苏教版 高中数学 选择性必修第一册 活动单导学课程 第3章圆锥曲线与方程 复 习-导学案（有答案）

第3章　圆锥曲线与方程   复 习

1. 梳理本章知识，构建知识网络．

2. 巩固椭圆、双曲线、抛物线的概念及其几何性质．

3. 掌握直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用及圆锥曲线性质的应用．

1. 知识结构框图

2. 知识能力整合

三种圆锥曲线的定义、标准方程及几何性质：

续表

例1　已知在△ABC中，2AB＝BC＋AC，且BC>AC，AB＝2，建立适当的直角坐标系，并求顶点C的轨迹方程．

根据条件先判断动点的轨迹，再求其轨迹方程．

　已知圆(x＋4)2＋y2＝25的圆心为M1，圆(x－4)2＋y2＝1的圆心为M2，一动圆与这两个圆外切，求动圆圆心P的轨迹方程．

例2　过原点的直线l与曲线y＝x2－2x＋2交于A，B两点，求弦AB中点的轨迹方程．

消参求轨迹方程时，特别要注意其取值范围．

　以抛物线y＝x2的弦AB为直径的圆经过原点O，过点O作OM⊥AB，M为垂足，求点M的轨迹方程．

例3　设直线l过双曲线x2－＝1的一个焦点，且交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，若·＝0，求AB的值．

对于直线与圆锥曲线的位置关系，通常采用代数的方法(建立方程组)去研究．

　如图，A(m，m)和B(n，－n)两点分别在射线OS，OT上移动，且·＝－，O为坐标原点，动点P满足＝＋.

(1) 求mn的值；

(2) 求点P的轨迹C的方程，并说明它表示怎样的曲线？

(3) 若直线l过点E(2，0)，且交(2)中曲线C于M，N两点，＝3，求直线l的方程．

例4　设椭圆M：＋＝1(a>2)的右焦点为F1，直线l：x＝与x轴交于点A，若＋2＝0(其中O为坐标原点)．

(1) 求椭圆M的标准方程；

(2) 设P是椭圆M上的一点，EF为圆N：x2＋(y－2)2＝1的任意一条直径，求·的最大值．

圆锥曲线中的最值问题一般采用代数的方法，即列出求解的表达式，再根据变量的取值范围解决这个式子的最值问题．有时也根据题中的图形特征，用几何的方法解决其最值问题．

　已知椭圆中心在原点，焦点在x轴上，一个顶点为A(0，－1)．若右焦点到直线x－y＋2＝0 的距离为3.

(1) 求椭圆的标准方程；

(2) 设椭圆与直线y＝kx＋m(k≠0)相交于不同的两点M，N.当AM＝AN时，求实数m的取值范围．

1. 若点P到点F(4，0)的距离比它到直线x＋5＝0的距离小1，则点P的轨迹方程是(　　)

A. y2＝－16x  B. y2＝－32x  C. y2＝16x  D. y2＝32x

2. 设双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线与抛物线y＝x2＋1 只有一个公共点，则双曲线的离心率为(　　)

A.   B.  5  C.    D.

3. (多选)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F(2，0)，点P的坐标为(0，1)，Q为双曲线C左支上的动点，且△PQF的周长不小于14，则双曲线C的离心率的值可能为(　　)

A.   B. 2  C.   D. 3

4. 在抛物线y2＝16x内，通过点(2，1)且在此点被平分的弦所在直线的方程是____________．

5. 设双曲线－＝1(a>0)的两个焦点分别为F1，F2，离心率为2.

(1) 求此双曲线的渐近线方程；

(2) 若点A，B在不同的渐近线上，且2AB＝5F1F2，求线段AB的中点M的轨迹方程．

【活动方案】

2. 略

例1　以直线AB为x轴，线段AB的中点为原点建立平面直角坐标系．

因为2AB＝BC＋AC＝4，且BC>AC，

所以顶点C的轨迹为椭圆的左半部分．

在此椭圆中，a＝2，c＝1，b＝，

故顶点C的轨迹方程为＋＝1(－2<x<0)．

跟踪训练　设动圆圆心P(x，y)，动圆的半径为r.

