人教B版（2019）高中数学 必修第四册《第十章 复数》单元测试2（含解析）

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人教B版（2019）必修第四册《第十章 复数》单元测试2

一 、单选题（本大题共8小题，共40分）
1.（5分）已知i是虚数单位，复数z满足z(1+i)=1-i，则复数z的共轭复数在复平面上对应的点为(    )
A. (-1,0) B. (0,-1) C. (1,0) D. (0,1)
2.（5分）若复数z满足z⋅|1+i|=2-4i，则复数z的共轭复数在复平面内的对应点位于()
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.（5分）已知复数a+2i2-i是纯虚数(i是虚数单位)，则实数a等于( )

A. -4 B. 4 C. 1 D. -1
4.（5分）已知m，n∈R，复数z1=m+3i，z2=z1+4-ni，且z2为纯虚数，|z2|=1，则m+n=()
A. 0 B. 0或-2 C. 1 D. 1或-2
5.（5分）复数1+2ii=(    )
A. -2-i B. 2-i C. -2+i D. 2+i
6.（5分）已知i是虚数单位，若i(a+i)=-1+i，则实数a的值为(    )
A. 1 B. 0 C. -1 D. -2
7.（5分）若z2+i=-i，则z的实部为
A. 2 B. 1 C. -1 D. -2
8.（5分）复数z=a+bi，a，b∈R，且b≠0，若z2-4bz是实数，则a与b的关系是（ ）
A. a=2b B. a=-2b C. 2a=b D. 2a=-b
二 、多选题（本大题共5小题，共25分）
9.（5分）若复数z满足z(1-2i)=10，则( )
A. \latexHardcodedbarz=2-4i
B. z-2是纯虚数
C. 复数z在复平面内对应的点在第三象限
D. 若复数z在复平面内对应的点在角α的终边上，则sinα=55
10.（5分）已知复数z=1+i20201-i(i为虚数单位)，则下列说法错误的是(    )
A. z的实部为2 B. z的虚部为1 C. z=2-i D. |z|=2
11.（5分）已知复数z满足z(2-i)=i(i为虚数单位)，复数z的共轭复数为\latexHardcodedbarz，则(    )

A. |z|=35 B. z=-1+2i5
C. 复数z的实部为-1 D. 复数z对应复平面上的点在第二象限
12.（5分）已知i为虚数单位，则下面命题正确的是(    )
A. 若复数z=3+i，则1z=310-i10
B. 复数z满足|z-2i|=1，z在复平面内对应的点为(x,y)，则x2+(y-2)2=1
C. 若复数z1，z2满足z1=z2，则z1z2⩾0
D. 复数z=1-3i的虚部是3
13.（5分）下面四个命题中的真命题为(   )
A. 若复数z满足1z∈R，则z∈R
B. 若复数z满足z2∈R，则z∈R
C. 若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1=z2→
D. 若复数z∈R，则z→∈R
三 、填空题（本大题共5小题，共25分）
14.（5分）已知复数z0=3+i(i为虚数单位)，复数z满足z⋅z0=2z+z0，则|z|=______．
15.（5分）若复数z满足|z|-z=101-2i，则z等于________.
16.（5分）已知a，b∈R，i是虚数单位，若a+i=1-bi，则(a+bi)8= ______ ．
17.（5分）已知i是虚数单位．若复数z=m-i1+i(m∈R)是纯虚数，则m=______．
18.（5分）复数5-ii的共轭复数是 ______.
四 、解答题（本大题共5小题，共60分）
19.（12分）已知复数z1=2m+(m2-1)i(m∈R). 
(1)若z1对应复平面上的点在第四象限，求m的范围； 
(2)当m=3时，且z2=z1-(z1-表示z1的共轭复数)，若1z=1z1+1z2，求z.
20.（12分）已知m∈R，复数z=(1+i)m2-(5i+3)m-(4+6i)，当m为何值时， 
(1)z为实数？ 
(2)z为虚数？ 
(3)z为纯虚数？ 
(4)z在复平面内对应的点在第四象限？
21.（12分）已知复数z=1+mi(m∈R)，z-31+2i是实数． 
(1)求复数z； 
(2)若复数z0=12m+z-1是关于x的方程x2+bx+c=0的根，求实数b和c的值．
22.（12分）计算：(1)1+i1-i6+2+3i3-2i；   (2)(32+12i)6⋅(-12+32i)9.
23.（12分）当实数a为何值时z=a2-2a+(a2-3a+2)i. 
(1)为纯虚数； 
(2)为实数； 
(3)对应的点在第一象限．

