苏教版 高中数学 选择性必修第一册 活动单导学课程 第四章数列4.3.1　等比数列的概念及通项公式-导学案（含答案）

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4.3.1　等比数列的概念及通项公式 1. 体会等比数列是用来刻画一类离散现象的重要数学模型，了解等比数列的概念．2. 类比等差数列的通项公式，探究发现等比数列的通项公式，掌握求等比数列通项公式的方法，掌握等比数列的通项公式，并能用公式解决一些简单的实际问题．3. 了解等比中项的概念． 活动一了解等比数列的概念　　1. 阅读下面的问题：放射性物质以一定的速度衰变，该速度正比于当时该物质的质量．如果某个质量为Q0的放射性物质经过时间h后衰变到质量，那么称h为物质的半衰期．镭的半衰期是1 620年，如果从现有的10 g镭开始，那么每隔1 620年，剩余量依次为10，10×，10×，10×，….某轿车的售价约为36万元，年折旧率约为10%(就是说这辆车每年减少它的价值的10%)，那么该车从购买当年算起，逐年的价值依次为36，36×0.9，3.6×0.92，36×0.93，….某人年初投资10 000元，如果年收益率是5%，那么按照复利，5年内各年末的本利和依次为10 000×1.05，10 000×1.052，…，10 000×1.055.思考1 与等差数列相比，上面这些数列有什么共同的特点？    2. 类比等差数列的定义给出等比数列的定义，并写出其递推关系式． 活动二理解等比数列的定义例1　判断下列数列是否为等比数列：(1) 1，1，1，1，1；(2) 0，1，2，4，8；(3) 1，－，，－，.   思考2 如何判定一个数列是否为等比数列？  思考3 若数列{an}为等比数列，则数列{a}为等比数列吗？数列{a2n－1}为等比数列吗？数列{2an}为等比数列吗？数列{an＋an＋1}为等比数列吗？  例2　求下列等比数列中的未知项：(1) a，2，8，其中a＝________；(2) 2，m，8，其中m＝________；(3) －4，b，c，，其中b＝________，c＝________．　    活动三等比数列的证明例3　(1) 在等比数列{an}中，是否有a＝an－1an＋1(n≥2)?(2) 如果在数列{an}中，对于任意的正整数n(n≥2)，都有a＝an－1an＋1，那么数列{an}一定是等比数列吗？   思考4 类比等差中项的概念，试给出等比中项的概念．    　证明数列{an}为等比数列的方法：(1) 定义法：＝q(q为常数，q≠0，n∈N，n≥2)；(2) 中项法：＝(n∈N，an≠0，n≥2)．      活动四理解等比数列的通项公式　　探究：1. 根据等比数列的定义，类比等差数列的通项公式的推导过程，探究如何求等比数列的通项公式？     2. 类比等差数列{an}中an与am的关系，请写出等比数列中任意两项an与am的关系．        例4　(1)  在等比数列{an}中，a9＝，公比q＝－，求a1，a17的值；(2) 在等比数列{an}中，a2＝10，a3＝20，求a1，a9的值． 1. 下列数列为等比数列的是(　　)A. 2，22，3×22，…  B. ，，，…C. s－1，(s－1)2，(s－1)3，…  D. 0，0，0，…2. 在等比数列{an}中，a1＝，q＝2，则a4与a8的等比中项是(　　)A. ±4  B. 4  C. ±  D. 3. (多选)已知数列{an}是公比为q的等比数列，bn＝an＋4，若数列{bn}有连续4项在集合{－50，－20，22，40，85}中，则公比q的值可以是(　　)A. －  B. －  C. －  D. －4. 在等比数列{an}中，已知a4＝18，q＝－3，则a7＝________．5. 已知数列{an}是首项为2，公差为－1的等差数列，令bn＝，求证：数列{bn}是等比数列，并求其通项公式．                     参考答案有解析【活动方案】思考1：这些数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数．2. 如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫作等比数列．　＝q，q为常数，q≠0.例1　(1) 是　(2) 不是　(3) 是思考2：要判断一个数列是否为等比数列，只需判断对任意正整数n，是不是一个不为0的常数．思考3：数列{a}，{a2n－1}，{2an}是等比数列，当{an}的公比为－1时，{an＋an＋1}不是等比数列，当{an}的公比不为－1时，{an＋an＋1}是等比数列．例2　(1) 　(2) ±4　(3) 2　－1例3 　(1) 因为{an}是等比数列，所以＝，即a＝an－1an＋1(n≥2)成立．(2) 不一定．例如，对于数列0，0，0，…总有a＝an－1an＋1，但这个数列不是等比数列．思考4：若a，G，b成等比数列，则称G为a和b的等比中项．探究：1. 略　2. am＝an·qm－n例4　(1) a1＝＝2 916，a17＝a9q8＝.(2) q＝＝＝2，则a1＝5，a9＝1 280.【检测反馈】1. B　解析：A项中，≠，所以不是等比数列；B项是首项为，公比为的等比数列；C项中，当s＝1时，数列为0，0，0，…，所以不是等比数列；D项显然不是等比数列. 2. A　解析：由an＝×2n－1＝2n－4，知a4＝1，a8＝24，所以a4与a8的等比中项为±4.3. BD　解析：因为bn＝an＋4，所以an＝bn－4.因为数列{bn}有连续4项在集合{－50，－20，22，40，85}中，所以数列{an}有连续4项在集合{－54，－24，18，36，81}中．又因为数列{an}是公比为q的等比数列，所以在集合{－54，－24，18，36，81}中，数列{an}的连续4项只能是－24，36，－54，81或81，－54，36，－24，所以q＝＝－或q＝＝－.故选BD.4. －4865. 由题意，得an＝2＋(n－1)×(－1)＝3－n，则bn＝.又因为＝＝＝2，所以数列{bn}是首项为，公比为2的等比数列，通项公式为bn＝·2n－1＝2n－3.