苏教版 高中数学 选择性必修第一册 活动单导学课程 第三章圆锥曲线与方程3．1.2　椭圆的几何性质 (1)-导学案（有答案）

3．1.2　椭圆的几何性质 (1)

1. 掌握椭圆简单的几何性质，如：范围、对称性、顶点、离心率．

2. 感受运用方程研究曲线的几何性质的方法，体会数与形的转化思想．

　　复习巩固：椭圆的标准方程：

探究：结合椭圆的标准方程＋＝1(a>b>0)来探究椭圆的几何性质．

1. 范围

思考1

将椭圆的标准方程进行变形，移项得＝1－，你能探索出x的取值范围吗？类比能求出y的取值范围吗？

2. 对称性

思考2

在椭圆的标准方程中，将x换成－x，或将y换成－y，或同时把x，y分别换成－x，－y时，方程是否发生变化？这说明什么样的问题？

3. 顶点

思考3

根据方程写出椭圆与坐标轴的交点坐标．

结论：椭圆的顶点：

椭圆的长轴长：　

椭圆的短轴长：　

结合图形，思考a，b，c的几何意义分别为什么？

4. 离心率

完成下列两个实验：

(1) 将细绳的两端点固定在焦点处，用铅笔笔尖拉紧绳子，在平面上画一个椭圆，然后调整绳子的长度(分别加长、缩短)，观察椭圆“扁”的程度的变化规律；

(2) 细绳的长度固定不变，将焦距分别增大或缩小，观察椭圆“扁”的程度的变化规律．

思考4

圆的形状都是相同的，而有些椭圆却比较“扁”，有些椭圆比较“圆”，用什么样的量来刻画椭圆“扁”的程度？

定义：焦距与长轴长的比叫作椭圆的离心率．

探究：椭圆的离心率的取值范围是什么？

完成下列表格：

例1　求椭圆＋＝1的长轴长，短轴长、离心率、焦点坐标和顶点坐标，并画出这个椭圆．

例2　已知椭圆的中心在原点，它在x轴上的一个焦点F与短轴的两个端点B1，B2的连线互相垂直，且这个焦点与较近的长轴的端点A的距离为－，求这个椭圆的方程．

1. 中心在坐标原点、焦点在x轴上，且长轴长为18、焦距为12的椭圆的标准方程为(　　)

A. ＋＝1  B. ＋＝1  C. ＋＝1  D. ＋＝1

2. 若椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m的值为(　　)

A. 2  B.   C. 4  D.

3. (多选)若椭圆C：＋＝1的一个焦点坐标为(0，1)，则下列结论中正确的是(　　)

A. m＝2  B. 椭圆C的长轴长为

C. 椭圆C的短轴长为2  D. 椭圆C的离心率为

 4. 若椭圆的焦距为4，离心率为，则椭圆的短轴长为________．

 5.  已知椭圆x2＋(m＋3)y2＝m(m>0)的离心率为e＝，求实数m的值及椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标和顶点坐标．

参考答案与解析

【活动方案】

复习巩固：略

思考1：|x|≤a，|y|≤b.

思考2：方程不发生变化，说明椭圆关于y轴，x轴或原点对称．

思考3：椭圆与x轴的交点为(－a，0)，(a，0)，与y轴的交点为(0，－b)，(0，b)．

结论：椭圆的顶点为(－a，0)，(a，0)，(0，－b)，(0，b)．

椭圆的长轴长为2a，短轴长为2b.

a，b，c的几何意义分别是椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距长．

思考4：根据两个实验的探索过程可以发现，当越接近于0时，椭圆越接近于圆；当越接近于1时，椭圆越扁，也就是说随着的增大，椭圆越来越扁．

探究：e∈(0，1)

小结　表略

例1　长轴长为10，短轴长为6，离心率为，焦点坐标为(－4，0)，(4，0)，顶点坐标为(－5，0)，(5，0)，(0，3)，(0，－3)，画图略．

例2　设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)．

由题意，得b＝c，a－c＝－.

因为a2＝b2＋c2，所以a＝，b＝c＝，

所以椭圆的方程为＋＝1.

【检测反馈】

1. C　解析：由题意，得2a＝18，2c＝12，即a＝9，c＝6，所以b＝＝.因为焦点在x轴上，所以椭圆的标准方程为＋＝1.

2. D　解析：将x2＋my2＝1化为标准方程为x2＋＝1，所以a2＝，b2＝1，所以a＝，b＝1.因为2a＝4b，所以＝2，所以m＝.

3. ACD　解析：由已知，得＝1，解得m＝2或m＝－1(舍去)，所以椭圆C的方程为＋＝1，所以a2＝3，b2＝2，即a＝，b＝，所以长轴长为2a＝2，短轴长为2b＝2，离心率e＝＝＝.故选ACD.

4.  2　解析：由题意，得2c＝4，即c＝2.又＝，所以a＝3，所以b＝＝，故椭圆的短轴长为2b＝2.

5. 由椭圆x2＋(m＋3)y2＝m(m>0)，得＋＝1(m>0)．

由m－＝>0，可知椭圆x2＋(m＋3)·y2＝m(m>0)的焦点在x轴上，且a2＝m，b2＝，所以c2＝.

又因为＝，所以＝，即＝，

解得m＝1，

所以a＝1，b＝，c＝，

所以椭圆的长轴长为2，短轴长为1，焦点坐标为，，顶点坐标为(1，0)，(－1，0)，，.