北师大版（2019）高中数学 选择性必修第二册 第二章导数及其应用数列B卷能力提升（Word含答案解析）

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第二章 导数及其应用 数列 B卷 能力提升-2021-2022学年高二数学北师大版（2019）选择性必修二单元测试AB卷
【满分：100分】
一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知函数在上为单调递增函数，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
2.曲线在点处的切线与直线垂直，则点的坐标为( )
A. B. C. D.
3.过原点作曲线的切线，则切线斜率为( )
A. B. C. e D.
4.过函数上一点的切线方程为（ ）
A. B.
C. D.或
5.函数的最大值为（ ）
A. B. C. D.
6.曲线在点的切线的方程为( )
A. B. C. D.
7.函数的最大值为( )
A.32 B.27 C.16 D.40
8.设函数是奇函数的导函数，时，，则使得成立的的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
9.设函数，若存在的极值点满足，则m的取值范围是( )
A. B.
C. D.
10.定义在R上的偶函数的导函数为，若对任意，都有，则使成立的实数x的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分.
11.已知函数的图象在处的切线方程是，则等于_____________.
12.函数在其定义域内的一个子区间内不是单调函数，则k的取值范围是_______________.
13.现有一倒放圆锥形容器，该容器深24 m，底面直径为6 m，水以的速度流入，则当水流入时间为1 s时，水面上升的速度为____________m/s.
14.已知正四棱锥内接于半径为1的球，则当此正四棱锥的体积最大时，其高为________________.
15.设函数，，若函数的极小值不大于，则实数a的取值范围是______________.
三、解答题：本题共2小题，共25分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16. （10分）已知函数.
(1)当时,求曲线在点处的切线方程；
(2)求函数的极值．
17. （15分）已知.
（1）求函数的单调区间；
（2）设，，，求证：.






答案以及解析
1.答案：D
解析：，由题意可得在上恒成立，
所以，解得.
故m的取值范围为.故选：D.
2.答案：B
解析：曲线在点A处的切线与直线垂直，
切线的斜率，
函数的导数为，
由，解得，此时，
即切点，
故选:B.
3.答案：D
解析：设切点坐标为， ，
切线的斜率是 ，
切线的方程为 ，
将 代入可得 ， 切线的斜率是 。
故选 : D
4.答案：D
解析：设切点，
由得，
切线的斜率，
切线方程为①，
过，
，
解得或，
代入①整理可得所求切线方程为或.
综上所述答案选择：D.
5.答案：A
解析：函数的定义域为，将函数求导得，函数在区间上单调增，在上单调递减，所以当时，函数有最大值.故选A.
6.答案：B
解析：由题意可得，
，即，
切线方程为.综上所述，本题的正确答案为B.
7.答案：A
解析：因为，所以当时，；当时，.因此，的最大值为.
8.答案：A
解析：令，，
则对于恒成立，
所以当时，单调递减，
又因为，
所以当时，；此时，所以；
当时，，此时，所以；
又因为是奇函数，
所以时，；当时，；
因为，
所以当时，，解得；①
当时，，解得；②
综合①②得成立的的取值范围为，
故选：A.
9.答案：C
解析：由题意得，当，即时，取得极值.若存在的极值点满足，则存在，使成立，问题等价于存在使不等式成立，因为的最小值为，所以只要成立即可，即，解得或.故选C.
10.答案：D
解析：令，则，所以当时，，则函数在上单调递减.因为是偶函数，所以是偶函数，则函数在上单调递增.不等式可化为，即，所以，解得或，故选D.
11.答案：0
解析：因为，，所以.
12.答案：
解析：函数的定义域为，.令，因为，可得，列表如下：
x

1


-
0
+


极小值

所以函数在处取得极小值.由于函数在其定义域内的一个子区间内不是单调函数，则解得，故实数k的取值范围是.
13.答案：
解析：设注入水后水面高度为h，水面所在圆的半径为r，则，即.因为水的体积为，即，，所以当时，，即水面上升的速度为.

14.答案：
解析：由球的几何性质可设四棱锥的高为h，从而，令，则，当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以当时，取得最大值，即体积最大.
15.答案：
解析：由题可知，则.由，可知当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以函数在处取得极小值，所以，解得.
16.答案：(1)当时,,
∴
∴在点处的切线方程为,
即
(2)由,知：
①当时,,函数为上的增函数,函数无极值；
②当时,由,解得．
又当时,,当时,．
从而函数在处取得极小值,且极小值为,无极大值．
综上,当时,函数无极值；
当时,函数在处取得极小值,无极大值．
17.答案：解：（1）定义域为，恒成立，
所以函数在为减函数.
（2）不妨设.先证，只要证，即，即，令，，则需证，由（1）知，在为减函数.
当时，，又，所以，即得证。
下面再证，即证，令，，只要证，.
令，（），恒成立，
在为减函数，，即得，所以成立.