人教B版（2019）高中数学 必修第四册《第十章 复数》单元测试（含解析）

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人教B版（2019）必修第四册《第十章 复数》单元测试

一 、单选题（本大题共8小题，共40分）
1.（5分）已知复数z在复平面内对应的点为(1,1)，z-是z的共轭复数，则1z-=()
A. -12+12i B. 12+12i C. 12-12i D. -12-12i
2.（5分）若z=(1+i)i(i为虚数单位)，则z的虚部是(    )
A. 1 B. -1 C. i D. -i
3.（5分）已知复数1-i=2+4iz(i为虚数单位)，则z等于(    )
A. -1+3i B. -1+2i C. 1-3i D. 1-2i
4.（5分）若复数(1+mi)(3+i)(i是虚数单位，m∈R)是纯虚数，则复数m+3i1-i的模等于 (    )
 

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
5.（5分）设复数z=3-i1+2i，则复数z的虚部是(    )
A. 75i B. 75 C. -75i D. -75
6.（5分）已知复数z满足1+iz=3+i，i为虚数单位，则z等于( )
A. 1-i B. 1+i C. 12-12i D. 12+12i
7.（5分）(文)已知复数z=6+8i，则-|z|=( )
A. -5 B. -10 C. 149 D. -169
8.（5分）如图所示，在复平面内，点A对应的复数为z，则z=（ ） 

A. 1-2i B. 1+2i C. -2-i D. -2+i
二 、多选题（本大题共5小题，共25分）
9.（5分）已知复数z及其共轭复数z-满足z·z-=4，则下列说法正确的是()
A. 若z-z-=0，则z2=4
B. 若z+z-=0，则z2=4
C. 若z-z为纯虚数，则z2=4或z2=-4
D. 若z-z为实数，则z2=4或z2=-4
10.（5分）已知复数z=5i1+2i，则下列说法正确的是()
A. 复数z-=2-i B. 复数z-2为纯虚数
C. 复数z在复平面内对应的点在第一象限 D. 复数z的模为2
11.（5分）设复数z=a+bi(i为虚数单位)，则下列说法正确的是( )
A. 若a=0，b=1，则k=12021zk=i
B. 若a=-12，b=-32，则z2=- z
C. “z∈R”的充要条件是“z=|z|”
D. 若a=cosθ，b=sinθ(0<θ<π)，则复数z在复平面上又应的角在第一或第二象限
12.（5分）已知复数z满足(3+4i)z=|3-4i|(其中i为虚数单位)，则( )
A. z的虚部为-45i
B. 复数- z在复平面内对应的点位于第一象限
C. z⋅- z=1
D. 当θ∈[0,2π)时，|5z-cosθ-isinθ|的最大值为6
13.（5分）设z1，z2为复数，z1≠z2且z1≠0，下列命题中正确的是( )
A. 若z1=z2，则z1=z2
B. 若z1z2=i，则z1的实部与z2的虚部互为相反数
C. 若z1z2=z12，则z2=z1
D. 若z1.z2∈R，则z1， z2在平面内对应的点不可能在同一象限
三 、填空题（本大题共5小题，共25分）
14.（5分）复数(1-i)142+2i×(1+i2)15的虚部为 ______ .(“i”是虚数单位)
15.（5分） 若z=-2+3ii(其中i为虚数单位)，则Imz= ．
16.（5分）若复数z1,z2满足z1=z2=3,z1+z2=32，则2z1-z2的值是____________.
17.（5分）复数z=-5-12i在复平面内对应的点到原点的距离为__________.
18.（5分）在复平面内，复数-3+i和1-i对应的点间的距离为 ______ .
四 、解答题（本大题共5小题，共60分）
19.（12分）(1)计算：(1-i)+(2+5i)i(其中i为虚数单位)；  
(2)若复数Z=(2m2+m-1)+(4m2-8m+3)i，(m∈R)的共轭复数. Z对应的点在第一象限，求实数m的取值集合．
20.（12分）实数m取什么值时，复数z=m（m-1）+（m-1）i是 
（1）实数？ 
（2）纯虚数？
21.（12分）已知复数z满足：z2=3+4i，且z在复平面内对应的点位于第三象限． 
(Ⅰ)求复数z； 
(Ⅱ)设a∈R，且|(1+z1+- z)2019+a|=2，求实数a的值．
22.（12分）已知复数z=3+bi(b=R)，且(1+3i)⋅z为纯虚数． 
(1)求复数z； 
(2)若ω=z2+i，求复数ω以及模|ω|.
23.（12分）已知复数z=a1+2i+i，i为虚数单位，a∈R.
(1)若z∈R，求z；
(2)若z在复平面内对应的点位于第一象限，求a的取值范围.

