苏教版 高中数学 选择性必修第一册 活动单导学课程 第四章数列 复 习-导学案（有答案）

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第四章数列 复 习1. 构建本章知识网络，掌握数列的定义、分类及表示方法．2. 掌握等差数列和等比数列的概念、通项公式、前n项和公式、性质及其应用． 活动一本章知识网络　　知识结构框图  活动二基本知识提炼与整理　　数列的概念及表示方法：(1) 定义：按照一定次序排列的一列数；(2) 表示方法：列表法、图象法、解析法(通项公式法和递推公式法)；(3) 数列的前n项和公式与通项公式an的关系；(4) 数列是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集{1，2，3，…，n})的特殊函数，数列的通项公式也就是相应函数的解析式.例1　已知an＝(n∈N*)，求数列{an}的最大项．      活动三掌握等差数列与等比数列的综合应用　　 等差数列和等比数列的比较：  等差数列等比数列定义  通项公式  前n项和公式  中项  性质  例2　已知等差数列{an}和等比数列{bn}的首项均为1，{bn}的前n项和为Sn，且a2＝S2，a4＝S3.(1) 求数列{an}，{bn}的通项公式；(2) 设cn＝an·bn，n∈N*，求数列{cn}的前n项和Tn.        例3　2020年是充满挑战的一年，但同时也是充满机遇、蓄势待发的一年．突如其来的疫情给世界带来了巨大的冲击与改变，也在客观上使得人们更加重视科技的力量和潜能．某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产．假设该企业第一年年初有资金5 000万元，并将其全部投入生产，到当年年底资金增长了50%，预计以后每年资金年增长率与第一年相同．公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金t(t≤2 500)万元，并将剩余资金全部投入下一年生产．设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元．(1) 判断{an－2t}是否为等比数列，并说明理由；(2) 若企业每年年底上缴资金t＝1 500万元，第m(m∈N)年年底企业的剩余资金超过21 000万元，求m的最小值．(lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)  例4　已知在数列{an}中，a1＝1，a2＝a，an＋1＝k(an＋an＋2)对任意n∈N都成立，数列{an}的前n项和为Sn.(1) 若{an}是等差数列，求k的值；(2) 若a＝1，k＝－，求Sn；(3) 是否存在实数k，使数列{an}是公比不为1的等比数列，且任意相邻三项am，am＋1，am＋2按某种顺序排列后成等差数列？若存在，求出所有k的值；若不存在，请说明理由．     1. 已知数列{an}是首项a1＝4，公比q≠1的等比数列，且4a1，a5，－2a3成等差数列，则公比q等于(　　)A.   B. －1  C. －2  D. 22. 若数列{an}满足a1＝19，an＋1＝an－3，则数列{an}的前n项和最大时，n的值为(　　)A. 6  B. 7  C. 8  D. 93. (多选)已知首项为1的数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＋1＝2Sn＋n－1，则下列结论中正确的是(　　)A. 数列为等比数列  B. 数列{an}的通项公式为an＝2n－1－1C. 数列为等比数列  D. 数列的前n项和为2n＋2－n2－n－44. 已知在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝，则数列{an}的通项公式为______________．5. 在①a4＋a5＝－4；②a2＋a6＝－6；③S7＝14这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的k存在，则求出k的值；若k不存在，请说明理由．问题：已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a7＝3.若________，是否存在k，使得Sk－1>Sk且Sk<Sk＋1?
