苏教版 高中数学 选择性必修第一册 活动单导学课程 第四章数列4．2.2　等差数列的通项公式及性质-导学案（含答案）

4．2.2　等差数列的通项公式及性质

1. 巩固等差数列的概念及其通项公式．

2. 探索发现等差数列的性质并能运用这些性质解决问题．

3. 体会方程思想的应用．

1. 等差数列3，7，11，…的第10项为________．

2. 已知等差数列{an}的前三项为a－1，a＋1，2a＋3，则此数列的通项公式为____________．

3. 已知在等差数列{an}中，a1＝－2，a12＝31，则a20＝________，an＝________.

例1　在数列{an}中，a1＝1，an＝(n≥2，n∈N*)，bn＝.

(1) 求证：数列{bn}是等差数列；

(2) 求数列{an}的通项公式．

　已知数列{an}满足a1＝4，an＝4－(n≥2，n∈N*)，记bn＝.

(1) 求证：数列{bn}是等差数列；

(2) 求数列{an}的通项公式．

　　探究1：在等差数列{an}中，公差为d，则am与an有何关系？

例2　在等差数列{an}中，已知a5＝10，a12＝31，求首项a1与公差d.

探究2：在等差数列{an}中，若依次抽取数列中的偶数项，所构成的新数列有何特征？若从第1项起，相隔3项抽取数列中的项，所构成的新数列又有何特征？若构造新数列：a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6，…，则所得数列又有何特征？

探究3：在等差数列{an}中，公差为d，若m，n，p，q∈N*且m＋n＝p＋q，则am，an，ap，aq有何关系？

例3　在等差数列{an}中，若a2＋a3＋a10＋a11＝36，求a5＋a8，a6＋a7的值．

　在等差数列{an}中，已知a2＋a3＋a4＋a5＝34，且a2·a5＝52，求公差d.

在等差数列{an}中，公差为d，若m，n，p，q∈N*且m＋n＝p＋q，则_______________________________________．

思考

(1) 若m＋n＝2p，则结果如何？

(2)  若am＋an＝ap＋aq，m，n，p，q∈N*，则m＋n＝p＋q一定成立吗？

1. 在等差数列{an}中，若a5＝6，a8＝15，则a14等于(　　)

A. 32  B. 33  C. －33  D. 29

2. 已知等差数列{an}的公差为d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若am＝8，则m等于(　　)

A. 8  B. 4  C. 6  D. 12

3. (多选)(2021·盐城伍佑中学期中)在数列{an}中，若a－a＝p(n≥2，n∈N*，p为常数)，则称{an}为“等方差数列”．下列对“等方差数列”的判断中正确的为(　　)

A. 若{an}是等方差数列，则{a}是等差数列

B. 若{an}是等方差数列，则{}是等方差数列

C. 数列{(－1)n}是等方差数列

D. 若{an}是等方差数列，则{akn}(k∈N*，k为常数)也是等方差数列

4. 若3an＝3an－1＋2，且a3＋a5＋a6＋a8＝20，则a20＝________．

5. 已知数列{an}满足an＋1＝，且a1＝3(n∈N)．

(1) 证明：数列是等差数列；

(2) 求数列{an}的通项公式．

参考答案与解析

【活动方案】

1. 39　2. an＝2n－3　3. 55　3n－5

例1　(1) 因为＝＝3＋，

所以－＝3，

所以bn－bn－1＝－＝3，

所以数列{bn}是等差数列．

(2) 因为b1＝＝1，

所以bn＝1＋(n－1)×3＝3n－2，

所以an＝＝.

当n＝1时，a1＝＝1，符合上式，

所以an＝.

跟踪训练　 (1) 因为bn＋1－bn＝－＝－＝－＝＝，

且b1＝＝，

所以数列{bn}是首项为，公差为的等差数列．

(2) 由(1)知bn＝＋(n－1)×＝(n∈N*)．

因为bn＝，

所以an＝＋2＝＋2，

即数列{an}的通项公式为an＝＋2(n∈N*)．

探究1：an＝am＋(n－m)d

例2　由题意，得a12＝a5＋(12－5)d，即31＝10＋7d，解得d＝3.

又a5＝a1＋4d＝10，即a1＋12＝10，解得a1＝－2.

故a1＝－2，d＝3.

探究2：在等差数列{an}中，若依次抽取数列中的偶数项，所构成的数列还是等差数列，且其公差为原数列公差的2倍．若从第1项起相隔3项抽取数列中的项，所构成的数列仍为等差数列，且其公差为原数列公差的4倍．构造数列：a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6，…，所得数列仍成等差数列，其公差为原数列公差的4倍．

探究3：am＋an＝ap＋aq

例3　a5＋a8＝a6＋a7＝18

跟踪训练　由题意，得

解得或

所以d＝3或d＝－3.

小结　am＋an＝ap＋aq

思考：(1) am＋an＝2ap　

(2) 不一定成立．当数列为常数列时，结论不成立．

【检测反馈】

1. B　解析：由题意，得解得所以a14＝－6＋13×3＝33.

2. A　解析：因为a3＋a6＋a10＋a13＝4a8＝32，所以a8＝8，即m＝8.

3. ACD　解析：对于A，由{an}是等方差数列，得a－a＝p(n≥2，n∈N*，p为常数)，即有{a}是首项为a，公差为p的等差数列，故A正确；对于B，例如数列{}是等方差数列，但是数列{n}不是等方差数列，故B不正确；对于C，数列{(－1)n}中，a－a＝[(－1)n]2－[(－1)n－1]2＝0(n≥2，n∈N*)，所以数列{(－1)n}是等方差数列，故C正确；对于D，数列{an}中的项列举出来是a1，a2，…，ak，…，a2k，…，数列{akn}中的项列举出来是ak，a2k，a3k，….因为a－a＝a－a＝…＝a－a＝p，所以a－a＝(a－a)＋(a－a)＋…＋(a－a)＝kp，即a－a＝kp，所以数列{akn}是等方差数列，故D正确．故选ACD.

4. 　解析：由题意，得an－an－1＝，所以{an}是等差数列．因为a3＋a5＋a6＋a8＝20，所以4a1＋18×＝20，解得a1＝2，

所以an＝n＋，所以a20＝.

5.  (1) 因为an＋1＝，a1＝3，

所以＝＝1，

＝＝＝＝＝＋，

即－＝，n∈N，

故数列是首项为1，公差为的等差数列．

(2) 由(1)知＝＋(n－1)×＝，

所以an＝，n∈N．