【同步练习】北师大版（2019） 高中数学 必修第二册 平面向量及其应用A

这是一份【同步练习】北师大版（2019） 高中数学 必修第二册 平面向量及其应用A，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
平面向量及其应用
一、单选题
1．在△ABC中， AB＝4，AC＝2点E，F分别是AB，AC的中点，则（       ）
A．－6 B．6 C．－12 D．12
2．在平面直角坐标系中，大小为的角始边与轴非负半轴重合，顶点与原点O重合，其终边与圆心在原点，半径为3的圆相交于一点P，点Q坐标为，则的面积为（       ）
A． B． C． D．2
3．某人先向东走3km，位移记为，接着再向北走3km，位移记为，则表示（       ）
A．向东南走 B．向东北走
C．向东南走 D．向东北走
4．已知向量，，，满足，，，，则与的夹角为（       ）
A． B．
C． D．
5．在△中，，，分别是角，，的对边，若，且，，则的值为（       ）
A． B．2 C． D．1
6．为加快推进“5G+光网”双千兆城市建设，如图，在东北某地地面有四个5G基站A，B，C，D．已知C，D两个基站建在松花江的南岸，距离为；基站A，B在江的北岸，测得，，，，则A，B两个基站的距离为（       ）

A． B．
C． D．
7．若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足3－－＝，则△ABM与△ABC的面积之比为（　　）
A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．2∶5
8．已知平面向量，满足，，与的夹角为45°，，则实数的值为（       ）
A．2 B． C． D．
二、多选题
9．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，若满足要求的△ABC有且只有1个，则b的取值可以是（       ）
A．1 B． C．2 D．3
10．已知在等腰中，是底边的中点，则（       ）．
A．在方向上的投影向量为
B．在边上存在点使得
C．
D．
11．钝角△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=7，b=5，，则（       ）
A． B．
C． D．
12．下面的命题正确的有（       ）
A．方向相反的两个非零向量一定共线
B．单位向量都相等
C．若，满足且与同向，则
D．“若A、B、C、D是不共线的四点，且”“四边形ABCD是平行四边形”
第II卷（非选择题）
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三、填空题
13．已知向量，，，则与的夹角为______.
14．向量，，，，则___．
15．已知锐角的面积为9，，点D在边上，且，则的长为__________．
16．已知一条直线l与平行四边形ABCD中的两边AB，AD分别交于点E，F，且满足，，点M在直线l上，，则的值为______．
四、解答题
17．如图，在山顶P点已得三点A，B，C的俯角分别为，，，其中A，B，C为山脚下两侧共线的三点，现欲沿直线AC挖掘一条隧道，试根据测得的AD，EB，BC的长度，建立估计隧道DE长度的数学模型．

18．在△ABC中，已知，点D在边BC上，．
(1)若，求AC；
(2)若AD平分∠BAC，求．
19．已知向量，，若，求实数的值．
20．在中，求．
21．设，是夹角为的单位向量，若，，求与的夹角．
22．已知表示向量的有向线段的起点的坐标，求它的终点的坐标．
(1)，；
(2)，．

参考答案：
1．B
【解析】
【分析】
利用向量的线性运算化简所求向量表达式，结合向量数量积运算律求其值.
【详解】
∵   ，
，
∴   
∴,
又，
∴   
故选：B.

2．B
【解析】
【分析】
根据题意可得、，结合三角形的面积公式计算即可.
【详解】
由题意知，
，，
所以.
故选：B
3．B
【解析】
【分析】
由向量的加法进行求解.
【详解】
由题意和向量的加法，得表示先向东走3km，
再向北走3km，即向东北走.
故选：B.
4．C
【解析】
【分析】
根据已知条件，求得，再利用向量夹角的计算公式即可求得结果.
【详解】
因为，故可得，又，故，
代值得，则，则，
故可得与的夹角为.
故选：C.
5．B
【解析】
【分析】
由正弦定理边角关系及已知条件可得，再由三角形内角的性质有，进而应用余弦定理求的值.
【详解】
由题设，且，可得，，
所以，又，，
所以，即.
故选：B.
6．D
【解析】
【分析】
根据题意可得，，利用正弦定理求出BC，进而结合余弦定理即可求出AB.
【详解】
在中，，
所以，有，所以，
在中，，
由正弦定理，得，
在中，由余弦定理，得

，
所以，即两个基站A、B之间的距离为.
故选：D
7．B
【解析】
【分析】
由平面向量的加法结合已知可得M为AD的三等分点，然后由等高的三角形面积之比等于底边之比可得.
【详解】
如图，D为BC边的中点，

