苏教版 高中数学 选择性必修第一册 活动单导学课程 2.2.1　直线与圆的位置关系(1)（含解析）

2.2.1　直线与圆的位置关系(1)

1. 能从“数”和“形”两个角度判断直线与圆的位置关系．

2. 会求直线与圆相切的切线方程和切线长．

3. 体会数形结合思想及分类讨论思想在位置关系中的应用．

　　思考

两条直线的位置关系如何判断？那直线与圆有几种位置关系？又如何去判断呢？

例1　求直线4x＋3y＝40和圆x2＋y2＝100的公共点坐标，并判断直线和圆的位置关系．

例2　求实数m的取值范围，使得直线x－my＋3＝0与圆x2＋y2－6x＋5＝0分别满足：

(1) 相交；

(2) 相切；

(3) 相离．

例3　自点A(－1，4)作圆(x－2)2＋(y－3)2＝1的切线l，求切线l的方程．

　在例3中，当点A的坐标为(3，1)时，求切线l的方程．

　在例3的条件下，求切线长．

直线和圆相切的几何性质：

(1) d＝r；

(2) 圆心、切点、切线上一点构成直角三角形；

(3) 切线垂直于过切点的半径.

1. 直线x＋y＋1＝0与圆x2＋y2－4x＋2y＋1＝0的位置关系为(　　)

A. 相交  B. 相切  C. 相离  D. 不能确定

2. 若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是(　　)

A. [－3，－1]  B. [－1，3] 

C. [－3，1]  D. (－∞，－3]∪[1，＋∞)

3. (多选)(2021·郴州嘉禾县第一中学月考)若直线y＝2x＋m与曲线y＝恰有两个交点，则实数m的值可能是(　　)

A.   B.   C. 4  D. 5

4. 若过点P(－，－1)的直线l与圆x2＋y2＝1有公共点，则直线l的倾斜角α的取值范围是________．

5. 求圆心在直线2x＋y＝0上，且与直线x＋y－1＝0相切于点M(2，－1)的圆的标准方程．

参考答案与解析

【活动方案】

思考：设两条直线的方程分别是l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0.将这两个方程联立方程组，若方程组只有一组解，则直线l1，l2相交；若方程组无解，则直线l1，l2平行；若方程组有无数组解，则直线l1，l2重合．

直线与圆有三种位置关系，即相离、相切和相交．

方法一：几何法．

圆心到直线的距离d与圆的半径r之间的大小关系决定了直线与圆的位置关系．若d>r，则直线与圆相离；若d＝r，则直线与圆相切；若d<r，则直线与圆相交．

方法二：方程法．

将直线方程和圆的方程联立方程组，方程组解的个数决定了直线与圆的位置关系．若方程组无解，即直线与圆没有公共点，则直线与圆相离；若方程组只有一组解，即直线与圆只有一个公共点，则直线与圆相切；若方程组有两组不同的解，即直线与圆有两个公共点，则直线与圆相交．

例1　直线4x＋3y＝40和圆x2＋y2＝100的公共点的坐标就是方程组的解．

解这个方程组，得

所以公共点的坐标为(10，0)，.

因为直线4x＋3y＝40和圆x2＋y2＝100有两个公共点，所以直线和圆相交．

例2　圆的方程化为标准形式为(x－3)2＋y2＝4，

故圆心(3，0)到直线x－my＋3＝0的距离为d＝，圆的半径为r＝2.

(1) 若直线与圆相交，则d＜r，即＜2，

解得m＜－2或m＞2.

(2) 若直线与圆相切，则d＝r，即＝2，

解得m＝2或m＝－2.

(3) 若直线与圆相离，则d＞r，即＞2，

解得－2＜m＜2.

例3　当直线l垂直于x轴时，直线l：x＝－1与圆相离，不满足条件；

当直线l不垂直于x轴时，可设直线l的方程为y－4＝k(x＋1)，即kx－y＋(k＋4)＝0.

因为直线与圆相切，

所以圆心(2，3)到直线l的距离等于圆的半径，

故＝1，解得k＝0或k＝－，

故所求直线l的方程是y＝4或3x＋4y－13＝0.

跟踪训练1　当直线l垂直于x轴时，直线方程为x＝3，满足题意；

当直线l不垂直于x轴时，设直线l的方程为y－1＝k(x－3)，即kx－y＋1－3k＝0.

因为直线l与圆相切，

所以＝1，解得k＝－，

所以所求的直线方程为3x＋4y－13＝0.

综上，直线l的方程为x＝3或3x＋4y－13＝0.

跟踪训练2　因为圆心C为(2，3)，

所以AC＝＝，

则切线长为＝＝3.

【检测反馈】

1. A　解析：根据题意，得圆心为(2，－1)，半径为2，则圆心到直线的距离d＝＝<2，故直线与圆相交．

2. C　解析：由题意，得圆(x－a)2＋y2＝2的圆心C(a，0)到直线x－y＋1＝0的距离d≤，即≤，解得－3≤a≤1，故实数a的取值范围是[－3，1]．

3. BC　解析：曲线y＝表示圆x2＋y2＝4在x轴的上半部分，当直线y＝2x＋m与圆x2＋y2＝4相切时，＝2，解得m＝±2，当点(－2，0)在直线y＝2x＋m上时，m＝4，所以由图可知实数m的取值范围为4≤m<2，故选BC.

4. [0°，60°]　解析：由题意，得直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＋1＝k(x＋)，即kx－y＋k－1＝0，则圆心(0，0)到直线l的距离为d＝≤1，解得0≤k≤，即0≤tanα≤，所以直线l的倾斜角α的取值范围为[0°，60°]．

5. 因为圆与直线x＋y－1＝0相切，并切于点M(2，－1)，所以圆心必在过点M(2，－1)且垂直于直线x＋y－1＝0的直线l上，

所以直线l的方程为y＝x－3.

联立解得

即圆心为C(1，－2)，

所以r＝CM＝＝，

所以所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝2.