湘教版（2019）必修 第二册第3章 复数3.4 复数的三角表示公开课教案

这是一份湘教版（2019）必修 第二册第3章 复数3.4 复数的三角表示公开课教案，共5页。教案主要包含了课程标准，教学目标，重点重点，教学难点，教学过程，教学反思，板书设计等内容，欢迎下载使用。

《3.4复数的三角表示（1）》教学设计
一、课程标准
了解的几何意义、.
二、教学目标
1．了解的几何意义
2.了解乘复数的几何意义．
三、重点重点：的几何意义．
四、教学难点：乘复数的几何意义．
五、教学过程
（一）创设情境，引入新课
上节课我们学习了复数的几何表示，那复数可以用三角表示吗？
（二）自主学习，熟悉概念
1.要求：学生阅读P109-112
2.思考：
1． 的几何意义是什么？
2. 乘复数的几何意义是什么？
（三） 检验自学，强化概念
1．的几何意义
如图，设平面向量OP=(x,y)对应复数z=x+yi，则OQ=(-x,-y)对应复数-z=(-1)z。由于OQ=-OP=(-1)OP，因此OQ可由OP绕起点O逆时针旋转180°得到。
于是，由(-1)z=-z可知，-1乘复数z的几何意义是将复数z对应的向量OP绕起点旋转180°变成OQ。

按照这样的思路，将z连乘两个-1得到(-1)2z，就是将OP连续旋转两个180°，也就是旋转360°，仍得到OP自己。这就是说(-1)2OP=OP，(-1)2z=z，(-1)2=1.
既然用(-1)2乘复数z的几何意义是将复数z对应的向量OP旋转连个180°，很自然会猜测：用-1的一个平方根i乘z的几何意义应该是将OP旋转半个180°，也就是旋转90°，得到的向量OP与复数iz对应。
结论：（即的平方根）乘的几何意义应该是将复数对应的向量绕起点旋转90°．
2.旋转任意角
如图，把复数z对应的向量OP旋转角α得到OP´，把OP旋转90°得到OQ，则由平面向量基本定理可知，OP´可写成OP，OQ方向上的单位向量e1， e2的实数倍之和，即OP´=ae1+be2.
设r=|OP|，则|OP´|=|OQ|=r, OP=re1, OQ=re2.
所以cosα=ar,sinα=br
即a=rcosα, b=rsinα.
于是OP´=(rcosα)e1+(rsinα)e2
=cosα·OP+sinα·OQ
所以OP´对应的复数为cosα·z+sinα·iz,可看作是由cosα+isinα乘得到的。

由此可得，用cosα+isinα乘任意复数z的几何意义是：将复数z对应的平面向量旋转角α.
结论：复数可看作是由乘得到，对应的复数是，几何意义是将复数对应的平面向量旋转角．
6.例题讲解
例1. 将正实数a连续4次乘i得到ai,-a,-ai,a,并将这些数用复平面上的点B、C、D、A表示。观察这些点的相互位置，你发现了什么？
设计意图：通过实例，让学生体验虚数单位乘任意复数的几何意义的应用．
例2.如图，设复平面上的点P表示复数z=a+bi，将点P绕原点O旋转90°得到的点P´表示哪一个复数？

设计意图：通过实例，让学生体验虚数单位乘任意复数的几何意义的应用．
例3. 将平面直角坐标系中任意点绕原点旋转90°得到，求的坐标．
设计意图：通过实例，让学生体验虚数单位乘任意复数的几何意义的应用．
例4. 根据乘的几何意义计算：
（1）；（2）．
设计意图：通过实例，让学生体验乘任意复数的几何意义的应用．
(三)课堂练习及检测
P126 6,12
(四)归纳小结
1.i2=-1的几何意义；
2.旋转任意角；
（五）作业
1.习题3.5 3 ,5
2.预习3.4后半部分
六、教学反思（酌情写一些）

七、板书设计
课题：复数的三角表示
1. i2=-1的几何意义；
2. 旋转任意角；

希沃课件投影区域
例1
例2
例3
例4