3.1.1 函数及其表示方法（第1课时）教案

教学课时：第一课时

　　教学目标：

　　（1）在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念，体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用；

　　（2）了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域、值域；

　　（3）通过具体问题情境总结共性，抽象出函数概念，积累从具体到抽象的活动经验，发展数学抽象的核心素养。

　　教学重点：

　　用集合语言和对应关系刻画函数．

　　教学难点：

　　通过实例，归纳、概括、抽象出函数概念

　　教学过程：

　　一、问题引入

　　问题1．10月12日，我校学生经过2.5小时的徒步跋涉，到达卢沟桥抗日战争纪念馆举行“我和我的祖国”主题建队仪式。已知学校距离纪念馆7.5 Km，假设学生始终匀速前进，那么在徒步的这段时间内，学生行进的路程（单位：Km）是行走时间t（单位：h）的函数吗？如果是，它们的关系如何表示？

　　问题2．某种作业本的单价是3元，高一年级某同学准备购买x本用来完成部分学科的作业（每科最多买一本，共9科），设花费y元，那么y是x的函数吗？如果是，它们的关系如何表示？

　　问题3．国家统计局的课题组公布，如果将2005年中国创新指数记为100，近些年来中国创新指数的情况如下表所示：

　　以x表示年度值，y表示中国创新指数的取值，则y是x的函数吗？如果是，如何用语言刻画它们的函数关系？

　　问题4．下图是某日的气温变化图。如何根据该图确定这一天中的任意时刻t（单位：时）的气温y（单位：℃）？在这里y是t的函数吗？如果是，如何用语言刻画它们的函数关系？

　　预设答案：问题1.s=3t（0＜t≤3）；问题2 .y=3x（0≤x≤9,x∈z）；问题3、4的回答学生会有些迟疑。

　　师：回顾初中所学习的函数定义找出上述问题中的函数关系有哪些共同特征？由此你能概括出函数概念的本质特征吗？

　　预设答案：共同特征：

　　（1）都包含两个非空数集；

　　（2）都有一个对应关系；

　　（3）对于数集A中的任意一个数x，按照对应关系，数集B中都有唯一确定的数y与之对应。

　　【设计意图】

　　问题1.问题2创设的情景是学生所熟悉的校园实际生活，学生采用列函数解析式的方法容易得出结论，但往往不注意自变量的取值范围,需要教师予以订正，这也是为用集合定义函数做铺垫．问题3、问题4是实际案例中不易使用函数解析式描述的函数关系，帮助学生体会到用集合与对应关系的语言定义函数关系的必要性，也说明函数有不同的表示方法．上述问题中的函数关系共同特征的讨论目的在于引导学生发现函数的要素，为抽象出函数概念做好准备，并在此过程中培养学生数学抽象的核心素养。

　　二、新课讲授

　　1．函数的概念：一般地，给定两个非空数集A，B，以及对应关系f，如果对于集合A中的每一个实数x，在集合B中都有唯一确定的实数y与x对应，则称f为定义在A上的一个函数，记作y=f（x），x∈A，其中x称为自变量，y称为因变量，自变量取值的范围（即数集A）称为这个函数的定义域，所有函数值组成的集合{y∈B|y=f（x）,x∈A}称为这个函数的值域。

　　2．函数概念的理解：结合前面的4个问题，对照函数的概念引导学生理解

　　（1）函数的三要素：定义域、对应关系、值域。

　　（2）定义域：在没有指明函数定义域时，就认为它的定义域是自变量取值的最大范围．

　　（3）对应关系：函数概念强调了数集与数集之间的对应关系，这种对应关系指的是对应的结果，而不是对应的过程，与用什么字母表示无关。

　　（4）值域：函数的值域是非空集合B的子集甚至是其真子集。

　　思考：通过回答以下问题归纳两个函数为同一个函数的条件是什么？

　　问题：（i）前面的问题1和问题2是同一个函数吗？为什么？

　　（ii）f(x)=x与f(x)=|x|是同一个函数吗？为什么？

　　（iii）S=3t、y=3x和f(x)=3x是同一个函数吗？

　　解：（i）不是，定义域不同；

　　（ii）不是，对应关系不同；

　　（iii）是，只要定义域相同，对应关系相同，就是同一个函数，与用什么字母和符号表示无关。

　　【设计意图】通过概念辨析，让学生进一步理解y=f(x)即为“y是x的函数”这句话的数学符号表示，通过对“同一个函数”的辨析，加深对函数概念的理解。进而得出如果两个函数表达式表示的定义域相同，对应关系也相同（即对自变量的每一个值，两个函数表达式得到的函数值都相等），则称这两个函数表达式表示的就是同一个函数。

　　三、例题讲授

　　例1 ：求下列函数的定义域：

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

解：（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

　　【设计意图】前三问鼓励学生自主完成，总结规律，并在此基础上完成后两问并比较与前三问的不同，进而总结出求定义域的常用依据：

　　（1）若函数f(x)是整式，则其定义域为R；

　　（2）若函数f(x)是分式，则其定义域要使分母不为0；

　　（3）若函数f(x)是二次根式，则其定义域要使被开方数大于或等于0；

　　（4）若函数f(x)是由几个数学式子构成，则其定义域是使各个部分都有意义的实数组成的集合。

帮助学生对定义域的求解方法进行梳理。

例2:课本第88页上面的例3已知

(1)  f(-1)，f(0)和f(2);

(2）求函数f(x)的值域.

预设答案：第一问结果为，1，; 第二问函数值域(0,1]（详解见课本第88页);

思考:1.第二问求函数的值域，除了观察解析式特点利用不等式性质求解外，还有没有其他方法?

⒉.请学生完成课本第88页上面的“尝试与发现”，判断方程是否有解，

并由此得出求函数f(x)值域的另一种方法．

　　【设计意图】

　　本题涉及求函数的值域，两问的设计是有层次的：第一问求函数的几个函数值本身就是值域中的数值，让学生通过具体函数的“数”来理解“对应”，课本第88页的“尝试与发现”是引导学生得到解析式是分式且分母最高次为2次的类型的一般求值域的方法。

　　四、课堂总结

　　1.函数的概念及三要素；

　　2.求函数的定义域的方法要梳理，求值域的方法要积累。

　　五、课后作业

　　1.阅读课本第86页上面的“拓展阅读”，了解函数定义的演变过程，结合高中学习的函数概念谈谈你对函数有什么新的认识？

　　2.课本第93页练习A第2、3、5题；练习B第4，5题。