答案和解析
1.【答案】B;
【解析】解：∵复数z在复平面内对应的点为(1,1)， 
∴z=1+i， 
∴1z-=11-i=1+i(1-i)(1+i)=12+12i. 
故选：B. 
根据复数的几何意义，先求出z，再几何共轭复数的定义，以及复数的四则运算，即可求解． 
此题主要考查复数四则运算，共轭复数的定义，以及复数的几何意义，属于基础题．

2.【答案】A;
【解析】解：∵z=(1+i)i═i+i2=-1+i，  
∴z的虚部为1． 
故选：A． 
利用复数的运算法则和虚部的定义即可得出． 
熟练掌握复数的运算法则和虚部的定义是解答该题的关键．

3.【答案】A;
【解析】 
此题主要考查了复数定义是法则，属于基础题． 
利用复数的运算法则即可得出． 
 
解：∵复数1-i=2+4iz， 
∴z=2+4i1-i=(2+4i)(1+i)(1-i)(1+i)=-1+3i． 
故选A． 
 


4.【答案】C;
【解析】解：∵(1+mi)(3+i)=3-m+(3m+1)i为纯虚数， 
∴m=3， 
则m+3i1-i=3+3i1-i=3(1+i)2(1-i)(1+i)=3i， 
∴复数m+3i1-i的模等于3． 
故选：C． 
由已知求得m，代入m+3i1-i，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解． 
该题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，考查复数模的求法，是基础题．

5.【答案】D;
【解析】解：复数z=3-i1+2i=(3-i)(1-2i)(1+2i)(1-2i)=3-6i-i-25=13-75i， 
则复数z的虚部是-75， 
故选：D． 
利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出． 
此题主要考查了复数的运算法则、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

6.【答案】A;
【解析】 
此题主要考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题． 
利用复数代数形式的乘除运算化简即可得答案． 
 
解：(1+i)z=|3+i|=3+1=2， 
∴z=21+i=2(1-i)(1+i)(1-i)=1-i， 
故选A. 


7.【答案】B;
【解析】 
此题主要考查复数的模的求法，考查计算能力． 
直接利用复数的求模公式求解即可． 
 
解：复数z=6+8i，则-|z|=-62+82=-10. 
故选B. 
 


8.【答案】D;
【解析】解：由图可知：z=-2+i． 
故选：D．

9.【答案】AD;
【解析】解：设z=a+bi(a,b∈R)，则z·z-=a2+b2=4， 
选项A：若z-z-=0，则b=0，z=a，所以z2=a2=4，故A正确， 
选项B：若z+z-=0，则a=0，所以z=bi，则z2=-b2=-4，故B错误， 
选项C：若z-z=a2-b2-2abi4为纯虚数，则a2-b2=0，即a2=b2=2， 
所以z2=a2-b2+2abi=2abi=4i或-4i，故C错误， 
选项D：若z-z为实数，则ab=0，则a=0，b2=4或a2=4，b=0， 
所以z2=a2-b2=4或-4，故D正确， 
故选：AD. 
设z=a+bi(a,b∈R)，则z·z-=a2+b2=4，然后根据复数的运算性质逐个判断即可． 
此题主要考查了复数的运算性质，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．

