人教B版（2019）高中数学 必修第四册《第十章 复数》单元测试4（含解析）

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人教B版（2019）必修第四册《第十章 复数》单元测试4

一 、单选题（本大题共8小题，共40分）
1.（5分）设z=1+i(1-i)2，则|z|=(    )
A. 12 B. 22 C. 1 D. 2
2.（5分）设复数z满足关系式z+|z|=2+i，那么z等于( )
A. -34+i           B. 34-i          C. -34-i               D. 34+i
3.（5分）复数5-i1+i2=( )

A. 5+12i B. -5+12i C. 5-12i D. -5-12i
4.（5分）复数z=52-i的虚部是( ) 

A. i B. 53 C. 53i D. 1
5.（5分）已知复数z满足z(1-i)=2，其中i为虚数单位，则z-1=(    )
A. i B. -i C. 1+i D. 1-i
6.（5分）若复数z满足(1+2i)z=3-4i，则z2-|z|2=( )
A. 0   B. -8+4i   C. 4i D. -8-4i
7.（5分）复数z=2+1i(i为虚数单位)，则复数z的共轭复数为(    )
A. 2-i B. 2+i C. 4-i D. 4+i
8.（5分）设z1，z2，z3为复数，z1=≠0.下列命题中正确的是( )
A. 若|z2|=|z3|，则z2=±z3 B. 若- z2=z3，则z2z3=0
C. 若z1z2=z1z3，则z2=z3 D. 若z1z2=|z1|2，则z1=z2
二 、多选题（本大题共5小题，共25分）
9.（5分）若复数z满足zi=2-i，则下列各式正确的是
A. z=-1-2i B. zz=1 C. |z|2=|z2| D. z2=z2
10.（5分）(多选)若复数z满足1+iz=3+i(其中i是虚数单位)，复数z的共扼复数为\latexHardcodedbarz，则( )
A. z=5
B. z的实部是2
C. z的虚部是1
D. 复数\latexHardcodedbarz在复平面内对应的点在第一象限
11.（5分）若复数z=3-i，则( )
A. |z|=2 B. |z|=4
C. z的共轭复数- z=3+i D. z2=4-23i
12.（5分）若复数z满足(1+i) z=3+i(其中i是虚数单位)，复数z的共轭复数为z，则(   )
A. |z|=5 B. z的实部是2
C. z的虚部是1                D. 复数z在复平面内对应的点在第一象限
13.（5分）若复数z满足z-iz+1=i，则( )
A. - z=1+i B. |z|=2
C. z在复平面内对应的点位于第四象限 D. z2为纯虚数
三 、填空题（本大题共5小题，共25分）
14.（5分）计算：1+2i+3i2+4i3+…+10i9=______．
15.（5分）若复数z=7+i2+i，则共轭复数- z=______.
16.（5分）z是复数z的共轭复数，若z⋅z=4，则|z|=______．
17.（5分）定义运算abcd=ad-bc，若复数z满足1-1zzi=2，其中i为虚数单位，则复数|z|=______．
18.（5分）如图所示，在复平面内，网格中的每个小正方形的边长都为1，点A，B对应的复数分别是z1，z2，则z2z1=______．

四 、解答题（本大题共5小题，共60分）
19.（12分）( I)设复数z满足(1+i)z=2，其中i为虚数单位，求复数z． 
(II)实数m取何值时，复数z=m2-1+(m2-3m+2)i， 
( i)是实数； 
( ii)是纯虚数．
20.（12分）已知复数z=(2+i)m2-6m1-i-2(1-i).当实数m取什么值时，复数z是． 
(1)虚数；  
(2)纯虚数；  
(3)复平面内第二、四象限角平分线上的点对应的复数．
21.（12分）(1)计算：(3-2i)·1-i20221-i+(1-i)3(1+i)2+(1+i2)8； 
(2)已知a→=(3,3)，b→=(-2,0)，求向量b→在a→上的投影向量的坐标．
22.（12分）复数z是关于x的方程x2-2x+2=0的一个根，且|z-i|⩽1. 
(1)求复数z； 
(2)将z所对应向量绕原点O逆时针旋转90°得到向量OZ1→，记OZ1→所对应复数为z1，求(z1z)2021的值．
23.（12分）已知z1=16a+4-(10-a2)i，z2=21-a+(a-2)i(其中i为虚数单位)，若z1+z2是实数． 
(1)求实数a的值； 
(2)求øverlinez1.z2的值．

