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【同步练习】北师大版(2019) 高中数学 必修第二册 复数
展开这是一份【同步练习】北师大版(2019) 高中数学 必修第二册 复数,共12页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
复数
一、单选题
1.若复数,其中i为虚数单位,则z=( )
A. B. C. D.
2.已知a,,i是虚数单位.若,则( )
A. B. C. D.
3.已知是虚数单位,若,则复数z的虚部为( )
A.3 B.-3i C.-3 D.3i
4.若复数的实部与虚部分别为a,b,则点A(b,a)必在下列哪个函数的图象上( )
A. B.y=
C. D.
5.( )
A. B. C. D.
6.若复数为纯虚数,则复数在复平面所对应的点在( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第四象限 D.第一或第四象限
7.已知复数z满足,则的虚部为( )
A.-i B.i
C.-1 D.1
8.若,则( )
A. B. C. D.
二、多选题
9.已知为虚数单位,以下四个说法中正确的是( )
A.
B.
C.若,则的虚部为
D.已知复数满足,则在复平面内对应的点的轨迹为直线
10.定义:设非零复数z对应的点为M,角q(0≤q≤2p)的顶点在原点,始边为x轴的正半轴,终边为射线OM,则称角q为复数的幅角,记作q=argz如图所示的阴影区域(含边界)所对应的集合是( )
A.{z||z|=1,≤argz≤ } B.{z||z|=1,Imz≥ }
C.{z||z|≤1,≤argz≤ } D.{z||z|≤1,Imz≥ }
11.已知复数的实部与虚部相等,则( )
A. B. C. D.
12.下列命题中正确的有( )
A.若复数满足,则; B.若复数满足,则;
C.若复数满足,则; D.若复数,则.
第II卷(非选择题)
请点击修改第II卷的文字说明
三、填空题
13.已知复数,则复数 的虚部为______
14.设a∈C,a≠0,化简:=______ .
15.已知方程有两个虚根,,若,则m的值是___________.
16.复数在复平面上对应的点在第______象限.
四、解答题
17.求复数的模与辐角.
18.计算i+2i2+3i3+…+2 020i2 020+2 021i2 021.
19.复数,当m取何实数时:
(1)z为实数;
(2)z为纯虚数;
(3)z对应的点在复平面上实轴的上半部分.
20.计算下列各题:
(1);
(2);
(3);
(4).
21.已知,且,求的值.
22.已知z为复数,和均为实数,其中i是虚数单位.
(1)求复数;
(2)若复数对应的点在第四象限,求m的取值范围.
参考答案:
1.B
【解析】
【分析】
复数的除法运算,分子分母同时乘以分母的共轭复数,化简即可.
【详解】
故选:B.
2.B
【解析】
【分析】
利用复数相等求出a,b,再借助复数平方运算计算作答.
【详解】
因,a,,则有,
所以.
故选:B
3.C
【解析】
【分析】
由复数的除法运算可得答案.
【详解】
由题得,所以复数z的虚部为-3.
故选:C.
4.D
【解析】
【分析】
将复数化为z=a+bi的形式即可求出A,将A的坐标代入选项的函数验证即可.
【详解】
因为==-+i,
所以a=-,b=,所以A,
把点A的坐标分别代入选项,只有D选项满足.
故选:D.
5.D
【解析】
【分析】
利用复数的除法运算直接计算作答.
【详解】
.
故选:D
6.C
【解析】
【分析】
根据复数的分类,纯虚数的概念,求出a,即可判断出点得象限.
【详解】
∵复数﹣4+(a+2)i(a∈R)是纯虚数,
∴实部﹣4=0①,虚部a+2≠0②,由①②解得a=2.
故对应的点为(4,-2)位于第四象限.
故选:C.
7.D
【解析】
【分析】
利用复数的除法运算和复数的共轭复数以及复数的有关概念求解.
【详解】
,
,即虚部为1.
故选:D.
8.B
【解析】
【分析】
利用复数的四则运算及复数的摸公式即可求解.