由两圆外切的条件，得PM1＝r＋5，PM2＝r＋1，

所以PM1－5＝PM2－1，

即PM1－PM2＝4<8＝M1M2，

所以动圆圆心P的轨迹是以M1，M2为焦点的双曲线的右支，其中c＝4，a＝2，

所以b2＝12，

故所求轨迹方程为－＝1(x≥2)．

例2　设AB的中点M(x，y)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．

由题意，得直线l的斜率一定存在，设为k.

又直线l 过原点，

所以直线l的方程为y＝kx，

将此式代入y＝x2－2x＋2，

整理，得x2－(2＋k)x＋2＝0，

所以x1＋x2＝2＋k，

所以x＝＝，

y＝kx＝k·＝.

由消去k并整理，得y＝2x2－2x.

又由于直线l与曲线有两个交点，

所以(2＋k)2－8>0，

解得k＋2<－2或k＋2>2.

因为x＝，

所以x<－或x>，

所以所求的轨迹是抛物线y＝2x2－2x(x<－或x>)．

跟踪训练　设直线OA的方程为y＝kx，代入y＝x2，得点A(4k，4k2)．

因为OA⊥OB，所以kOB＝－，

同理可得点B，

所以直线AB的方程为y－4k2＝(x－4k)，

即y－4＝x，①

直线OM的方程为y＝－x，②

①×②，得y2－4y＝－x2，

故点M的轨迹方程为x2＋y2－4y＝0(y≠0)．

例3　不妨设直线l过右焦点(2，0)，当AB⊥x轴时，易得点A(2，3)，B(2，－3)，不满足条件，则直线AB的斜率存在，设为k，故直线AB的方程为y＝k(x－2)，

代入双曲线方程，消去y并整理，得(3－k2)x2＋4k2x－4k2－3＝0，则Δ＝16k4＋4(3－k2)(4k2＋3)>0.

设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则x1＋x2＝，x1x2＝，

所以y1y2＝k2(x1－2)(x2－2)＝k2[x1x2－2(x1＋x2)＋4]＝－.

因为·＝0，所以x1x2＋y1y2＝0，

所以－＝0，解得k2＝，满足Δ>0，

所以x1＋x2＝＝－1，x1x2＝＝－，

故AB＝|x1－x2|＝4.

跟踪训练　(1) 由已知，得·＝(m，m)·(n，－n)＝－2mn＝－，所以mn＝.

(2) 设点P的坐标为(x，y)(x＞0)．

由＝＋，得(x，y)＝(m，m)＋(n，－n)＝(m＋n，(m－n))，

所以整理可得x2－＝4mn.

又因为mn＝，

所以点P的轨迹方程为x2－＝1(x>0)，

它表示以坐标原点为中心，焦点在x轴上，且实轴长为2，焦距为4的双曲线x2－＝1的右支．

(3) 设直线l的方程为x＝ty＋2(t≠0)，将其代入曲线C的方程，消去x并整理，得(3t2－1)y2＋12ty＋9＝0，易知3t2－1≠0.

又Δ＝144t2－36(3t2－1)＝36(t2＋1)>0，

设M(x1，y1)，N(x2，y2)，

则y1＋y2＝，y1y2＝.

因为直线l与曲线C的两个交点M，N在y轴的右侧，

所以x1x2＝(ty1＋2)(ty2＋2)

＝t2y1y2＋2t(y1＋y2)＋4＝t2·＋2t·＋4＝－>0，

所以3t2－1<0，即0<t2<.

又由x1＋x2>0，同理可得0<t2<.

由＝3，得(2－x1，－y1)＝3(x2－2，y2)，

所以

由y1＋y2＝－3y2＋y2＝－2y2＝－，

得y2＝.

