高中数学湘教版（2019）必修 第一册3.1 函数精品教案设计

函数与方程、不等式之间的关系（一）

教学目标

1、明确本节课的研究对象，从特殊函数入手，引导学生学会探究数学问题的方法，帮助学生理清函数与方程、不等式之间的关系；

2、掌握函数零点的概念和性质，熟练掌握应用函数解一元二次不等式和可求零点的一元高次不等式的方法；

3、渗透数形结合、分类讨论、从特殊到一般、函数与方程等数学思想方法

教学重点

1、零点的概念与性质

2、应用函数解不等式的步骤与方法

教学难点

函数与方程、不等式之间的关系

教学方法

主要采用探究式教学法和启发式教学法。以启发、引导为主，采用步步设疑的形式，逐步让学生进行探究性的学习。

教学过程

引入：本册书的第二章我们研究了等式与不等式的内容，掌握了几种常见的不等式的解法，明晰了等式与不等式之间的关系；前面我们又刚刚学过函数的知识，所以我们有必要梳理一下函数与方程、不等式之间的关系。

投影：本节课的学习目标

引例：在10米跳台上，运动员跳离跳台时竖直向上的速度为.运动员时刻距离水面的高度为，其中,于是（1）求运动员到达水面的时刻？

（2）求运动员在水面以上花费的时间？

设计意图：通过生活中实例，引入新课，点明本节课的任务，激发他们探求实际问题的兴趣，使他们主动、积极地参与到教学中来，为后面的学习做好准备。以往在类似问题的解决中，学生都醉心于机械求得解集，并没有深入进行思考函数与方程，不等式之间的关系，引例中函数值为0的方程，函数值与0比较大小的不等式就是本节课要研究的对象，为叙述方便我们简称方程与不等式，希望通过今天的探索研究，学生能够建立起函数与它们之间的联系。

（一）探究一元一次函数与方程、不等式之间的关系

问题：已知函数，请给出方程与不等式的解集，并留心观察函数图像，同时思考一下方程、不等式的解集与函数的定义域，函数图像的关系。

设计意图：引导学生发现如下的结论：①方程的解是函数图像与x轴交点的横坐标；②方程的解把函数定义域分割成几个互不相交的集合；③分割后各集合内函数值符号相同，不等式的解集可以据图像写出。

（二）函数零点的概念

教师：这个分割函数定义域的实数是方程的解，也是不等式解集的端点值，同样对于函数来讲也是一个非常重要的数，它是函数图像与轴交点的横坐标，所以我们要隆重定义一下这个实数，称呼他为函数的什么比较好呢？

设计意图：引导学生发现方程解的重要性，并引导学生类比函数最值点的定义给出函数零点的定义。

投影函数零点的定义：一般地，如果函数在实数处的函数值等于零，即，则称为函数的零点。

 设计意图：教师引导学生分析零点的定义，并指出定义零点我们是从数的角度（即方程的解）来定义的，我们能否从形的角度重新定义一下零点呢？

概念辨析题：1：函数的零点是（   ）

2、求函数的零点

3、写出右图中函数的零点

设计意图：引导学生归纳总结出如下结论：①函数的零点不是点，而是一个实数；②求函数零点的方法：解析函数可通过解方程获取；图像法给出的函数可据图写零点。同时教师强调：掌握了零点的概念，就解决了函数与方程的关系。

（三）应用函数解不等式方法的探究

教师：掌握了零点的概念，就解决了函数与方程的关系，接下来我们需要继续研究函数与不等式的关系，请大家看屏幕：设α是函数零点，请分析函数图像通过点(α,0)时函数值符号的变化情况？每相邻两个零点间函数值的符号是不是有共性？

设计意图：引导学生发现零点的性质：①函数图像通过点(α,0)且穿过x轴时，函数值符号改变；而通过点(α,0)且不穿过x轴时，函数值符号不改变.

②每相邻两个零点之间所有的函数值保持同号。

教师：这两条性质是函数零点的重要性质，第一条涉及到了函数零点的分类（变号零点与不变号零点），借助零点分割定义域且相邻零点之间函数值的同号性，我们是不是可以给出不等式的解集了？