参考答案与解析【活动方案】例1　因为an＝，所以an＋1＝，所以an＋1－an＝.当1≤n≤11时，an＋1>an，数列{an}递增；当n＝12时，a13＝a12＝；当n≥13时，an＋1<an，数列{an}递减，所以数列{an}的最大项是第12项或第13项．小结　表略例2　 (1) 设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，因为其首项均为1，且a2＝S2，a4＝S3，所以解得d＝q＝2，所以an＝2n－1，bn＝2n－1.(2) 设cn＝(2n－1)·2n－1，所以Tn＝1＋3×2＋5×22＋…＋(2n－1)·2n－1，则2Tn＝1×2＋3×22＋5×23＋…＋(2n－1)·2n，两式相减，得－Tn＝1＋2×2＋2×22＋2×23＋…＋2×2n－1－(2n－1)×2n＝1＋－(2n－1)×2n＝1＋2n＋1－4－(2n－1)×2n＝(3－2n)×2n－3，所以Tn＝(2n－3)·2n＋3.例3　 (1) 由题意，得a1＝5 000(1＋50%)－t＝7 500－t，an＋1＝an(1＋50%)－t＝an－t.当t<2 500，即a1－2t＝7 500－3t>0时，＝＝，所以{an－2t}是以7 500－3t为首项，为公比的等比数列．当t＝2 500，即a1－2t＝0时，{an－2t}不是等比数列．(2) 当t＝1 500时，由(1)知，an－3 000＝3 000·，所以am＝3 000·＋3 000>21 000，即>6，所以m－1>log6＝＝≈＝≈4.42，所以m≥6，所以m的最小值为6.例4　 (1) 由题意，得an＋1－an＝an＋2－an＋1，即2an＋1＝an＋an＋2，即an＋1＝(an＋an＋2)，故k＝.(2) 由k＝－，得an＋1＝－(an＋an＋2)，即2an＋1＝－an－an＋2，an＋2＋an＋1＝－(an＋1＋an)，故an＋3＋an＋2＝－(an＋2＋an＋1)＝an＋1＋an.当n是偶数时，Sn＝a1＋a2＋a3＋a4＋…＋an－1＋an＝(a1＋a2)＝n；当n是奇数时，因为a2＋a3＝－(a1＋a2)＝－2，所以Sn＝a1＋a2＋a3＋a4＋…＋an－1＋an＝a1＋(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋…＋(an－1＋an)＝1＋×(－2)＝2－n.综上，Sn＝(3) 若{an}是等比数列，则公比q＝＝a，由题意a≠1，故am＝am－1，am＋1＝am，am＋2＝am＋1.①若am＋1为等差中项，则2am＋1＝am＋am＋2，即2am＝am－1＋am＋1，2a＝1＋a2，解得a＝1(舍去)；②若am为等差中项，则2am＝am＋1＋am＋2，即2am－1＝am＋am＋1，2＝a＋a2，因为a≠1，解得a＝－2，k＝＝＝＝－；③若am＋2为等差中项，则2am＋2＝am＋am＋1，即2am＋1＝am＋am－1，2a2＝a＋1，因为a≠1，解得a＝－，k＝＝－.综上，存在实数k＝－满足题意．【检测反馈】1. B　解析：由题意，得2a5＝4a1－2a3，即2a1q4＝4a1－2a1q2，所以q4＋q2－2＝0，解得q2＝1.因为q≠1，所以q＝－1.2. B　解析：因为a1＝19，an＋1－an＝－3，所以数列{an}是以19为首项，－3为公差的等差数列，所以an＝19＋(n－1)×(－3)＝22－3n，则{an}是递减数列．设{an}的前k项和最大，则有即所以≤k≤.因为k∈N*，所以k＝7，所以满足条件的n的值为7.3. AD　解析：因为Sn＋1＝2Sn＋n－1，所以＝＝2.又S1＋1＝2，所以数列{Sn＋n}是首项为2，公比为2的等比数列，故A正确；Sn＋n＝2n，则Sn＝2n－n.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1－1，但a1≠21－1－1，故B错误；由a1＝1，a2＝1，a3＝3可得a1＋1＝2，a2＋1＝2，a3＋1＝4，即≠，故C错误；因为2Sn＝2n＋1－2n，所以2S1＋2S2＋…＋2Sn＝22－2×1＋23－2×2＋…＋2n＋1－2n＝22＋23＋…＋2n＋1－2(1＋2＋…＋n)＝－2＝2n＋2－n2－n－4，所以数列的前n项和为2n＋2－n2－n－4，故D正确．故选AD. 4. an＝　解析：因为an＋1＝，所以＝＝＋2，所以数列是首项为1，公差为2的等差数列，所以＝2n－1，所以an＝.5. 若存在k，使得Sk－1>Sk且Sk<Sk＋1，则ak<0，ak＋1>0.设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.若选择条件①：由得解得所以an＝－9＋2(n－1)＝2n－11(n∈N*)．令an<0，得n<，所以当k＝5时，满足a5<0，a6>0，所以k＝5满足题意．若选择条件②：由得解得所以an＝－9＋2(n－1)＝2n－11(n∈N*)．令an<0，得n<，所以当k＝5时，满足a5<0，a6>0，所以k＝5满足题意．若选择条件③：由得解得所以an＝1＋(n－1)＝n＋(n∈N*)．易知an>0恒成立，所以不存在满足条件的k.