答案和解析
1.【答案】D;
【解析】解：由z(1+i)=1-i， 
得z=1-i1+i=(1-i)2(1+i)(1-i)=-i，- z=i∴复数z的共轭复数在复平面上对应的点为(0,1)， 
故选：D． 
把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，则答案可求． 
该题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的共轭复数，复数代数表示法及其几何意义，是基础题．

2.【答案】A;
【解析】解：∵z⋅|1+i|=2-4i， 
∴z=2-4i|1+i|=2-4i2=2-22i， 
∴复数z的共轭复数在复平面内的对应点(2,22)位于第一象限． 
故选：A. 
根据已知条件，结合复数模公式，先对z化简，再结合复数的几何意义，即可求解． 
此题主要考查复数模公式，以及复数的几何意义，属于基础题．

3.【答案】C;
【解析】

此题主要考查了复数的四则运算和复数的概念. 
利用复数的除法运算得a+2i2-i=25a-1+154+ai，再利用复数的分类建立方程组计算得结论.

解： 因为a+2i2-i=25a-1+154+ai，
所以要复数a+2i2-i是纯虚数，则a-1=04+a≠0，
解得a=1.
故选C.

4.【答案】B;
【解析】解：因为复数z1=m+3i，z2=z1+4-ni=m+4+(3-n)i， 
又z2为纯虚数，|z2|=1， 
所以{m+4=03-n≠0|3-n|=1， 
解得m=-4，n=4或n=2， 
则m+n=0或-2. 
故选：B. 
由已知结合复数的四则运算及复数的基本概念可求m，n，进而可求m+n. 
此题主要考查了复数的四则运算及复数基本概念，属于基础题．

5.【答案】B;
【解析】解：1+2ii=-i2+2ii=-i+2=2-i 
故选：B． 
将1写出-i2，然后利用复数的除法法则将1+2ii化成a+bi的形式即可． 
此题主要考查了复数代数形式的除法运算，同时考查了运算求解的能力，属于基础题．

6.【答案】A;
【解析】解：由i(a+i)=ai-1=-1+i， 
得a=1． 
故选：A． 
利用复数代数形式的乘法运算化简等式左边，再由复数相等的条件求得a值． 
该题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，是基础的计算题．

7.【答案】B;
【解析】 
此题主要考查复数的运算、复数的概念．属于基础题. 
先求复数z的代数形式，进而求出其实部. 
 
解：依题意，z=-i(2+i)=1-2i， 
故z的实部为1. 
故选B.

8.【答案】A;
【解析】解：∵复数z=a+bi，a，b∈R，且b≠0， 
∴z2-4bz=（a+bi）2-4b（a+bi） 
=a2-b2-4ab+2b（a-2b）i 
∵z2-4bz是实数 
∴2b（a-2b）=0 
∴a=2b 
故选A．

9.【答案】AB;
【解析】解：∵z(1-2i)=10，∴z=101-2i=10(1+2i)(1-2i)(1+2i)=2+4i， 
∴- z=2-4i，选项A正确， 
∵z-2=4i，为纯虚数，∴选项B正确， 
∵复数z在复平面内对应的点为(2,4)，在第一象限，∴选项C错误， 
∵复数z在复平面内对应的点为(2,4)，∴sinα=4 22+42=25 5，∴选项D错误， 
故选：AB. 
先求出复数z，进而判定选项AB的正误，再利用复数z在复平面内对应的点的坐标判定选项CD的正误． 
此题主要考查了复数的四则运算，考查了共轭复数的定义，考查了复数在复平面对应的点的坐标，是基础题．