答案和解析
1.【答案】B;
【解析】 
把已知等式变形，再由商的模等于模的商求解． 
该题考查复数模的求法，考查数学转化思想方法，是基础题． 
 
解：∵z=1+i(1-i)2=1+i-2i， 
∴|z|=|1+i-2i|=|1+i||-2i|=22． 
故选：B． 


2.【答案】D;
【解析】 
此题主要考查了复数的模，复数相等的充要条件，复数的加减运算，属于基础题． 
设z=a+bi(a,b∈R)，进行求解即可． 
 
解：设z=a+bi(a,b∈R)， 
∵z+|z|=2+i， 
∴a+bi+a2+b2=2+i， 
∴a+a2+b2=2b=1，解得a=34b=1， 
∴z=34+i. 
故选：D.

3.【答案】D;
【解析】 
此题主要考查了复数的计算，熟练掌握复数的运算法则是解答该题的关键. 
直接根据复数的运算法则计算可得答案. 
 
解：(5-i1+i)2=5-i21+i2=24-10i2i=10+24i-2=-5-12i， 
故选D.

4.【答案】D;
【解析】 
此题主要考查复数的概念，复数的四则运算，属于基础题. 
利用复数的四则运算化简z，根据复数的概念，即可求解.解：因为z=52-i=5(2+i)(2-i)(2+i)=2+i， 
所以z=52-i的虚部为1. 
故答案选：D.

5.【答案】A;
【解析】 
该题考查复数的四则运算，属于基础题． 
先由复数代数形式的乘除运算化简复数得到z，再进行代数运算即可． 
 
解：由z(1-i)=2知：z=21-i=2(1+i)(1-i)(1+i)=1+i， 
∴z-1=1+i-1=i， 
故选：A．

6.【答案】B;
【解析】此题主要考查复数的四则运算及复数模的求法，属于基础题目. 
根据复数的四则运算法则和复数求模公式计算即可. 
 
解：z=3-4i1+2i=(3-4i)(1-2i)5=-1-2i， 
∴z2=(-1-2i)2=-3+4i，|z|2=(-1)2+(-2)2=5， 
∴z2-|z|2=-3+4i-5=-8+4i. 
故选B.

7.【答案】B;
【解析】解：∵z=2+1i=2+-i-i2=2-i， 
∴- z=2+i， 
故选：B． 
利用复数代数形式的乘除运算，把复数化简为z=a+bi的形式，再求其共轭复数即可． 
此题主要考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．

8.【答案】C;
【解析】解：由复数模的概念可知，|z2|=|z3|不能得到z2=±z3，例如z2=1+i，z3=1-i，故A错误； 
若- z2=z3，则z2z3为实数，故B错误； 
由z1z2=z1z3，可得z1(z2-z3)=0，∵z1≠0时，∴z2-z3=0，即z2=z3，故C正确； 
取z1=1+i，z2=1-i，显然满足z1z2=|z1|2，但z1≠z2，故D错误． 
故选：C. 
举例说明A错误；由z.- z=|z|2判断B；由复数的运算推出z2=z3判断C；举例说明D错误． 
此题主要考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．

9.【答案】BC;
【解析】 
此题主要考查复数的四则运算、共轭复数、复数的模，根据运算法则，逐项计算验证即可，属于基础题. 
 
解：由已知可得z=2-ii=(2-i)⋅(-i)-i2=-1-2i，所以z=-1+2i，A错误; 
|zz|=|z||z|=(-1)2+(-2)2(-1)2+22=1，B正确; 
|z|2=5，|z2|=|(-1-2i)2|=|-3+4i|=5，C正确 
z2=(-1+2i)2=-3-4i，z2=(-1-2i)2=-3+4i，D错误， 
故选BC.

10.【答案】ABD;
【解析】 
此题主要考查复数的概念及运算，共轭复数，属基础题. 
利用复数的运算法则解得z=2-i，则z=2+i，再由复数的概念及几何意义，复数的模，逐一判断即可. 
 