课件展示：掌握了零点的性质，就得到了函数法解不等式的要领！

问题：如何利用函数给出不等式的解集呢？

设计意图：教师引导学生进行思考：①图像法给出的函数是最容易解方程与不等式的，大家据图写解集即可；②解析函数如何解不等式

（四）应用函数解不等式的例题分析

设计意图：例题1是图像法给出的函数的代表，让学生据图写出不等式的解集，实际的书写过程中并没有想得很轻松，学生很容易出错。

教师：解析函数解不等式的难点是零点的获取，现在我们选择一元二次不等式做个解题的尝试。

例2利用函数求下列不等式的解集

（1）          （2）

变式1：利用函数求下列不等式的解集

（1）        （2）

变式2：利用函数求下列不等式的解集

（1）          （2）

设计意图：例题2以及变式训练把一元二次函数零点所有情形做了展现，旨在锻炼学生应用函数解不等式的步骤：解方程得零点，绘制图像与轴的公共点，做示意图（不需要做轴），写出解集。

教师：通过例题2与变式训练，我们发现用函数的观点解一元二次不等式比以前的配方法解不等式容易太多，我们有必要对一般的一元二次不等式的函数解法做个归纳。

【探究】利用函数求下列不等式的解集

（1）           （2） 

设计意图：教师提问同学完成表格，梳理应用函数图像给出一元二次不等式的解集。

教师：给出一元高次多项式函数的概念，并指出函数性质虽了解不多，但只要能找到函数所有零点，借助零点性质和函数示意图就可解一元高次不等式！

例题3：求函数的零点，并作出函数图像的示意图，写出不等式和的解集.

变式训练：求函数的零点，并作出函数图像的示意图，写出不等式和的解集.

设计意图：例题3与变式训练分别是一道一元三次不等式和一元四次不等式，函数零点较容易的从表达式看出，锻炼学生应用函数解一元高次不等式的方法。

（五）总结与提升

教师：用函数理解方程和不等式是高中数学的的基本思想方法，如何用函数的观点理解方程和不等式？

设计意图：本节课我们从一元一次函数与方程、不等式的关系归纳总结出了一般函数与方程、不等式的关系，用函数理解方程和不等式是高中数学的的基本思想方法，本节课最后做一个总结提升，尝试给出用函数来理解方程与不等式的结论，以帮助学生加深理解。

课堂小结：本节课的最后，请同学谈谈这节课的主要收获。

设计意图：引导学生从知识方面和思想方法方面进行梳理，①知识方面：零点，函数与方程、不等式的关系。②数学思想方法方面：特殊到一般，数形结合，函数与方程，分类讨论。只要有数学知识就有潜藏于知识深层的思想方法，两者相互融合，共同流淌．学生在深入理解数学知识的基础上，感悟数学思想方法，学生才能将本节课的学习迁移、应用到更广阔的领域，真正具备数学素养．

（六）作业布置：

必做题：课本119页  习题3-2A   2、3、4、5

选做题：求函数的零点，求作出它的函数示意图.

设计意图：巩固本节课所学知识，培养学生自主学习的习惯，同时给学有余力的学生留出自由发展的空间。

按照认知建构的观点，学习过程是知识不断重建的过程，这一过程必须以学生原有的认知结构为基础，关注学生情况是教师教学设计的基本出发点，也体现了教师是否切实将以学生发展为本的教学理念落到实处，所以学情分析是教好一堂课的前提和关键。

1、学生原有的认知基础：

授课班级学生是按照中考前80名分班产生，各方面的能力和素质出众，特别是学生已经学习过集合、等式与不等式、函数的概念和性质等内容，已经具备研究函数图像与性质，解方程与不等式的能力，函数与方程、不等式之间的关系就是对前面知识进行梳理，进而升华学生认识的，所以本节课学生具有 强烈的学习兴趣与求知欲望。

2、学生的个体差异：

新生分班时没有兼顾学生的男女性别问题，导致该班级女生较多，男生特别少，在女生群体中有部分同学经过2个月的学习已经渐渐感觉学习吃力，缘于这部分同学还在沿用初中的学习方法，难以应对高中的高强度学习，特别是没有进行等级科目的选考，作业量非常大，导致这部分同学对部分知识点的理解肯定深度不够，在教学设计时必须兼顾本部分同学的诉求。尽可能确保授课难度适中，要拔高但不能一味的拔高，在重视基础内容的前提下有意识的小幅拔高。

3、学生对本学科学习的方法掌握情况：

教学过程不仅需要教师的活动，而且更需要学生的活动，只有教师教得最优化和学生学得最优化融合在一起，才能保证教学效果的最优化。本班绝大多数同学经过2个月的数学学习，已经明显感觉高中数学与初中数学的不同，也渐渐摸索出适合自己的学习方法，能在有限的时间内，高效完成作业并自觉主动的复习与预习。上课听课、做笔记、完成作业、主动复习都是自觉而为，也有个别同学始终找不到更好的方法去改变自己的数学学习，但这个群体不大，对正常的备课影响不大。