【详解】
由,得,
所以,
所以.
故选:B.
9.AD
【解析】
【分析】
根据的幂指数运算的周期性可知A正确;由虚数无法比较大小知B错误;根据复数乘方运算和虚部定义可知C错误;设,化简已知等式可得所求轨迹为,知D正确.
【详解】
对于A,,A正确;
对于B,虚数无法比较大小,B错误;
对于C,,则的虚部为,C错误;
对于D,设,则,,
整理可得:,即在复平面内对应的点为,轨迹为直线,D正确.
故选:AD.
10.CD
【解析】
【分析】
根据题中所给的图,可以判断出其模的范围,根据阴影区域内点的纵坐标的范围,得到其虚部的范围,结合复数幅角主值的取值范围,最后得到正确选项.
【详解】
因为阴影区都在单位圆内部,
所以,所以A、B不正确,
因为复数的幅角主值取值范围为,
所以,所以C正确,
从图中可以发现,阴影区点的纵坐标的取值范围为,
即其虚部的取值范围为,所以D正确,
故选:CD.
11.ACD
【解析】
【分析】
利用复数的除法,算出复数的实部和虚部,逐项验证即可.
【详解】
∵,
∴,解得,则,.
故选:ACD.
12.AD
【解析】
【分析】
根据复数的运算性质,即可判定A正确;取,可判定B不正确;取,可判断C不正确;根据复数的运算法则,可判定D正确.
【详解】
对于A中,设复数,
可得,
因为,可得,所以,所以A正确;
对于B中,取,可得,所以B不正确;
对于C中,例如:,则,此时,所以C不正确;
对于D中,设,由,可得,即,可得,所以D正确.
故选:AD
13.3
【解析】
【分析】
根据复数的除法运算法则,计算出复数的值,然后求出复数的共轭复数,最后写出的虚部.
【详解】
,
,
所以复数的虚部为.
故答案为:.
14.-i
【解析】
【分析】
根据复数的运算法则计算即可.
【详解】
,
故答案为:-i.
15.##2.5
【解析】
【分析】
由已知结合实系数一元二次方程两个虚根互为共轭复数,设出的代数形式,代入计算作答.
【详解】
因,是方程有两个虚根,设,则,
由得:,解得,
又,即,因,
于是得:,解得,,
所以m的值是.
故答案为:
16.二
【解析】
【分析】
判断复数的实部和虚部的正负后可得.
【详解】
由已知,,实部小于0,虚部大于0,对应点在第二象限.
故答案为:二.
17.答案见解析
【解析】
【分析】
根据三角函数诱导公式得到,得到答案.
【详解】
,,
故.
由此可知,这个复数的模为2,辐角为.
18.1010+1011i
【解析】
【分析】
根据的概念和运算规则化简计算即可得出答案.
【详解】
原式=(i-2-3i+4)+(5i-6-7i+8)+(9i-10-11i+12)+…+(2017i-2018-2019i+2020)+2021i=505·(2-2i)+2 021i=1010+1011i.
19.(1)或
(2)
(3)或
【解析】
【分析】
(1)由虚部为0可得;
(2)由实部为0,虚部不为0可得;
(3)由虚部大于0可得.
(1)
因为z为实数,所以,解得或
(2)
由z为纯虚数,则解得
(3)
由z对应的点在复平面上实轴的上半部分,则,解得或
20.(1)1+7i
(2)1-34i
(3)-1
(4)5+i
【解析】
【分析】
应用复数的加减乘除、乘方等四则运算及复数乘除的几何性质化简复数即可.
(1)
.
(2)
.
(3)
.
(4)
.
21.
【解析】
【分析】
根据复数的乘方运算及复数的相等可求解.
【详解】
,解得.
22.(1);
(2)或
【解析】
【分析】
(1)设,得出和,根据题意即可求出;
(2)表示出,根据对应的点在第四象限可得不等关系求解.
(1)
设,则,
,
因为和均为实数,所以,解得,
所以,则;
(2)
,
因为对应的点在第四象限,所以,解得或.
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