3.1.2 函数单调性（第2课时）

教学课时：第2课时

　　教学目标：

　　1.结合图像理解直线的斜率及函数的平均变化率的概念；

　　2.能借助平均变化率理解和证明函数的单调性；

　　3.初步感知平均变化率与函数增长速度之间的关系，培养数学抽象、直观想象、数学运算、逻辑推理等数学素养．

　　教学重点：

　　借助平均变化率理解函数的单调性．

　　教学难点：

　　借助平均变化率理解函数单调性的应用．

　　　教学过程：

　　一、问题引入

　　1. 复习函数单调性的概念

　　一般地，设函数y = f(x)的定义域为D，且ID:

(1）如果对任意，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，则称 y= f(x)在Ⅰ上是增函数（也称在Ⅰ上单调递增);

(2）如果对任意，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，则称 y = f(x)在Ⅰ上是减函数（也称在Ⅰ上单调递减);

　　问题1：从形的角度理解函数单调性，限制条件的对象是图像上的任意两点。我们知道，两点确定一条直线。那么，能否用图象上任意两点连线的相关性质来刻画单调性呢？

　　2. 直线斜率的概念

　　一般地，对于给定平面直角坐标系中的任意两点 A(x1,y1)，B(x2,y2)，当x1≠ x2时，

称为直线AB的斜率; 当x1=x2时，称直线AB的斜率不存在.

记x = x2一x1，相应地，y = y2一y1，则当△x ≠0时，斜率可记为

　　3. 斜率的几何意义

分析教材P98图3-1-11，理解直线斜率的几何意义.

(1）图中 A(x1,y1)，B(x2,y2)，

y = y2一y1:线段BC的长度;

x = x2一x1:线段AC的长度;

所以对于直线AB来说，反映了直线的倾斜程度，且=>0,这里当点A与点B的位置调换时，斜率不变;

(2）设D(x3,y3)则直线AD的斜率=<0

对比（1)(2）发现不与x轴垂直的直线斜率要么为正，要么为负，且当斜率为正时，直线为上升趋势;当斜率为负时，直线为下降趋势。

　　设计意图：

　　从数与形的角度理解直线的斜率，直观感知斜率的符号与直线增减趋势之间的关系，为接下来用平均变化率理解单调性做铺垫。

　　二、新知探究

　　问题2：对于函数图像上的任两个点，它们所确定的直线的斜率是否一定存在？

　　回顾函数定义，对于定义域内的任意一个值，有且仅有一个值与其对应，因此对于函数图像上的任意两点，它们连线的斜率一定存在。

　　问题3：结合以上分析，思考是否可以根据函数图像上任意两点连线斜率的符号判断函数的单调性？

　　【学生活动1】尝试与发现

　　结合教材P98 图3-1-12，总结出一般规律。

　　请学生尝试将总结的规律用文字语言及符号语言表达。

　　教师补充修改后呈现结论：

　　文字语言：函数递增的充要条件是其图像上任意两点连线的斜率都大于0，函数递减的充要条件是其图像上任意两点连线的斜率都小于0。

　　符号语言:若Ⅰ是函数y= f(x)的定义域的子集，对任意且 ，记y1=f(x1)，y2=f(x2)，=(即=)，则:

(1)  y= f(x)在Ⅰ上是增函数的充要条件是>0在Ⅰ上恒成立;

(2) y = f(x)在Ⅰ上是减函数的充要条件是<0 在Ⅰ上恒成立;

一般地，当时，称=为函数y = f(x)在区间[](）或[](）上的平均变化率.

教师引导学生对>0(与>0意义相同）从代数与几何两个角度理解:

从几何上，可以理解为对应两点连线的斜率大于0;

从代数上，>0说明x 与 y同号，即当x=>0 时，△y= y2-y1=>0，与上一节函数的单调性的定义对应.

　　利用上述结论，教师介绍对于函数y=-2x的单调性的证明。并对比上节课用定义证明的过程，感受用平均变化率证明的简洁性。

　　　设计意图：

　　经历从直观感受函数单调性与其图像上任两点连线的斜率符号之间的关系到用符号语言表述上述关系的过程，提升数学抽象素养；同时通过上节课例题的再次证明比较不同方法的优缺点，体会利用平均变化率证明单调性时的简洁性。

　　三、知识应用

　　例1.求证:函数y=在区间(-，0)和(0，+）上都是减函数.

例2.判断一次函数y = kx+ b(k ≠0)的单调性.

　　学生独立完成单调性的判断过程；教师点评总结：

　　（1）平面直角坐标系中三个点共线，当且仅当其中任意两点确定的直线的斜率相等或都不存在. 所以例2实质上证明了一次函数的图像是一条直线，其中的k即是直线的斜率，且k＞0时，一次函数单调递增；k＜0时，一次函数单调递减。

因为是常数，所以，因此只要恒定，那么也恒定，这就是说，自变量的增加量相等时，因变量的增加量也一定相等，这便是线性增长。同时，只有一次函数才具有线性增长性。因为若,则f(x2)一f(x1)=k(x2一x1),取x1= 0,x2=x，则f(x)一f(0)=kx 即f(x) =kx + f(0)，因此是一次函数。　　

　　大家熟悉的反比例函数与二次函数等都是非线性函数，它们的特征是：当自变量的增加量相等时，因变量的增加量不一定相等.

　　设计意图：

　　通过两个函数单调性的判断与证明，体会借助平均变化率刻画函数单调性的内涵，提升数学运算与逻辑推理能力；同时对一次函数的线性增长性有一定认识，对线性函数、非线性函数有所了解。

　　四、综合应用

　　例3 证明函数f(x)=x2+2x在(-∞,-1]上是减函数，在[-1,+∞)上是增函数，并求这个函数的最值.

　　学生独立完成证明过程，教师总结利用平均变化率证明函数单调性的过程同时总结一般二次函数的单调性。

　　【问题4】能否从这个表达式中，直接得出函数的单调区间?

参考:因为。是同一个集合中的两个不相等的实数，两者没有本质的差异，而且要保证恒为正或者恒为负，所以要么都大于等于-1(此时>0)，要么都小于等于-1（此时<0) .

　　设计意图：

　　进一步熟悉用平均变化率证明函数单调性的过程，同时学会利用单调性求二次函数的最值. 通过问题启发学生思考如何利用平均变化率求出函数的单调区间，提升学生的逻辑推理能力.

　　【学生活动2】给定容器倒水问题：

　　如果向给定的容器中倒水，且任意相等的时间间隔内所倒的水体积相等，请将容器内水面的高度 y 关于时间t的函数图象与容器形状对应起来。

设计意图：

　　通过实际问题的探究，初步感知平均变化率与函数增长速度之间的关系，为后面比较函数值增长速度作铺垫。

　　五、归纳小结

　　1. 直线的斜率——平均变化率——函数单调性

　　2. 数与形的综合

　　六、布置作业

　　1. 阅读P99、P101的拓展阅读；

　　2. 完成P103 练习B1,4,5,6,7；

　　3. 学有余力的同学探究的单调性。