4、本节课学习知识时可能要遇到的困难：

学生在学习中可能遇到的的问题和阻力往往会成为他们进一步学习的困难与发展的障碍，教师必须要及时发现这些困难与障碍，并及时地帮助学生克服这些困难和障碍，学生就能获得真实的发展。本节课教材内容不是很难，但面向绝大多数同学的拔高可能会让少部分同学当堂难以消化吸收，所以在零点的概念、函数与方程、不等式的关系的教学中一定要讲解透彻一些，尽可能借助习题以巩固加深学生的理解。

学生当堂学习效果测评结果与分析

1、关于零点的概念

为增进学生对零点概念的理解，授课中设计3个针对练习，这3个练习分为2类（解析函数和图像法给出的函数），当堂抽测2位同学作答，从当堂的抽测结果看，学生能掌握新授的零点的概念，学生在回答问题中注重细节，从解后的归纳总结反思来看，对零点定义的测评还是达标的。

2、关于零点性质的归纳

   解决了函数与方程的问题，为了解决函数与不等式的关系，必须分析研究函数零点的性质，为此授课中设计了2个小问题，提问了1个同学，但学生回答的正确率不高，一定意义上说明零点性质的归纳是个难点，课堂上教师花费了较大时间来解释这个问题，以期帮助部分同学提高认识。

3、图像法给出的函数解不等式

   图像法给出的函数相比解析函数而言，无论解方程还是不等式都要容易一些，授课中选择了教材中的一个例题，学生实际的叙述中没有十分的让人满意，特别是解集的给出，这需要引起我们足够的重视。

4、应用函数解一元二次不等式

   教学中设计了例题2和两组针对性训练，通过测评结果来看，学生能够掌握应用函数解不等式的要领，但并不十分熟练，说明个别同学应用图像解不等式的意识或者认识还需要提高，后续教学中应该有意识的穿插测评，以督促学生尽快熟练掌握。

5、应用函数观点看待方程与不等式

   学生通过学习已经能够理解函数与方程、不等式之间的关系，但用数学语言表达的能力不够，语言组织能力与语言准确度都还需要提高。

6、函数思想方法总结

   只要有数学知识就有潜藏于知识深层的思想方法，两者相互融合，共同流淌。在归纳总结环节，学生谈收获中设计了一个小问题，学生可以阐述部分本节课所用到的思想方法，有些思想方法没有引起学生的关注，下一步的教学中要进一步渗透数学思想方法的教学。

《函数与方程、不等式之间的关系（一）》是高中数学人教B版必修1第三章函数3.2的内容,本节内容在数学知识体系中地位至关重要。

首先，在前后知识的学习上

本册书的第二章为等式与不等式的内容，学生掌握了几种不等式类型的解法，了解了等式与不等式的关系，在本册的第三章学生刚刚学过函数的概念和性质，具备了研究函数图像与性质的基本功，作为本册书的最后很有必要进行章节的整合，彻底研究一下函数与方程、不等式之间的关系，部分可求零点的解析函数解不等式问题也必须尽快给出更快捷的方法。本节内容也是“用二分法求方程的近似解”和后续学习的基础。

其次，在研究方法上，

函数的零点从不同的角度将数与形，函数与方程有机地联系在一起．这种联系正是“函数与方程思想”的理论基础，用函数的观点研究方程，本质上就是将局部的问题放在整体中研究，将静态的结果放在动态的过程中研究，这为今后进一步学习函数与不等式等其他知识的联系奠定了坚实的基础．

再次，在思想方法上

本节内容体现了“数形结合”“函数与方程”“化归与转化”“特殊到一般”的数学思想方法。将方程问题转化为函数问题发现零点，从“静”到“动”。进而结合函数图像归纳出零点的性质，由“变”到“不变”。在此探究过程中，学生不仅体会到了数学方法独特的魅力，还感悟到了数形结合思想的重要性。

最后，课程标准的要求上

用函数的观点理解方程和不等式是数学的基本思想方法，通过本节课的学习，可以帮助学生用一元二次函数认识一元二次方程和一元二次不等式，理解函数、方程和不等式之间的联系，体会数学内容之间的关联性与数学的整体性。

引例

在10米跳台上，运动员跳离跳台时竖直向上的速度为.运动员时刻距离水面的高度为，其中,于是,

（1）求运动员到达水面的时刻？

（2）求运动员在水面以上花费的时间？

尝试与发现：

已知函数，请给出方程与不等式的解集

思考：方程与不等式的解集与函数定义域、函数图像之间有怎样的关系？

【概念形成】

零点的概念：一般的，如果函数在实数处的函数值等于______，即_______，则叫做这个函数的零点.

