB=a2+c2-b22ac=a2+4a2-2a22a×2a=34．
故选：B．
8.【答案】C;
【解析】解：在ΔABC中，∵bcosC+ccosB=asinA，
∴sinBcosC+sinCcosB=sin(B+C)=sinA=sin2A，
∵sinA≠0，∴sinA=1，
∴由于A为三角形内角，可得A=π2．
故选：C．
根据正弦定理把已知等式中的边转化为角的正弦，利用两角和公式化简求得sinA的值进而求得A，即可得出结论．
这道题主要考查了正弦定理的应用．解答该题的关键是利用正弦定理把等式中的边转化为角的正弦，属于基本知识的考查．
9.【答案】ABC;
【解析】
此题主要考查正弦定理、余弦定理，属于基础题.
根据正弦定理和余弦定理逐一解答即可.
解：由正弦定理可得asinA=bsinB，∴asinB=bsinA，故A成立；
由于sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC，
则a=bcosC+ccosB ，故B成立;
由余弦定理可得a2+b2-c2=2abcosC，故C成立;
由于sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC，
则b=ccosA+acosC，
故b=csinA+asinC不一定成立，D错误；
故选ABC.
10.【答案】AC;
【解析】
此题主要考查正弦定理，利用正弦定理逐项分析即可得解.
解：若A成立，由正弦定理得sinB=bsinAa=16×2214=427>22=sinA，所以b>a，B>A，且b>a>bsinA=82，所以有两个解；
若B成立，由正弦定理得2512=30sinB，所以sinB=35，又b>a，故B>150°，无解；
若C成立，由正弦定理得3012=40sinB，所以sinB=23，又b>a，所以B>A，且b>a>bsin A=20，故B可以是锐角，也可以是钝角，所以有两个解；
若D成立，由正弦定理得7222=60sinB，所以sinB=5212，由于b
11.【答案】ACD;
【解析】解：因为A，B∈(0,π)，且y=cosx在(0,π)上单调递减，故由cosA>cosB得A
若三角形ABC为锐角三角形，则A+B>π2⇒A>π2-B>0，故sinA>sin(π2-B)=cosB，
同理可得sinB>cosC，sinC>cosA，三式相加得sinA+sinB+sinC>cosA+cosB+cosC，故C正确；
ΔABC不是直角三角形，即A，B，C都不是直角，因为tanC=-tan(A+B)=tanA+tanBtanAtanB-1，
整理得tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC，故D正确．
故选：ACD.
结合正弦定理以及三角函数与三角形的性质、三角恒等变换以及两角和与差的三角函数公式逐项判断即可．
此题主要考查三角恒等变换以及正弦定理等知识与方法，属于中档题．
12.【答案】ABD;
【解析】解：对于A，∵A>B，∴a>b，由正弦定理asinA=bsinB,sinAsinB=ab>1,A,B∈(0,π),sinA>0,sinB>0，∴sinA>sinB，故A正确；
对于B，c>b>a，∴C>B>A,cosC=a2+b2-c22ab=42+52-622×4×5=18>0，∴C是锐角，故△ABC是锐角三角形，B正确；
对于C，acosA=bcosB，sinAcosA=sinBcosB，A，B∈(0,π)，
即12sin2A=12sin2B，∴2A=2B或2A+2B=π,A+B=π2，
∴△ABC或是等腰三角形或是直角三角形，故C错误；
对于D，由正弦定理得：asinA=bsinB,sinB=basinA=62×22=32，B=π3或B=2π3，故D正确；
故选：ABD.
运用正弦定理和余弦定理对每一个选项分析计算可以求解．
此题主要考查了正余弦定理的应用，属于中档题．
13.【答案】AC;
【解析】解：对于A：由于a=4，b=3，A=π3，利用正弦定理asinA=bsinB，解得sinB=338，由于a>b，所以△ABC有唯一解，故A正确；
对于B：由于a=3，b=4，A=π6，满足b>a>bsinA，故△ABC有两解，故B错误；
对于C：由于a=3，b=2，A=2π3，利用正弦定理asinA=bsinB，解得sinB=33，利用大边对大角，故△ABC有唯一解，故C正确．
对于D：由于a=1，b=2，A=π4，利用正弦定理理asinA=bsinB，解得sinB=2，故△ABC无解，故D错误；
故选：AC.
直接利用正弦定理和三角函数的值的应用判断A、B、C、D的结论．
此题主要考查的知识要点：解三角形知识的应用，正弦定理的应用，三角函数的值，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
14.【答案】-12;
【解析】
该题考查正、余弦定理的应用，属于基础题．
由正弦定理可得a：b：c=3：5：7，进而可用b表示a，c，代入余弦定理化简可得．
解：∵sinA：sinB：sinC=3：5：7，
∴由正弦定理可得a：b：c=3：5：7，
∴a=3b5，c=7b5，
由余弦定理可得cosC=a2+b2-c22ab=9b225+b2-49b2252×3b5×b=-12．
故答案为-12．
15.【答案】(0，34];
【解析】解：由已知可得：2c+acosC=b+3asinC，
可得2sinC+sinAcosC=sinB+3sinAsinC，
即2sinC+sinAcosC=sinAcosC+cosAsinC+3sinAsinC，
即2sinC=3sinAsinC+cosA⋅sinC，即sin(A+π6)=1，
因为0
由余弦定理可得b2+c2-bc=9，所以(b+c)2-9=3bc，(*).