解：复数z满足(1+i)z=3+i(其中i是虚数单位)， 
则z=3+i1+i=3+i1-i1+i1-i=2-i， 
复数z的共轭复数z=2+i， 
则A.|z|=5正确； 
B.z的实部是2正确； 
z的虚部是-1，C错误；           
D.复数z在复平面内对应的点为(2,1)在第一象限正确. 
故选ABD. 


11.【答案】AC;
【解析】解：因为复数z=3-i， 
所以|z|=(3)2+(-1)2=2，故选项A正确，选项B错误； 
z的共轭复数- z=3+i，故选项C正确； 
z2=(3-i)2=(3)2-23i+i2=2-23i，故选项D错误． 
故选：AC. 
利用复数模的定义即可判断选项A，B，利用共轭复数的定义即可判断选项C，利用复数的运算法则求出z2，即可判断选项D. 
此题主要考查了复数基本概念的理解和应用，主要考查了共轭复数的定义，复数模的求解以及复数的运算，属于基础题．

12.【答案】ABD;
【解析】 
此题主要考查复数的概念及运算，共轭复数，属基础题. 
利用复数的运算法则解得z=2-i，则z=2+i，再由复数的概念及几何意义，复数的模，逐一判断即可. 
 
解：复数z满足(1+i)z=3+i(其中i是虚数单位)， 
则z=3+i1+i=3+i1-i1+i1-i=2-i， 
复数z的共轭复数z=2+i， 
则A.|z|=5正确； 
B.z的实部是2正确； 
z的虚部是-1，C错误；           
D.复数z在复平面内对应的点为(2,1)在第一象限正确. 
故选ABD. 


13.【答案】BD;
【解析】解：∵z-iz+1=i，∴z=2i1-i=2i(1+i)(1-i)(1+i)=2(-1+i)2=-1+i， 
∴- z=-1-i，|z|=2，z在复平面内对应的点(-1,1)位于第二象限，z2=(-1+i)2=-2i为纯虚数， 
可得：BD正确． 
故选：BD. 
利用复数的运算法则、模的计算公式、共轭复数的性质、纯虚数的定义即可判断出正误． 
此题主要考查了复数的运算法则、模的计算公式、共轭复数的性质、纯虚数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

14.【答案】5+6i;
【解析】解：令S=1+2i+3i2+4i3+…+10i9， 
则iS=i+2i2+3i3+…+10i10， 
∴(1-i)S=1+i+i2+…+i9-10i10 
=1×(1-i10)1-i-10i10=21-i+10=2(1+i)(1-i)(1+i)+10=11+i， 
则S=11+i1-i=(11+i)(1+i)(1-i)(1+i)=5+6i． 
故答案为：5+6i． 
令S=1+2i+3i2+4i3+…+10i9，两边同时乘以i，再由错位相减法求和即可． 
该题考查复数代数形式的乘除运算，考查错位相减法求数列的前n项和，是中档题．

15.【答案】3+i;
【解析】解：∵z=7+i2+i=(7+i)(2-i)(2+i)(2-i)=3-i， 
∴- z=3+i. 
故答案为：3+i. 
根据已知条件，结合共轭复数的概念，以及复数代数形式的乘法运算，即可求解． 
此题主要考查了共轭复数的概念，以及复数代数形式的乘法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．

16.【答案】2;
【解析】解：设z=a+bi(a,b∈R)，∴z=a-bi， 
|z|=|z|， 
∵z⋅z=4， 
∴|z|2=4， 
则|z|=2． 
故答案为：2． 
设z=a+bi(a,b∈R)，可得z=a-bi，|z|=|z|，利用z⋅z=|z|2，即可得出． 
此题主要考查了复数的运算法则、模的计算公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

17.【答案】2;
【解析】解：由定义运算abcd=ad-bc， 
得1 -1z zi=zi+z=2，即z=21+i=2(1-i)(1+i)(1-i)=1-i． 
∴|z|=2． 
故答案为：2． 
由已知可得zi+z=2，变形后利用复数代数形式的乘除运算化简求得z，再由复数模的计算公式求解． 
该题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．

18.【答案】-1-2i;
【解析】解：由图形可得：A点表示的复数为i，B点表示的复数为2-i， 
∴z2z1=2-ii=(2-i)(-i)i.(-i)=-1-2i， 
故答案为：-1-2i． 
由图形可得：A点表示的复数为i，B点表示的复数为2-i，利用复数的运算法则即可得出． 
该题考查了复数的运算法则、复数的几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