概念辨析

1：函数的零点是（   ）

4、求函数的零点

5、写出右图中函数的零点

思考：1、函数零点具有哪些性质？如何求函数的零点？

2、如何根据函数零点的性质解不等式？

例2利用函数求下列不等式的解集

（1）                （2） 

变式1：利用函数求下列不等式的解集

                （2）

变式2：利用函数求下列不等式的解集

（1）                （2） 

【探究】利用函数求下列不等式的解集

（1）           （2） 

例题3：求函数的零点，并作出函数图像的示意图，写出不等式和的解集.

【变式训练】求函数的零点，并作出函数图像的示意图，写出不等式和的解集.

（五）课堂小结

1、数学知识：

 2、数学思想与方法：

（六）课后作业

必做题：课本119页  习题3-2A   2、3、4、5

选做题：求函数的零点，求作出它的函数示意图.

（1）问题驱动是数学教学的一个原则，“好的问题”能激发学生的思维，促进学生思维能力的发展、“好的问题”的基本特点是：体现数学知识发生发展的过程，反映数学的本质；符合学生的认知规律，在学生最近发展区内。本节课教学过程中我十分注重问题的设计与引领，为更好的开展探究，设计了若干层层推进的问题，同时给学生留足时间，让学生思维放飞。

（2）解决问题以后我引领学生对解决的问题进行反思、整理、升华。反思是数学思维非常重要的环节，思维的过程（提出问题，解决问题，反思升华）比简单知道结果更为重要，基于学生的认知水平和认知习惯，学生的发现往往不够完善，在有所发现后浅尝辄止，没有反思，因此教学中我适时引导学生进行师生交流，生生交流，在交流中进行观念的碰撞，确保学生思维走向深入，通过本节课的教学，学生的的思维能力、语言表达能力都得到了提高，社会参与、团结协作等素养得到培养。

（3）教学中我重视数学思维的过程，有些数学内容是直观、明确而易懂的，它与学生的已有知识之间只隔一层“窗户纸”，虽说“窗户纸”一捅就破，但对学生而言，有时并不容易，若教师越俎代庖，轻易的替学生捅破，腾出时间进行大运动量的训练，短时间可以提高成绩，但剥夺了学生捅“窗户纸”的体验，不利于学生数学素养的养成，对学生长远发展不利。

（4）数学教学不单是结果的教学，更是过程的教学，本节课的教材内容非常简单，学生自学完全可以掌握，但真正数学思想与方法，教材编写者的用意并没有清晰的展现，所以我尽自己最大的努力挖潜教材，重新设计内容的讲授方式与方法，让学生享受“过程”的快乐，毕竟没有“过程”就没有“思想”的生成。

（5）《普通高中数学课程标准（２０１７年版）》指出：“高中数学课程应以学生发展为本，落实立德树人根本任务，培育科学精神和创新意识，提升数学学科核心素养．”数学在育人方面也发挥着自己的独特作用，教学中学生经历从“数”到“形”引入零点的过程，不仅学会将函数与方程联系起来，还提升了自主发现的能力以及勇于探究的精神．不仅学会在具体图形中抽象出零点的本质特征，还学会了用联系、动态的观点去思考问题。

（6）基础教育阶段的各学科都有其独特的特点，数学课堂应体现数学的本质特征，发挥其特有的数学价值。数学的本质特征主要表现在数学的研究特性、数学方法及数学思想三个方面。因此数学的价值不是局限于一堂课的知识点，而是从这三个方面出发揭示数学的本质，才能迁移到以后的学习中。本节课的教学中积极引导学生进行探究，将方程问题转化为函数问题发现零点，从“静”到“动”。进而结合函数图像归纳出零点的性质，由“变”到“不变”。在此探究过程中，学生不仅体会到了数学方法独特的魅力，还感悟到了数形结合思想的重要性。

课堂教学改革是课程改革的“最后一公里”，课堂教学是发展学生数学核心素养的主阵地，所以课改的主阵地是课堂，课程改革的关键是课堂改革，所以我们必须设计出“好问题”，在课堂上，在学生独立思考的基础上，引导学生开展合作交流、反思升华，以实现数学育人的目标。

课标分析

用函数的观点理解方程和不等式是数学的基本思想方法，通过本节课的学习，可以帮助学生用一元二次函数认识一元二次方程和一元二次不等式，理解函数、方程和不等式之间的联系，体会数学内容之间的关联性与数学的整体性。

    内容包括：从函数观点看一元二次方程、从函数观点看一元二次不等式。

（1）从函数观点看一元二次方程

会结合一元二次函数的图像，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数零点与方程根的关系。

（2）从函数观点看一元二次不等式

①经历从实际情景中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义。能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集。

②借助一元二次函数的图像，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系。