苏教版 高中数学 选择性必修第一册 活动单导学课程 第四章数列4．1.2　数列(2)-导学案（含答案）

4．1.2　数列(2)

1. 了解数列的递推公式的含义，体会数列的递推公式也是确定数列的一种方法．

2. 了解数列的单调性，并能应用数列的单调性求数列的最大(小)项．

　　在前面一节中的数列①中，某剧场有30排座位，第一排有20个座位，从第二排起，后一排比前一排多2个座位．

思考1

能否用通项公式表示这个数列？

思考2

是否还能运用其他关系式表示这个数列？

递推公式的定义：

一般地，如果已知一个数列{an}的第1项(或前几项)，且任意一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫作数列的递推公式．

递推公式也是给定数列的一种方法．

思考3

能否用递推公式表示前面一节中的数列⑤？

例1　试分别根据下列条件，写出数列{an}的前5项．

(1) a1＝1，a2＝2，an＋2＝an＋1＋2an，其中n∈N*;

(2) a1＝2，an＋1＝2－，其中n∈N*.

　已知在数列{an}中，a1＝1，a2＝2，以后各项由an＝an－1＋an－2(n≥3)给出．

(1) 写出此数列的前5项；

(2) 通过公式bn＝构造一个新的数列{bn}，写出数列{bn}的前4项．

例2　写出数列1，，，，，…的一个通项公式，并判断它的单调性．

1. 对于数列{an}，

(1) 若an＜an＋1(n∈N*)，则称数列{an}为递增数列；

(2) 若an＞an＋1(n∈N*)，则称数列{an}为递减数列；

(3) 若an＝an＋1(n∈N*)，则称数列{an}为常数列；

(4) 若an与an＋1的大小关系不定，则称数列{an}为摆动数列．

2. 数列是一个特殊的函数，所以判断函数单调性的方法同样适用于数列．

　已知函数f(x)＝(x≥1)，构造数列an＝f(n)(n∈N*)．

(1) 求证：an＞－2；

(2) 判断数列{an}的增减性．

例3　求数列{－2n2＋29n＋3}中的最大项．

　已知an＝(n∈N*)，试问数列{an}中有没有最大项，如果有，求出这个最大项；如果没有，请说明理由．

1. 数列{an}的通项公式为an＝3n2－28n，则数列{an}各项中最小项是(　　)

A. 第4项  B. 第5项  C. 第6项  D. 第7项

2. 下列给出的图形中，星星的个数构成一个数列，则该数列的一个递推公式可以是(　　)

A. an＋1＝an＋n，n∈N*  B. an＝an－1＋n，n∈N*，n≥2

C. an＋1＝an＋(n＋1)，n∈N*，n≥2  D. an＝an－1＋(n－1)，n∈N*，n≥2

3. (多选)意大利人斐波那契于1202年从兔子繁殖问题中发现了这样的一列数：1，1，2，3，5，8，13，…，即从第3项开始，每一项都是它前两项的和，后人为了纪念他，就把这列数称为斐波那契数列，则下列关于斐波那契数列{an}的说法中正确的是(　　)

A. a10＝55  B. a2 020是偶数

C. 3a2 020＝a2 018＋a2 022  D. a1＋a2＋a3＋…＋a2 020＝a2 022

4. 设数列{an}的通项公式为an＝n2＋kn(n∈N*)，若数列{an}是递增数列，则实数k的取值范围是__________．

5. 在数列{an}中，若an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)，则称数列{an}为“凸数列”．

(1) 设数列{an}为“凸数列”，若a1＝1，a2＝－2，试写出该数列的前6项，并求出该6项之和；

(2) 在“凸数列”中，求证：an＋6＝an，n∈N*.

参考答案与解析

【活动方案】

思考1：an＝2n＋18，n∈N*，n≤30.

思考2：an－an－1＝2，a1＝20，n∈N*，2≤n≤30.

思考3：a1＝1，a2＝1，an＋2＝an＋1＋an，n∈N*.

例1　(1) 因为a1＝1，a2＝2，an＋2＝an＋1＋2an，其中n∈N*，所以a3＝a2＋2a1＝2＋2×1＝4，

a4＝a3＋2a2＝4＋2×2＝8，

a5＝a4＋2a3＝8＋2×4＝16，

所以数列{an} 的前5项依次为1，2，4，8，16.

(2) 因为a1＝2，an＋1＝2－，其中n∈N*，

所以a2＝2－＝2－＝，

a3＝2－＝2－＝，

a4＝2－＝2－＝，

a5＝2－＝2－＝，

所以数列{an}的前5项依次为2，，，，.

跟踪训练　(1) a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝5，a5＝8.

(2) b1＝＝，b2＝＝，b3＝＝，b4＝＝.　

例2　an＝，是递减数列．

跟踪训练　(1) an＝f(n)＝＝－2.

因为n≥1，n∈N*，所以an>－2.

(2) 由(1)知an＋1＝－2，

所以an＋1－an＝－＝－<0，即an＋1<an，所以数列{an}是递减数列．

例3　an＝－2n2＋29n＋3＝－2＋3＋.

因为＝7.25，所以数列{an}中的最大项是第7项或第8项中的一项．因为a7＝108，a8＝107，所以数列{－2n2＋29n＋3}中的最大项为第7项，是108.

跟踪训练　由题意知an＋1＝·(n＋2)，

an＋1－an＝·(n＋2)－·(n＋1)＝·，

所以当n>8时，an＋1<an，数列{an}为递减数列；

当n＝8时，a9＝a8＝，

当1≤n<8时，an＋1>an，数列{an}为递增数列，

所以数列{an}中的最大项为a8或a9，是.

【检测反馈】

1. B　解析：an＝3n2－28n＝3－，当n＝时，an最小．又n∈N*，数列{an}中的最小项是第5项.

2. B　解析：结合图象易知，a1＝1，a2＝3＝a1＋2，a3＝6＝a2＋3，a4＝10＝a3＋4，所以an＝an－1＋n，n∈N*，n≥2.

3. AC　解析：对于A，a8＝21，a9＝21＋13＝34，a10＝21＋34＝55，故A正确；对于B，由该数列的性质可得只有3的倍数项是偶数，故B错误；对于C，a2 018＋a2 022＝a2 018＋a2 021＋a2 020＝a2 018＋a2 019＋a2 020＋a2 020＝3a2 020，故C正确；对于D，a2 022＝a2 021＋a2 020，a2 021＝a2 020＋a2 019，a2 020＝a2 019＋a2 018，…，a3＝a2＋a1，a2＝a1，各式相加，得a2 022＋a2 021＋a2 020＋…＋a2＝a2 021＋2(a2 020＋a2 019＋a2 018＋…＋a1)，所以a2 022＝a2 020＋a2 019＋a2 018＋…＋a1＋a1，故D错误．故选AC.

4. (－3，＋∞)　解析：由题意，得an＋1>an，即(n＋1)2＋k(n＋1)>n2＋kn，n∈N*恒成立，所以k>－2n－1，n∈N*恒成立，所以k>－3，即k的取值范围是(－3，＋∞)．

5.  (1) 因为an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)，且a1＝1，a2＝－2，

所以a1＝1，a2＝－2，a3＝－3，a4＝－1，a5＝2，a6＝3，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝0.

(2) 由题意，得

所以an＋1＋an＋2＝an＋an＋2＋an＋1＋an＋3，即an＋an＋3＝0，所以an＋3＝－an，

所以an＋6＝－an＋3＝an，n∈N*.