△ABC的周长l=a+b+c=3+b+c，面积S=12bcsinA=34bc，
所以Sl=3bc4(3+b+c)=3[(b+c)2-9]12(3+b+c)=312(b+c-3)，
因为bc⩽(b+c)24，
所以由(*)式可得(b+c)2-9⩽3(b+c)24，即3
故答案为：(0,34].
由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得sin(A+π6)=1，结合范围0
16.【答案】{a|a≥3或a=322};
【解析】解：过C作AB边上的高h=bsinA=3×22=322，
若满足A=π4，b=3的ΔABC有且仅有一个，
则a=h=322或a⩾b，所以a⩾3或a=322，
即实数a的取值范围是{ a|a⩾3或a=322}，
故答案为：{ a|a⩾3或a=322}.
求出三角形底边AC上的高h，结合三角形的性质建立条件关系即可．
此题主要考查了正弦定理的应用，考查了数形结合思想，是中档题．
17.【答案】1063;
【解析】
此题主要考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．
由A与B的度数求出C的度数，再由sinA，sinC以及a的值，利用正弦定理求出c的值即可．
解：∵在ΔABC中，A=60°，B=75°，即C=45°，a=10，
∴由正弦定理asinA=csinC，
得：c=asinCsinA=10×2232=1063.
故答案为1063.
18.【答案】;
【解析】解析：因为成等差数列，所以，平方得.又的面积为，且.故由，得，所以.由余弦定理，得.解得.又因为为边长，所以.
19.【答案】解：由AB=c=4，AC=b=2，
S△ABC=23=12bcsinA，
可得sinA=32．
∴A=60°或120°．
由余弦弦定理：cosA=c2+b2-a22bc，
当A=60°，可得a=23．此时△ABC外接半径R=232sinA=2，△ABC外接圆面积S=4π．
当A=120°，可得a=27，此时△ABC外接半径R=272sinA=2213，△ABC外接圆面积S=849π．;
【解析】
根据余弦弦定理求出a，在利用正弦定理可得ΔABC外接的半径，即可得外接圆面积．
该题考查三角形的正余弦定理的灵活运用，考查运算能力，属于基础题．
20.【答案】解：（1）因为：asinB=3bcosA，
由正弦定理可得：sinAsinB=3sinBcosA，
因为sinB≠0，
故sinA=3cosA，显然cosA≠0，
故tanA=3，
又0＜A＜π，
故A=π3．
（2）依题意可得：AD→=13AC→+23AB→，
两边平方得：AD→2=19AC→2+49AB→2+49AB→·AC→，
即：73=19b2+49c2+49bccosπ3，
整理得：b2+4b-5=0，
解得：b=1，或b=-5 （舍去），
故△ABC面积S=12bcsinA=32．;
【解析】
(1)利用正弦定理化简求解即可；
(2)根据AD→=13AC→+23AB→，两边平方化简求a，b与△ABC面积即可．
此题主要考查了正、余弦定理在解三角形中的运用，当题中有边的等分点时可考虑结合向量求解，属于中档题．
21.【答案】解：（1）由余弦定理知a2=b2+c2-2bccosA，
∴a2=（b+c）2-2bc（1+cosA），
∴32=22-2bc(1+cosπ3)，解得bc=13，
∴S△ABC=12bcsinA=12×13×32=312，
故△ABC的面积为312．
（2）∵b=2c，则由正弦定理sinB=2sinC，B+C=2π3，
∴sin(2π3-C)=2sinC，即32cosC+12sinC=2sinC，
∴32cosC=32sinC，
∴tanC=33，C∈(0，2π3)，
∴C=π6，sinC=12．;
【解析】
(1)由已知利用余弦定理可求bc的值，进而根据三角形的面积公式即可求解．
(2)由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知可求tanC的值，进而可求sinC的值．
此题主要考查了解三角形中必备的正弦定理，余弦定理，面积公式，内角和定理的综合应用，考查了转化思想，属于中档题．
22.【答案】解：(I)因为sin2B=2sinAsinC，由正弦定理得b2=2ac，
又a=b，则b=2c,a=2c，
则cosB=a2+c2-b22ac=14，
(II)由(I)得b2=2ac，又因为B=90∘，
所以a2+c2=b2，
则a2+c2=2ac⇒a=c=2，
所以SΔ=12acsinB=12×2×2sin90∘=1.
;
【解析】此题主要考查的是解三角形知识，是基础题.
(1)由正弦定理得b2=ac，由余弦定理即可得答案；
(2)由勾股定理得出a，c的值，易得三角形面积.
23.【答案】解：（I）因为bcsin2A=2S=bcsinA，所以2sinAcosA=sinA，
所以0＜A＜π，sinA≠0，
所以cosA=12，A=π3；
（II）由余弦定理，a2=b2+c2-2bccosA=b2+(33a)2-2b.33a.12，化简3b2-3ab-2a2=0，
所以(3b+a)(3b-2a)=0，
所以3b=2a，即ab=32．;
【解析】
(I)利用面积公式，得到关系式，求出A；
(2)由余弦定理化简求出a，b关系，作商即可．
考查正弦定理，余弦定理的应用，三角形面积和边角关系的化简，基础题．
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