19.【答案】解：（ I）∵（1+i）z=2，∴（1-i）（1+i）z=2（1-i），∴2z=2（1-i），即z=1-i． 
（II）（i）当z为实数时，m2-3m+2=0，解得m=1或m=2． 
（ii）当z为纯虚数时m2-1=0m2-3m+2≠0，解得m=-1．;
【解析】 
(I)利用复数的运算法则即可得出． 
(II)(i)当z为实数时，m2-3m+2=0，解得m． 
(ii)当z为纯虚数时m2-1=0m2-3m+2≠0，解得m． 
该题考查了复数的运算法则及其有关概念、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

20.【答案】解：由于m∈R，复数z可表示为z=（2+i）m2-3m（1+i）-2（1-i）=（2m2-3m-2）+（m2-3m+2）i． 
（1）当m2-3m+2≠0，即m≠2且m≠1时，z为虚数． 
（2）当2m2-3m-2=0m2-3m+2≠0，即m=-12时，z为纯虚数． 
（3）当2m2-3m-2=-（m2-3m+2），即m=0或m=2时， 
z为复平面内第二、四象限角平分线上的点对应的复数．;
【解析】 
把复数化为标准的代数形式：(2m2-3m-2)+(m2-3m+2)i，(1)当m2-3m+2≠0，即m≠2且m≠1时，z为虚数． 
(2)当2m2-3m-2=0m2-3m+2≠0，即m=-12时，z为纯虚数． 
(3)当2m2-3m-2=-(m2-3m+2)，即m=0或m=2时，z为复平面内第二、四象限角平分线上的点对应的复数． 
该题考查复数的基本概念，复数代数形式的混合运算，复数与复平面内对应点之间的关系，把复数化为标准的代数形式，是解题的突破口．

21.【答案】解：（1）原式=(3-2i)⋅21-i+(-1+i)+1=5+2i． 
（2）因为a→=(3，3)， 
所以与a→方向同的单位向量e→=(323，323)=(12，32)， 
又因为a→⋅b→|a→|=-2323=-1， 
所以b→在a→上的投影向量的坐标为(-1)×(12，32)=(-12，-32)． 
MMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMM 
MMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMM;
【解析】 
(1)结合复数的运算法则，即可求解． 
(2)结合投影向量公式，即可求解． 
本题主要有考查投影向量公式，以及复数的运算法则，属于基础题．

22.【答案】解：（1）设z=a+bi，其中a，b∈R， 
由z2-2z+2=0得a2-b2+2abi-2a-2bi+2=0， 
即a2-b2-2a+2+2b（a-1）i=0， 
所以{a2-b2-2a+2=02b(a-1)=0，解得{a=1b=1或者{a=1b=-1， 
由|z-i|≤1得a2+(b-1)2≤1， 
经检验{a=1b=-1不满足，所以{a=1b=1， 
所以z=1+i． 
（2）所对应向量得坐标为（1，1），绕原点O逆时针旋转90°得到OZ1→=(-1，1)，z1=-1+i， 
所以z1z=-1+i1+i=i， 
由in，n∈N*得周期性可知(z1z)2021=i2021=i1=i， 
所以(z1z)2021的值为i．;
【解析】 
(1)设z=a+bi，其中a，b∈R，代入方程即可求解． 
(2)先求出z1=-1+i，再根据复数的除法运算和in的周期性即可求解． 
此题主要考查复数的定义，以及复数的几何意义，考察了学生的数学运算，逻辑推理能力，属于中档题．

23.【答案】解：（1）z1+z2=16a+4-（10-a2）i+21-a+（a-2）i， 
∵z1+z2是实数， 
∴-10+a2+a-2=0， 
解得a=3或a=-4（舍去）， 
∴a=3； 
（2）由（1）可得z1=167-i，z2=-1+i， 
∴øverlinez1=167+i， 
∴øverlinez1.z2=（167+i）（-1+i）=-167-1+167i-i=-237+97i．;
【解析】 
(1)根据虚部为零即可求出， 
(2)根据复数的运算法则即可求出． 
该题考查了复数的运算和共轭复数的定义，考查了运算能力，属于基础题．