则
因为－－＝
所以，
所以
所以.
故选：B
8．A
【解析】
【分析】
根据向量垂直列方程，化简求得的值.
【详解】
，，，∴.
故选：A
9．ABC
【解析】
【分析】
根据余弦定理，根据三角形的性质进行求解判断即可.
【详解】
由，及，
得.若满足要求的△ABC有且只有1个，则或，
即或，解得或.
故选：ABC
10．BCD
【解析】
【分析】
对于A，利用向量的加法运算和数量积的几何意义判断即可，对于B，如图建立坐标系，利用数量积的坐标运算求解判断，对于C，分别求出和的坐标，然后判断，对于D，利用坐标求解判断即可
【详解】
对于A，因为，在方向上的投影向量为，所以A错误，
对于B，如图建立坐标系，设，则
，
所以，
由，得，得，
因为，所以，所以在边上存在点使得，所以B正确，
对于C，因为，所以，所以，所以C正确，
对于D，因为，所以，所以D正确，
故选：BCD

11．ABD
【解析】
【分析】
分别从正弦定理、余弦定理、面积公式分析计算即可判断每一个选项.
【详解】
对于选项A，因为，，，所以，故A正确；
对于选项B、C，根据余弦定理：
∴或8，当时，，可知为锐角三角形，
故，故C不正确；
再根据余弦定理得，∴B正确；
对于选项D，，故D正确.
故选：ABD.
12．AD
【解析】
【分析】
根据向量的定义和性质，逐项判断正误即可.
【详解】
对于A，由相反向量的概念可知A正确；
对于B，任意两个单位向量的模相等，其方向未必相同，故B错误；
对于C，向量之间不能比较大小，只能比较向量的模，故C错误；
对于D，若A、B、C、D是不共线的四点，且，
可得，且，故四边形ABCD是平行四边形；
若四边形ABCD是平行四边形，可知，且，
此时A、B、C、D是不共线的四点，且，故D正确.
故选：AD.
13．##
【解析】
【分析】
首先求出，设向量与的夹角为，再根据计算可得；
【详解】
解：因为，所以，
设向量与的夹角为，因为，因为，所以.
故答案为：
14．
【解析】
【分析】
利用平面向量垂直的坐标表示可求得实数的值，再利用平面向量的坐标运算以及向量模的坐标运算可求得结果.
【详解】
由已知可得，解得，则，
所以，，因此，.
故答案为：.
15．4
【解析】
【分析】
先求出，利用面积为9求出，在中，由余弦定理求出．
【详解】
因为，所以，所以，则，所以，所以，，所以．
在中，由余弦定理得，解得．
故答案为：4
16．
【解析】
【分析】
根据条件得到，又由、、共线，对应得到，的关系，再代入进行指对数运算即可．
【详解】
因为，，，
又因为在直线上，
，
因为、、共线，所以，即，
则，
则．
故答案为：．

17．.
【解析】
【分析】
在中，正弦定理可得PB，在中，由正弦定理可得，再计算，即可得出答案．
【详解】
在中，，，
由正弦定理可得，
∴，
在中，∵，，
∴，
由正弦定理可得，
∴，
∴.
18．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）首先求出，，过点作于点，由同角三角函数的基本关系求出，，根据锐角三角函数的定义即可求出，从而求出，再利用余弦定理计算可得；
（2）过作于点，设，，由，即可得到，即可得到，再利用诱导公式求出，最后利用二倍角公式计算可得；
(1)
解：因为且，所以，，过点作于点，因为，且，所以，，所以，所以，所以，在中，由余弦定理，即，所以；

(2)
解：过作于点，设，，则，因为，所以，因为，又平分，所以，即，所以，即，解得或（舍去），所以

19．.
【解析】
【分析】
根据向量的运算法则及两向量垂直与数量积的关系即可得出.
【详解】
因为，)，
所以，，
由，
可得，解得.
所以.
20．
【解析】
【分析】
由平面向量的相等向量与相反向量的定义化简可得.
【详解】
记，则
所以

21．
【解析】
【分析】
根据数量积公式求出及，，利用向量夹角公式求出答案.
【详解】
由题意得：，从而，
，，设与的夹角为，从而，解得：，所以与的夹角为.
22．(1)；
(2).
【解析】
【分析】
（1）设出终点的坐标，表示出，利用，即可求出答案.
（2）设出终点的坐标，表示出，利用，即可求出答案.
(1)
设终点的坐标为，，，得到，   
的坐标为.
(2)
设终点的坐标为，，
，得到
的坐标为.