10.【答案】AC;
【解析】解：z=1+i20201-i=(1+i2020)(1+i)(1-i)(1+i)=(1+i505×4)(1+i)2=(1+1)(1+i)2=1+i． 
所以z=1+i，z的实部为1，z的虚部为1，|z|=12+12=2． 
观察选项，A、C选项符合题意． 
故选：AC． 
利用复数代数形式的乘除运算化简z，然后逐一核对四个选项得答案． 
该题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，是基础题．

11.【答案】BD;
【解析】  
该题考查复数的四则运算、共轭复数、模的计算、复数的基本概念以及几何意义，属于基础题． 
先化简z，再对各选项逐一判定，即可得到答案． 
 
解：因为z(2-i)=i，所以z=i2-i=i2+i2-i2+i=-1+2i5，  
A.z=-152+252=55，故A错误；  
B.z=-1+2i5，故B正确；  
C.复数z的实部为-15，故C错误；  
D.复数z对应复平面上的点为(-15,25)，在第二象限，故D正确；  
故选BD．

12.【答案】ABC;
【解析】 
此题主要考查复数的有关概念及复数的几何意义、复数的四则运算，属于基础题． 
通过对各个选项逐一判断即可． 
 
解：A.若复数z=3+i，则1z=13+i=3-i10=310-i10，正确； 
B.|z-2i|=1，z在复平面内对应的点为(x,y)，得x2+(y-2)2=1，即x2+(y-2)2=1，正确； 
C.复数z1，z2满足z1=z2，设z2=a+bi，则z1=a-bi，则z1z2=a2+b2⩾0，正确； 
D.由题显然z=1-3i的虚部是-3，不正确. 
故选ABC. 


13.【答案】AD;
【解析】 
这道题主要考查了复数的定义及四则运算，属于基础题． 
根据复数的概念与四则运算依次求各个选项是否满足条件即得解． 
 
解：设z=a+bi，a、b∈R，且a、b不同时为0， 
则1z=1a+bi=a-bia2+b2， 
若复数z满足1z∈R，则-ba2+b2=0， 
即b=0，z=a，故z∈R，故命题A为真命题； 
复数z=i满足z2=-1∈R，但z∉R，故命题B为假命题； 
若复数z1=i，z2=2i，满足z1z2=2i2=-2∈R，但z1≠z2→，故命题C为假命题； 
若复数z∈R，则z→∈R，故命题D为真命题． 
故选AD．

14.【答案】5;
【解析】解：由z⋅z0=2z+z0，得(z0-2)z=z0， 
∵z0=3+i，∴z=3+i1+i=(3+i)(1-i)(1+i)(1-i)=2-i， 
则|z|=22+(-1)2=5． 
故答案为：5． 
把已知等式变形，再把z0=3+i代入，利用复数代数形式的乘除运算化简，最后由复数模的计算公式求解． 
该题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．

15.【答案】3-4i;
【解析】
 
此题主要考查复数的模及复数的运算和复数相等的条件，属基础题. 
设z=a+bi，根据条件得到a2+b2-a=2-b=4，求出a、b的值即可.

解：设z=a+bi，(a,b∈R)， 
则z-z=a2+b2-a-bi，
而101-2i=101+2i1-2i1+2i=10+20i5=2+4i，
由题意知a2+b2-a-bi=2+4i，
则a2+b2-a=2-b=4，解得a=3,b=-4，
所以z=3-4i.
故答案为3-4i.

16.【答案】16;
【解析】解：由a+i=1-bi，得a=1，b=-1，  
从而(a+bi)8=(1-i)8=(-2i)4=16． 
故答案为：16． 
利用复数相等求得a，b的值，代入(a+bi)8，再由复数代数形式的乘法运算化简得答案．  
此题主要考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，是基础题．

17.【答案】1;
【解析】解：复数z=m-i1+i=(m-i)(1-i)(1+i)(1-i)=(m-1)-(m+1)i2， 
∵z为纯虚数， 
∴m-1=0-(m+1)≠0，解得：m=1， 
故答案为：1． 
直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用纯虚数的概念得答案． 
该题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了纯虚数的概念，是基础题．

18.【答案】-1+5i;
【解析】解：5-ii=(5-i)ii2=-1-5i， 
则复数5-ii的共轭复数是-1+5i. 
故答案为：-1+5i. 
根据已知条件，结合共轭复数的概念，以及复数代数形式的乘除法运算，即可求解． 
此题主要考查了共轭复数的概念，以及复数代数形式的乘除法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．