由y1y2＝(－3y2)y2＝－3y＝，

得y＝－，则＝－，

解得t2＝，满足0<t2<，故直线l存在，方程为x－y－2＝0或x＋y－2＝0.

例4　(1) 由题意知点A，F1(，0)．

由＋2＝0，得＝2(－)，

解得a＝2，

所以椭圆M的标准方程为＋＝1.

(2) ·＝(－)·(－)

＝(－－)·(－)＝|－|2－||2＝||2－1，

所以将求·的最大值转化为求||2的最大值．

因为P是椭圆M上的一点，

设P(x0，y0)，则有＋＝1，

即x＝24－3y.

又点N(0，2)，所以||2＝x＋(y0－2)2＝－2(y0＋1)2＋30，y0∈[－2，2]，

所以当y0＝－1时，||2取最大值30，

所以·的最大值为29.

跟踪训练　(1) 由题意，得可设椭圆方程为 ＋y2＝1(a>0)，则右焦点F(，0)．

又因为右焦点到直线x－y＋2＝0的距离为3，

所以＝3，解得a2＝3.

故所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.

(2) 设P为弦MN的中点，由

得 (3k2＋1)x2＋6mkx＋3(m2－1)＝0.

因为直线与椭圆有两个交点，所以Δ>0，

即 m2<3k2＋1，①

所以xP＝＝－，

所以yP＝kxP＋m＝，

所以kAP＝＝－.

又AM＝AN，

所以AP⊥MN，则－＝－，

即 2m＝3k2＋1.②

将②代入①，得 2m>m2，解得0<m<2.

又由②，得 k2＝>0，解得m>，

故实数m的取值范围是.

【检测反馈】

1. C　解析：由点P到点F(4，0)的距离比它到直线x＋5＝0的距离小1，可得点P到直线x＝－4的距离等于它到点F(4，0)的距离．根据抛物线的定义，可得点P的轨迹是以(4，0)为焦点，直线x＝－4为准线的抛物线．设抛物线方程为y2＝2px，可得＝4，则2p＝16，所以点P的轨迹方程是y2＝16x.

2. D　解析：双曲线－＝1的一条渐近线为y＝x，由方程组消去y并整理，得x2－x＋1＝0有唯一解，所以Δ＝－4＝0，所以＝2，e＝＝＝.

3. AC　解析：设双曲线C的左焦点为F′，则QF－QF′＝2a，即QF＝QF′＋2a，故QF＋PQ＝QF′＋PQ＋2a≥PF′＋2a.由题意，得PF＝PF′＝＝5，所以PQ＋QF＋PF≥2PF＋2a≥14，所以a≥2，则双曲线C的离心率e＝＝≤.又因为e>1，所以双曲线C的离心率的取值范围为(1，]．故选AC.

4. 8x－y－15＝0　解析：设所求直线与抛物线y2＝16x相交于点A，B，且A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入抛物线方程，得y＝16x1，y＝16x2，两式相减，得(y1＋y2)(y1－y2)＝16(x1－x2)，即＝，所以kAB＝8，故所求直线方程为y＝8x－15，即8x－y－15＝0.

5. (1) 因为e＝2，所以c2＝4a2.

因为c2＝a2＋3，所以a＝1，c＝2，

所以双曲线方程为y2－＝1，渐近线方程为y＝±x.

(2) 不妨设点A在直线y＝x上，B在直线y＝－x上，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为M(x，y)．

因为2AB＝5F1F2＝5×2c＝20，

所以AB＝10，

所以＝10，

即(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝100.

因为y1＝x1，y2＝－x2，x1＋x2＝2x，y1＋y2＝2y，

所以y1＋y2＝(x1－x2)，y1－y2＝(x1＋x2)，

所以y＝(x1－x2)，y1－y2＝x，

代入(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝100，

得3×(2y)2＋(2x)2＝100，

整理，得＋＝1，

即线段AB的中点M的轨迹方程为＋＝1.