苏教版 高中数学 选择性必修第一册 活动单导学课程 第5章导数及其应用5.3.1　单调性(1)-导学案（有答案）

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5.3.1　单调性(1) 1. 通过实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性，掌握函数的单调性与导数的联系，会用求导的方法研究函数的单调性．2. 通过初等方法与导数方法在研究函数性质过程中的比较，体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性，同时感受和体会数学自身发展的一般规律． 活动一掌握函数的导数与单调性的联系1. (1) 复习巩固：函数单调性的定义，导数的概念及四则运算．(2) 导数f′(x)刻画了函数f(x)在每一点处的变化趋势(上升或下降的陡峭程度)，而函数的单调性也是对函数变化的一种刻画，那么导数与函数的单调性有什么联系？      2. 考察下列函数：①f(x)＝2x；②f(x)＝x2；③f(x)＝sin x，x∈.它们的单调性与导数之间有什么密切关系？      3. 结论：设函数y＝f(x)在区间(a，b)上，(1) 如果________________，那么f(x)为该区间上的________；(2) 如果________________，那么f(x)为该区间上的________．4. 试结合y＝x3进行思考：如果函数f(x)在某区间上单调递增，那么在该区间上必有f′(x)>0吗？       用导数求函数单调区间的一般步骤：(1) 求定义域；(2) 求f′(x)；(3) 解不等式f′(x)>0或f′(x)<0；(4) 确定单调区间．  活动二掌握用导数的方法研究函数的单调性例1　确定函数f(x)＝2x3－6x2＋7在哪些区间上是增函数．        例2　(1) 求函数f(x)＝sinx，x∈[0，2π]的单调减区间；(2) 求函数f(x)＝sinx－x，x∈(0，π)的单调减区间．        求下列函数的单调区间．(1) f(x)＝x2－lnx；(2) f(x)＝；(3) f(x)＝－x3＋3x2.    1. 设f(x)＝x＋(x<0)，则函数f(x)的单调减区间为(　　)A. (－∞，－2)  B. (－2，0)  C. (－∞，－)  D. (－，0)2. 函数f(x)＝(x－3)ex的单调增区间是(　　)A. (－∞，2)  B. (0，3)  C. (1，4)  D. (2，＋∞)3. (多选)已知函数f(x)的定义域为R，其导函数f′(x)的图象如图所示，则对于任意x1，x2∈R(x1≠x2)，下列结论中正确的是(　　)A. (x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0B. (x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0C. f>D. f<4. 函数f(x)＝xlnx的单调减区间为________．5. 确定函数f(x)＝在哪些区间上是增函数，在哪些区间上是减函数．     参考答案与解析【活动方案】1. (2) 如果函数f(x)在区间(a，b)上是增函数，那么对任意的x1，x2∈(a，b)，当x1<x2时，f(x1)<f(x2)，即x1－x2与f(x1)－f(x2)同号，从而有>0，即>0.这表明，函数的导数与其单调性密切相关．2. ①函数f(x)＝2x在R上单调递增，此时f′(x)＝2xln 2>0.②函数f(x)＝x2在区间(0，＋∞)上单调递增，此时f′(x)＝2x>0；在区间(－∞，0)上单调递减，此时f′(x)＝2x<0.③函数f(x)＝sin x在区间上单调递增，此时f′(x)＝cos x>0.3. (1) 在区间(a，b)上f′(x)>0　增函数(2) 在区间(a，b)上f′(x)<0　减函数4. 不是，因为y′＝3x2≥0恒成立，所以y＝x3在区间上单调递增，而f′(x)不一定恒大于0，也有可能等于0.例1　由题意，得f′(x)＝6x2－12x.令f′(x)>0，解得x<0或x>2，所以在区间(－∞，0)上，f′(x)>0，f(x)是增函数；在区间(2，＋∞)上，f′(x)>0，f(x)也是增函数．例2　(1) 由题意，得f′(x)＝cosx.令f′(x)<0，即cosx<0.又x∈[0，2π]，所以x∈，故函数f(x)的单调减区间为.(2) 由题意，得f′(x)＝cosx－1.令f′(x)<0，即cosx<1.又x∈(0，π)，所以x∈(0，π)，故函数f(x)的单调减区间为(0，π)．跟踪训练　(1) 函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝2x－＝.令f′(x)>0，得x>；令f′(x)<0，得0<x<，所以函数f(x)在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以f(x)的单调增区间为，单调减区间为.(2) 函数f(x)的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)，f′(x)＝.令f′(x)>0，即x－3>0，得x>3；令f′(x)<0，得x<2或2<x<3，所以f(x)在区间(－∞，2)和(2，3)上单调递减，在区间(3，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)的单调减区间为(－∞，2)和(2，3)，单调增区间为(3，＋∞)．(3) 函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝－3x2＋6x.令f′(x)>0，得0<x<2；令f′(x)<0，得x<0或x>2，所以f(x)在区间(0，2)上单调递增，在区间(－∞，0)和(2，＋∞)上单调递减，所以函数f(x)的单调增区间为(0，2)，单调减区间为(－∞，0)和(2，＋∞)．【检测反馈】1. D　解析：由题意，得f′(x)＝－.令f′(x)<0，则－<x<.又x<0，所以－<x<0，故函数f(x)的单调减区间为(－，0)．2. D　解析：由题意，得f′(x)＝(x－2)ex.令f′(x)>0，得x>2，故函数f(x)的单调增区间是(2，＋∞)．3. AD　解析：由题中图象，得f′(x)<0，且其绝对值越来越小，所以过函数f(x)图象上任一点的切线的斜率为负，并且从左到右切线的倾斜角是越来越大的钝角，由此可得函数f(x)的大致图象如图所示．A选项表示x1－x2与f(x1)－f(x2)异号，即f(x)图象的割线斜率为负，故A正确；B选项表示x1－x2与f(x1)－f(x2)同号，即f(x)图象的割线斜率为正，故B不正确；f表示对应的函数值，即图中点A的纵坐标，表示当x＝x1和x＝x2时所对应的函数值的平均值，即图中点B的纵坐标，显然有f<，故C不正确，D正确．故选AD.4. 　解析：由题意，得函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝lnx＋1.令f′(x)<0，得0<x<，故函数f(x)的单调减区间是.5. 由题意，得f′(x)＝.令f′(x)>0，得2kπ－<x<2kπ＋，k∈Z；令f′(x)<0，得2kπ＋<x<2kπ＋，k∈Z.故在区间(2kπ－，2kπ＋)(k∈Z)上，f(x)是增函数；在区间(k∈Z)上，f(x)是减函数．