10.【答案】ABC;
【解析】解：z=5i1+2i=5i(1-2i)(1+2i)(1-2i)=2+i， 
对于A，z-=2-i，故A正确， 
对于B，z-2=2+i-2=i，故B正确， 
对于C，复数z在复平面内对应的点(2,1)在第一象限，故C正确， 
对于D，|z|=22+12=5，故D错误． 
故选：ABC. 
对于A，结合共轭复数的定义，即可求解， 
对于B，结合纯虚数的定义，即可求解， 
对于C，结合复数的几何意义，即可求解， 
对于D，结合复数模公式，即可求解． 
此题主要考查共轭复数和纯虚数的定义，复数的几何意义，以及复数模公式，属于基础题．

11.【答案】AB;
【解析】解：a=0，b=1，z=i， 
则k=12021zk=i+i2+i3+i4+…+i2021=i，A正确； 
若a=-12，b=-32，z=-12-32i， 
则z2=(-12-32i)2=-12+32i=- z，B正确； 
若z∈R，则b=0，z=|z|， 
若z=|z|，则a+bi=a2+b2， 
所以b=0，a=a2， 
所以a⩾0，b=0，此时z∈R不成立，D错误． 
故选：AB. 
由已知结合复数的运算及复数的基本概念分别检验各选项即可判断． 
此题主要考查了复数的基本概念及复数的四则运算，属于基础题．

12.【答案】BCD;
【解析】解：由已知可得z=|3-4i|3+4i=32+(-4)2(3-4i)(3+4i)(3-4i)=5(3-4i)25=35-45i， 
选项A：z的虚部为-45，故A错误， 
选项B：- z=3 5+4 5i，所以- z对应的点(3 5,4 5)在第一象限，故B正确， 
选项C：z.- z=(3 5-4 5i)(3 5+4 5i)=9 25+16 25=1，故C正确， 
选项D：因为|5z-cosθ-isinθ|=|5(3 5-4 5i)-cosθ-isinθ|=|(3-cosθ)-(4+sinθ)i| 
(3-cosθ)2+(4+sinθ)2=26+10sin(θ-α)(tanα=3 4,θ∈[0,2π)), 
所以当sin(θ-α)=1时，|5z-cosθ-isinθ|的最大值为26+10=6，故D正确， 
故选：BCD. 
先化简复数z，然后对应各个选项逐个判断即可求解． 
此题主要考查了复数的运算性质，涉及到三角函数求最值的问题，考查了学生的运算能力，属于基础题．

13.【答案】BCD;
【解析】 
此题主要考查了复数的概念 、复数的代数表示及其几何意义、复数的模 ，属于中档题. 
由复数的概念 、复数的代数表示及其几何意义、复数的模分析各选项即可. 
 
解：若|z1|=|z2|，则z1，z2不一定共轭，例如z1=1+i，z2=2i，A错误； 
令z1=a+bi，z2=c+di，a，b，c，d∈R， 
若z1z2=i，则z1=a+bi=z2i=(c+di)i=ci-d，所以a=-d，故B正确； 
若z2=z1，则z1z2=z1.z1=|z1|2，C正确； 
若z1.z2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i为实数，则bc+ad=0. 
如果z1，z2在复平面内对应的点在同一象限，那么bc，ad同号，不可能使bc+ad=0，故D正确. 
故选BCD.

14.【答案】0;
【解析】解：∵(1-i)14=(-2i)7=27i，(1+i2)2=2i2=i， 
∴复数(1-i)142+2i×(1+i2)15=27i2+2i×i7×1+i2=322. 
∴其虚部为0. 
故答案为：0. 
利用复数运算法则和虚部的意义即可得出． 
此题主要考查了复数运算法则和虚部的意义，属于基础题．

15.【答案】2;
【解析】 
此题主要考查复数的四则运算及复数模的计算，属于基础题目，解题时首先由复数的运算化简已知复数，然后由模长公式可得． 
 
解：∵z=-2+3ii=(-2+3i)(-i)i(-i)=3+2i1=3+2i， 
∴Imz=2. 
故答案为2． 


16.【答案】35 
;
【解析】 
此题主要考查复数的加减以及复数的模的运算，属于基础题． 
设z1=a+bi，z2=c+di，且a，b，c，d∈R，利用已知可得a2+b2=9，c2+d2=9，ac+bd=0，代入|2z1-z2|=(2a-c)2+(2b-d)2中计算即可. 
 