19.【答案】解：（1）∵z1=2m+(m2-1)i(m∈R)，z1对应复平面上的点在第四象限， 
∴{2m>0m2-1<0，解得0＜m＜1， 
故m的取值范围为（0，1）． 
（2）当m=3时，z1=6+8i， 
z2=z1-=6-8i， 
∴1z=1z1+1z2=16+8i+16-8i=6-8i(6+8i)(6-8i)+6+8i(6+8i)(6-8i)=12100=325， 
∴z=253．;
【解析】 
(1)根据已知条件，结合复数的几何意义，即可求解． 
(2)根据已知条件，结合共轭复数的概念，以及复数代数形式的乘除法运算，即可求解． 
此题主要考查复数的运算法则，以及复数的性质，属于基础题．

20.【答案】解：z=（1+i）m2-（5i+3）m-（4+6i）=（m2-3m-4）+（m2-5m-6）i． 
（1）由m2-5m-6=0，得m=6或m=-1， 
即当m=6或m=-1时，z为实数． 
（2）由m2-5m-6≠0，得m≠6且m≠-1， 
即当m≠6且m≠-1时，z为虚数． 
（3）由m2-3m-4=0,m2-5m-6≠0,得m=4， 
即当m=4时，z为纯虚数． 
（4）由m2-3m-4>0,m2-5m-6<0,解得4＜m＜6． 
即当4＜m＜6时，z在复平面内对应的点在第四象限．;
【解析】 
把已知复数变形．  
(1)由虚部为0求解m值；  
(2)由虚部不为0求解m值；  
(3)由实部为0且虚部不为0求解m值；  
(4)由实部大于0且虚部小于0列不等式组求解． 
该题考查复数的基本概念，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．

21.【答案】解：(1)∵z=1+mi， 
∴z-31+2i=mi-21+2i=(mi-2)(1-2i)(1+2i)(1-2i)=2m-25+m+45i， 
∵z-31+2i是实数，∴m+45=0，即m=-4. 
∴z=1-4i； 
(2)∵z0=12m+z-1=-2-4i是关于x的方程x2+bx+c=0的根， 
∴(-2-4i)2+b(-2-4i)+c=0， 
即(-2b+c-12)+(16-4b)i=0， 
则{-2b+c-12=016-4b=0，解得b=4，c=20.;
【解析】此题主要考查复数代数形式的运算，复数的基本概念，复数相等的条件，是基础题． 
(1)把z=1+mi代入z-31+2i，利用复数代数形式的运算法则化简，由虚部为0求得m的值，则z可求； 
(2)根据(1)中结论写出z0，代入方程x2+bx+c=0，整理后利用复数相等的条件列式求解b，c的值．

22.【答案】解：(1)(1+i1-i)6+2+3i3-2i=1+i226+2+3i3+2i3-2i3+2i=i6+5i5=-1+i；  
(2)32+12i6=12+32i3=12+32i2.12+32i=-12+32i.12+32i=-1， 
-12+32i3=-12+32i2.-12+32i=-12-32i.-12+32i=1， 
-12+32i9=-12+32i33=1， 
所以(32+12i)6⋅(-12+32i)9=-1×1=-1. 
;
【解析】此题主要考查复数的四则运算，属基础题. 
(1)根据复数的四则运算法则化简即可. 
(2)根据复数的四则运算法则化简即可.

23.【答案】
解：(1)复数z是纯虚数，则由a2-2a=0a2-3a+2≠0，得a=0或a=2a≠1且a≠2，即a=0. 
(2)若复数z是实数，则a2-3a+2=0，得a=1或a=2； 
(3)在复平面内对应的点位于对应的点在第一象限， 
则a2-2a>0a2-3a+2>0， 
即a>2或a<0a<1或a>2，解得a<0或a>2.;
【解析】
此题主要考查复数的有关概念，建立条件关系是解决本题的关键，比较基础． 
(1)复数为纯虚数，则实部为0，虚部不等于0； 
(2)复数为实数，则虚部等于0；  
(3)若复平面内对应的点位于第一象限，则实部大于0，虚部大于0.