苏教版 高中数学 选择性必修第一册 活动单导学课程 第5章导数及其应用5．1.2　瞬时变化率——导数(3)-导学案（有答案）

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5．1.2　瞬时变化率——导数(3) 1. 了解导数的背景，理解导数的概念．2. 通过函数图象直观地理解导数的几何意义．3. 进一步体会建立数学模型刻画客观世界“数学化”的过程，同时又对变量数学的思想方法有新的感悟.  活动一掌握导数的概念1. (1) 如何求曲线上任意一点的切线的斜率？(2) 如何求某一时刻物体运动的瞬时速度？(3) 如何求某一时刻物体运动的瞬时加速度？     思考1 以上三个问题有哪些共同特征？(从代数式、求解的目标等进行分析)             2. 导数的定义．思考2 结合上述三个问题探求函数f(x)在x＝x0处的导数．     思考3 试从导数的定义，归纳求函数f(x)在x＝x0处导数的方法．    思考4 导数f′(x0)的几何意义是什么？       活动二掌握求函数在x＝x0处的导数的方法例1　已知f(x)＝x2＋2.(1) 求f(x)在x＝1处的导数f′(1)；(2) 求f(x)在x＝a处的导数f′(a)．            根据f′(x0)的几何意义及求解过程，体会极限的思想，求得函数f(x)在x＝x0处的导数．　已知f(x)＝2x2－x，求f(x)在x＝2处的导数．      活动三掌握导函数的定义及求法　　3. 导函数的定义：若f(x)对于区间(a，b)内任一点都可导，则f(x)在各点处的导数也随着自变量x的变化而变化，因而也是自变量x的函数，该函数称为f(x)的导函数，记作f′(x)．导函数f′(x)也简称为f(x)的导数．思考5 “函数f(x)在x＝x0处的导数”“导函数”两者之间有哪些区别和联系？    思考6 f′(1) 与f(1) 的含义有什么不同？f′(1) 与f′(x)之间有什么联系？   4. 求导函数：例2　已知f(x)＝x2－2x，求 f′(x)．     例3　已知f(x)＝2x3－1，f′(x0)＝6，求x0的值．          活动四掌握导数的几何意义及实际意义　　思考7 结合导数的定义，探求在曲线上任意一点的切线的斜率、瞬时速度、瞬时加速度与导数有何联系？      例4　(1) 若曲线y＝x2＋2ax与直线y＝2x－4相切，求a的值；(2) 通过某导体的电量(单位：C)q＝2t2＋3t，求当t＝5 s时的电流强度(单位：A)．           1. 若函数f(x)的图象在x＝2处的切线方程是y＝－x－1，则f(2)＋f′(2)的值为(　　)A. 0  B. 2  C. －4  D. 42. 已知函数f(x)在R上可导，其部分图象如图所示，设＝a，则下列结论中正确的是(　　)A. f′(1)<f′(2)<aB. f′(1)<a<f′(2)C. f′(2)<f′(1)<aD. a<f′(1)<f′(2)3. (多选)下列命题中，正确的是(　　)A. 若f′(x0)＝0，则函数f(x)在x＝x0处无切线B. 函数y＝f(x)的切线与函数的图象可以有两个公共点C. 若曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为2x－y＝0，则 ＝1D. 若函数f(x)的导数f′(x)＝x2－2，且f(1)＝2，则f(x)的图象在x＝1处的切线方程为x＋y－3＝04. 已知函数f(x)可导，若 ＝1，则f′(1)＝________．5. 已知f(x)＝x3－2，求f′及f′(x)． 
参考答案与解析【活动方案】1. 略思考1：代数式都是的形式，其中Δx表示自变量x的改变量，Δy表示相应的函数的改变量．都求的是函数在某一点处的瞬时变化率．思考2：设函数y＝f(x)在区间(a，b)上有定义，x0∈(a，b)，若Δx无限趋近于0时，比值＝无限趋近于一个常数A，则称f(x)在x＝x0处可导，并称常数A为函数f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)．思考3：①求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；②求平均变化率＝；③令Δx→0，→A，则A即为函数f(x)在x＝x0处的导数，通常也可表示为 ＝A.思考4：曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率．例1　 (1) 因为＝＝＝2＋Δx，所以当Δx→0时，2＋Δx→2，即 ＝ (2＋Δx)＝2，故f(x)在x＝1处的导数为2，即f′(1)＝2.(2) 因为＝＝＝2a＋Δx，所以当Δx→0时，2a＋Δx→2a，即 ＝ (2a＋Δx)＝2a，故f(x)在x＝a处的导数为2a，即f′(a)＝2a.跟踪训练　因为＝＝＝2Δx＋7，所以当Δx→0时，2Δx＋7→7，即 ＝ (2Δx＋7)＝7，故f(x)在x＝2处的导数为7.思考5：联系：f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值．区别：导函数是函数，f(x)在x＝x0处的导数是数值．思考6：f′(1)表示函数f(x)在x＝1处的导数，f(1)表示函数f(x)在x＝1处的值，f′(1)表示导函数f′(x)在x＝1处的值．例2　因为＝＝＝Δx＋2x－2，所以当Δx→0时，→2x－2，即 ＝ (Δx＋2x－2)＝2x－2，故f′(x)＝2x－2.例3　因为＝＝＝6x＋6x0(Δx)＋2(Δx)2，所以当Δx→0时，→6x，即 ＝[6x＋6x0(Δx)＋2(Δx)2]＝6x，即f′(x0)＝6x.又f′(x0)＝6，所以x0＝1或x0＝－1.思考7：曲线上任一点的切线的斜率、瞬时速度、瞬时加速度即为函数在该点的导数．例4　(1) 因为＝＝2x＋2a＋Δx，　所以当Δx→0时，→2x＋2a，即 ＝ (2x＋2a＋Δx)＝2x＋2a，即f′(x)＝2x＋2a.设切点为(x0，y0)，则2x0＋2a＝2，y0＝2x0－4＝x＋2ax0，解得x0＝±2.当x0＝2时，a＝－1；当x0＝－2时，a＝3.(2) 因为＝＝4t＋3＋2Δt，所以当Δt→0时，→4t＋3，即 ＝ (4t＋3＋2Δt)＝4t＋3，即q′＝4t＋3，故当t＝5 s时，电流强度为23A.【检测反馈】1. C　解析：因为函数f(x)的图象在x＝2处的切线方程是y＝－x－1，所以f(2)＝－2－1＝－3，f′(2)＝－1，所以f(2)＋f′(2)＝－4.2. B　解析：由图象可知，当x>0时，函数的增长越来越快，故函数图象切线的斜率越来越大．因为＝a，易知f′(1)<a＜f′(2)．3. BD　解析：若f′(x0)＝0，则函数f(x)在x＝x0处的切线斜率为0，存在切线，故A错误；如函数f(x)＝x3－3x在x＝1处的切线为y＝－2，与函数的图象还有一个公共点(－2，－2)，故B正确；因为曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为2x－y＝0，所以f′(1)＝2.又 ＝－ ＝－f′(1)＝－1≠1，故C错误；因为函数f(x)的导数f′(x)＝x2－2，所以f′(1)＝12－2＝－1.又f(1)＝2，所以切点坐标为(1，2)，切线的斜率为－1，所以切线方程为y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0，故D正确．故选BD. 4. 3　解析：因为 ＝1，即· ＝1，所以f′(1)＝1，故f′(1)＝3.5. 因为＝＝2x2＋2x(Δx)＋(Δx)2，所以当Δx→0时，→2x2，即 ＝2x2，即f′(x)＝2x2.当x＝－时，f′＝.