3.2.2 函数与对应的方程和不等式 教案

教学课时：第2课时

　　　教学目标：

　　1.结合学生已经学习的函数零点的相关知识，理解函数、方程、不等式之间的依存关系；

　　2.训练学生会用函数与对应的方程和不等式之间的关系解不等式；

　　3.在求解不等式的过程中，训练学生运用数形结合思想，逻辑推理、数学运算的学科素养。

　　　教学重点：

　　1.函数与对应的方程和不等式之间的关系；

　　2.求解不等式。

　　　教学难点：

　　根据函数与对应的方程和不等式之间的关系解不等式。

　　　教学过程：

　　一、提出问题，解决问题：

　　上节课我们学习了函数的零点，我们知道，一个函数关系给出了定义域的一个“划分”，在这个划分中，函数的零点起到关键的作用：如果一个函数的图象连续不断，那么这个函数的两个相邻零点（如果存在的话）间的每一个x，其函数值f(x)的符号是相同的。这就启发我们：函数与其对应的方程、不等式之间是有关联的，利用这种关联可以帮助我们求解不等式。

　　问题1:请同学们写出下列不等式所对应的函数，求出对应函数的零点并画出图象，尝试解出这两个不等式，感悟函数、方程、不等式之间的关系：

　　（1）x2-x-6＞0； （2）x2-x-6＜0。

　　【学生活动1】

　　1.小组讨论这两个不等式的解法；

　　2.请你小结解这两个不等式的步骤；

　　3.请同学们说一说在求解这两个不等式的过程中，函数、方程、不等式它们三者之间的关系。

　　设计意图：通过实例探究，结合以往学习经验，小结出解不等式的步骤，并初步感受函数、方程、不等式之间的关系。

　　从问题1的解决我们看出，求不等式f(x)＜0或f(x)＞0的解集，可以通过研究对应函数y=f(x)的零点，利用零点的性质或函数的单调性求得。当然如果能画出函数y=f(x)的图象，也可由图象读出相应不等式的解集。

　　问题2:根据上述方法，求一元二次不等式ax2+bx+c＞0(a≠0)和ax2+bx+c＜0(a≠0)解集.。

　　【学生活动2】

　　1.求解一元二次不等式；

　　2.小结一元二次不等式的解法步骤。

　　进一步感受函数、方程、不等式之间的关系.

　　由以上两个问题的解决我们知道：函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数根，也是函数y=f(x)的图象与x轴的交点的横坐标；函数的零点将定义域划分的区间就是对应不等式的解集，也就是函数y=f(x)的图象位于x轴上方（或下方）部分的点的横坐标构成的集合就是不等式f(x)＞0（或f(x)＜0）的解集。

二、例题讲解，深化理解

例3解不等式(x+2)(x2-1)≤0。

解  因为函数f(x)=(x+2)(x2-1)有三个零点x1=-2，x2 =-1，.x3 =1，且此三个零点均为变号零点，f(0)=-2<0 ，所以不等式(x+2)(x2-1)≤0 的解集为( -,-2]U[-1,1]。

例4 解不等式。

解  原不等式可化为,即

因为函数f(x)=的定义域为(,-4)U(-4,)，且有一个变号零点-1，

,,所以不等式的解集为(-4,-1]。即原不等式的解集为(-4,-1]。

注:此题也可以将不等式等价转化为不等式组，

三、拓展应用、巩固提升

例5设关于x的一元二次不等式a(x -1)(x-m)<0的解集是A，且(1,2)A，求m的取值范围.

解 当m=1时,函数f(x)=a(x-1)2若a>0，因为f(x)=a(x-1)2≥0，所以A=，不合题意：若a<0，因为f(x)=a(x-1)2≤0，所以。此时显然有(1,2)A。

当m>1时，函数f(x)= a(x-1)(x -m)有两个变号零点1,m。若a>0，因为(1,2)A，所以f(2)=a(2-m)≤0。解得m≥2；若a<0，则。与(1，2) A矛盾，不合题意。

当m<1时,函数f(x)= a(x -1)(x 一m)有两个变号零点1,m。若a>0,则A=(m，1)。与(1,2) A矛盾，不合题意；若a<0，则，显然有(1，2)A。

综上所述：当a >0时，m的取值范围是m≥2；当a<0时，m的取值范围是m≤1.

　　四、归纳总结：

　　1. 函数与其对应的方程和不等式的关系；

　　2. 利用函数与其对应方程和不等式的关系求解不等式。

　　五、作业

　　（一）基础练习

　　1. 求下列不等式的解集：

(1) x2+4x+5 > 0 ;          (2）4x2-12x＋9≤0 ;

(3)4x2-4x+1≥0 ;           (4）-2x2+5x＋3≤0。

(5）(x-1)2(x2-2)≥0;         (6)3(x 一2)(x＋2)-4(x+1)2+1<0。

　　2. 是什么实数时，函数f(x)=mx2-(1-m)x+m没有零点？

　　（二）提高练习

　　1. 解不等式。

　　2. 已知不等式x2+ax+b＜0的解集是(-3,-1)，求实数a,b的值。

　　3. 解关于x的不等式x2+(m-1)x-m≥0。