解：设z1=a+bi，z2=c+di，且a，b，c，d∈R， 
z1+z2=(a+c)+(b+d)i， 
则由已知得a2+b2=9，c2+d2=9， 
(a+c)2+(b+d)2=18， 
所以ac+bd=0， 
|2z1-z2|=(2a-c)2+(2b-d)2 
=4a2+4b2+c2+d2-(4ac+4bd) 
=36+9=35， 
故答案为35.

17.【答案】13;
【解析】因为复数z=-5-12i在复平面内对应的点为-5,-12，到原点的距离为-52+-122=13.

18.【答案】25;
【解析】解：在复平面内，复数-3+i和1-i对应的点为(-3,1)，(1,-1)，它们之间的距离为：(-3-1)2+(1+1)2=25； 
故答案为：25. 
求出两个复数的坐标，然后求出两点间的距离． 
此题主要考查复数的代数表示及其几何意义，两点间的距离公式的应用，考查计算能力．

19.【答案】解：(1)(1-i)+(2+5i)i=3+(5-1)ii=[3+(5-1)i](-i)-i2=5-1-3i；  
(2)复数Z=(2m2+m-1)+(4m2-8m+3)i，的共轭复数. Z(2m2+m-1)-(4m2-8m+3)i，  
由复数. Z对应的点在第一象限，得：  
2m2+m-1>04m2-8m+3<0，解得1 2 ∴实数m的取值集合为{ m|1 2 【解析】 
(1)直接利用复数代数形式的乘除运算化简求值；  
(2)求出. Z，由其实部大于0且虚部大于0联立不等式组求解．  
该题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．

20.【答案】解：（1）当m-1=0，即m=1时，复数z为实数； 
（2）当m-1≠0，且m（m-1）=0时，复数z为纯虚数， 
解之可得m=0．;
【解析】（1）当虚部为0时，复数为实数，解之可得； 
（2）当实部为0，虚部不为0时，复数z为纯虚数．

21.【答案】解；（Ⅰ）设z=c+di（c，d∈R），则z2=（c+di）2=c2-d2+2cdi=3+4i， 
∴c2-d2=32cd=4，解得c=-2d=-1或c=2d=1（舍去）． 
∴z=-2-i； 
（Ⅱ）∵- z=-2+i，∴1+z1+- z=-1-i -1+i=1+i 1-i=(1+i)2 2=i， 
∴(1+z1+- z)2019=i2019=i4×504+3=-i， 
∴|a-i|=a2+1=2， 
∴a=±3．;
【解析】 
(Ⅰ)设z=c+di(c,d∈R)，代入z2=3+4i，整理后利用复数相等的条件列式求得c，d，则z可求； 
(Ⅱ)利用复数代数形式的乘除运算求得1+z1+- z，进一步求得(1+z 1+- z)2019，再由复数模的计算公式求解． 
该题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数模的求法，是基础题．

22.【答案】解：（1）∵z=3+bi（b=R），∴（1+3i）•z=3-3b+（9+b）i， 
又∵（1+3i）•z为纯虚数，∴9+b≠0且3-3b=0，解得b=1，∴z=3+i； 
（2）ω=z2+i=3+i2+i=75-15i，∴|ω|=(75)2+(-15)2=2．;
【解析】 
(1)根据复数分类可解决此问题； 
(2)根据复数除法运算法则先求得复数ω，然后可求得|ω|. 
此题主要考查复数分类、复数运算，考查数学运算能力，属于基础题．

23.【答案】解：(1)z=a(1-2i)5+i=a5+5-2a5i， 
若z∈R，则5-2a5=0， 
∴a=52，∴z=12. 
(2)若z在复平面内对应的点位于第一象限，则a5>0且5-2a5>0，解得0 即a的取值范围为0,52.;
【解析】
此题主要考查复数的四则运算以及复数几何意义的应用， 
(1)利用复数的四则运算，先进行化简，结合若z∈R，即可求z；(2)结合复数的几何意义，求出对应点的坐标，结合点与象限的关系即可求a的取值范围．