苏教版 高中数学 选择性必修第一册 活动单导学课程 第四章数列4.2.1　等差数列的概念及通项公式-导学案（含答案）

4.2.1　等差数列的概念及通项公式

1. 体会等差数列是用来刻画一类离散现象的重要数学模型．

2. 理解等差数列的概念，能根据定义判断一个数列是否为等差数列．

3. 了解等差中项的概念．

4. 会用“叠加法”求等差数列的通项公式，掌握等差数列的通项公式，并能用公式解决一些简单的问题．

　　1. 阅读下列材料，回答问题．

(1) 某电信公司的一种计费标准是：通话时间不超过3min，收话费0.2元，以后每分钟(不足1min按1min计)收话费0.1元，那么通话费按从小到大的次序依次为0.2，0.2＋0.1，0.2＋0.1×2，0.2＋0.1×3，….

(2) 如果一年期储蓄的月利率为1.65‰，那么将10 000元分别存1个月，2个月，3个月，…，12个月，所得的本利和依次为10 000＋16.5，10 000＋16.5×2，…，10 000＋16.5×12.

注：“本利和”是指本金和利息的和，按照单利计算本利和的公式是：本利和＝本金×(1＋利率×存期)．

思考1

这些数列有什么共同的特点？

2. 等差数列的定义．

试结合上述数列的特征给出等差数列的定义：

递推公式表示：

例1　判断下列数列是否为等差数列：

(1) 1，1，1，1，1；

(2) 4，7，10，13，16；

(3) －3，－2，－1，1，2，3.

思考2

如何判断一个数列是否为等差数列？应注意概念中的哪些关键字？

　若数列{an}是等差数列，公差为d，则

(1) an，an－1，…，a2，a1是等差数列吗？

(2) a1，a3，a5，…，a2n－1，…是等差数列吗？

(3) ak，ak＋m，ak＋2m，…是等差数列吗？(k，m∈N*)

(4) λa1＋μ，λa2＋μ，…，λan＋μ，…是等差数列吗？(λ，μ为常数)

例2　写出下列等差数列中的未知项：

(1) 3，a，5，则a＝________；

(2) 3，b，c，－9，则b＝________，c＝________.

例3　(1) 在等差数列{an}中，是否有an＝(n≥2)?

(2) 在数列{an}中，如果对于任意的正整数n(n≥2)，都有an＝，那么数列{an}一定是等差数列吗？

等差中项的概念：

若a，b，c成等差数列，则称b为a，c的等差中项，此时 b＝.

结论：证明数列{an}为等差数列的方法：

(1) 定义法：an－an－1＝d(d为常数，n∈N*，n≥2)；

(2) 中项法：an＝(n∈N*，n≥2)．

　已知数列{an}满足(an＋1－1)(an－1)＝3(an－an＋1)，a1＝2，令bn＝.求证：数列{bn}是等差数列．

例4　(1)  已知等差数列{an}的前3项依次为8，5，2，则a5＝________，a8＝________，a20＝________；

(2) －25，－50是等差数列－5，－9，－13，…中的项吗？如果是，是第几项？

思考3

设数列{an}是一个首项为a1，公差为d的等差数列，你能写出它的第n项an吗？

据其定义，可得：

a2－a1＝________，即：a2＝a1＋________；

a3－a2＝________，即：a3＝a2＋________＝a1＋________；

a4－a3＝________，即：a4＝a3＋________＝a1＋________；

……

由此归纳出等差数列的通项公式，叠加可得出等差数列的通项公式：

叠加法，归纳法．

　(1) 已知在等差数列{an}中，a3＝9，a9＝－3，求a17的值；

(2) 已知在等差数列{an}中，a3＋a5＝－14，2a2＋a6＝－15，求a8的值．

1. 在等差数列{an}中，若a1·a3＝8，a2＝3，则公差d的值为(　　)

A. 1  B. －1  C. ±1  D. ±2

2. (2021·武汉中学月考)在等差数列{an}中，已知a1＝2，a2＋a3＝13，则a4＋a5＋a6等于(　　)

A. 40  B. 42  C. 43  D. 45

3. (多选)已知数列{an}为等差数列，则下列说法中正确的是(　　)

A. an＋1＝an＋d(d为常数)  B. 数列是等差数列

C. 数列是等差数列  D. an＋1是an与an＋2的等差中项

4. 已知数列8，a，2，b，c，－7是等差数列，则a＝________，b＝________，c＝________．

5. 已知在等差数列{an}中，a7＋a9＝16，a4＝1，求a12的值．

参考答案与解析

【活动方案】

思考1：这些数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差等于同一个常数．

2. 如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫作等差数列．

递推公式表示：an＋1－an＝d(常数)

例1　(1) 是　(2) 是　(3) 不是

思考2：判断：从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差是否为同一个常数．

关键字：从第二项起、同一个常数、每一项减去它的前一项．

跟踪训练　(1) 是　(2) 是　(3) 是　(4) 是　

例2　(1) 4　(2) －1　－5

例3　 (1) 因为{an}是等差数列，所以an＋1－an＝an－an－1(n≥2)，

所以an＝(n≥2)．

(2) 在数列{an}中，如果对于任意的正整数n(n≥2)都有an＝，

则an＋1－an＝an－an－1(n≥2)．

这表明，这个数列从第2项起，后一项减去前一项所得的差始终相等，所以数列{an}是等差数列．

跟踪训练　 因为－＝＝，

所以bn＋1－bn＝.

又b1＝＝1，

所以{bn}是首项为1，公差为的等差数列．

例4　(1) －4　－13　－49

(2) 设该等差数列是数列{an}，－25是数列{an}中的第6项，－50不是数列{an}中的项．

思考3：d　d　d　d　2d　d　d　3d　an＝a1＋(n－1)d

跟踪训练　(1) 设数列{an}的公差为d，则由a3＝9，a9＝－3，得解得

所以an＝13－2(n－1)＝15－2n，

所以a17＝15－2×17＝－19.

(2) 设数列{an}的公差为d，则由题意，得

解得

所以an＝2－3(n－1)＝5－3n，

所以a8＝5－3×8＝－19.

【检测反馈】

1. C　解析：由题意，得解得d＝±1.

2. B　解析：设等差数列{an}的公差为d，因为a1＝2，a2＋a3＝2a1＋3d＝13，所以d＝3，则a4＋a5＋a6＝3a1＋12d＝3×2＋12×3＝42.

3. ABD　解析：因为数列{an}是等差数列，所以an＋1－an＝d，即an＋1＝an＋d(d为常数)，故A正确；因为an＋1－an＝d，所以(－an＋1)－(－an)＝－(an＋1－an)＝－d，所以数列是等差数列，故B正确；－＝＝，不是常数，所以数列不是等差数列，故C错误；因为an＋1－an＝an＋2－an＋1，所以2an＋1＝an＋an＋2，所以an＋1是an与an＋2的等差中项．故选ABD.

4. 5　－1　－4

5. 设数列{an}的公差为d，由题意，得

解得

所以an＝－＋(n－1)＝n－6，

所以a12＝15.